Этот метод применяется при решении уравнений вида , если корень уравнения отделён, т.е. и выполняются условия:

1) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка );

2) производная сохраняет знак на отрезке (функция либо возрастает, либо убывает на отрезке ).

Первое приближение корня находится по формуле: .

Для следующего приближения из отрезков и выбирается тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков.

Тогда второе приближение вычисляется по формуле:

, если или , если .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.

Геометрическая интерпретация нахождение решения методом хорд:

При решении уравнения методом хорд поводится прямая соединяющая концы отрезка . Из двух точек А и В выбирается х0. Находится точка пересечения хорды с осью OX. Определяется значение функции в точке пересечения и из найденной точки проводится новая хорда. Этот процесс повторяется до получения необходимой точности.

Формула для n-го приближения имеет вид(х0=а, xn-1=b,xn=x):

В методе хорд условием окончания итераций является:

Условие близости двух последовательных приближений: ;

Условие малости невязки (величина F(xn) есть невязка, полученная на n-й итерации, а -число, с заданной точностью которого необходимо найти решение).

Описание алгоритма метода хорд
Шаг 1. Ввод a,b,ε.
Шаг 2. X:=a-f(a)×(b-a)/(f(b)-f(a)).
Шаг 3. Если dF2(b)×F(b)<0, то a:=x;
Если dF2(a)×F(a)<0, то b:=x;
Шаг 4. Пересчитать X по формуле шага 2.
Шаг 5. Выполнять шаг 3, пока abs(b-a)<=eps.
Шаг 4.Вывод результата – x.
Опишем назначение переменных и функций, используемых в процедуре Hord
dF2 – значение второй производной в точке Х
F – значение функции в точке Х
Х0 – начальное значение Х
А – левая граница
В – правая граница
Е – точность вычислений
Fa – значение функции в точке А
Fb - значение функции в точке В
Представим в виде структурной схемы.

Блок схема алгоритма метода хорд:

8.) Метод простых итераций (метод последовательных приближений)- метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.

x i =φ(x i -1) , i=1,2,… где i − номер итерации.- последовательное вычисление значений x i по формуле называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула - формулой итерационного процесса метода.

Алгоритм решения нелинейного уравнения методом
простых итераций:

Если , то итерационный процесс сходящийся .

Условие сходимости

Точное решение x * получить невозможно, так как требуется бесконечный итерационный процесс.

Можно получить приближенное решение, прервав итерационный x i =φ(x i -1) при достижении условия

,

где ε - заданная точность; i - номер последней итерации.

В большинстве случаев условие завершения итерационного процесса обеспечивает близость значения x i к точному решению:

Геометрическая иллюстрация метода простых итераций:

1) Итерационный процесс для случая 0< <1 xÎ..

Метод хорд (метод также известен как Метод секущих ) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось - Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и (см. рис.1.).

Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .

Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:

Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе и , соответственно.

Для точки пресечения прямой с осью абсцисс записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:

В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух или , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов - умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

или .

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.

Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.

Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд

1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. З адать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации () .

2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:

3. Необходимо найти значение функции в точках , и . Далее необходимо проверить два условия:

Если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить, ;

Если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять , .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:

Если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

Если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Пример решения уравнений методом хорд

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне с точностью .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD .

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности при поиске уравнения в диапазоне необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Примечание:

Модификацией данного метода является метод ложного положения (False Position Method ), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

Случай №1:

Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a .

Случай №2:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Excel и Mathcad

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Вычислительная математика»

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad : Метод. указ. / Сост. , - Самара: СГАСУ, 20с.

Методические указания разработаны в соответствии с Государственным образовательным стандартом изучения дисциплины «Вычислительная математика».

Рассмотрена реализация численных методов при решении нелинейных уравнений и систем уравнений в Excel и MathCad. Приведены варианты заданий для индивидуального выполнения и вопросы для самоконтроля и тестирования.

Предназначены для студентов специальности 230201 – «Информационные системы и технологии» всех форм обучения.

Рецензент к. ф-м. н.

Ó , составление, 2012

ã СГАСУ, 2012

1.2 Отделение корней
1.5 Метод хорд
1.6 Метод Ньютона (касательных)
1.7 Комбинированный метод
1.8 Метод итераций
2.2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
3 Задания к лабораторным работам
Лабораторная № 1. Отделение корней и стандартные инструменты решения нелинейного уравнения
Лабораторная № 2. Сравнение методов уточнения корней нелинейного уравнения
Лабораторная № 3. Решение систем нелинейных уравнений
Лабораторная № 4. Программирование методов решения нелинейных уравнений и систем
4 Вопросы и тесты для самоконтроля

1 Решение нелинейного уравнения

1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения

Как правило, нелинейное уравнения общего вида f(х)=0 невозможно решить аналитически. Для практических задач достаточно найти приближенное значение x , в определенном смысле близкое к точному решению уравнения хточн .

В большинстве случаев поиск приближенного решения включает два этапа. На первом этапе отделяют корни, т. е. находят такие отрезки, внутри которых находится строго один корень. На втором этапе уточняют корень на одном из таких отрезков, т. е. находят его значение с требуемой точностью.

Достигнутая точность может оцениваться либо «по функции» (в найденной точке x , функция достаточно близка к 0, т. е. выполняется условие |f(x)|≤ e f , где e f требуемая точность по оси ординат), либо «по аргументу» (найден достаточно маленький отрезок [ a, b] , внутри которого находится корень, т. е. | b– a|≤ e x , где e x требуемая точность по оси абсцисс).

1.2 Отделение корней

Отделение корней может производиться сочетанием графического и аналитического исследования функции. Такое исследование опирается на теорему Вейерштрасса, в соответствии с которой для непрерывной на отрезке [ a, b] функции f(х ) и любого числа y , отвечающего условию f(a)≤y≤ f(b) , существует на этом отрезке точка x , в которой функция равна y . Следовательно, для непрерывной функции достаточно найти отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки, и можно быть уверенным, что на этом отрезке есть корень уравнения f(х)=0 .

Для ряда методов уточнения желательно, чтобы найденный на первом этапе отрезок содержал только один корень уравнения. Это условие выполняется, если функция на отрезке монотонна. Монотонность, можно проверить либо по графику функции, либо по знаку производной.

Пример Найти с точностью до целых все корни нелинейного уравнения y(x)= x3 ‑ 10 x + 7=0 а) построив таблицу и б) построив график. Найти корень уравнения на выделенном отрезке, используя опции «Подбор параметра» и «Поиск решения».

Решение Создадим в Excel таблицу, содержащую аргументы и значения функции и по ней построим точечную диаграмму . На рисунке 1 приведен снимок решения.

На графике видно, что уравнение имеет три корня, принадлежащие отрезкам [-4, -3], и . Эти отрезки можно выявить и наблюдая за сменой знаков функции в таблице. По построенному графику можно сделать вывод, что на указанных отрезках функция f (x ) монотонна и, следовательно, на каждом из них содержится только по одному корню.

Такой же анализ может быть выполнен и в пакете Mathcad. Для этого достаточно набрать определение функции f (x ) , используя оператор присваивания (:=) и естественные общепринятые обозначения математических операций и стандартных функций, задать цикл для изменения аргумента, например, а затем вывести на экран таблицу значений функции (располо­жен­ными в одной строке командами x = f (x )= ) и график. Цикл можно задать, например, командой x :=-5,-4.5…5 . Шаг цикла формируется путем задания начального и следующего за ним значений переменной, а перед конечным значением переменной ставится точка с запятой, которая будет визуально отображена на экране в виде многоточия.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

Рисунок 1 – Таблица и график для отделения корней нелинейного уравнения

1.3 Уточнение корней стандартными средствами Excel и Mathcad

Во всех методах уточнения корней необходимо задать начальное прибли­же­ние, которое затем и будет уточняться. Если уравнение имеет несколько кор­ней, в зависимости от выбранного начального приближения будет найден один из них. При неудачно выбранном начальном приближении решение может и не быть найдено. Если в результате первого этапа расчетов уже выделен отрезок, содержа­щий единственный корень уравнения, в качестве начального приближения можно взять любую точку этого отрезка.

В Excel для уточнения значений корней можно использовать опции «Подбор параметра» и «Поиск решения». Пример оформления решения приведен на рисунках 2 и 3.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

Рисунок 3 – Результаты использования средств решения уравнения в Excel

В Mathcad для уточнения корней уравнения можно использовать функцию root (….) или блок решения . Пример использования функции root(…) приведен на рисунке 4, а блока решения на рисунке 5. Следует обратить внимание, что в блоке решения (после заголовка блока Given ) между левой и правой частями уравнения должен стоять жирный знак равенства (тождества), который можно получить выбором из соответствующей палитры инструментов, либо нажатием одновременно клавиши Ctrl и = .

243" height="31">

Рисунок 5 – Решение уравнения с использованием блока решения в Mathcad

Как видим, каждый стандартный инструмент находит решение уравнения с определенной точностью. Эта точность зависит от метода, используемого в пакете и, в определенной степени, настроек пакета. Управлять точностью результата здесь достаточно сложно, а часто и невозможно.

В то же время, очень просто построить собственную таблицу или написать программу, реализующие один из методов уточнения корней. Здесь можно использовать критерии точности расчета, задаваемые пользователем. При этом достигается и понимание процесса расчетов без опоры на принцип Митрофанушки: «Извозчик есть, довезет».

Далее рассмотрены несколько наиболее распространенных методов. Отметим очевидный момент: при прочих равных условиях тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден с меньшим числом вычислений функции f(x) (при этом достигается и максимальная точность при одинаковом числе вычислений функции).

1.4 Метод деления отрезка пополам

В этом методе на каждом шаге отрезок делится на две равные части. Затем сравнивают знаки функции на концах каждой из двух половинок (например, по знаку произведения значений функций на концах), определяют ту из них, в которой содержится решение (знаки функции на концах должны быть разные), и. сужают отрезок, перенося в найденную точку его границу (а или b ). Условием окончания служит малость отрезка, где содержится корень («точность по x »), либо близость к 0 значения функции в средине отрезка («точность по y»). Решением уравнения считают середину отрезка, найденного на последнем шаге.

Пример . Построить таблицу для уточнения корня уравнения x 3 –10 x +7=0 на отрезке [-4, -3] методом деления отрезка пополам. Определить сколько шагов надо сделать методом деления отрезка пополам и какая при этом достигается точность по х, для достижения точности по y , равной 0,1; 0,01; 0, 001.

Решение Для решения можно использовать табличный процессор Excel, позволяющий автоматически продолжать строки. На первом шаге заносим в таблицу значения левого и правого концов выбранного начального отрезка и вычисляем значение середины отрезка с =(a +b )/2, а затем вводим формулу для вычисления функции в точке a (f (a )) и растягиваем (копируем) её для вычисления f (c ) и f (b ). В последнем столбца вычисляем выражение (b -a )/2, характеризующего степень точности вычислений. Все набранные формулы можно скопировать во вторую строку таблицы.

На втором шаге нужно автоматизировать процесс поиска той половины отрезка, где содержится корень. Для этого испльзуется логическая функция ЕСЛИ (Меню : ВставкаФункцияЛогические). Для нового левого края отрезка мы проверяем истинность условия f (a )*f (c )>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения левого конца отрезка берем число c a , c a . Аналогично, для нового правого края отрезка мы проверяем истинность условия f (c )* f (b )>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения правого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [c , b ] нет), иначе оставляем значение b .

Вторую строку таблицы можно продолжить (скопировать) на необходимое число последующих строк.

Итерационный процесс завершается, когда очередное значение в последнем столбце становится меньшим, чем заданный показатель точности ex. При этом, значение середины отрезка в последнем приближении, принимается в качестве приближенного значения искомого корня нелинейного уравнения. На рисунке 6 приведен снимок решения. Для построения аналогичного процесса в Mathcad можно использовать бланк, подобный приведенному на рисунке 7. Число шагов N может варьиро­вать­ся до достижения в таблице результатов требуемой точности. При этом таблица будет автоматически удлиняться или укорачиваться.

Итак, одним из трех корней нелинейного уравнения x 3 – 10x + 7=0, найденным с точностью e=0,0001, является x = - 3,46686. Как мы видим, он действительно принадлежит отрезку [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

Рисунок 7 – Уточнение корня методом деления отрезка пополам в Mathcad

1.5 Метод хорд

В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [а, b ] заменяется линейной – уравнением хорды, т. е. прямой соединяющей граничные точки графика на отрезке. Условие применимости метода – монотонность функции на начальном отрезке, обеспечивающая единственность корня на этом отрезке. Расчет по методу хорд аналогичен расчету методом деления отрезка пополам, но теперь на каждом шаге новая точка x внутри отрезка [a , b ] рассчитывается по любой из следующих формул:

(х) > 0 ), или правая его граница: x0 = b (если f(b) f"(х)>0 ). Расчет нового приближения на следующем шаге i +1 производится по формуле:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

Рисунок 8 – Уточнение корня методом касательных в E xcel

Расчеты в Mathcad выполняются аналогично. При этом значительное облегчение доставляет наличие в этом пакете оператора, автоматически вычисляющего производную функции.

Наиболее трудоемким элементом расчетов по методу Ньютона является вычисление производной на каждом шаге.

При определенных условиях может использоваться упрощенный метод Ньютона , в котором производная вычисляется только один раз – в начальной точке. При этом используется видоизмененная формула

.

Естественно, что упрощенный метод, как правило, требует большего числа шагов.

Если вычисление производной связано с серьезными трудностями (например, если функция задана не аналитическим выражением, а вычисляющей ее значения программой) используется модифицированный метод Ньютона, получивший название – метод секущих . Здесь производная приближенно вычисляется по значениям функции в двух последовательных точках, то есть используется формула

.

В методе секущих необходимо задаться не одной, а двумя начальными точками – x 0 и x 1 . Точка x1 обычно задается сдвигом x0 к другой границе отрезка на малую величину, например, на 0.01.

1.7 Комбинированный метод

Можно показать, что если на начальном отрезке у функции f(x) сохраняются неизменными знаки первой и второй производных, то методы хорд и Ньютона приближаются к корню с разных. В комбинированном методе для повышения эффективности на каждом шаге использует оба алгоритма одновременно. При этом интервал, где содержится корень, сокращается с обеих сторон, что обусловливает другое условие окончания поиска. Поиск можно прекратить, как только в середине интервала, полученного на очередном шаге значение функции станет по модулю меньшим, чем предварительно заданной погрешности e f .

Если, в соответствии со сформулированным выше правилом, метод Ньютона применяется к правой границе отрезка, для вычислений используются формулы:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">.

Если метод Ньютона применяется к левой границе, – в предыдущих формулах меняются местами обозначения a и b .

1.8 Метод итераций

Для применения этого метода исходное уравнение f(x)=0 преобразуют к виду: x =y (х) . Затем выбирают начальное значение х0 и подставляют его в левую часть уравнения, получая, в общем случае, x 1 = y (х0) ¹ х0 ¹ y (х1) , поскольку х0 взято произвольно и не является корнем уравнения. Полученное значение х1 рассматривают как очередное приближение к корню. Его снова подставляют в правую часть уравнения и получают следующее значение х2= y (х1) ). Расчет продолжают по формуле хi+1= y (хi) . Получающаяся таким образом последовательность: х0, х1, х2, х3 х4,... при определенных условиях сходиться к корню хточн .

Можно показать, что итерационный процесс сходится при условии
|y ’ (x ) | < 1 на [a , b ].

Существуют различные способы преоб­ра­зо­вания уравнения f(x) = 0 к виду y (х) = х , причем в конкретном случае одни из них приведут к сходящемуся, а другие – к расходящемуся процессу вычислений.

Один из способов, заключается в применении формулы

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

где М = max |y ’ (x )| на [a , b ].

2 Решение систем нелинейных уравнений

2.1 Общие сведения о решении систем нелинейных уравнений

Систему n нелинейных уравнений с n неизвестными x1, x2 , ..., xn записывают в виде:

где F1, F2 ,…, Fn – функции независимых переменных, среди которых есть нелинейные.

Как и в случае систем линейных уравнений, решением системы является такой вектор X *, который при подстановке обращает одновременно все уравнения системы в тождества.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

Начальные значения x 0 и y 0 определяются графически. Для нахождения каждого последующего приближения (xi +1 , yi +1 ) используют вектор значений функций и матрицу значений их первых производных, рассчитанные в предыдущей точке (xi , yi ) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

Для расчета новых приближений на шаге i+1 используется матричная формула

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">.

Приведенные формулы особенно легко записать в Mathcad, где имеются операторы для вычисления производных и действий с матрицами. Однако при правильном использовании матричных операций эти формулы достаточно просто записываются и в Excel. Правда, здесь придется заранее получить формулы для вычисления производных. Для аналитического вычисления производных также может быть использован Mathcad.

2.3 Решение систем нелинейных уравнений методами итераций

Для реализации этих методов исходную систему уравнений необходимо путем алгебраических преобразований явно выразить каждую переменную через остальные. Для случая двух уравнений с двумя неизвестными новая система будет иметь вид

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">.

Если одно из решений системы и начальные значения x 0 и y 0 лежат в области D , задаваемой неравенствами: a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , то расчет по методу простых итераций сходится при выполнении в области D соотношений:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

В методе итераций Зейделя для каждого расчета используют уже найденные наиболее точные значения каждой переменной. Для рассматриваемого случая двух переменных такая логика приводит к формулам

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Инструмент (опция)

Начальное приближение

Корень x

f(x)

3.Отсортировать полученные результаты по точности решения.

метод хорд, метод хорд пример
- итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения.

• 1 Геометрическое описание метода секущих
• 2 Алгебраическое описание метода секущих
• 3 Метод хорд с итерационной формулой
• 4 Пример использования метода секущих
• 5 Сходимость метода секущих
• 6 Критерий и скорость сходимости метода хорд
• 7 Историческая справка
• 8 Пример кода
• 9 Модификации
• 10 См. также
• 11 Литература
• 12 Примечания
• 13 Ссылки

Геометрическое описание метода секущих

Будем искать нуль функции. Выберем две начальные точки и и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке. Теперь найдем значение функции с абсциссой. Временно будем считать корнем на отрезке. Пусть точка имеет абсциссу и лежит на графике. Теперь вместо точек и мы возьмём точку и точку. Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, то есть будем получать две точки и и повторять операцию с ними. Отрезок, соединяющий последние две точки, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближённо считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока не получим значение корня с нужным приближением.

Алгебраическое описание метода секущих

Пусть - абсциссы концов хорды, - уравнение секущей, содержащей хорду. Найдем коэффициенты и из системы уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

Затем найдем коэффициенты и:

Уравнение принимает вид:

Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом секущих:

Теперь возьмем координаты и и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Таким образом, итерационная формула метода секущих имеет вид:

Повторять операцию следует до тех пор, пока не станет меньше или равно заданному значению погрешности.

Метод хорд с итерационной формулой

Первые три итерации метода хорд. Синим нарисована функция f(x), красными проводятся хорды.

Иногда методом секущих называют метод с итерационной формулой

Этот метод можно считать разновидностью метода простой итерации, и он имеет меньшую скорость сходимости. Далее для определённости этот метод будем называть методом хорд, а метод, описанный в предыдущем разделе, методом секущих.

Пример использования метода секущих

Решим уравнение методом секущих. Зададимся точностью ε=0.001 и возьмём в качестве начальных приближений и концы отрезка, на котором отделён корень: и, числовые значения и выбраны произвольно. Вычисления ведутся до тех пор, пока выполняется неравенство.

В нашем примере, в значение подставляется, а в значение подставляется. Значение это будет числовое значение полученное по этой формуле. дальнейшем подставляем в формулу в значение, а в значение.

По этой формуле последовательно получаем (подчёркнуты верные значащие цифры): (картинка из метода хорд, но не секущих, просьба разделить разделы)

Метод секущих. Первый случай; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Проверим, что метод работает и в том случае, если и выбраны по одну и ту же сторону от корня (то есть, если корень не отделён на отрезке между начальными приближениями). Возьмём для того же уравнения и. Тогда: (картинка уже не из метода секущих, а из метода дихотомии)

Метод секущих. Второй случай; ; ; ; ; ; ; ;

Мы получили то же значение корня за то же число итераций.

Сходимость метода секущих

Итерации метода секущих сходятся к корню, если начальные величины and достаточно близки к корню. Метод секущих является быстрым. Порядок сходимости α, равен золотому сечению

Таким образом, порядок сходимости больше линейного, но не квадратичен, как у родственного метода Ньютона.

Этот результат справедлив, если дважды дифференцируема и корень не является кратным - .

Как и для большинства быстрых методов, для метода секущих трудно сформулировать условия сходимости. Если начальные точки достаточно близки к корню, то метод сходится, но нет общего определения «достаточной близости». Сходимость метода определяется, тем насколько функция «волниста» в. Например, если в интервале есть точка, в которой, то процесс может не сходиться.

Критерий и скорость сходимости метода хорд

Если - дважды непрерывно дифференцируемая функция, и знак сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно. Если корень уравнения находится на отрезке, производные и на этом промежутке непрерывны и сохраняют постоянные знаки и, то можно доказать, что погрешность приближенного решения стремится к нулю при, то есть метод сходится и сходится со скоростью геометрической прогрессии (при этом говорят, что он имеет линейную скорость сходимости).

Историческая справка

Первым, кто смог найти приближённые решения кубических уравнений, был Диофант, тем самым заложив основу метода хорд. Сохранившиеся работы Диофанта сообщают об этом. Однако первым, кто понял его методы, был Ферма в XVII веке, а первым, кто дал объяснение методу хорд, был Ньютон (1670-е гг.).

Пример кода

Пример функции вычисления корня методом хорд на отрезке на Си/Си++.

Double f(double x) { return sqrt(fabs(cos(x))) - x; // Заменить функцией, корни которой мы ищем } // a, b - пределы хорды, epsilon - необходимая погрешность double findRoot(double a, double b, double epsilon) { while(fabs(b - a) > epsilon) { a = b - (b - a) * f(b)/(f(b) - f(a)); b = a - (a - b) * f(a)/(f(a) - f(b)); } // a - i-1, b - i-тый члены return b; }

Модификации

Метод ложного положения (англ.) отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

См. также

• Метод Ньютона (метод касательных)
• Метод простой итерации
• Обратная параболическая интерполяция

Литература

1. Демидович Б.П. и Марон И.А. Основы вычислительной математики. - Наука, 1970. - С. 664.
2. Бахвалов, Жидков, Кобельков. Численные методы. - Наука. - ISBN 5-94774-060-5.

Примечания

1. Алгебра
2. Математика и её история. Джон Стиллвелл

Ссылки

• Решение уравнений методом хорд онлайн
• «Методы решения алгебраических уравнений» на сайте www.petrsu.ru
• «Методы дихотомии» на сайте www.epikoiros.narod.ru
• Ю. Губарь, Курс «Введение в математическое моделирование» Лекция 4: Численные методы решения нелинейных уравнений // Интуит.ру, 15.03.2007

метод хорд, метод хорд gif, метод хорд онлайн, метод хорд пример

Метод хорд Информацию О

Далеко не всегда бывает удобно находить аналитическое выражение для производной функции, в таком случае можно использовать метод секущих.

Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения х 0 и х 1 .

Если х 0 иx 1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную можно заменить ее приближенным значением в виде отношения приращения функции равного
к отношению приращения аргумента равного (x 1 – x 0 ):

(1.4)

Таким образом, формула метода секущих может быть получена из формулы Ньютона (1.2) заменой производной выражением (1.4) и записана в виде:

(1.5)

Однако следует помнить, что при этом нет необходимости, чтобы значения функции
и
обязательно имели разный знак, как в методе половинного деления.

Процесс нахождения корня при использовании метода секущих можно считать законченным, когда выполняется следующее условие:

(6)

Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычислений производной левой части уравнения.

Таким образом, для реализации метода секущих необходимо:

Результатом проведения лабораторной работы является программа, реализующая один из описанных методов с решением контрольного примера согласно, полученного индивидуального задания.

1. Решение систем линейных уравнений

   1. Общие положения

При решении большого класса прикладных задач возникает необходимость в нахождении корней СЛАУ. Методы решения СЛАУ можно разделить на два больших класса: точные и итерационные.

Точные методы решения, например метод Гаусса, дают, вообще говоря, точное значение корней СЛАУ, при этом при корректном составлении программы точность определяется только погрешностями, связанными с округлением и представлением чисел в ЭВМ.

Итерационные методы решения СЛАУ характеризуется тем, что точное решение системы они могут, вообще говоря, давать лишь как предел некоторой бесконечной последовательности векторов. Исходное приближение при этом разыскивается каким-либо другим способом или задается произвольно. При выполнении определенных требований можно получить достаточно быстро сходящийся к решению итерационный процесс. К этому классу методов относятся: метод итераций и метод Зейделя.

1. Метод Гаусса

Рассмотрим задачу решения системы уравнений вида:

(2.1)

Известно, что система (2.1) имеет единственное решение, если ее матрица невырожденная (т. е. определитель матрицы отличен от нуля). В случае вырожденности матрицы система может иметь бесконечное число решений (если ранг матрицы и ранг расширенной матрицы, полученной добавлением к столбца свободных членов равны) или не иметь решений вовсе (если ранг матрицы и расширенной матрицы не совпадают).

Систему (2.1) можно записать в матрично-векторной форме А Х = В,

где А - матрица коэффициентов системы, содержащая n строк и n столбцов;

В - заданный вектор правых частей;

Х - искомый вектор.

Метод Гаусса основан на известном из обычного школьного курса алгебры методе исключений. Комбинируя каким-либо образом уравнения системы, добиваются того, что во всех уравнениях, кроме одного, будет исключено одно из неизвестных. Затем исключают другое неизвестное, третье и т.д.

Рассмотрим систему уравнений размера
. Алгоритм гауссова исключения состоит из нескольких шагов. Если система записана в виде (2.1), то первый шаг состоит в исключениииз последних n-1 уравнений. Это достигается вычитанием из второго уравнения первого, умноженного на
, из третьего уравнения первого, умноженного на
, и т.д. Этот процесс приводит к преобразованной системе уравнений:

(2.2)

,
, i, j=2,….,n.

Применяя теперь тот же самый процесс к последним n-1 уравнениям системы (2.2), исключаем из последних n-2 уравнений и т.д., пока вся система не приведется ктреугольной форме:

, (2.3)

где верхние индексы, вообще говоря, указывают, сколько раз изменялись соответствующие коэффициенты. Этим завершается фаза прямого исключения (или приведением к треугольной форме) алгоритма гауссова исключения. Решение треугольной системы (2.3) теперь легко получается нафазе обратной подстановки, в ходе которой уравнения системы (2.3) решаются в обратном порядке:

(2.4)

При этом все диагональные коэффициенты должны быть отличны от нуля.

Существует большое количество модификаций вычислительных схем, реализующих метод Гаусса . В качестве примера рассмотрим компактную схему Гаусса . Для примера выбрана СЛАУ 3-го порядка.

4*x1 - 9*x2 + 2*x3 = 2

2 *x 1 - 4*x 2 + 4*x 3 = 3

1*x 1 + 2*x 2 + 2*x 3 = 1,

которая в матричной форме записывается в виде:

(2.5)

Первый основной шаг гауссова исключения состоит в исключении первой переменной x 1 из второго и третьего уравнений. Если из второго уравнения системы вычесть первое, умноженное на 0.5, и из третьего уравнения вычесть первое, умноженное на –0.25, то получим эквивалентную систему уравнений:

(2.6)

Второй основной шаг состоит в исключении из третьего уравнения. Это может быть сделано вычитанием из третьего уравнения второго, умноженного на –0.5, что приводит к системе вида:

(2.7)

Проделанные операции называются элементарными преобразованиями строк. К этому моменту завершается первая часть алгоритма гауссова исключения, которую обычно называют прямым исключением или приведением к треугольной форме. Эта часть завершается тогда, когда все элементы последней строки системы, кроме крайне правого, обращаются в нуль.

Вторая часть алгоритма заключается в решении полученной верхней треугольной системы. Это легко осуществляется с помощью процесса обратной подстановки. Последнее уравнение системы (2.7) имеет вид 4 x 3 =2.5 . Следовательно, x 3 =0.625 . Подставляя теперь это значение во второе уравнение: 0.5 . x 2 +3 . 0.625=2 .

Отсюда x 2 =0.25 . Подстановка этих значений ив первое уравнение дает или x 1 =0.75 . Чтобы проверить найденное решение, выполним умножение

,

результат, которого совпадает с правой частью (2.5).

Процесс гауссова исключения можно очень компактно записать в виде алгоритма.

Прямое исключение

для k=1,….., n-1,

для i=k+1,….n:

;

для j=k,…..,n:

Обратная подстановка

для k=n, n-1,….., 1:

При составлении программы для ЭВМ, реализующей этот алгоритм, следует обратить внимание на то, что последовательно преобразуемые в ходе этого процесса элементы
можно записывать в те же ячейки памяти, где располагались элементы исходной матрицы. На это указывает пятая строка алгоритма. Если это будет сделано, то исходная матрица, разумеется, будет испорчена.

При разработке алгоритма, реализующего метод Гаусса , на первом этапе рекомендуется преобразовать исходную матрицу к виду, когда на главной диагонали выстраиваются максимальные по абсолютной величине коэффициенты. При этом если хотя бы одно значение коэффициента, стоящего на главной диагонали, равно нулю, применять метод Гаусса нельзя.