Бесконечная бесконечность. Сравнение бесконечно малых функций. Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Предел функции на бесконечности:
|f(x) - a| < ε при |x| > N

Определение предела по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > Число a называется пределом функции f(x) при x стремящемся к бесконечности (), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0 , существует такое число N ε > K , зависящее от ε , что для всех x, |x| > N ε , значения функции принадлежат ε - окрестности точки a :
|f(x) - a| < ε .
Предел функции на бесконечности обозначается так:
.
Или при .

Также часто используется следующее обозначение:
.

Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности:
.
Здесь подразумевается, что значения принадлежат области определения функции.

Односторонние пределы

Левый предел функции на бесконечности:
|f(x) - a| < ε при x < -N

Часто встречаются случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее в окрестности точки или ). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы.

Левый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к минус бесконечности () определяется так:
.
Правый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к плюс бесконечности () :
.
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
; .

Бесконечный предел функции на бесконечности

Бесконечный предел функции на бесконечности:
|f(x)| > M при |x| > N

Определение бесконечного предела по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > K , где K - положительное число. Предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности (), равен бесконечности , если для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число N M > K , зависящее от M , что для всех x, |x| > N M , значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x) | > M .
Бесконечный предел при x стремящемся к бесконечности обозначают так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Определения односторонних пределов на бесконечности.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.

Определение предела функции по Гейне

Пусть функция f(x) определена на некоторой окрестности бесконечно удаленной точки x 0 , где или или .
Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x) в точке x 0 :
,
если для любой последовательности { x n } , сходящейся к x 0 : ,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность { f(x n )} сходится к a :
.

Если в качестве окрестности взять окрестность бесконечно удаленной точки без знака: , то получим определение предела функции при x стремящемся к бесконечности, . Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x 0 : или , то получим определение предела при x стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно.

Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны .

Примеры

Пример 1

Используя определение Коши показать, что
.

Введем обозначения:
.
Найдем область определения функции . Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция определена для всех x кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение . ;
.
Корни уравнения:
; .
Поскольку , то и .
Поэтому функция определена при . Это мы будем использовать в дальнейшем.

Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши:
.
Преобразуем разность:
.
Разделим числитель и знаменатель на и умножим на -1 :
.

Пусть .
Тогда
;
;
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
.
Отсюда следует, что
при , и .

Поскольку всегда можно увеличить, то возьмем . Тогда для любого ,
при .
Это означает, что .

Пример 2

Пусть .
Используя определение предела по Коши показать, что:
1) ;
2) .

1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности

Поскольку , то функция определена для всех x .
Выпишем определение предела функции при , равного минус бесконечности:
.

Пусть . Тогда
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что для любого положительного числа M , имеется число , так что при ,
.

Это означает, что .

2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности

Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на и применим формулу разности квадратов:
.
Имеем:

.
Выпишем определение правого предела функции при :
.

Введем обозначение: .
Преобразуем разность:
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Пусть
.
Тогда
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при и .

Поскольку это выполняется для любого положительного числа , то
.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-ой замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёттолько об определённости и никакой другой .

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-ой замечательный предел.

Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры:

Пример 18

Вычислить предел

На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость

Используем формулу

Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно:

В данном случае:

Таким образом:

С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0.

В результате:

Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью :

Пример 19

Вычислить предел

Сначала полное решение, потом комменты:

(1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать».

(3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма.

(4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы , преобразуем неопределённость к виду .

(6) Используем формулу .

(7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель:

(8) Без комментариев =)

Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл.

Пример 20

Вычислить предел

Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде и заменой свести решение к случаю .

В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки».

Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-ым замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные бесконечно большие функции . На пример: .

Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания:

В пределе получена единица , значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны . На уроке Замечательные пределы. Примеры решений мы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ.

Аналогичных пределов можно придумать очень много:
и т.д.

Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: . В других случаях при неопределённости 2-ой замечательный предел не применим .

Пример 21

Найти пределы

Как ни старайся, а неопределённость не удастся преобразовать в неопределённость

Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты : .

Таким образом, 2-ой замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ .

! Примечание : не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость , здесь же речь идёт о неопределённости .

Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменательоснования разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель):

Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же:

Пример 22

Найти пределы

Это короткие примеры для самостоятельного изучения

Иногда неопределённости может не быть вообще :

Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!

Пример 2

Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3.
:

Пример 4

Разделим числитель и знаменатель на :


Примечание : самым последним действием умножили числитель и знаменатель на , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Пример 6

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 8

Разделим числитель и знаменатель на :

Примечание : слагаемое стремиться к нулю медленнее, чем , поэтому является «главным» нулём знаменателя. .

Пример 22


Примечание : бесконечно малая функция стремится к нулю медленнее, чем , поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль:

За последние годы мобильный гейминг прошел, как мне кажется, решающий отрезок своей истории, в котором отпало все ненужное. Разработчики поняли, что мобильным игрокам нужно нечто сессионное, реиграбельное и в исключительных случаях захватывающее на продолжительное время.

Так мобильная эволюция расчистила путь раннерам. Многие из них предлагают задонатить в пару бустеров для достижения зашкаливающих рекордов. Сейчас мы поговорим о правильном представителе жанра, в котором решает только умение.

Игровая механика

BARRIER X дружелюбна к новичкам, и на первых порах ее игровой механикой намного проще овладеть, чем, к примеру, Flappy Bird. Если вкратце, то суть игры сводится к уклонению от надвигающихся геометрических фигур. Но не все так просто.

Делать это следует путем анализа цветных полос под вашим космическим кораблем. К примеру, красная полоса означает, что впереди препятствие. По мере игры появится синяя полоса, указывающая путь (ее стоит слушать, иначе капут) или зеленая, позволяющая пробивать преграды.

Игровая механика пополняется новыми элементами с каждым уровнем, которых всего семь, как и букв в слове BARRIER. Такой подход позволяет постепенно увеличивать сложность игры и не выбрасывать на игрока все элементы геймплея сразу.

При этом набивать время (его таймер на горизонте) на уровне попроще не выйдет, так как через определенные промежутки времени корабль неимоверно ускоряется, что в мгновение ока повышает сложность игры. К тому же новый уровень не всегда делает игру сложнее, как в случае с зеленой полосой. Чуть не забыл: управление реализовано касанием правой и левой сторон экрана.

Графика

Визуально игра выглядит потрясающе. Одновременно в глаза бросаются геометрический минимализм и многообразие цветов. Все это дополняется эффектами в виде раскачивающейся камеры и размытых звезд, которые реагируют на ваши движения.

Особенно приятно передано ощущение скорости в 60 FPS. Насчет ваших устройств ручаться не могу, но на Meizu MX5 или Asus ZenFone Zoom игра летает.

Звук

В качестве звукового сопровождения выступают шесть олдскульных “пиксельных” треков, которые можно менять в игровом меню. Что касается прочих звуковых эффектов, они, как и саундтрек, выполнены на высоте.

О подводных камнях

В чем подвох? Игра, между прочим, Free-2-Play. Доната и бустеров здесь нет, раздражает лишь реклама сторонних приложений, которая загружается в онлайне и затем начинает бесить в офлайне. За ее отключение попросят 141 рубль, что уже не смешно.

Итог

Проблема и достоинство BARRIER X в том, что это раннер, ломающий шаблоны. Будучи бесплатным, он не начнет клянчить монету за бустеры, дабы я не был лохом перед друзьями, но неожиданно попросит завышенную цену за отключение назойливой рекламы.

Ее “нейтрализация” для пользователей Android не является проблемой, но, к примеру, не каждый неравнодушный к команде разработчиков человек готов дать за BARRIER X подобную сумму денег. Тем не менее, попробовать игру

1. Для того, чтобы число А было пределомf(x) приx->a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в видеf(x)=A+альфа(х), где альфа(х) – бесконечно малая.

2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.LimC,x->a=C.

3. Еслиf(x)>= 0 (f(x)<=0) в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а, и в этой точке имеет предел, то пределlimf(x),x->a>=0 (limf(x)x->a, <=0)

4. Если функцииf1(x),f2(x) имеют пределы в точке а, то и их сумма, произведение и частное имеет пределы, причемlim(f1(x)+f2(x)),x->a=limf1(x),x->a+limf2(x),x->a, так же с произведением и частным

5. Еслиf(x) имеет предел в точке а, тоlim(f(x))^n,x->a= (limf(x),x->a)^n, гдеn– натуральное число

6. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.Lim cf(x), x->a = cLim f(x), x->a.

7. Если для функцийf(x),f1(x),f2(x) в некоторой окрестности в точке а выполняется неравенствоf1(x)<=f(x)<=f2(x) и пределlimf1(x),x->a=limf2(x),x->a=A, тоlimf(x),x->a=A.

8. Limc^x,x->б = бесконечности, еслиc>1 и 0, если 0

Неопределенность вида бесконечность на бесконечность

Разделить все на х в наивысшей степени, учитывая уменьшение степени в корне.

Lim(x->0) sin 5x/sin3x = =lim(x->0) x sin5x/x sin3x = lim(x->0) sin5x/x*lim(x->0) x/sin3x=lim(x->0) 5sin5x/5x*lim 3sin3x/3x)=5/3

Lim(x-unl) (1+1/x) x =e;

1/x=a=>x=1/a, a->0

Lim(a-0) (1+a) 1/2 =e

Lim(x-0) (log a (1+x))/x = lim(x-0) 1/x*log a (1+x)=lim(x-0) log a (1+x) 1/x =log a lim(x-0)(1+x) 1/x =log a e

Lim(x-0) ln(1+x)/x=ln e=1

Lim(x-0) a x -1/x=|a x -1=t;a x =t+1;ln a x =ln(t+1)

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(x,b(x) – бесконечно малые ф-ции при х->a

1. Lim(x->a)a(x)/b(x)=0 =>a(x) – бесконечно малая более высокого порядка, чемb(x)

2. Lim(x->a)a(x)/b(x) =c<>0=>aиb– бесконечно малые функции одного порядка

3. Lim(x->a)a(x)/b(x) = 1 =>aub– эквивалентные бесконечно малые функции

4. Lim(x->a)d(x)/b n (x) =c<>0 =>a– бесконечно малая функция н-ного порядка относительноb(x)

Cos2x=1-2sin 2 x

Теорема: если б.м. а(х) эквивалентна а 1 (х) иb(x) ~b 1 (x) иlim(x->a)a(x)/b(x) =>lim(x->a)a 1 (x)/b 1 (x)

6. A kx ~kx ln a

8. 1-cos kx ~kx 2 /2

23. Предел функции, теоремы о пределах. Неопределённость вида 0/0.  Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция f (x ) стремится к бесконечности при x стремящимся к a , если для любого M > 0 можно указать такое значение  > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству x a  <  имеет место неравенство f (x ) > M .

lim x  a =

 Функция ограниченная при x  a .

 Функция ограниченная при x  .

 Теорема. Если lim x  a f (x )=b , то функция f (x ) ограниченная при x  a .

 Бесконечно малые и их свойства. lim x  a (x )=0

Теорема. 1. Если f (x )=b +, где  - б.м. при x  a , то lim x  a f (x )=b и обратно, если lim x  a f (x )=b , то можно записать f (x )=b +(x ).

Теорема. 2. Если lim x  a (x )=0 и (x )  0, то 1/ .

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

 Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u (x )  z (x )  v (x ), и lim x  a u (x )=lim x  a v (x )=b , то lim x  a z (x )=b . ("Теорема о двух милиционерах").

 Первый замечательный предел.

при n имеет предел, заключенный между 2 и 3. В данной работе мы рассмотрим неопределенность видадля функции. Для нахождения предела функции мы применяем метод преобразования, метод замены и определение бесконечно малых величин.

Пусть требуется найти предел дроби

где P(x) и Q(x) функции определенные в окрестности предельного аргумента a, но в самом предельном значении обращаются в ноль.

Теорема 1 . Пусть число a для многочлена n-й степени P(x) = P n (x) является k кратным решением, а для многочлена m-й степени Q(x) = Q n (x) является r кратным решением, тогда

(2)

где P n-k (a) и Q m-r (a) значения соответствующих многочленов P n-k (x) и Q m-r (x) в точке x = a.

Доказательство . Так как, число a является решением многочленов P n (x) и Q m (x), то их в любое время можно представить в виде:

Биномы (x - a) k и (x - a) r в окрестности точки x = a бесконечно малы, а их основания эквивалентные бесконечно малые. Отсюда

Полагаясь на последнее равенство, можно из (3) предела получить формулу (2). 25. 1-ый Замечательный предел.

помогите решить: Из куска ситца можно сшить 32 детских платья или 16 платьев для взрослых. На каждое детское платье идёт 2 метра ситца. Сколько метров

ситца идёт на каждое платье для взрослых?

За 80 пудов цветного бисера, привезённого из Италии, купцу следовало заплатить 720 рублей. На сколько меньше денег требовалось для покупки такого же

количество бисера, сделанного на фабрике в Усть-Рудицах если его цена за пуд была на 6 рублей меньше?

Задача№1 В первый магазин привезли 27 одинаковых коробок с печеньем,а во второй -30 таких же коробок.Во второй магазин привезли на 51 кг печенья

больше,чем в первый.Сколько килограммов печенья привезли в каждый магазин? Задача№2 Два спорцмена одновременно начали бежать навстречу друг другу.Первый спорцмен бежал со средней скоростью 305м/мин,второй-312м/мин.Спорцмены встретились через 4 мин. Какое расстояние быломежду ними сначала? Решить задачу по действиям с пояснениями. Задача№3 Поезд отправляется в 19ч 35мин.Дорога пассажироа от дома до вокзала занимает 45мин. В котором часу пассажиру надо выехать из дома,чтобы быть на вокзале за 15 мин до отправления поезда? Задача№4 Из 60м ткани сшили 15 одинаковых плащей.Сколько таких плащей можно сшить из 100м такой же ткани? Задача№5 Периметр квадрата равен 8 см. Из двух таких квадратов составили прямоугольник.Найти площадь этого прямоугольника. Задача№6 Площадь сада 192а.Одна десятая часть площади сада занята яблонями,а одна пятая часть оставшейся площади- сливами.Какая площадь сада занята сливами? Задача№7 Масса четырёх одинаковых ящиков с мандаринами 34 кг.Масса пустого ящика 1 кг 500г.Найти массу мандаринов в каждом ящике.