Задачи на переправы. Задачи на переливания

Задачи про правдолюбов и шутниковЗадача 1. На некотором острове отдельными
селениями живут правдолюбы и шутники.
Правдолюбы всегда говорят правду, а
шутники постоянно шутят, а потому всегда
лгут. Жители одного племени бывают в
селении другого, и наоборот. В одно из
селений попал путешественник, но не знает, в
какое именно. Докажите, что
путешественнику достаточно первому
встречному задать вопрос: «Вы местный?»,
чтобы по ответу определить, в селении какого
племени он находится.
* Задача взята из статьи: Заесёнок В. П.
Эвристические приемы решения логических задач
// Математика в школе. 2005. № 3

Доказательство удобно провести, построив блок-схему, где каждый шаг в рассуждении изображается прямоугольником.

Путешественник
селение правдолюбов
правдолюб
Путешественник:
«Вы местный?»
да
шутник
да
селение шутников
правдолюб
нет
шутник
нет

Задача 2. В одном из селений острова
правдолюбов и шутников всего две улицы. На
одной живут правдолюбы, на другой – шутники.
Как узнать, где какая улица, задав первому
встречному жителю этого селения только один
вопрос?
Задача 3. Вы встретили на острове незнакомца.
На вопрос «Ты кто?» незнакомец ответил, что он
лжец. Кем был этот человек?
Задача 4. Вы встретили на острове двух
островитян и спросили у них: «Есть ли среди вас
правдолюбы?» Первый ответил: «Нет, среди нас
нет правдолюбов», а второй промолчал. Кто есть
кто?

Задачи на доказательство, основанное на рассмотрении худшего случая

В логических задачах, где требуется
доказать какое-либо утверждение,
можно рассмотреть самый неудобный
худший случай. Если удается доказать
справедливость утверждения в этом
худшем случае, то тем более оно будет
верно и в остальных случаях. Поэтому
главное, что здесь нужно, – правильно
определить этот худший случай.

Задача 1. В непрозрачном мешке лежат 5

среди них обязательно оказался:
а) хотя бы один белый шар;
б) хотя бы один черный шар;
в) хотя бы один белый и хотя бы один
черный шар?
Решение в случае а). Худший случай здесь,
очевидно, тот, когда мы будем вытаскивать
все время только черные шары. В этом
случае, даже вытащив 2 шара, мы не
вытащим белого шара. Но если мы вытащим
3 шара, то тогда уж точно из трех шаров по
крайней мере один шар будет белым.

Задача 2. В непрозрачном мешке лежат 5
белых и 2 черных шара. Какое наименьшее
число шаров надо вытащить из мешка, чтобы
среди них обязательно оказались:
а) 3 белых и 1 черный шар;
б) 2 шара одного цвета?
Задача 3. В коробке, которая стоит в темной
комнате, лежат 10 коричневых и 10 красных
носков одного размера. Сколько носков надо
взять из коробки, чтобы среди них оказалась
пара носков одного цвета?
Задача 4. В коробке, которая стоит в темной
комнате, лежат 10 пар коричневых и 10 пар
черных перчаток одного размера. Сколько
перчаток нужно взять из коробки, чтобы среди
них оказалась пара перчаток одного цвета?

Задачи для младших школьников

Задача 5. У Растеряйки 10 пар разных носков.
Каждый вечер он бросает носки под кровать, а
каждое утро достает их оттуда по одному, пока
не попадутся два одинаковых. Сколько носков
ему придется достать, если очень не повезет?
Задача 6. Растеряйка выбросил все свои
разноцветные носки и купил вместо них 5 пар
белых и 5 пар черных носков. Сколько теперь
нужно достать носков, чтобы собрать пару, если
очень не повезет?
Задача 7. В коробке 5 красных и 3 зеленых
карандаша. Сколько надо взять карандашей не
глядя, чтобы среди них оказался хотя бы один
красный карандаш?

Задачи на доказательство, основанное на принципе Дирихле

Принцип Дирихле¹ – это логический прием,
используемый в косвенном доказательстве
существования объекта с заданными
свойствами. Суть его такова: если по n ящикам
разложить предметы, число которых больше n,
то найдется ящик, в котором находится больше
одного предмета.
Используя принцип Дирихле при решении
логических задач, необходимо понять, что в
задаче является «ящиками», а что –
предметами, которые «раскладывают» в эти
«ящики».
______________________________________________
Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859) – выдающийся немецкий
математик

Задача 1. В школе 20 классов. В ближайшем
доме живет 23 ученика этой школы. Можно ли
утверждать, что среди них обязательно
найдутся хотя бы два одноклассника?
Решение задачи. Чтобы ответить на вопрос
задачи, надо выяснить, какой случай здесь
«самый худший». Очевидно, тот, когда в
каждом классе школы есть ученики из
ближайшего дома. Но в школе всего 20
классов, а учеников из ближайшего дома – 23,
поэтому в каких-то классах найдутся хотя бы
два ученика из ближайшего дома.
Заметим, что в данной задаче «ящиками»
являлись классы школы, а предметами,
которые раскладывались по этим «ящикам» ученики из ближайшего дома.

Задача 2. В школе 370 учащихся.
Докажите, что среди всех учащихся
найдутся хотя бы два человека, которые
родились в один и тот же день года.
Задача 3. В классе учатся 25 человек.
Докажите, что среди них обязательно
найдутся трое, у которых день рождения
в одном месяце.
Задача 4. В классе 23 ученика. Можно ли
утверждать, что в нем найдутся хотя бы
два ученика, фамилии которых
начинаются с одной и той же буквы?

Задачи на взвешивание

Задача 1. Имеются чашечные весы без гирь и
3 одинаковые по внешнему виду монеты, одна
из которых фальшивая: она легче настоящих
(настоящие монеты имеют одинаковую массу).
Как одним взвешиванием на чашечных весах
определить, какая монета фальшивая?
Задача 2. Как двумя взвешиваниями на
чашечных весах без гирь выделить
фальшивую монету (она легче других) из
четырех одинаковых по виду монет?
Задача 3. Как с помощью двух взвешиваний
определить, какая из девяти одинаковых по
виду монет фальшивая? Известно, что
фальшивая монета легче остальных.

Задачи на переправы

Задача 1.* Крестьянину надо перевезти через реку
волка, козу и капусту. В лодке может поместиться
только крестьянин, а с ним или только волк или только
коза, или только капуста. Но если оставить волка с
козой, то волк съест козу, а если оставить козу с
капустой, то коза съест капусту. Как перевез свой груз
крестьянин?
Задача 2. Отец с двумя сыновьями отправился в
поход. На их пути встретилась река. У берега нашелся
плот, который выдерживает на воде только отца или
двух сыновей. Как всем троим переправиться на другой
берег? Сколько раз плот пересечет реку?
* Эта задача под номером 18 содержалась в пособии «Задачник
для изощрения ума юношей», написанном в VIII в.
Ф. Алкуином и опубликованном в немецком городе Аахене.

Задачи на переливания

В этих задачах требуется заполнить емкость
определенным количеством жидкости с помощью двух
(иногда трех) пустых сосудов. При этом разрешаются две
операции: опорожнить один сосуд и наполнить до краев
другой.
Задача 1. Имеется два сосуда вместимостью 5 л и 3 л. Как
с их помощью налить из водопроводного крана 4 л воды?
Решение таких задач удобно искать с помощью таблицы.
Используя заполненную таблицу, воспроизведите
рассуждения для задачи 1.
1
2
3
4
5
6
5л
5
2
2
−
5
4
3л
−
3
−
2
2
3
Можно ли решить
задачу 1 иначе?

Задача 2 (задача Пуассона¹). Один
человек имеет в бочонке 12 пинт² вина и
хочет подарить половину вина, но у него
нет сосуда в 6 пинт, однако имеется два
пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как
с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?
Задача 3. Бидон, вместимость которого 10
л, наполнен водой. Имеются еще пустые
сосуды 7 л и 2 л. Как разделить воду на две
равные части?
______________________________________________________
1 Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – знаменитый французский
математик, механик и физик. Эту задачу Пуассон решил в школьном
возрасте и впоследствии говорил, что именно она побудила его стать
математиком.
2 Пинта – старинная франц. единица объема, 1 пинта ≈ 0, 568 л.

Страница 6

В зависимости от условий задачи будем соединять точки отрезками, если имеет место соответствие между данными элементами, или пунктирной линией, если соответствия нет.

Задача сводится к нахождению на графе трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах (на доске и в тетради их можно выделить разными цветами).

Так, используя условие 1), проведем пунктирную линию, соединяющую объекты Иван и Москва, Дмитрий и Новгород.

В соответствии с условием 2) соединим сплошной линией вершины Москва и физика, а условие 3) выразим сплошной линией от точки Новгород до точки химия.

Дмитрий и Степан преподают не биологию, соединим соответствующие вершины пунктирными линиями. Кто же преподает биологию? Если это не Дмитрий и не Степан, то получается, что биологию преподает Иван. Эти объекты соединяет сплошная линия.

Где же живет преподаватель биологии? Известно, что химик живет в Новгороде, а физик в Москве, следовательно, биолог живет в Туле. Обратим внимание на треугольник, образованный вершинами Иван, Тула, биология: в нем есть две сплошные стороны, значит, третью сторону также можно выделить сплошной линией. В самом деле, если Иван преподает биологию, а биолог живет в Туле, то Иван живет в Туле.

Что известно про Дмитрия? Дмитрий не живет в Новгороде (по условию) и не живет в Туле (там живет Иван), значит, Дмитрий живет в Москве - проведем соответствующую сплошную линию. Но москвич преподает физику - эта линия тоже сплошная. В треугольнике с вершинами в точках Дмитрий, Москва и физика две стороны сплошные, следовательно, третью сторону тоже можно выделить сплошной линией.

Что же известно про Степана? Степан не живет в Туле (там живет Иван) и не живет в Москве (там живет Дмитрий), следовательно, Степан живет в Новгороде - проведем сплошную линию. Но тот, кто живет в Новгороде, преподает химию - эта линия тоже сплошная. Так появляется третий треугольник из сплошных линий.

Ответ указан на графе треугольниками. Задача решена.

4. Приемы моделирования с помощью блок-схемы.

Если в задаче необходимо рассмотреть различные варианты ситуации, проанализировать их и сделать соответствующие выводы, такую ситуацию можно наглядно представить блок-схемой, где каждый шаг в рассуждении выделен отдельным блоком (прямоугольником).

Задача. На некотором острове отдельными селениями живут «правдолюбы» и «шутники». «Правдолюбы» всегда говорят только правду, а «шутники» постоянно шутят, а поэтому всегда лгут. Жители одного племени бывают в селении другого племени, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает в какое. Доказать, что путешественнику достаточно первому встречному задать вопрос: «Вы местный?», чтобы по ответу определить, в селении какого племени он находится.

Решение. Путешественник может попасть или в селение «правдолюбов», или в селение «шутников» - появляются два различных варианта. В селении «правдолюбов» путешественник может встретить как «правдолюба», так и «шутника». Аналогично, в селении «шутников» путешественник может встретить как «шутника», так и «правдолюба». Возможных вариантов стало уже четыре (рис. 5).

Блок-схема позволяет их представить наглядно и заметить, что положительный ответ в любом случае возможен только в селении «правдолюбов», а ответ «нет» - только в селении «шутников».

На этих примерах моделей (полупрямая с точками, таблица, граф, блок-схема) отчетливо видна «главная эвристическая функция» моделей (Д.Б. Богоявленская – порождающая, т.е. с модели «как бы считывается тот или иной принцип решения (идея, гипотеза, концепция)».

Информация о ообразовании:

Понятие произносительная сторона речи
Речь – основа всякой умственной деятельности, средство коммуникации. Умение учеников сравнивать, классифицировать, систематизировать, обобщать формируется, в процессе овладения, через речь, проявляются также в речевой деятельности. Логически чёткая, доказательная, образная устная и письменная речь...

Что такое глухонемота
Глухота - полное отсутствие слуха или такая степень его понижения, при которой восприятие речи становится невозможным. Абсолютная глухота наблюдается редко. Обычно имеются остатки слуха, позволяющие воспринимать очень громкие звуки, в т. ч. и некоторые звуки речи, произнесенные громким голосом над...

Важнейшие аспекты формирования словесной речи
В рамках теории образования глухого ребенка важно выделить следующие аспекты обучения словесной речи. 1. Обучение словесной речи - это основа для развития личности, для социализации и включения в культуру. Без речевой способности невозможно сформировать у ребенка с нарушением слуха представления о...

Моделью некоторого объекта А называется объект В, в каком-то отношении подобный оригиналу А, но не совпадающий с ним. Все обучение математике связано с изучением различных математических моделей: число, функция, уравнение, геометрические фигуры и т.д. Однако, работая с моделями, изучая их, учащиеся не осознают свою деятельность в этом аспекте. А школьники должны научиться изучать какие-то явления с помощью моделирования. Это существенно изменит отношение школьников к учебным занятиям.

Можно обучать приемам моделирования на таких доступных школьникам примерах, как таблицы, схемы, графы и т.п. Эти примеры имеют, быть может, не столько математическое, сколько общеинтеллектуальное значение. Рассмотрим различные приемы моделирования на конкретных задачах.

1. Прием моделирования на полупрямой

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества, то задачу можно решать на полупрямой.

Задача 5. На вечеринку собрались четверо друзей: Аня. Вика. Миша и Коля. Коля пришел раньше Ани, но не был первым. Определите, в какой последовательности друзья приходили к месту встречи, если Вика пришла последней.

Решение: Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени». Друзья, пришедшие на вечеринку, обозначатся точками с соответствующими буквами. Условимся пришедшего на вечеринку раньше обозначать на полупрямой (первой буквой его имени) левее, пришедшего позже - правее. По порядку каждое условие отмечаем на полупрямой.

Рисунок 1.1

На рисунке 1.1, а) показано, что Коля пришел раньше Ани. По рисунку 1, б) мы видим, что кто-то из друзей опередил Колю, а следовательно, и Аню. Появление еще одной правой точки на рисунке 1, в) передает условие «Вика была последней». Тогда придется сделать вывод, что Миша пришел раньше всех. Последовательность явки друзей к месту встречи видна на рисунке 1, г).

2. Прием моделирования с помощью таблицы

Если в процессе решения необходимо установить соответствие между элементами двух или нескольких различных множеств, то целесообразно использовать таблицу. Поле таблицы представляет собой декартово произведение этих множеств. Количество входов в таблицу определяется количеством выделенных в задаче множеств.

Задача 6. В одном из московских вузов на разных курсах учатся четыре студента. Определить фамилию, имя, курс, на котором учится каждый студент, если известно следующее.

Борис прошлую летнюю сессию сдал на отлично;

Виктор должен был летом ехать на практику в Омск;

Иванов собирался поехать домой в Челябинск;

Антон был курсом старше Петра:

Борис и Орлов коренные москвичи:

Крылов в прошлом учебном году окончил школу и поступил на тот же факультет, на котором учился Зуев;

Борис иногда пользовался прошлогодними конспектами Виктора.

Решение: Построение модели начнем с выделения трех множеств: множество имен студентов, множество их фамилий и множество курсов. Таблица 1.2 с четырьмя входами охватывает все возможные соотношения между именем и фамилией, между именем и курсом и между курсом и фамилией.

Если теперь, в соответствии с условием, в таблицы 2 ставить знаки «минус» на заведомо невозможных парах элементов, то можно прийти к решению задачи.

Отметим в таблице данные из условия задачи.

Борис прошлую сессию сдал на отлично, следовательно, Борис не на I курсе - в клеточке (Борис; I) ставим знак «минус».

Виктор летом едет в Омск, а Иванов в Челябинск, значит, фамилия Виктора не Иванов - в клеточке (Виктор; Иванов) прочерк.

Антон курсом старше Петра, значит, Антон учится не на I курсе - в клеточке (Антон; I) появляется знак «минус».

Так как Борис и Орлов коренные москвичи, то фамилия Бориса не Орлов - в клеточке (Борис; Орлов) ставим прочерк.

Таблица 1.2

Имя, курс

Крылов в прошлом году окончил школу, т.е. сейчас он учится на I курсе - знак «+» в клеточке (Крылов; I). Ясно, что тогда ни Зуев, ни Иванов, ни Орлов не учатся на I курсе - в этих клеточках ставим прочерки.

Борис пользуется прошлогодними конспектами Виктора, значит, Виктор на один курс старше Бориса. Но мы знаем, что Борис уже не на I курсе, следовательно, Виктор учится не на I и не на II курсе - в клеточках (Виктор; I) и (Виктор; II) ставим прочерки.

По условию Иванов из Челябинска, а Борис коренной москвич, следовательно, Борис не Иванов - в клеточке (Борис; Иванов) прочерк.

Из таблицы видно, что на I курсе учится не Борис, не Виктор, не Антон. Следовательно, на I курсе учится Петр - в клеточке (Петр; I) появляется знак «+». В клеточках (Петр; II), (Петр; III) и (Петр; IV) прочерки.

Но на I курсе учится Крылов. Значит, Петр носит фамилию Крылов - в клеточке (Петр; Крылов) ставим знак «+». Ясно, что Петр не может быть ни Ивановым, ни Зуевым, ни Орловым, а также Крыловым не могут быть ни Борис, ни Виктор, ни Антон - во всех этих клеточках прочерки.

Обратим внимание на столбец «Иванов». Из него видно, что ни Борис, ни Виктор, ни Петр не носят фамилию Иванов. Следовательно, Ивановым может быть только Антон - в соответствующей клеточке ставим знак « + «. Тогда ясно, что ни Орлов, ни Зуев не носят имя Антон - в этих клеточках появляются знаки «минус».

Обратим внимание на столбец «Орлов»: ни Борис, ни Антон, ни Петр не носят фамилию Орлов. Значит, только Виктор может быть Орловым - клеточку (Виктор; Орлов) помечаем знаком «+». Но тогда Виктор не может быть Зуевым - ставим минус в клетке (Виктор; Зуев). Тогда из таблицы видно, что только Борис может быть Зуевым.

Итак, Петр Крылов учится на I курсе, но Антон Иванов курсом старше Петра, значит, Антон Иванов на II курсе - отметим соответствующие клеточки.

Мы знаем, что Виктор Орлов курсом старше Бориса Зуева, значит, Борис Зуев учится на III, a Виктор Орлов - на IV курсе.

Задача решена. Ответ наглядно представлен в таблице.

3. Прием моделирования с помощью графов

Ситуации, в которых требуется найти соответствие между элементами различных множеств, можно моделировать с помощью графов. В этом случае элементы различных множеств будем обозначать точками, а соответствия между ними - отрезками. Пунктирные линии будут обозначать указанное в задаче отсутствие соотношения.

Задача 7. Три товарища - Иван, Дмитрий и Степан преподают различные предметы (химию, биологию и физику) в школах Москвы, Тулы и Новгорода. О них известно следующее:

Иван работает не в Москве, а Дмитрий - не в Новгороде;

москвич преподает физику;

тот, кто работает в Новгороде, преподает химию;

4) Дмитрий и Степан преподают не биологию;

Какой предмет, и в каком городе преподает каждый?

Решение: В задаче можно выделить три множества: учебных предметов, городов, учителей. Каждое множество содержит по три элемента. Обозначим их точками - вершинами графа (рисунок 1.2)

Рисунок 1.2

Так, используя условие 1), проведем пунктирную линию, соединяющую объекты Иван и Москва, Дмитрий и Новгород.

Ответ указан на графе треугольниками.

4. Приемы моделирования с помощью блок-схемы

Анализируемые ситуации полезно делать максимально наглядными. Мы уже показали различные способы наглядности (таблица, граф). Займемся теперь еще одним способом - составлением блок-схемы, где каждый шаг в рассуждении выделен отдельным изображением (прямоугольником).

Задача 8. На некотором острове отдельными селениями живут правдолюбы и шутники. Правдолюбы всегда говорят только правду, а шутники постоянно шутят, а поэтому всегда лгут. Жители одного племени бывают в селении другого, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает, в какое именно. Доказать, что путешественнику достаточно первому встречному задать вопрос: «Вы местный?», чтобы по ответу определить, в селении какого племени он находится.

Решение: Путешественник может попасть или в селение «правдолюбов», или в селение «шутников» - появляются два различных варианта. В селении «правдолюбов» путешественник может встретить как «правдолюба», так и «шутника». Аналогично, в селении «шутников» путешественник может встретить как «шутника», так и «правдолюба». Возможных вариантов стало уже четыре (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3

Иван работает не в Москве, а Дмитрий - не в Новгороде;

москвич преподает физику;

тот, кто работает в Новгороде, преподает химию;

Дмитрий и Степан преподают не биологию;

Какой предмет, и в каком городе преподает каждый?

Решение . В задаче можно выделить три множества: учебных предметов, городов, учителей. Каждое множество содержит по три элемента. Обозначим их точками - вершинами графа (рис.).

Так, используя условие 1), проведем пунктирную линию, соединяющую объекты Иван и Москва, Дмитрий и Новгород.

Ответ указан на графе треугольниками. Задача решена.

3. Прием моделирования на полупрямой

Задача. На вечеринку собрались четверо друзей: Аня, Вика, Миша и Коля. Коля пришел раньше Ани, но не был первым. Определите, в какой последовательности друзья приходили к месту встречи, если Вика пришла последней.

Решение. Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени». Друзья, пришедшие на вечеринку, обозначатся точками с соответствующими буквами. Условимся пришедшего на вечеринку раньше обозначать на полупрямой (первой буквой его имени) левее, пришедшего позже - правее. По порядку каждое условие отмечаем на полупрямой (а-г).

На рис. а показано, что Коля пришел раньше Ани. По рис. б мы видим, что кто-то из друзей опередил Колю, а, следовательно, и Аню. Появление еще одной правой точки на рис. в передает условие «Вика была последней». Тогда придется сделать вывод, что Миша пришел раньше всех. Последовательность явки друзей к месту встречи видна на рис. г.

4. Прием моделирования с помощью блок-схемы

Рассмотрим еще один способ моделирования - составление блок-схемы, в которой каждый шаг в рассуждении выделен отдельным изображением (прямоугольником).

Задача. На некотором острове отдельными селениями живут правдолюбы и шутники. Правдолюбы всегда говорят только правду, а шутники постоянно шутят, а поэтому всегда лгут. Жители одного племени бывают в селении другого, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает: в какое именно. Доказать, что путешественнику достаточно первому встречному задать вопрос: «Вы местный?», чтобы по ответу определить, в селении какого племени он находится.

Решение. Путешественник может попасть в селение «правдолюбов» или в селение «шутников» - появляются два различных варианта. В селении «правдолюбов» путешественник может встретить как «правдолюба», так и «шутника». Аналогично, в селении «шутников» путешественник может встретить как «шутника», так и «правдолюба». Возможных вариантов стало уже четыре.

Рассмотрим задачу.

Катя, Аня и Лена купили три билета: в кино, на рок-концерт и в театр. Лена не увлекается громкой музыкой. Аня не любит рок-концерты, а от просмотра телефильмов у нее быстро устают глаза. Куда отправилась каждая из девочек?

1. Анализ условия задачи

- О чем говорится в задаче?

В задаче говорится о трех девочках, которые купили билеты.

- Что известно про девочек в задаче?

Известно, что Лена не увлекается громкой музыкой, Аня не любит рок-концерты, и от просмотра телефильмов у нее устают глаза.

- Что требуется узнать в задаче?

В задаче требуется узнать: куда отправилась каждая из девочек.

- Мы можем сразу ответить на вопрос задачи?

Нет, не можем.

- Как, каким способом (методом) мы будем искать ответ на вопрос задачи?

Чтобы узнать: куда отправилась каждая из девочек, мы воспользуемся построением графа.

- Каким образом мы стоим граф в данной задаче?

В задаче мы выделяем два множества: множество девочек и множество билетов. Каждое множество содержит по три элемента. Обозначим их точками - вершинами графа (рис.). В зависимости от условий задачи будем соединять точки отрезками, если имеет место соответствие между данными элементами, или пунктирной линией, если соответствия нет.

3.4.2. Поиск пути решения задачи и составление плана пути ее решения

На этом этапе решения задачи завершается установление связей между данными искомыми и искомыми величинами и указывается последовательность использования этих связей.

Проведя анализ условия задачи, мы не всегда можем сразу же найти путь ее решения. Основные приемы, используемые при поиске путей решения задачи:

1. Анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск путей решения задачи можно осуществлять от данных задачи к вопросу (синтетический путь) или от вопроса задачи к данным (аналитический путь).

Синтетический путь. Решающий выделяет в тексте задачи два каких - либо взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого действия. Затем, считая полученное число данным, решающий опять выделяет два взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по ним и с помощью какого действия, и т.д., пока выполнение очередного действия не приведет к нахождению искомого.

Аналитический путь. На основе анализа задачи необходимо уточнить, что требуется найти в задаче и определить, что достаточно знать для ответа на этот вопрос. Для этого следует выяснить, какие из нужных данных имеются в условии задачи. Если они отсутствуют надо определить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные и т.д., пока для определения очередного неизвестного оба данных будут известны. Поиск пути решения заканчивается составлением плана решения задачи.

При решении задач анализ и синтез в рассуждении, как правило, переплетаются. Осуществляя поиск решения задачи синтетически, анализ часто производят «про себя». В то же время, каким бы приемом мы не вели поиск пути решения составной задачи, ее предварительный анализ неизбежен.

2. Поиск пути решения задачи (стр.79)

Поиск пути решения задачи проходит в рамках работы с моделью. Рассмотрим граф. Так как Лена не увлекается громкой музыкой, то соединим пунктирной линией «Л» и «Р». Аня не любит рок-концерты, а от просмотра телефильмов у нее быстро устают глаза, то «А» и «Р», «А» и «К» соединим пунктирными линиями.

Таким образом, мы должны ответить на вопросы:

1) Куда отправилась Лена?

2) Куда отправилась Аня?

3) Куда отправилась Катя?

Итак, путь решения найден.

2. Еще одним приемом, помогающим осуществлять этап поиска решения задачи, является разбиение задачи на смысловые части, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование задачи.

Пример: Некий владыка, желая испытать трех своих мудрецов, сказал им: «Перед вами пять колпаков: три черных и два белых. Вам наденут по колпаку. Тот из вас, кто первым догадается, какого цвета на нем колпак, тот получит награду". Затем мудрецам завязали глаза и надели им на голову по колпаку. После того, как с них сняли повязки, мудрецы долго молчали. Наконец один из них сказал: « На мне черный колпак!» Как рассуждал этот мудрец?

Решение. Задачу можно разбить на три подзадачи, на три варианта распределения колпаков: черный, белый, белый; черный, черный, белый; черный, черный, черный.

1. Два белых колпака и один черный.

В этом случае тот из участников, на котором черный колпак, рассуждает так: «Я вижу два белых колпака, а их всего два. Значит на мне черный колпак!»

2. Один белый и два черных колпака.

В этом случае он рассуждает так: «Я вижу один белый колпак и один черный, значит, если бы на мне был белый колпак, то тот, у которого на голове черный, сказал бы какой на нем колпак (черный), но он молчит. Значит на мне черный колпак».

3. Три черных колпака.

Он рассуждает так: «Я вижу два черных колпака. На мне может быть белый или черный. Если на мне белый колпак, то один из мудрецов рассуждая (2-ой вариант), догадается, что на нем черный колпак. Но они молчат, значит на мне черный колпак!»