Задания на прогрессию. Арифметическая прогрессия. Подробная теория с примерами (2019)

Начальный уровень

Арифметическая прогрессия. Подробная теория с примерами (2019)

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность
Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.
Число с номером называется -ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .

В нашем случае:

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна.
Например:

и т.д.
Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.
Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

a)
b)
c)
d)

Разобрался? Сравним наши ответы:
Является арифметической прогрессией - b, c.
Не является арифметической прогрессией - a, d.

Вернемся к заданной прогрессии () и попробуем найти значение ее -го члена. Существует два способа его нахождения.

1. Способ

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии, пока не дойдем до -го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного - всего три значения:

Итак, -ой член описанной арифметической прогрессии равен.

2. Способ

А что если нам нужно было бы найти значение -го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.
Разумеется, математики придумали способ, при котором не нужно прибавлять разность арифметической прогрессии к предыдущему значению. Присмотрись внимательно к нарисованному рисунку… Наверняка ты уже заметил некую закономерность, а именно:

Например, посмотрим, из чего складывается значение -го члена данной арифметической прогрессии:

Иными словами:

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу - приведем ее в общий вид и получим:

Уравнение арифметической прогрессии.

Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие.

Возрастающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.
Например:

Убывающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.
Например:

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.
Проверим это на практике.
Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: Проверим, какое получится -ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

Так как, то:

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.
Попробуй самостоятельно найти -ой и -ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

Свойство арифметической прогрессии

Усложним задачу - выведем свойство арифметической прогрессии.
Допустим, нам дано такое условие:
- арифметическая прогрессия, найти значение.
Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

Пусть, а, тогда:

Абсолютно верно. Получается, мы сначала находим, потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое. Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа? Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.
А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы? Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Обозначим искомый член арифметической прогрессии как, формула его нахождения нам известна - это та самая формула, выведенная нами в начале:
, тогда:

предыдущий член прогрессии это:
последующий член прогрессии это:

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии - это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними. Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на.

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал. Посчитай значение для прогрессии самостоятельно, ведь это совсем несложно.

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все! Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» - Карл Гаусс...

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от до (по другим источникам до) включительно». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.
Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из -ти членов: Нам необходимо найти сумму данных членов арифметической прогрессии. Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии? Конечно, ровно половина всех чисел, то есть.
Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна, а подобных равных пар, мы получаем, что общая сумма равна:
.
Таким образом, формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

В некоторых задачах нам неизвестен -й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу -го члена.
Что у тебя получилось?

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма чисел, начиная от -го, и сумма чисел начиная от -го.

Сколько у тебя получилось?
У Гаусса получилось, что сумма членов равна, а сумма членов. Так ли ты решал?

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.
Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени - строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется блочных кирпичей. Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом: .
Разность арифметической прогрессии.
Количество членов арифметической прогрессии.
Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

Способ 2.

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде. Сошлось? Молодец, ты освоил сумму -ных членов арифметической прогрессии.
Конечно, из блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из? Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.
Справился?
Верный ответ - блоков:

Тренировка

Задачи:

Маша приходит в форму к лету. Ежедневно она увеличивает количество приседаний на. Сколько раз будет приседать Маша через недели, если на первой тренировке она сделала приседаний.
Какова сумма всех нечетных чисел, содержащихся в.
Лесорубы при хранении бревен укладывают их таким образом, что каждый верхний слой содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. Сколько бревен находится в одной кладке, если основанием кладки служат бревен.

Ответы:

Определим параметры арифметической прогрессии. В данном случае
(недели = дней).
Ответ: Через две недели Маша должна приседать раз в день.
Первое нечетное число, последнее число.
Разность арифметической прогрессии.
Количество нечетных чисел в - половина, однако, проверим этот факт, используя формулу нахождения -ного члена арифметической прогрессии:
В числах действительно содержится нечетных чисел.
Имеющиеся данные подставим в формулу:
Ответ: Сумма всех нечетных чисел, содержащихся в, равна.
Вспомним задачу про пирамиды. Для нашего случая, a , так как каждый верхний слой уменьшается на одно бревно, то всего в кучке слоев, то есть.
Подставим данные в формулу:
Ответ: В кладке находится бревен.

Подведем итоги

- числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна. Она бывает возрастающей и убывающей.
Формула нахождения -го члена арифметической прогрессии записывается формулой - , где - количество чисел в прогрессии.
Свойство членов арифметической прогрессии - - где - количество чисел в прогрессии.
Сумму членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:

, где - количество значений.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Числовая последовательность

Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.

Число с номером называется -ым членом последовательности.

Очень удобно, если -ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула

задает последовательность:

А формула - такую последовательность:

Например, арифметической прогрессией является последовательность (первый член здесь равен, а разность). Или (, разность).

Формула n-го члена

Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать -ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:

Чтобы найти по такой формуле, например, -ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть. Тогда:

Ну что, ясно теперь какая формула?

В каждой строке мы к прибавляем, умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус:

Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:

Реши сам:

В арифметической прогрессии найти формулу n-го члена и найти сотый член.

Решение:

Первый член равен. А чему равна разность? А вот чему:

(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).

Итак, формула:

Тогда сотый член равен:

Чему равна сумма всех натуральных чисел от до?

По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна, сумма второго и предпоследнего - тоже, сумма третьего и 3-го с конца - тоже, и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть. Итак,

Общая формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных.

Решение:

Первое такое число - это. Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа. Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.

Формула -го члена для этой прогрессии:

Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?

Очень легко: .

Последний член прогрессии будет равен. Тогда сумма:

Ответ: .

Теперь реши сам:

Ежедневно спортсмен пробегает на м больше, чем в предыдущий день. Сколько всего километров он пробежит за недели, если в первый день он пробежал км м?
Велосипедист проезжает каждый день на км больше, чем в предыдущий. В первый день он проехал км. Сколько дней ему надо ехать, чтобы преодолеть км? Сколько километров он проедет за последний день пути?
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одну и ту же сумму. Определите, на сколько каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через шесть лет был продан за рублей.

Ответы:

Здесь самое главное - распознать арифметическую прогрессию, и определить ее параметры. В данном случае, (недели = дней). Определить нужно сумму первых членов этой прогрессии:
.
Ответ:
Здесь дано: , надо найти.
Очевидно, нужно использовать ту же формулу суммы, что и в предыдущей задаче:
.
Подставляем значения:
Корень, очевидно, не подходит, значит, ответ.
Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы -го члена:
(км).
Ответ:
Дано: . Найти: .
Проще не бывает:
(руб).
Ответ:

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей () и убывающей ().

Например:

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

записывается формулой, где - количество чисел в прогрессии.

Свойство членов арифметической прогрессии

Оно позволяет легко найти член прогрессии, если известны его соседние члены - где - количество чисел в прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии

Существует два способа нахождения суммы:

Где - количество значений.

Тип задания: 11

Условие

Наташе надо изготовить 300 бумажных журавликов. Ежедневно она делает на одно и то же количество журавликов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день Наташа сделала 6 журавликов. Сколько журавликов было сделано в последний день, если на всю работу потребовалось 15 дней?

Показать решение

Решение

Из условия следует, что количество бумажных «журавликов» ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно сделанных бумажных «журавликов» образует арифметическую прогрессию, при этом первый член прогрессии равен 6 . По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии имеем

a_1+a_2+a_3+...+a_{15}= \frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot15= 300,

6+a_{15}=40,

a_{15}=40-6=34.

Наташа в последний день изготовила 34 бумажных «журавлика»

Ответ

Тип задания: 11
Тема: Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Коле надо посадить 350 кустов роз. Ежедневно он сажает на одно и то же количество кустов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день он посадил 8 кустов роз. Сколько кустов было посажено в последний день, если на всю работу потребовалось 20 дней?

Показать решение

Решение

Из условия следует, что количество посаженных кустов роз ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно посаженных роз образует арифметическую прогрессию, при этом первый член равен 8 . По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии получаем a_1+a_2+a_3+...+a_{20}= \frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot20= 350,

8+a_{20}=35,

a_{20}=35-8=27.

Коля в последний день посадил 27 кустов роз.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Арифметические и геометрические прогрессии

Условие

Плиточник должен уложить 320 м 2 плитки. Если он будет укладывать на 6 м 2 в день больше, чем запланировал, то работа будет выполнена на 12 дней раньше. Определите, сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник.

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Решение.

а) Сумма первого и пятого членов этой прогрессии равна 2a + 4d и является чётным числом. Поскольку число 99 нечётное, сумма наибольшего и наименьшего членов конечной арифметической прогрессии из 5 натуральных чисел не может быть равной 99.

б) Сумма первого и шестого членов этой прогрессии равна 2a + 5d = 9. Поскольку d d - натуральное число, получаем d = 1. Тогда a = 2. Искомые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

в) Среднее арифметическое прогрессии равно полусумме её крайних членов, поэтому получаем Значит, Натуральны числа от 1 до 12 составляют прогрессию, среднее арифметическое членов которой равно 6,5, а количество членов равно 12. Поэтому наибольшее возможное количество чисел - это 12.

Ответ: а) нет; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в)12.

Источник: ЕГЭ - 2014. Основная волна.

Даны n

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

n , если сумма всех данных чисел меньше 1000?

n , если сумма всех данных чисел равна 129.

Решение.

а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 10.

б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство

Значит, откуда находим Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990 n равно 44.

в)Для суммы членов арифметической прогрессии верно:

Таким образом, число является делителем числа 258. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Ответ: а) да; б) 44; в) 3, 6.

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 901.

a 1 , a 2 , ..., a 7 ровно три числа делятся на 100?

a 1 , a 2 , ..., a 49 ровно 11 чисел делятся на 100?

n a 1 , a 2 , ..., a 2n больше кратных 100, чем среди чисел a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n ?

Решение.

а) Подходящим примером является прогрессия с первым членом 50 и разностью 50. Среди первых семи её членов (50, 100, 150, 200, 250, 300, 350) ровно три делятся на 100.

б) Обозначим через d a 1 , a 2 , ..., a n d - натуральное число. Пусть m и n - натуральные числа, m > n , НОД(d , 100) обозначает наибольший общий делитель чисел d и 100. Имеем

Следовательно, разность a m − a n делится на 100 тогда и только тогда, когда разность m − n a 1 , a 2 , ..., a n , ... есть кратные 100, то это члены с номерами вида где q p k a 1 , a 2 , ..., a n , ... ровно один будет делиться на 100. Если то и среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 49 будет по крайней мере 12 чисел, кратных 100. Если же то и среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 49 будет не более 10 чисел, кратных 100. Значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 49 ровно 11 чисел делятся на 100.

в) Обозначим через [x ] целую часть числа x x k последовательных членов прогрессии a 1 , a 2 , ..., a n , ... ровно один будет делиться на 100, где d

Значит, среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 2n кратными 100 будут не более чисел. Аналогично, среди чисел a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n кратными 100 будут не менее чисел. Неравенство выполнено тогда и только тогда, когда Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами и меньше 1. Получаем, что и Значит, и Поскольку число k не превосходит 100, отсюда следует, что Рассмотрим прогрессию с первым членом 69 и разностью 1. Тогда среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 132 ровно два делятся на 100 (a 32 = 100 и a 132 = 200). Среди чисел a 133 , a 134 , ..., a 330 ровно одно делится на 100 (a 232 = 300). Этот пример показывает, что n может равняться 66.

Ответ: а) Да, например, прогрессия 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, ...; б) нет; в) 66.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 7 ровно три числа делятся на 36?

б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 30 ровно 9 чисел делятся на 36?

в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 2n больше кратных 36, чем среди чисел a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n ?

Решение.

а) Подходящим примером является прогрессия с первым членом 18 и разностью 18. Среди первых семи её членов (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126) ровно три делятся на 36.

б) Обозначим через d разность арифметической прогрессии a 1 , a 2 , ..., a n , .... Из условия следует, что d - натуральное число. Пусть m и n - натуральные числа, m > n , НОД(d , 36) обозначает наибольший общий делитель чисел d и 36. Имеем

Следовательно, разность a m − a n делится на 36 тогда и только тогда, когда разность m − n делится на Значит, если среди членов арифметической прогрессии a 1 , a 2 , ..., a n , ... есть кратные 36, то это члены с номерами вида где q - номер первого члена, кратного а p пробегает все неотрицательные целые числа. Поэтому среди любых k последовательных членов прогрессии a 1 , a 2 , ..., a n , ... ровно один будет делиться на 36. Если то и среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 30 будет по крайней мере 10 чисел, кратных 36. Если же то и среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 30 будет не более 8 чисел, кратных 36. Значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 30 ровно 9 чисел делятся на 36.

в) Обозначим через [x ] целую часть числа x - наибольшее целое число, не превосходящее x . По доказанному в пункте б) среди любых k последовательных членов прогрессии a 1 , a 2 , ..., a n , ... ровно один будет делиться на 36, где d - разность арифметической прогрессии.

Значит, среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 2n кратными 36 будут не более чисел. Аналогично, среди чисел a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n кратными 36 будут не менее чисел. Неравенство выполнено тогда и только тогда, когда Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами и меньше 1. Получаем, что и Значит, и Поскольку число k не превосходит 36, отсюда следует, что Рассмотрим прогрессию с первым членом 27 и разностью 1. Тогда среди чисел a 1 , a 2 , ..., a 46 ровно два делятся на 36 (a 10 = 36 и a 46 = 72). Среди чисел a 47 , a 48 , ..., a 115 ровно одно делится на 36 (a 82 = 108). Этот пример показывает, что n может равняться 23.

Ответ: а) Да, например, прогрессия 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...; б) нет; в) 23.

· Прототип задания ·

а) Может ли S равняться 8?

б) Может ли S равняться 1?

S .

Решение.

а) Число 8 является суммой четырех последовательных членов арифметической прогрессии. Например, 8 = − 1 + 1 + 3 + 5.

б) Пусть число 1 является суммой первых k членов арифметической прогрессии с первым членом а и разностью d . Тогда

значит, число k - делитель 2, что противоречит условию

в) Любое натурально число является суммой арифметической прогрессии состоящей из членов. Если заменить все члены этой прогрессии на противоположные, то получится арифметическая прогрессия, состоящая из 2n членов, сумма которой равна −n.

В предыдущем пункте мы показали, что S не может равняться 1. Аналогично можно показать, что S не может равняться −1. Число S может равняться 0, например, для прогрессии −1; 0; 1. Таким образом, S может принимать любые целые значения, кроме −1 и 1.

Ответ: а) да; б) нет; в) любые целые значения, кроме −1 и 1.

Источник: ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервный день. Вариант 1.

а) Может ли S равняться 9?

б) Может ли S равняться 2?

в) Найдите все значения, которые может принимать S .

Решение.

а) Число является суммой шести последовательных членов арифметической прогрессии. Например,

б) Пусть число является суммой первых членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью Тогда

значит, число - делитель что противоречит условию

В предыдущем пункте мы показали, что не может равняться Аналогично можно показать, что не может равняться Число может равняться например, для прогрессии Таким образом, может принимать любые целые значения, кроме и

Ответ: а) да; б) нет; в) любые целые значения, кроме и

Источник: ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервный день. Вариант 2.

· Прототип задания ·

а) Существует ли арифметическая прогрессия длины 5 составленная из членов этой последовательности?

б) Можно ли составить арифметическую прогрессию бесконечной длины из этих чисел?

в) Может ли в прогрессии быть 2013 членов?

Решение.

а) Рассмотрим последовательность: Легко видеть, что это прогрессия с разностью

б) Пусть существует бесконечная арифметическая прогрессия, все члены которой являются членами данной последовательности. Пусть, для определенности, первый член этой прогрессии равен а разность этой прогрессии равна Тогда возьмем натуральное такое, что Тогда получим, что Значит, -ый член нашей прогрессии отрицательный, а этого не может быть.

в) Рассмотрим следующую арифметическую прогрессию: …; Ясно, что каждая из этих дробей является членом данной последовательности.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 22.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых и - различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых и - различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь , если известно, что и - различные натуральные числа.

Решение.

а) Подходящим примером являются прогрессии и соответственно. Для этих прогрессий имеем и

б) Предположим, что такие прогрессии существуют. Тогда одно из чисел или не меньше 1, а второе больше 1. Значит, либо и , и, следовательно, Отсюда, используя свойства арифметической прогрессии, получаем:

Пришли к противоречию.

в) Обозначим через и разности арифметических прогрессий и соответственно. Из условия следует, что числа и натуральные, а и целые и не равные нулю. Имеем:

Знаменатели дробей и положительны, а числители этих дробей имеют одинаковый знак. Значит, числа и имеют одинаковый знак, то есть либо , либо В обоих случаях получаем, что

Если прогрессии и являются прогрессиями и соответственно, то и Этот пример показывает, что наименьшее возможное значение дроби равно

Ответ: а) да, например, и соответственно; б) нет; в) 2.

· Прототип задания ·

Возрастающие арифметические прогрессии и состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение , если ?

Решение.

а) Подходящим примером являются прогрессии и соответственно. Для этих прогрессий имеем

б) Обозначим через и разности арифметических прогрессий и соответственно. Тогда

Если , то Пришли к противоречию, ведь по условию и

в) Как и ранее, обозначим через и разности арифметических прогрессий и соответственно. Тогда по условию и По доказанному в пункте б имеем Значит,

Если прогрессии и являются прогрессиями и соответственно, то

Этот пример показывает, что наибольшее возможное значение произведения равно

Ответ: а) да, например, и соответственно; б) нет; в) 98.

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 123.

Решение.

а) Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.

б) Пусть a - первый член, d - разность, n - число членов прогрессии, тогда их сумма равна Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 41. Такой результат получается при прогрессии

в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если то левая часть больше 246: следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.

Арифметическая прогрессия. В состав типов заданий экзамена входят задачи на прогрессии. Это текстовые задачи. Задания предельно просты, в школьном курсе в этой теме имеются примеры посложнее. Необходимо понимать саму суть – что собой представляет арифметическая и геометрическая прогрессия, а также знать формулы (их необходимо выучить). Итак, известно, что существуют различные последовательности чисел, их множество, например:

23. 6, 89, 3, -2, 4 ...

2,3; 8; 90: 45,5 ...

Числа могут быть дробные, десятичные и пр... Так вот:

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

a n +1 =a n +d n = 1,2,3,4… (d — это разность)

Каждый последующий член арифметической прогрессии равен сумме предыдущего и числа d.

Примеры арифметической прогрессии:

2,5,8,11,14,17… a 1 = 2 a 2 = 5 d = 3

1,2,3,4,5,6,7,8… a 1 = 1 a 2 = 2 d = 1

Формула n-го члена:

Формула суммы n первых членов:

Подставим в неё a n =a 1 +d (n – 1), получим ещё одну:

Существует ещё вид прогрессии.

Каждый последующий член геометрической прогрессии равен произведению предыдущего и числа q.

b n +1 = b n q n = 1, 2, 3... (q — знаменатель геометрической прогрессии).

Примеры геометрической прогрессии:

2, 6, 18, 54, 162… b 1 = 2 b 2 = 5 q = 3

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… b 1 = 2 b 2 = 5 q = 2

Формула n-го члена:

Формула суммы n первых членов q ≠ 1:

Подставим в неё b n = b 1 q n –1 , получим ещё одну:

Вот эти формулы и необходимо знать (очень хорошо). Вы убедитесь, что задачи представленные ниже просты. Необходимо сразу обозначить исходные данные: где сумма, где первый член, где номер n-го члена или число первых членов.

Рассмотрим задачи:

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Турист проходит каждый день больше, чем в предыдущий на одинаковое количество километров. Это задача на арифметическую прогрессию. Количество дней это количество членов прогрессии n = 6, 120 километров это сумма расстояний пройденных каждый день (сумма всех членов прогрессии S), 10 километров это первый член прогрессии, то есть а 1 = 10.

Значит, мы можем найти d – разность арифметической прогрессии. Это число километров, на которое увеличивается путь в каждый последующий день:

То есть, каждый день турист проходит на 4 километра больше, чем в предыдущий. Значит, за второй день турист пройдёт 10 + 4 = 14 километров, за третий 14 + 4 = 18 километров. Или можно посчитать по формуле n-го члена прогрессии:

Ответ: 18

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Грузовик увеличивает норму перевозки каждый день на одно и то же число. Это арифметическая прогрессия. Первый член прогрессии равен 2 (количество тонн, перевезённое в первый день). Сумма прогрессии равна 210 (общее количество перевезённого щебня). Число членов прогрессии 14 (число дней, за которые был перевезён груз). Используем формулу суммы арифметической прогрессии и найдём из неё d – количество тонн, на которое увеличивалась норма перевозки каждый день:

Значит,

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Таким образом, на девятый день грузовик перевез:

Ответ: 18

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Каждый день улитка проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Это задача на арифметическую прогрессию. Количество дней – это количество членов прогрессии, 150 метров это сумма всех членов прогрессии), 10 метров – сумма расстояний в первый и последний день (сумма первого и последнего члена прогрессии). То есть,

Используем формулу суммы членов арифметической прогрессии:

Подставим:

Улитка потратила на весь путь 30 дней.

Ответ: 30

Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Вере подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Это задача на арифметическую прогрессию. Количество дней, за которыё выполнена работа – это количество членов прогрессии (n = 6), 640 открыток – это сумма всех членов прогрессии (S = 640), 10 открыток – это первый член прогрессии, то есть а 1 = 10.

Значит, мы можем найти d – разность арифметической прогрессии. Это число открыток, на которое Вера увеличивает свою норму в каждый последующий день: