Задачи на тему Напряженность электрического поля. Электрическое смещение. Электрическое поле

Билет №19. Электрическое поле: напряженность электрического поля, лини напряженности электрического поля, напряженность электрического поля заряженной плоскости, сферы, шара, напряженность электрического поля между разноименно заряженными пластинами.

Электрическое поле - особый вид материи, существующий вокруг заряженных тел и проявляющий себя по взаимодействию с другими заряженными телами.

Свойства:

Распространяется до бесконечности С расстоянием ослабевает Не обнаруживается органами чувств человека

Напряженность электрического поля (E) –

Силовая характеристика электрического поля;

Физическая величина, равная отношению силы, с которой электрическое поле действует на точечный электрический заряд, к значению этого заряда.

Зависит от:

Величины заряда, создающего поле Расстояния до заряда Среды, в которой находиться поле

Где q1 — заряд, на который действует сила .

Линии напряженности электрического поля – силовые линии электрического поля, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности. Линии направлены от «+» заряда к «-». По густоте линий можно судить о силе электрического поля.

Определяя направление вектора в различных точках пространства, можно представить картину распределения линий напряженности электрического поля. Для двух одноименных зарядов эта картина имеет вид, показанный на рисунке 131, для разноименных — на рисунке 132.

Напряженность электрического поля заряженной плоскости.

Важным примером системы зарядов является заряженная плоскость. В качестве бесконечной плоскости мы можем рассматривать любую плоскую пластину, если расстояние от точки, в которой ищется поле, до пластины много меньше размеров самой пластины. Заряженная плоскость характеризуется величиной поверхностной плотности заряда (у). Что это такое? Возьмём небольшой участок плоскости площадью S. Пусть заряд этого участка равен q. Тогда поверхностная плотность заряда определяется как отношение заряда к площади: у =

Иными словами, поверхностная плотность заряда — это заряд единицы площади. Вектор напряжённости поля равномерно заряженной плоскости перпендикулярен плоскости; он направлен от плоскости, если плоскость заряжена положительно, и к плоскости, если плоскость заряжена отрицательно:

Самое удивительное заключается в том, что величина напряжённости поля не зависит от расстояния до плоскости. Она равна:Эта формула справедлива для . В среде с диэлектрической проницаемостью е поле, как обычно, уменьшается в е раз:

Напряженность электрического поля равномерно заряженной сферической поверхности.

Сферическая поверхность ра­диуса R с общим зарядом Q заряжена равно­мерно. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напря­женности направлены радиально. Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, , откуда:.

Напряженность электрического поля между разноименно заряженными пластинами.

Конденсаторы. Простейшие способы разделения разноименных электрических зарядов — электризация при соприкосновении, электростатическая индукция — позволяют получить на поверхности тел лишь сравнительно небольшое число свободных электрических зарядов. Для накопления значительных количеств разноименных электрических зарядов применяются конденсаторы.

Конденсатор — это система из двух проводников (обкладок), разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников. Так, например, две плоские металлические пластины, расположенные параллельно и разделенные слоем диэлектрика, образуют плоский конденсатор.

Если пластинам плоского конденсатора сообщить равные по модулю заряды противоположного знака, то напряженность электрического поля между пластинами будет в два раза больше, чем напряженность поля у одной пластины. Вне пластин напряженность электрического поля равна нулю, так как равные заряды разного знака на двух пластинах создают вне пластин электрические поля, напряженности которых равны по модулю, но противоположны по направлению (рис. 145).

Помещая электрический зонд в различные точки поля, можно изучить на опыте электрическое поле, обусловленное заряженными телами любой формы. Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Заряженный шар, удаленный от других предметов. Если шар достаточно удален от других предметов (например, укреплен на высокой изолирующей ножке или подвешен на длинной нити), то электрометр в опыте, изображенном на рис. 49, дает одни и те же показания, когда зонд находится в точках, одинаково удаленных от центра шара. Это значит, что эквипотенциальные поверхности в этом случае имеют вид концентрических сфер. Передвигая зонд вдоль радиуса шара, мы находим, наоборот, наиболее быстрое изменение потенциала. Это показывает, что мы движемся вдоль линии поля. Эквипотенциальные поверхности и линии поля вокруг заряженного шара изображены на рис. 50. Отметим, что с приближением к другим предметам, например к стенам комнаты, эквипотенциальные поверхности перестают быть сферами и принимают более сложную форму. Однако, как показывает рис. 50, вдали от этих предметов, вблизи шара, и эквипотенциальные поверхности и линии поля имеют тот же вид, что и для точечного заряда, помещенного в центре шара (рис. 40). Заряженный шар, удаленный от других предметов, создает вокруг себя такое же поле, как если бы его заряд был сосредоточен в центре.

2. Плоские параллельные пластины. На рис. 51 изображены эквипотенциальные поверхности и линии поля между двумя плоскими параллельными пластинами, заряженными до некоторой разности потенциалов друг относительно друга. Мы видим, что эквипотенциальные поверхности имеют довольно сложную форму. Однако между пластинами эквипотенциальные поверхности почти не отличаются от плоскостей, параллельных поверхности пластин, а линии поля – от параллельных между собой прямых, перпендикулярных к пластинам. Если размеры пластин велики по сравнению с расстоянием между ними, то между пластинами (за исключением областей вблизи краев пластин) поле оказывается однородным, т. е. напряженность в разных точках одна и та же по модулю и направлению (§ 17).

Рис. 51. Эквипотенциальные поверхности (сплошные линии) и линии поля (штриховые линии) между двумя параллельными пластинами, заряженными противоположно

Мы знаем (§ 23), что напряженность поля равна падению напряжения на единице длины линий поля. Поэтому, если обозначить расстояние между пластинами через , а разность потенциалов между ними через , то напряженность поля между пластинами

30.1. Между горизонтально расположенными пластинами конденсатора, заряженного до разности потенциалов 600 В, висит капелька ртути, несущая некоторый заряд и удерживаемая силами электростатического поля. Найдите этот заряд. Расстояние между пластинами равно 0,5 см, масса капельки равна кг.

3. Коаксиальные цилиндры. Рассмотрим в заключение электрическое поле, возникающее между двумя коаксиальными (имеющими общую ось) цилиндрами, заряженными до некоторой разности потенциалов (рис. 52,а). В этом случае эквипотенциальные поверхности в средней части, не слишком близко к краям цилиндров, имеют также вид коаксиальных цилиндров, а сверху и снизу эти цилиндры замыкаются куполообразными «крышками» (рис. 52,б).

Рис. 52. Эквипотенциальные поверхности (сплошные линии) и линии поля (штриховые линии) между двумя коаксиальными цилиндрами, заряженными противоположно: а) сечение плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндров; б) сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндров

В сечении плоскостью, проходящей через ось цилиндров, эквипотенциальные поверхности дают линии, напоминающие по форме эквипотенциальные линии между двумя пластинами (рис. 51). В средней части цилиндра, вдали от краев, эти линии имеют вид прямых, параллельных оси цилиндров. Однако, в отличие от случая однородного поля между пластинами, здесь эквипотенциальные прямые уже не являются равноотстоящими друг от друга; они сгущаются вблизи внутреннего цилиндра и расположены все реже и реже по мере приближения к внешнему цилиндру. Это показывает, что в радиальном направлении поле неоднородно: оно сильнее всего у внутреннего цилиндра и постепенно ослабевает по мере удаления от него. Это видно и из рис. 52,а. В сечении плоскостью чертежа, перпендикулярной к оси цилиндра, эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные линии в виде концентрических окружностей. Линии поля, которые перпендикулярны ко всем эквипотенциальным поверхностям, представляют собой прямые, направленные по радиусам цилиндров. Мы видим, что густота линий этого поля наибольшая у поверхности внутреннего цилиндра, а наименьшая – у поверхности внешнего цилиндра, а значит, и напряженность поля

достигает наибольшего значения у внутреннего цилиндра и постепенно уменьшается с удалением от его оси. Эта неоднородность тем больше, чем меньше диаметр внутреннего цилиндра по сравнению с внешним.

Таким образом, около тонкой нити можно создать электрическое поле очень большой напряженности. Это же будет наблюдаться и возле острия. Поле вблизи нити изменится незначительно, если изменять размеры внешнего цилиндра или даже менять его форму. В частности, роль внешнего цилиндра могут играть стены комнаты. Вблизи нити поле будет иметь такой же вид, как поле, изображенное на рис. 52. Нить и острие часто используют для создания в некотором месте поля большой напряженности (например, в так называемых счетчиках заряженных частиц).

30.2. Начертите картину линий электрического поля между двумя параллельными пластинами, заряженными равными и противоположными по знаку зарядами, если расстояние между пластинами: а) мало; б) велико по сравнению с их размерами.

30.3. Начертите картину линий электрического поля, если между заряженными пластинами помещен металлический шарик или тело иной формы.

Электрическая емкость (страница 2)

1. К пластинам плоского конденсатора приложено напряжение U = 220 в.

Определить напряженность электрического поля Е между пластинами в средней его области, если расстояние между пластинами d=1 мм. Чему равна сила F, действующая в этой области поля на частицу с зарядом ?Решение:
В средней области пространства между пластинами плоского конденсатора электрическое поле можно считать однородным. Линии напряженности электрического поля начинаются на поверхности положительно заряженной пластины и кончаются на поверхности отрицательно заряженной пластины. Эти линии перпендикулярны к пластинам. Поэтому расстояние между пластинами равно длине линии напряженности электрического поля. Следовательно, электрическое напряжение между пластинами, поделенное на расстояние между ними, равно напряженности электрического поля: где расстояние d измерено в метрах. На частицу, обладающую электрическим зарядом , в этом поле действует сила

Единица измерения силы дж/м называется ньютоном (сокращенно н).2. Напряжение между разомкнутыми зажимами генератора равно 115 в (рис. 1).
Определить потенциалы зажимов при: а) заземлении зажима «плюс»; б) заземлении зажима «минус».

Решение:
Электрическое напряжение U между зажимами «плюс» и «минус» генератора равно разности потенциалов этих зажимов: . В первом случае заземлен зажим «плюс», следовательно, . Подставив числовые значения, получим откуда
Во втором случае заземлен зажим «минус», следовательно, . Подставив числовые значения, будем иметь откуда

На основании решения задачи можно видеть, что определенной величиной является электрическое напряжение. Оно не изменяется при изменении потенциалов всех точек поля на одну и ту же величину одновременно. В то же время потенциалы в отдельных точках электрического поля могут изменяться в зависимости от заземления той или иной точки.3. Определить необходимую толщину слоя слюды между пластинами плоского конденсатора, если его номинальное напряжение должно быть в 4 раза меньше пробивного напряжения . Пробивная напряженность слюды . Какой толщины потребуется электрокартон (для него ), если его применить вместо слюды?Решение:
Пробивное напряжение Принимая электрическое поле плоского конденсатора однородным, получим искомую толщину слоя слюды: Так как пробивное напряжение равно 24 кв, то искомая толщина электрокартона Отношение толщин связано с отношением напряженности следующим образом: Следовательно, необходимые толщины диэлектрика обратно пропорциональны пробивным напряженностям.

4. Конденсатор емкостью С=1 мкф присоединен к сети с постоянным напряжением U=220 в.
Определить электрический заряд пластины, соединенной с положительным полюсом сети. Каким был бы электрический заряд, если бы напряжение сети было вдвое меньше?Решение:
Электрический заряд где вследствие подстановки емкости С, измеренной в микрофарадах, электрический заряд измерен в микрокулонах.
Емкость С конденсатора - постоянная величина, если диэлектрические свойства изолятора между пластинами не зависят от напряжения U, приложенного к пластинам конденсатора. Такая электрическая емкость называется линейной.
Когда конденсатор с линейной емкостью присоединяется к сети, имеющей вдвое меньшее напряжение, электрический заряд будет также вдвое меньше: Поэтому правильный выбор емкости конденсатора обеспечивает необходимой величины заряд в случае включения конденсатора на номинальное напряжение.5. Плоский конденсатор имеет емкость С = 20 пф.
Какими следует выбрать толщину диэлектрика из стекла и площадь пластин, если конденсатор должен работать при номинальном напряжении , имея четырехкратный запас прочности?Решение:
Пробивное напряжение при четырехкратном запасе прочности в 4 раза больше номинального напряжения: Искомая толщина стекла Из формулы емкости плоского конденсатора определяем площадь пластины. В этой формуле величины измерены:

Подставим в нее числовые значения: При меньших значениях и ббльших значениях d площадь пластины конденсатора должна быть больше.6. Емкость конденсатора переменной емкости можно плавно изменять от 10 до 200 пф.
Какие границы изменения емкости можно получить, если присоединить к этому конденсатору такой же второй конденсатор?Решение:
Присоединение второго конденсатора может быть последовательным и параллельным. Если второй конденсатор присоединен параллельно первому, то их эквивалентная емкость равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.
Наибольшая емкость составит: Если второй конденсатор присоединить последовательно к первому, то обратная величина эквивалентной емкости будет равна сумме величин, обратных емкостям отдельных конденсаторов. Поэтому наименьшая емкость определится так: откуда Таким образом, емкость изменяется от 5 до 400 пф.
Последовательное присоединение второго конденсатора уменьшило минимальную емкость, а параллельное присоединение второго конденсатора увеличило максимальную емкость.
При последовательном соединении двух одинаковых конденсаторов схему можно включать на напряжение в два раза большее, чем при параллельном соединении.

Для того, чтобы найти силу, которая действует между двумя электрическими зарядами, надо знать значение каждого из них и расстояние между зарядами. Если таких зарядов два, задача легко решается при помощи закона Кулона . А как быть, когда электрических зарядов много? Для таких случаев физики ввели понятия электрического поля .

При помощи электрического поля можно описать, как множество зарядов будет воздействовать на некий пробный заряд, который может быть помещен в любую точку электрического поля. Для этого достаточно умножить величину пробного заряда на величину напряженности поля в той точке, где находится пробный заряд.

E = F/q (Н·Кл -1)

• E - напряженность электрического поля;
• F - сила, которая действует на пробный заряд со стороны множества зарядов;
• q - величина пробного заряда.

Напряженность электрического поля является векторной величиной , имеет свой модуль и направление. Если заряд в точке положительный - направление силы совпадает с направлением напряженности поля в этой точке; если заряд отрицательный - сила направлена в противоположную сторону.

Напряженность электрического поля в любой точке является результирующим вектором, и вычисляется путем сложения составляющих векторов электрических полей.

Электрическое поле точечного заряда

Под точечным зарядом понимается заряд очень малого физического объекта.

Точечный заряд Q создает некое электрическое поле. При этом, с помощью пробного заряда q можно измерить в разных точках силу, которую вызывает заряд Q:

F = kqQ/r 2 E = F/q = kQ/r 2

Напряженность электрического поля точечного заряда является векторной величиной, она направлена по прямой, соединяющей центры двух зарядов, при этом линии поля выходят из положительных зарядов и сходятся у отрицательных зарядов. Данная модель была впервые предложена в 19 веке Майклом Фарадеем.

Надо понимать, что линии электрического поля не могут начинаться и заканчиваться в некой точке пространства, где нет электрического заряда.

Для того, чтобы определить величину электрического поля от нескольких зарядов в конкретной точке поля, необходимо сложить векторы напряженности полей в этой точке.

Следует признать, что задача вычисления электрического поля от множественных точечных зарядов, достаточно сложна. Физики, как народ достаточно "ленивый", решили для упрощения задачи использовать модели простых электрических полей, например, плоский конденсатор.

В электрическом конденсаторе положительные и отрицательные заряды хранятся отдельно - каждый на своей пластине, при этом они притягиваются, но не соединяются, т.к. пластины конденсатора разделены диэлектриком.

Допустим, дальняя пластина конденсатора на верхнем рисунке заряжена положительно (на пластине равномерно распределены точечные заряды +q), а нижняя - отрицательно (на пластине равномерно распределены точечные заряды -q). При этом все компоненты напряженностей электрических полей, которые создаются точечными зарядами, взаимно компенсируют друг друга, за исключением компонент, направленных перпендикулярно пластинам конденсатора. Таким образом, между двумя пластинами плоского конденсатора, расположенными параллельно друг другу, создается постоянное электрическое поле, напряженность которого можно вычислить по формуле:

E = q/(ε 0 A)

• ε 0 ≈8,85·10 -12 Кл 2 Н -1 м -2 - электрическая постоянная.
• q - общий заряд для каждой из пластин.
• А - площадь каждой пластины.

Отношение q/A называется плотностью заряда σ (характеризует заряд, который приходится на единицу площади). В таком случае, напряженность поля будет равна:

E = σ/ε 0

Такая модель плоского конденсатора значительно упрощает задачу поиска напряженности электрического поля, поскольку она постоянна и имеет постоянное направление (с положительной пластины на отрицательную), поэтому, напряженность электрического поля будет одинаковой в любом месте между пластинами конденсатора.

В большинстве конденсаторов между пластинами проложен изолирующий материал (диэлектрик), например, бумага или пластмассовая пленка. Этим достигается сразу несколько целей. Во-первых, диэлектрики лучше противостоят электрическому пробою, чем воздух, и к конденсатору можно приложить более высокое напряжение без утечки заряда через зазор между обкладками. Во-вторых, при наличии прокладки из диэлектрика пластины можно расположить ближе друг к другу без опасения, что они могут соприкасаться. Наконец, экспериментально обнаружено, что при заполнении пространства между пластинами диэлектриком его емкость увеличивается в К раз, т.е.

С = КС 0 , (25.7)

где С 0 - емкость, отвечающая вакууму между обкладками, а С - емкость в случае, когда пространство между пластинами заполнено диэлектриком. Множитель К называют относительной диэлектрической проницаемостью; значения К для ряда диэлектриков приведены в табл. 25.1.
Обратите внимание на то, что для воздуха при давлении 1 атм К = 1,0006, и поэтому емкость конденсатора с воздушным зазором очень мало отличается от емкости этого конденсатора в вакууме.

Для плоского конденсатора:

С = Кε 0 A/d - [плоский конденсатор] (25.8),

когда пространство между пластинами целиком заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью К . Величина Кε 0 так часто встречается в формулах, что нередко вводят величину

ε = Кε 0 , (25.9)

которую называют абсолютной диэлектрической проницаемостью. Тогда емкость плоского конденсатора принимает вид

C = εA/d

Напомним, что ε 0 - это электрическая постоянная. Плотность энергии, запасенной электрическим полем Е

Влияние диэлектрика на емкость впервые всесторонне исследовал Фарадей. Он обнаружил, что, когда пространство между пластинами конденсатора заполнено диэлектриком, на пластинах при том же напряжении накапливается несколько больший заряд, нежели когда между пластинами воздух. Иначе говоря, если заряд на каждой пластине конденсатора с воздушным промежутком равен Q 0 , то после введения диэлектрика и подключения конденсатора к батарее с прежним напряжением V 0 заряд каждой из пластин увеличится до

Q = KQ 0 [при постоянном напряжении] .

Это соответствует формуле (25.7), поскольку после введения диэлектрика емкость равна

C = Q/V 0 = KQ 0 /V 0 = KC 0

где С 0 = Q 0 /V 0 - емкость в отсутствие диэлектрика.

Рассмотрим теперь несколько иной случай (выше мы, вводя диэлектрик, поддерживали напряжение постоянным). Пусть пластины конденсатора, подключенного к батарее с напряжением V 0 , приобретают заряд

Q 0 = CV 0 .

Прежде чем ввести диэлектрик, отключим конденсатор от батареи. После введения диэлектрика (который заполняет все пространство между пластинами) заряд Q 0 на каждой из пластин не изменится. В этом случае мы обнаружим, что разность потенциалов между пластинами уменьшится в К раз:

V = V 0 /K

Емкость же вновь будет равна

Оба этих результата согласуются с выражением (25.7).

Электрическое поле внутри диэлектрика также изменяется. При отсутствии диэлектрика между пластинами напряженность электрического поля между обкладками плоского конденсатора определяется формулой (24.3):

Е 0 = V 0 /d ,

где V 0 - разность потенциалов между пластинами, a d - расстояние между ними.
Если конденсатор изолирован, так что заряд на пластинах после введения диэлектрика не изменяется, то разность потенциалов упадет до значения V = V 0 /K . Напряженность электрического поля в диэлектрике теперь будет равна

E = V/d = V 0 /Kd или Е = E 0 /К [в диэлектрике]. (25.10)

Таким образом, напряженность электрического поля внутри диэлектрика также ослабляется в К раз. Электрическое поле внутри диэлектрика (изолятора) ослабляется, но, не до нуля, как в случае проводника.

Происходящее в диэлектрике можно объяснить с молекулярной точки зрения. Рассмотрим конденсатор, обкладки которого разделены воздушным "промежутком. На одной обкладке имеется заряд +Q , на другой заряд -Q (рис. 25.7, а).

Конденсатор изолирован (не подключен к батарее). Разность потенциалов между пластинами V 0 определяется выражением (25.1): Q = C 0 V 0 . (Индекс 0 соответствует воздуху между пластинами.) Введем теперь между пластинами диэлектрик (рис. 25.7, b). Молекулы диэлектрика могут быть полярными - иначе говоря, они могут обладать постоянным дипольным моментом, будучи нейтральными. В электрическом поле возникнет вращательный момент, который будет стремиться развернуть диполи параллельно полю (рис. 25.7, b); тепловое движение препятствует идеальной ориентации всех молекул, однако, чем сильнее поле, тем выше будет степень выстроенности молекул. Даже если молекулы не полярны, в электрическом поле между обкладками у них произойдет разделение заряда, и молекулы приобретут индуцированный (наведенный) дипольный момент: электроны, не отрываясь от молекулы, сместятся в сторону положительной обкладки. Поэтому картина всегда будет такой, как показано на рис. 25.7, b. В конечном итоге все выглядит так, как если бы на обращенной к положительной обкладке внешней стороне диэлектрика имелся результирующий отрицательный заряд, а на противоположной - положительный (рис. 25.7, c). Из-за появления на диэлектрике этого индуцированного заряда часть электрических силовых линий не пройдет сквозь диэлектрик, а будет заканчиваться (или начинаться) на зарядах, наведенных на его поверхности. Соответственно напряженность электрического поля внутри диэлектрика окажется меньше, чем в воздухе.

Можно представить себе эту картину и по-иному (рис. 25.7, d). Напряженность электрического поля внутри диэлектрика представляет собой векторную сумму напряженности поля Е 0 , создаваемого «свободными» зарядами на обкладках, и напряженности поля Е инд , создаваемого зарядами, индуцированными в диэлектрике; поскольку эти поля направлены в противоположные стороны, результирующая напряженность электрического поля внутри диэлектрика Е 0 - Е инд будет меньше Е 0 . Точное соотношение дается формулой (25.10):

Из соображений симметрии ясно, что, если размеры пластин велики по сравнению с расстоянием между ними, заряд, индуцированный на поверхности диэлектрика, не зависит от того, заполняет ли диэлектрик все пространство между пластинами или нет, если только его поверхности параллельны обкладкам. Формула (25.10) справедлива и в этом случае, хотя равенство V = V 0 /K уже не верно (почему?). Электрическое поле между двумя параллельными пластинами связано с поверхностной плотностью заряда σ выражением

Е = σ/е 0 (разд. 23.3).

Таким образом, где σ = Q/A - поверхностная плотность заряда на обкладке, а Q - полный заряд проводника, называемый часто свободным зарядом (поскольку в проводнике заряды могут свободно перемещаться). Аналогично мы определим поверхностную плотность индуцированного заряда σ инд

Е инд = σ инд /ε 0

где E инд - напряженность электрического поля, создаваемого индуцированным зарядом Q инд = σ инд A на поверхности диэлектрика (рис. 25.7, г); Q инд называют обычно связанным зарядом (так как в диэлектрике (изоляторе) заряды не могут свободно перемещаться). Поскольку, как показано выше, Е инд = Е 0 (1 - 1/К) , получаем

Так как К больше 1, индуцированный на диэлектрике заряд всегда меньше заряда на обкладках конденсатора.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!