Законы распределения функций случайных величин. Функции случайных величин

ЧАСТЬ 6

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 11

1. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих при этом задач; вывести закон распределения функции одного случайного аргумента и закон распределения суммы двух случайных величин; пояснить понятие композиции законов распределения.

Понятие о функции случайной величины

Среди практических приложений теории вероятностей особое место занимают задачи, требующие нахождения законов распределения и/или числовых характеристик функций случайных величин. В простейшем случае задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие
; устройство подвергает воздействие
некоторому функциональному преобразованиюи на выходе дает случайную величину
(см. рис. 6.1). Нам известен закон распределения случайной величины
, и требуется найти закон распределения и/или числовые характеристики случайной величины.

Можно выделить три основные возникающие задачи:

1. Зная закон распределения случайной величины
(или случайного вектора
), найти закон распределения выходной случайной величины
(или
).

2. Зная закон распределения случайной величины
, найти только числовые характеристики выходной случайной величины.

3. В некоторых случаях (при особых видах преобразования ) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется знать закон распределения входной случайной величины
, а достаточно знать только его числовые характеристики.

Рассматриваем случайную величину , зависящую функционально от случайной величины
, т. е.
. Пусть случайная величина
дискретна и известен ее ряд распределения:

где
.

При подаче на вход значения случайной величины
на выходе получим
с вероятностью. И так для всех возможных значений случайной величины
. Таким образом, получаем табл. 6.1.

Таблица 6.1

Полученная табл. 6.1 в общем случае может не быть рядом распределения случайной величины , так как значения в верхней строке таблицы могут быть расположены в невозрастающем порядке, а некоторые
могут даже совпадать.

Для преобразования табл. 6.1 в ряд распределения случайной величины необходимо упорядочить возможные значения
по возрастанию, а вероятности совпадающих значений
нужно сложить.

Для нахождения числовых характеристик случайной величины преобразовывать (6.1) в ряд распределения нет необходимости, так как их можно вычислить по таблице (6.1). Действительно, находя сумму произведений возможных значений случайной величинына их вероятности, получаем

. (6.1)

Таким образом, зная только закон распределения аргумента
, можно найти математическое ожидание функции случайной величины.

Аналогично находим дисперсию случайной величины :

Аналогично определяем начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины
:

Для непрерывной случайной величины
, имеющей плотность распределения
, получаем

;

;

Видим, что для нахождения числовых характеристик функции
вовсе не нужно знать ее закон распределения – достаточно знания закона распределения аргумента
.

Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин

В некоторых задачах числовые характеристики системы случайных величин
можно определить как функции числовых характеристик системы случайных величин
. В этом случае не требуется даже знание закона распределения аргумента, например совместную плотность распределения
, а достаточно иметь только числовые характеристики этой системы случайных величин. Для решения таких задач сформулированы следующие теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин:

1.
, 3.
,

2.
, 4.
,

где – неслучайная величина.

5. для любого числа слагаемых, как независимых, так и зависимых, коррелированных и некоррелированных.

6. Математическое ожидание от линейной комбинации случайных величин
равно той же линейной функции от математических ожиданий рассматриваемых случайных величин:

.

7. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы
этих случайных величин

.

Так как корреляционная матрица
симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся дисперсии, то последнюю формулу перепишем в виде

.

Если случайные величины
не коррелированы , то справедлива теорема о сложении дисперсий:

.

8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле

.

9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация

Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий

10. Дисперсия произведения независимых случайных величин

выражается формулой

Если случайные величины
независимые и центрированные, получаем

.

Закон распределения функции случайного аргумента

Есть непрерывная случайная величина
с плотностью распределения
, связанная со случайной величинойфункциональной зависимостью
. Требуется найти закон распределения случайной величиной.

Рассмотрим случай, когда
строго монотонна, непрерывна и дифференцируема на интервале
всех возможных значений случайной величиной
.

Функция распределения
случайной величинойпо определению есть
. Если функция
монотонно возрастает на участке всех возможных значений случайной величиной
, то событие
эквивалентно событию
, где
есть функция,обратная функции
. Когда случайная величина
принимает значения на участке
, то случайная точка
перемещается по кривой
(ордината полностью определяется абсциссой) (см. рис. 6.2). Из строгой монотонности
следует монотонность
, и поэтому функцию распределения случайной величинойможно записать следующим образом:

.

Дифференцируя это выражение по , входящему в верхний предел интеграла, получаем плотность распределения случайной величинойв виде

Если функция
на участке
возможных значений случайной величиной
монотонно убывает , то, проведя аналогичные выкладки, получаем

. (6.3)

Диапазон возможных значений случайной величиной
может быть в выражениях (6.2) и (6.3) от
до
.

Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну

. (6.4)

Пример . Пусть функция случайной величины
является линейной, т. е.
, где
. Непрерывная случайная величина
имеет плотность распределения
, и тогда, используя выражение (6.4), найдем закон распределения
, учитывая, что обратная функция есть
, а модуль ее производной равен
,

. (6.5)

Если случайная величина
имеет нормальное распределение

,

то согласно (6.5) получаем

.

Это по-прежнему нормальный закон распределения с математическим ожиданием
, дисперсией
и средним квадратичным отклонением
.

В результате линейного преобразования нормально распределенной случайной величины
получаем случайную величину, также распределенную по нормальному закону.

Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения

Имеем систему двух непрерывных случайных величин
и их сумму – случайную величину
. Необходимо найти закон распределения случайной величины , если известна совместная плотность распределения системы
.

Функция распределения – это площадь области
на плоскости
, где выполняется неравенство
(см. рис. 6.3), т. е.

.

Продифференцировав это выражение по, получаем плотность распределения вероятности случайной величины

.

Учитывая симметрию слагаемых, можно записать аналогичное соотношение

.

Если случайные величины и
независимы, т. е. выполняется равенство, то две последние формулы примут вид:

; (6.6)

. (6.7)

В том случае, когда складываются независимые случайные величины и
, то говорят окомпозиции законов распределения . Для обозначения композиции законов распределения иногда применяется символьная запись:
.

Закон распределения называется устойчивым к композиции , если при композиции законов распределения этого типа получается снова тот же закон, но с другими значениями параметров. Например, если сложить две независимые нормальные случайные величины, то результирующая случайная величина будет иметь нормальный закон распределения, т. е. нормальный закон устойчив к композиции. Кроме нормального закона, устойчивыми к композиции являются законы распределения Эрланга, биноминальный, Пуассона.

В предыдущей главе мы познакомились с методами определения числовых характеристик функций с. в. и показали, что для их отыскания не требуется знать законы распределения этих функций, а достаточно знать законы распределения аргументов. Как было показано, во многих случаях инженерной практики при нахождении числовых характеристик функций с. в. можно обойтись даже без законов распределения аргументов - достаточно знать лишь числовые характеристики этих аргументов.

Однако нередко в инженерных приложениях возникает и задача определения законов распределения функции с. в. Обычно это требуется при определении вероятности попадания этих функций в различные области их возможных значений.

В этом пункте мы будем решать следующую задачу. Имеется непрерывная с. в. Хс плотностью/(х); с. в. Твыражается через с. в. X функциональной зависимостью

Требуется найти закон распределения с. в. Y

Рассмотрим сперва случай, когда функция ср (А) строго монотонна, непрерывна и дифференцируема в интервале (а , Ь) всех возможных значений с. в. X Функция распределения G (у) с. в. ^определяется по формуле

Если функция ф (х) монотонно возрастает на всем участке возможных значений с. в. ^(рис. 9.1.1), то событие {Т{Х ф (у)}, где г (у) = х есть функция, обратная функции

Дифференцируя это выражение по величине у, входящей в верхний предел интеграла, получим п. р. случайной величины Y :

Если функция ср (х) на участке (а, Ь) возможных значений с. в. X монотонно убывает (рис. 9.1.2), то событие {Т |/ (у)}. Следовательно,

Рис. 9.1.1

Дифференцируя С (у) по переменной у, входящей в нижний предел, получим п. р. случайной величины Y:

Так как плотность не может быть отрицательной, то формулы (9.1.4) и (9.1.6) можно объединить в одну:

1 В формулах (9.1.3) и (9.1.5) диапазон возможных значений с. в. Сможет быть (- ао, оо), т. е. а = - оо; Ь - оо то возможные значения У- ф (А) определяются из выражения у,- - ф (х;) (/= 1,2,..., п) при этом имеет место равенство

Задача 1. Закон распределения линейной функции одного случайного аргумента. Частным случаем монотонной функции является линейная функция у = ах + Ь, где а, b - неслучайные величины. Пусть Уесть линейная функция непрерывной с. в. Хс плотностью/(х):

Найдем, пользуясь формулой (9.1.7), плотность распределения g (у) случайной величины У. В данном случае обратная функция ф (у) = (у - Ь)/а; ее производная ф" (у) = 1 /а модуль производной 1/|я|. Формула (9.1.7) дает

Пример 1. Случайная величина X распределена по показательному закону

Случайная величина Улинейно выражается через X:

Если с. в. ЛГдискретна и имеет ряд распределения

Решение. В данном случае обратная функция ф (у) = (2 - у)/3. Условие х > 0 в формуле (*) для у переходит в условие у = 2 - Зх

График плотности g (у) показан на рис. 9.1.3.

Пример 2. Найти п. р. линейной функции Y= аХ+ b нормально распределенного аргумента X с характеристиками т х и о*.

Решение. По формуле (9.1.7) имеем

а это есть нормальный закон с характеристиками т у = ат х + b , D y = = а 2 о 2 х; а у = а о х. Таким образом, в результате линейного преобразования нормально распределенной с. в. X получаем с. в. Y, также распределенную по нормальному закону. ?

Пример 3. Непрерывная с. в. X распределена по закону Коши в простейшем (каноническом) виде:

с. в. Тсвязана с ней зависимостью:

Найти плотность распределения с. в. Y.

Решение. Так как функция у = 1 - х 2 монотонна (монотонно убывает) на всем участке (-оо, оо), применим формулу (9.1.7). Решение оформим в виде двух столбцов; в левом будут помешены обозначения функций, принятые в общем решении задачи; в первом - конкретные функции, соответствующие данному примеру.

Пример 4. С. в. X распределена по тому же закону Коши/(х) = = 1/[я (1 + х 2)]; с. в. Тесть величина, обратная X:

Найти ее плотность g (у).

Решение. График функции у = 1/х показан на рис. 9.1.4. Эта функция терпит разрыв второго рода (перескакивает с - оо на + оо) при х = 0; но обратная функция х = 1 /у однозначна, поэтому можно применять ту же формулу (9.1.7), которая выведена для монотонной функции. Решение снова оформим в виде двух столбцов (слева - общий, справа - частный случай):

т. е. обратная величина Y = 1/Х тоже, как и X, имеет распределение Коши. ?

Пример 5. Скорость соударения молекул X распределена по закону Релея с параметром о;

Количество выделяемой энергии Y при соударении молекул определяется по формуле

Найти п. р. с. в. Y.

Решение. При х > О функция (X) монотонна. Решение примера снова располагаем в виде двух столбцов (слева общий случай, справа - частный конкретный случай):

Пример 6. Радиус круга X распределен по закону Релея с параметром а:

Найти закон распределения с. в. Y- площади круга.

Решение. С. в. Y = пХ 2 -функция монотонная при X > 0 у (у) =

= (^/л) 1/2 ; k"OOl=-т=, откуда 2 у}пу

следовательно, с. в. Уимеет показательный закон распределения с па- 1

раметром--. ?

2ко г

Пример 7. Через точку а , лежащую на оси Ор, проводится прямая ab под углом Хк оси Ор (см. рис. 9.1.5). Угол ^распределен равномерно

в интервале + yj. ^ а ^ ти закон распределения с. в. У- абсциссы точки пересечения прямой ab с осью 0%.

Пример 8. Напряжение ^распределено по нормальному закону с параметрами т х, ст х; стабилизируемое напряжение У определяется по формуле

У Решение. С. в. У- смешанная:

где Ф (X) - функция Лапласа. Функция распределения с.в. У имеет вид:

На рис. 9.1.6 показан график G (у). В общем случае, если функция распределения с. в. Хесть F(x), то

Пример 9. Стабилизатор напряжения работает таким образом, что ограничивает напряжение сверху:

Найти функцию распределения с. в. У , если задана функция распределения с. в. X - F(x).

Решение. По аналогии с решением предыдущего примера получаем

Пример 10. Стабилизатор напряжения X работает таким образом, что ограничивает напряжение снизу:

Найти функцию распределения с. в. Y, если задана F(x) - функция распределения с. в. X.

Решение. В соответствии с решением примера 8 получаем

Рассмотрим теперь случай, когда функция у - а, Ь) возможных значений с. в. не монотонна (рис. 9.1.7). В этом случае обратная функция х = |/ (у) неоднозначна.

Число значений обратной функции ц/ (у) зависит от того, какое значение у мы взяли; обозначим эти значения |/i (у), |/2 (у), ..., ф, (у), ... . Событие Y равносильно попаданию с. в. X в один из неперекры- вающихся отрезков, отмеченных жирной линией на рис. 9.1.7, где соответствующая часть кривой у = ф (х) лежит ниже прямой у; в нашем случае эти отрезки будут: от а до i x (у); от ц/ 2 (у) Д° Фз (у), от v|/ 4 (у) до |/ 5 (у) ит. д.; последний отрезок может кончаться точкой Ь, а может и одной из точек у, (у) (это несущественно). Попадания точки Хв эти отрезки - события несовместные; по правилу сложения вероятностей

Учитывая правило дифференцирования интеграла по переменной, входящей в его пределы (а именно: производная интеграла по такой переменной равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженному на производную верхнего предела минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умноженное на производную нижнего предела), получим в нашем случае:

В тех точках, где ср (х), пересекая прямую у, убывает (начало соответствующего участка оси абсцисс, для которого Y производная у" (у) отрицательна; она же входит в сумму (9.1.11) со знаком минус; в тех точках, где ф (х) возрастает, ф" (у) (конец участка) она имеет знак плюс. Производные постоянных а и b равны нулю, поэтому безразлично, фигурируют ли точки а и b в виде начала или конца какого-либо участка. Все члены в формуле (9.1.11) положительны, и она принимает очень простой вид:

где к - число значений обратной функции, соответствующее данному у, ф! (у); ф 2 (у);...; ф^ (у) - значения обратной функции, соответствующие данному у.

Задача 2. Закон распределения модуля случай- нойвеличины. Задача ставится следующим образом: дана непрерывная с. в. Xс плотностью/(х) на участке (- оо, + оо); случайная величина Ксвязана с ней соотношением:

Найти плотность распределения с. в. Y.

Решение. Функция у = |х| не монотонна; ее график показан на рис. 9.1.8. Обратная функция при данном у имеет два значения: ?i (у) = - у; Фг (у) = У- По формуле (9.1.12) получим:

(отрицательной случайная величина Y быть не может). В частности, если плотность/(х) симметрична относительно начала координат, т. е. /(-х) =/(х), формула (9.1.13) даст:

Задача 3. Закон распределения квадрата случайной величины. Пусть непрерывная с. в. X имеет плотность /(х); найти плотность распределения ее квадрата.

Решение. Функция у = х 2 не монотонна (рис. 9.1.9); ф, (у) = -у[у ;

у 2 (у) = 4у-

Формула (9.1.12) дает

В частном случае, когда с. в. X имеет нормальное распределение

с параметрами т х = 0; а х = 1; / (х) = е~ х ^/л/2л, с. в. Уимеет распределение

Кривая этого распределения показана на рис. 9.1.10. ?

Рис. 9.1.9

До сих пор мы рассматривали только случай, когда аргумент функции Y= ф (X) - непрерывная случайная величина. Теперь рассмотрим более простой по существу, но более сложный в записи случай, когда аргумент X - дискретная с. в. с рядом распределения:

Некое «подобие» ряда распределения с. в. Рдаст таблица:

	ф te)

Чтобы сделать из нее ряд распределения, нужно, во-первых, расположить значения, стоящие в верхней строке, в порядке возрастания, а, во-вторых, объединить те из них, которые окажутся равными (в силу неоднозначности обратной функции), и сложить соответствующие вероятности. Полученный таким образом ряд и будет рядом распределения с. в. Y.

Пример 11. Дискретная с. в. X имеет ряд распределения:

Построить ряд распределения ее квадрата

Решение. «Неупорядоченный» ряд распределения имеет вид:

Расположим значения с. в. Y в порядке возрастания, объединим равные и сложим их вероятности; получим ряд распределения с. в. Y

Пример 12. Число ^неисправностей на участке высоковольтной линии в течение года имеет распределение Пуассона с параметром а. Общий материальный ущерб от этих неисправностей пропорционален квадрату их числа:

где с > 0 - неслучайная величина. Найти закон распределения этого ущерба.

Решение. Ряд распределения X имеет вид:

Так как значения Y возрастают вместе со значениями X и среди них нет совпадающих (обратная функция на участке 0, 1, т, ... однозначна), то ряд распределения Тимеет вид:

Xv Х2, ..., Хп. Вид функции Z = ср (Хр Х2, ..., XJ и ее
(Эконометрика)

х с плотностью распределения рх. Другая случайная величина у у

Ожидаемые и воображаемые случайности в международных отношениях

Случай - псевдоним Бога, когда он не хочет подписаться своим собственным именем. Анатоль Франс В теории международных отношений прочно закрепилось представление об их системном характере. Обнаружение отличий в проявлении важнейших системных признаков дало возможность выстроить историю международных...
(Социология воображения международных отношений)

Определение числовых характеристик функций случайных аргументов

Рассмотрим задачу определения числовых характеристик функций случайных аргументов в следующей постановке. Случайная величина Z является функцией системы случайных аргументов Xv Х2, ..., Хп. Вид функции Z = ср (Хр Х2, ..., XJ и ее параметры известны, а числовые характеристики...
(Эконометрика)

Законы распределения функций случайных аргументов

Имеется непрерывная случайная величина х с плотностью распределения рх. Другая случайная величина у связана с нею функциональной зависимостью Плотность распределения величины у в случае монотонной функции / согласно определяется следующим образом: где /_1...
(Численный вероятностный анализ неопределенных данных)

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ РЕДУКЦИЕЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ

МЕТОД СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ РЕДУКЦИЕЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ Описание стратегии поиска глобального экстремума Метод случайного поиска глобального экстремума с последовательной редукцией области исследования, метод Лууса- Яакола (Luus- Jakola, LJ), применим к решению задачи...
(Метаэвристические алгоритмы поиска оптимального программного управления)

аргумент величина квадрат отклонение распределение

Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины, будем решать задачу именно для них.

Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f(x). Другая случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью: .

Требуется найти плотность распределения величины Y. Рассмотрим участок оси абсцисс, на котором лежат все возможные значения величины X, т. е. .

Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функции на участке: является ли она монотонной или нет.

В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда функция на участке монотонна. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.

1. Функция на участке монотонно возрастает (рис. 6.1.1). Когда величина X принимает различные значения на участке, случайная точка (X, Y) перемещается только по кривой; ордината этой случайной точки полностью определяется ее абсциссой.

Обозначим плотность распределения величины Y. Для того чтобы определить, найдем сначала функцию распределения величины Y: .

Проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс на расстоянии y от нее (рис. 1). Чтобы выполнялось условие, случайная точка (X,Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на участок оси абсцисс от a до x, где x - абсцисса точки пересечения кривой и прямой АВ. Следовательно,

Так, как монотонная на участке, то существует обратная однозначная функция. Тогда

Дифференцируя интеграл (2) по переменной у, входящей в верхний предел, получим:

2. Функция на участке монотонно убывает (рис. 2). В этом случае

Сравнивая формулы (3) и (5), замечаем, что они могут быть объединены в одну:

Действительно, когда возрастает, ее производная (а значит, и) положительна. При убывающей функции производная отрицательна, но зато перед ней в формуле (5) стоит минус. Следовательно, формула (6), в которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях.

3. Рассмотрим случай, когда функция на участке возможных значений аргумента не монотонна (рис. 3).

Найдем функцию распределения G(y) величины Y. Для этого снова проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс, на расстоянии у от нее и выделим те участки кривой, на которых выполняется условие. Пусть этим участкам соответствуют участки оси абсцисс: .

Событие равносильно попаданию случайной величины X на один из участков - безразлично, на какой именно. Поэтому

Таким образом, для функции распределения величины имеем формулу:

Границы интервалов зависят от у и при заданном конкретном виде функции могут быть выражены как явные функции у. Дифференцируя G(y) по величине у, входящей в пределы интегралов, получим плотность распределения величины Y:

Пример. Величина X подчинена закону равномерной плотности на участке отдо.

Найти закон распределения величины.