Задачи на движение по реке

Развитием линии задач раздела 1.4 являются задачи на движение по реке, не вызывающие обычно каких-либо затруднений у пятиклассников. Опыт, полученный ими при решении задач 70–75 можно обобщить при работе с задачей 76, в которой возникают сложности только в последнем задании, где требуется определить скорость течения реки по двум скоростям - по течению и против течения реки. Для успешного усвоения этого материала следует показать, что скорости по течению и против течения - суть сумма и разность собственной скорости и скорости течения. Чтобы их найти, нужно применить освоенный ранее прием нахождения двух величин по их сумме и разности: разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения. Будет еще лучше, если к этому выводу учащиеся придут самостоятельно. Ведь ситуации, в которых школьники находят возможность для применения ранее полученных знаний, способствуют их развитию. Когда же отрицательные числа будут изучены, этот факт будет просто доказать:

v по т. – v пр.т. = (v с. + v т.) – (v с. – v т.) = … = 2v т.

70 . о 1) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки?

2) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь - 2 ч. В каком направлении течет река?

3) Скорость катера по озеру (в стоячей воде) 18 км/ч. Какой путь пройдет катер за 3 ч?

4) Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько километров река относит любой предмет (плот, лодку) за 1 ч, за 5 ч?

71 . Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? Против течения?

72 . Скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) 12 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Определите:

1) скорость катера по течению и против течения реки;

2) путь катера по течению реки за 3 ч;

3) путь катера против течения реки за 5 ч.

73 . 1) Собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними равно 120 км?

2) Сколько времени потребуется для того, чтобы проплыть на моторной лодке 90 км против течения, если ее собственная скорость 20 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?

74 . Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние он проплыл за все время, если скорость течения реки 2 км/ч?

75 . а) Расстояние между двумя причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если ее собственная скорость 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч?

б) Расстояние между двумя причалами 36 км. Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер, если его собственная скорость 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

76 . Определите скорости и заполните таблицу:

v с.	v т.	v по т.	v пр. т.
12 км /ч	4 км /ч
25 км /ч		28 км /ч
24 км /ч			20 км /ч
	5 км /ч	17 км /ч
	3 км /ч		16 км /ч
		48 км /ч	42 км /ч

77 .* Определите, какая скорость получится в результате:

1) v с. + v т. ; 4) v пр. т. + 2v т. ;

2) v с. – v т. ; 5) v по т. – 2v т. ;

3) v пр. т. + v т. ; 6) v по т. – v пр. т.

78 . 1) Моторная лодка проплыла 48 км по течению за 3 ч, а против течения - за 4 ч. Найдите скорость течения.

2) Катер проплыл 72 км между пристанями по течению за 2 ч, а против течения за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты?

79 . Скорость течения реки 3 км/ч. На сколько километров в час скорость катера по течению больше его скорости против течения?

Разделы: Математика

Класс: 7

Урок был проведен в 7 классе БОУ СОШ № 20 п. Агроном Динского района Краснодарского края. В классе 23 учащихся, класс работал по учебнику “Математика 7”, под редакцией Г. В. Дорофеева, С. Б. Суворовой. – М., Просвещение, 2007 г. издания (и последующие года издания). Урок проводила учитель математики Кочегарова Т. Н. Это второй урок в теме “Решение задач с помощью уравнений”, состоящей из 3 уроков. Первый урок был посвящен задачам, не связанным с движением. До этого учащиеся решали задачи на движение по воде в 5–6 классах по действиям, т. е. они впервые решают задачи на данную тематику, используя уравнение. Класс немного выше “среднего” по мотивации к обучению: 6 учащихся с низкой мотивацией к учебе, 8 – с хорошей мотивацией к учебе, остальные 9 учащихся со средней мотивацией.

Цели урока:

Образовательная: показать способ решения задач на движение по реке с помощью уравнения, добиться понимания учащимися, что скорости на воде бывают разными, рассмотреть формулы вычисления скорости по течению реки, против течения, собственной скорости и скорости течения реки. Формировать навык решения несложных задач, применяя эти формулы. Продолжать закреплять умение решать линейные уравнения.
Развивающая:

Воспитательная:

Тип урока: Комбинированный урок.

Оборудование кабинета: ИАД, компьютер, сканер, презентация с использованием триггеров, распечатанные тексты с индивидуальными заданиями к мини-зачету по теме.

Ход урока

Организационный момент. Проверка домашней работы. (4 мин)

Домашняя работа состоит из одной простой задачи на уравнение и трех линейных уравнений. Решение задачи сильный ученик на перемене сканирует и демонстрирует классу в начале урока, отвечая на вопросы, если они возникнут. Если есть ошибки в данном решении, то исправляем их по тексту красным маркером. Уравнения же будут проверены по ходу урока при изучении нового материала.

Подготовка к изучению нового материала (пропедевтика). (8 мин)

Вспомним русские народные сказки, где часто речь идет о трех сыновьях. Пусть и у нас жил купец, было у него 3 сына, как водится в сказках, “старший умный был детина, средний сын и так, и сяк, младший вовсе был … совсем маленький”. Решил купец оставить им наследство: старшему побольше мешков зерна, среднему на n (сколько-то мешков) меньше, чем старшему, а младшему на столько же (n) мешков меньше, чем среднему (он маленький, ему много не надо). Посмотрите на таблицу, вот братья, в ячейках количество мешков, а то, что в закрытых ячейках, надо посчитать (у младшего меньше всего, у среднего побольше, у старшего – совсем много). Считаем. (Ребята фронтально отвечают, я курсорчиком открываю ячейки, щелкая по ним, проверяем).

!!! Первые 5 строк не вызывают затруднений, считают очень быстро. А 6-я и 7-я строки (они выделены другим цветом) могут вызвать эти затруднения. Поэтому даю ответить самому слабому ученику, можно спросить несколько таких учеников, все равно кто-нибудь ошибется. Учитель: Саша, выйди, пожалуйста, к доске. Ребята, мы с Сашей договорились, что у него одинаковое количество денег в каждом из двух карманов. Переложи 1 рубль из одного кармана в другой (перекладывает, показывая этот рубль).

Вопрос: На сколько рублей больше стало в одном кармане, чем в другом? (на два). Вот так и в ячейках, в средней – сколько было сначала, в левой – сколько осталось, в правой сколько стало. Первая ячейка: затем находим вторую неизвестную. Можно начать со второй! , т. е. это – среднее арифметическое. Закрепить, заполняя 7-ю строку.

Изучение нового материала. (10 мин)

Учитель: Ребята, как вы думаете, почему я эту простенькую задачку вам дала? Я не перепутала тему урока? Или хитрю? Кто-нибудь сообразил? (Если никто не догадается, то помогаю сама, если догадается, ученик получает оценку и наше восхищение).

Рукой сдвигаем зеленый прямоугольничек, под ним 4 маленьких. Теперь попробуйте сами перейти к нашей теме, переместив эти прямоугольнички на места братьев.

Учитель: Очень быстро найдем числа в неизвестных ячейках, называя вещи своими именами (скорость против течения – младший брат, собственная – средний, по течению – старший брат).

Особое внимание на 6-ю ячейку. Выделить, проговорить всем вместе 2 раза:

Разность скорости по течению и против течения реки – это удвоенная скорость течения.

Среднее арифметическое скоростей по течению и против течения реки – это собственная скорость.

Учитель: Теперь, когда будете решать задачи на движение по реке, вспомните о трех братьях.

Скорость катера х км/ч, скорость реки 3 км/ч.
Скорость катера 30 км/ч, скорость реки х км/ч.
Чему равна скорость катера по течению ? Против течения ?

Задача 1. На путь по течению реки катер затратил 3ч, а на обратный путь 4,5 ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера относительно воды 25 км/ч?

Решаем в форме беседы, в тетрадях не записывают для экономии времени. По ходу открываем ячейки, проверяем. Составляем уравнение. Открываем домашние работы, это уравнение было задано домой, сверяем ответы.

Одновременно с объяснением задачи происходит проверка домашней работы.

Уравнение было задано на предыдущем уроке на дом, сейчас экономим время, не решая данное уравнение, заодно проверяем домашнюю работу.

Делаем вывод: За Х лучше обозначать либо V cобств, либо V теч, в зависимости от того, что неизвестно. Иногда – расстояние. Старатьсяне обозначать за Х время, т. к. может получиться сложное уравнение.

Закрепление изученного материала. Решение задач. (15 мин)

Задача 2 (№ 765 б)

Теплоход прошел расстояние между пристанями по течению реки за 4 ч, а против течения реки за 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость реки 2 км/ч. Каково расстояние между пристанями?

1) Обратить особое внимание на то, что в 1-й задаче за Х обозначена скорость течения реки , а во втором – собственная скорость .

2)Учащиеся самостоятельно читают задачу из учебника, заполняют таблицу (образец, задача 1, остается на доске, можно решать аналогично).

После заполнения таблицы открываем ячейки на доске, сверяемся. Составляем уравнение, решать его не будем, т. к. это тоже уравнение из домашней работы. Уравнение и его решение временно скрыто под зеленым прямоугольником. Когда учащиеся заполнили таблицу, щелкаем на этот прямоугольник, он растворяется.

Сверяемся с домашней работой.

Задача 3 (№ 780)

Прогулочный речной катер на маршрут к базе отдыха и обратно затрачивает 2ч 40 мин. На каком расстоянии от начала маршрута находится база отдыха, если собственная скорость катера 35 км/ч, скорость течения реки 5 км/ч и возле базы отдыха катер делает остановку на полтора часа?

Решает ученик у доски, т. к. задача более сложная. Это третий вид задач, где за Х обозначается расстояние. Заполняем таблицу.

Чтобы избежать ошибок при составлении уравнения , прошу всегда ставить в третьей по порядку заполнения строчке буковки “б” и “м” . Это помогает уточнить, от какой величины какую отнимаем.

Остановимся на трех важных моментах.

Кто был дольше в пути?
Все ли в порядке в задаче с единицами? (21 мин нужно перевести в часы).
Время движения плота: 10 мин + время катера + 11 мин = 21 мин + время катера.

Для “оживления” ситуации лодку вытягиваем из-за бокового поля.

Итак, плот был в пути на 21 мин дольше, составим уравнение.

Уравнение – это третье уравнение, заданное на предыдущем уроке на дом, поэтому опять только сверяемся с домашней работой, записываем ответ.

Подведение итогов урока (Презентация ). (8 мин) Памятка (слайд 1)

1) Скорость плота – это скорость течения реки.
2) За Х лучше обозначать:

а) собственную скорость или скорость течения реки
(что из них неизвестно в задаче);
б) расстояние .

Время за Х обозначать опасно, т. к. получается часто более сложное уравнение.

3. Особое внимание нужно обращать на единицы измерения – они в течение всего решения должны быть одинаковыми (например: путь в км, время в часах, скорость в км/ч или путь в м, время в минутах, скорость в м/мин).

Вместо “скорость течения реки” можно говорить “скорость реки” (если так понятнее).

2. Формулы при решении задач
(слайд 2)

Ученик вызывается к доске. На заготовленной с применением триггеров презентации (она изготовлена мною с участием более старших моих учеников) выбираются к формулам соответствующие понятия: “скорость по течению”, “против течения”, “собственная скорость” и “скорость течения реки”. При наличии времени можно попросить это сделать нескольких учеников.

3. Выставление оценок.

4. Домашнее задание.

1) Заучить формулы. 2) Каждый получает карточку с набором задач разного уровня. Через урок (чтобы хватило времени на подготовку) пишем мини-зачет по этим задачам, т. к. они базовые. По желанию учащиеся выбирают задачи доступного им уровня.

У нас всегда существует договоренность с учащимися о том, что они могут попросить помощь у консультантов, в случае успешной сдачи зачета консультант получает дополнительную оценку. Зачет был написан неплохо: “5” - 9, “4” - 6; “3” - 6; “2” - 2. Отрицательные оценки были исправлены после занятий с консультантом.

Учитель: Для мини-зачета по данной теме через урок. Вспомним начало нашего урока и сказку. “Старшие” (кто себя таковыми считает, хочет доказать, что он “старший детина”), попробуют решить задачи третьего уровня, кто считает, что ему это не надо, достаточно на сегодня уровня “среднего детины”, решают задачи второго уровня. Ну, а те, кому совсем не хочется напрягаться в этот раз и что-то кому-то доказывать, решите вот эти задачки базового уровня. Если у кого-то не получится решить задачи, за которые взялся, можете посоветоваться с консультантом дома, на перемене, но если вы затем ее на зачете решите, это будет только приветствоваться.

Уровень на “3”.

Скорость катера х км/ч, скорость реки 2 км/ч.
Скорость катера 20 км/ч, скорость реки х км/ч.
Чему равна скорость катера по течению? Против течения?
Пловец плыл 10 минут по течению реки и 15 минут против течения и проплыл всего 2100 м. Определите собственную скорость пловца (в м/мин), если скорость течения реки 30 м/мин.

Уровень на “4”.

На путь по течению реки катер затратил 3ч, а на обратный путь 4,5ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера относительно воды 25 км/ч?
Теплоход прошел расстояние между пристанями по течению реки за 4 ч, а против течения реки за 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость реки 2 км/ч. Каково расстояние между пристанями?
Лодка проплыла некоторое расстояние от пристани по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 8 ч. Собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Определите, сколько времени плыла лодка по течению реки и все расстояние, которое она проплыла.

Уровень на “5”.

Задачи № 1 – 3 из предыдущего уровня.
Вниз по течению реки мимо пристани проплыл плот. Через 10 мин от этой пристани отошел катер в том же направлении. Собственная скорость катера 35 км/ч, скорость течения реки 5 км/ч. Катер обогнал плот и причалил к следующей пристани, а через 11 мин мимо нее проплыл плот. Чему равно расстояние между пристанями?

Дополнение.
Если кому-то из учащихся останется непонятным материал (или на уроке еще один вариант объяснения), можно скорости изобразить в виде ступенек.

Тогда высота ступеньки – это скорость течения реки. При таком объяснении дети наглядно видят разницу между различными скоростями.

Из пунктов A и B , расстояние между которыми равно l , одновременно навстречу друг другу начали двигаться два тела: первое со скоростью v 1 , второе — v 2 . Определить, через сколько времени они встретятся и расстояние от точки A до места их встречи. Решить задачу также графически.

Решение

1-й способ:

Зависимость координат тел от времени:

В момент встречи координаты тел совпадут, т. е. . Значит, встреча произойдет через время от начала движения тел. Найдем расстояние от пункта A до места встречи как .

2-й способ:

Скорости тел равны тангенсу угла наклона соответствующего графика зависимости координаты от времени, т. е. , . Моменту встречи соответствует точка C пересечения графиков.

Через какое время и где встретились бы тела (см. задачу 1), если бы они двигались в одном и том же направлении A →B , причем из точки B тело начало двигаться через t 0 секунд после начала движения его из точки A ?

Решение

Графики зависимости координат тел от времени изображены на рисунке.

Составим на основе рисунка систему уравнений:

Решив систему относительно t C получим:

Тогда расстояние от пункта A до места встречи:

Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами A и B по течению реки за время t 1 = 3 ч, а плот — за время t = 12 ч. Сколько времени t 2 затратит моторная лодка на обратный путь?

Решение

Пусть s — расстояние между пунктами A и B , v — скорость лодки относительно воды, а u — скорость течения. Выразив расстояние s трижды — для плота, для лодки, движущейся по течению, и для лодки, движущейся против течения, получим систему уравнений:

Решив систему, получим:

Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени спускается человек, стоящий на эскалаторе?

Решение

Обозначим буквой l длину эскалатора; t 1 — время спуска человека, идущего со скоростью v ; t 2 — время спуска человека, идущего со скоростью 2v ; t — время спуска стоящего на эскалаторе человека. Тогда, рассчитав длину эскалатора для трех различных случаев (человек идет со скоростью v , со скоростью 2v и стоит на эскалаторе неподвижно), получим систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, получим:

Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал n 1 = 50 ступенек, во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал n 2 = 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

Решение

Поскольку при увеличении скорости человек насчитал большее количество супенек, значит направления скоростей эскалатора и человека совпадают. Пусть v — скорость человека относительно эскалатора, u — скорость эскалатора, l — длина эскалатора, n — число ступенек на неподвижном эскалаторе. Число ступенек, умещающихся в единице длины эскалатора, равно n /l . Тогда время пребывания человека на эскалаторе при его движении относительно эскалатора со скоростью v равно l /(v +u ), а путь, пройденный по эскалатору, равен v l /(v +u ). Тогда количество ступенек, насчитываемых на этом пути, равно . Аналогично, для случая, когда скорость человека относительно эскалатора 3v , получим .

Таким образом, мы можем составить систему уравнений:

Исключив отношение u /v , получим:

Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии s = 100 км один от другого, курсирует катер, который, идя по течению, проходит это расстояние за время t 1 = 4 ч, а против течения, — за время t 2 = 10 ч. Определить скорость течения реки u и скорость катера v относительно воды.

Решение

Выразив расстояние s дважды, — для катера, идущего по течению, и катера, идущего против течения, — получим систему уравнений:

Решив эту систему, получим v = 17,5 км/ч, u = 7,5 км/ч.

Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии s 1 = 15 км от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она дошла до поселка за время t = 3/4 ч и, повернув обратно, встретила плот на расстоянии s 2 = 9 км от поселка. Каковы скорость течения реки и скорость лодки относительно воды?

Решение

Пусть v — скорость моторной лодки, u — скорость течения реки. Поскольку от момента отправления моторной лодки от пристани до момента встречи моторной лодки с плотом, очевидно, пройдет одинаковое время и для плота, и для моторной лодки, то можно составить следующее уравнение:

где слева — это выражение времени, прошедшего до момента встречи, для плота, а справа — для моторной лодки. Запишем уравнение для времени, которое затратила моторная лодка на преодоление пути s 1 от пристани до поселка: t =s 1 /(v +u ). Таким образом, получаем систему уравнений:

Откуда получим v = 16 км/ч, u = 4 км/ч.

Колонна войск во время похода движется со скоростью v 1 = 5 км/ч, растянувшись по дороге на расстояние l = 400 м. Командир, находящийся в хвосте колонны, посылает велосипедиста с поручением головному отряду. Велосипедист отправляется и едет со скоростью v 2 = 25 км/ч и, на ходу выполнив поручение, сразу же возвращается обратно с той же скоростью. Через сколько времени t после получения поручения он вернулся обратно?

Решение

В системе отсчета, связанной с колонной, скорость велосипедиста при движении к головному отряду равна v 2 -v 1 , а при движении обратно v 2 +v 1 . Поэтому:

Упростив и подставив числовые значения, получим:

Вагон шириной d = 2,4 м, движущийся со скоростью v = 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно l = 6 см. Какова скорость движения пули?

Решение

Обозначим буквой u скорость пули. Время полета пули от стенки до стенки вагона равно времени, за которое вагон проходит расстояние l . Таким образом, можно составить уравнение:

Отсюда находим u :

Какова скорость капель v 2 отвесно падающего дождя, если шофер легкового автомобиля заметил, что капли дождя не оставляют следа на заднем стекле, наклоненном вперед под углом α = 60° к горизонту, когда скорость автомобиля v 1 больше 30 км/ч?

Решение

Как видно из рисунка,

чтобы капли дождя не оставляли следа на заднем стекле, наобходимо, чтобы время прохождения каплей расстояния h было равно времени, за которое автомобиль пройдет расстояние l :

Или, выразив отсюда v 2:

На улице идет дождь. В каком случае ведро, стоящее в кузове грузового автомобиля, наполнится быстрее водой: когда автомобиль движется или когда он стоит?

Ответ

Одинаково.

С какой скоростью v и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за время t = 2 ч пролететь точно на Север путь s = 300 км, если во время полета дует северо-западный ветер под углом α = 30° к меридиану со скоростью u = 27 км/ч?

Решение

Запишем систему уравнений по рисунку.

Поскольку самолет должен лететь строго на север, проекция его скорости на ось Oy v y равна y -составляющей скорости ветра u y .

Решив эту систему, найдем, что самолет должен держать курс на северо-запад под углом 4°27" к меридиану, а его скорость должна быть равна 174 км/ч.

По гладкому горизонтальному столу движется со скоростью v черная доска. Какой формы след оставит на этой доске мел, брошенный горизонтально со скоростью u перпендикулярно направлению движения доски, если: а) трение между мелом и доской пренебрежимо мало; б) трение велико?

Решение

Мел оставит на доске след, представляющий собой прямую линию, составляющую угол arctg(u /v ) с направлением движения доски, т. е. совпадает с направлением суммы векторов скорости доски и мела. Это справедливо и для случая а) и для случая б), т. к. сила трения не влияет на направление движения мела, поскольку лежит на одной прямой с вектором скорости, то она лишь уменьшает скорость мела, поэтому траектория в случае б) может не доходить до края доски.

Корабль выходит из пункта A и идет со скоростью v , составляющей угол α с линией AB .

Под каким углом β к линии AB следовало бы выпустить из пункта B торпеду, чтобы она поразила корабль? Торпеду нужно выпустить в тот момент, когда корабль находился в пункте A . Скорость торпеды равна u .

Решение

Точка C на рисунке — это место встречи корабля и торпеды.

AC = vt , BC = ut , где t — время от старта до момента встречи. Согласно теореме синусов

Отсюда находим β :

К ползуну, который может перемещаться по направляющей рейке,

прикреплен шнур, продетый через кольцо. Шнур выбирают со скоростью v . С какой скоростью u движется ползун в момент, когда шнур составляет с направляющей угол α ?

Ответ и решение

u = v /cosα.

За очень малый промежуток времени Δt ползун перемещается на расстояние AB = Δl .

Шнур за этот же промежуток времени выбирают на длину AC = Δl cosα (угол ∠ACB можно считать прямым, поскольку угол Δα очень мал). Поэтому можно записать: Δl /u = Δl cosα /v , откуда u = v /cosα , что означает, что скорость выбирания веревки равна проекции скорости ползуна на направление веревки.

Рабочие, поднимающие груз,

тянут канаты с одинаковой скоростью v . Какую скорость u имеет груз в тот момент, когда угол между канатами, к которым он прикреплен, равен 2α ?

Ответ и решение

u = v /cosα.

Проекция скорости груза u на направление веревки равна скорости веревки v (см. задачу 15), т. е.

u cosα = v ,

u = v /cosα.

Стержень длиной l = 1 м шарнирно соединен с муфтами A и B , которые перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам.

Муфта A движется с постоянной скоростью v A = 30 см/с. Найти скорость v B муфты B в момент, когда угол OAB = 60°. Приняв за начало отсчета времени момент, когда муфта A находилась в точке O , определить расстояние OB и скорость муфты B в функции времени.

Ответ и решение

v B = v A ctgα = 17,3 см/с; , .

В любой момент времени проекции скоростей v A и v B концов стержня

на ось стержня равны между собой, так как иначе стержень должен был бы укорачиваться или удлиняться. Значит, можно записать: v A cosα = v B sinα . Откуда v B = v A ctgα .

В любой момент времени для треугольника OAB справедлива теорема Пифагора: l 2 = OA 2 (t ) + OB 2 (t ). Найдем отсюда OB (t ): . Поскольку OA (t ) = v A t , тогда окончательно запишем выражение для OB (t ) так: .

Поскольку ctgα в любой момент времени равен OA (t )/OB (t ), то можно записать выражение для зависимости v B от времени: .

Танк движется со скоростью 72 км/ч. С какой скоростью движутся относительно Земли: а) верхняя часть гусеницы; б) нижняя часть гусеницы; в) точка гусеницы, которая в данный момент движется вертикально по отношению к танку?

Ответ и решение

а) 40 м/с; б) 0 м/с; в) ≈28,2 м/с.

Пусть v - скорость скорость танка относительно Земли. Тогда скорость любой точки гусеницы относительно танка также равна v . Скорость любой точки гусеницы относительно Земли есть сумма векторов скорости танка относительно Земли и скорости точки гусеницы относительно танка. Тогда для случая а) скорость будет равна 2v , для б) 0, а для в) v .

1. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью v 1 = 40 км/ч, вторую — со скоростью v 2 = 60 км/ч. Найти среднюю скорость на всем пройденном пути.

2. Автомобиль проехал половину пути со скоростью v 1 = 60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени шел со скоростью v 2 = 15 км/ч, а последний участок — со скоростью v 3 = 45 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Ответ и решение

1. v ср =48 км/ч; 2. v ср =40 км/ч.

1. Пусть s - весь путь, t - время, затраченное на преодоление всего пути. Тогда средняя скорости на всем пути равна s /t . Время t состоит из суммы промежутков времени, затраченных на преодоление 1-й и 2-й половин пути:

Подставив это время в выражение для средней скорости, получим:

.(1)

2. Решение этой задачи можно свести к решению (1.), если сначала определить среднюю скорость на второй половине пути. Обозначим эту скорость v ср2 , тогда можно записать:

где t 2 - время, затраченное на преодоление 2-й половины пути. Путь, пройденный за это время, состоит из пути, пройденного со скоростью v 2 , и пути, пройденного со скоростью v 3:

Подставив это в выражение для v ср2 , получим:

Поезд первую половину пути шел со скоростью в n =1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Средняя скорость поезда на всем пути v cp = 43,2 км/ч. Каковы скорости поезда на первой (v 1) и второй (v 2) половинах пути?

Ответ и решение

v 1 =54 км/ч, v 2 =36 км/ч.

Пусть t 1 и t 2 - время прохождения поездом соответственно первой и второй половин пути, s - весь путь, пройденный поездом.

Составим систему уравнений - первое уравнение представляет собой выражение для первой половины пути, второе - для второй половины пути, а третье - для всего пути, пройденного поездом:

Сделав подстановку v 1 =nv 2 и решив получившуюся систему уравнений, получим v 2 .

Два шарика начали одновременно и с одинаковой скоростью двигаться по поверхностям, имеющим форму, изображенную на рисунке.

Как будут отличаться скорости и времена движения шариков к моменту их прибытия в точку B ? Трением пренебречь.

Ответ и решение

Скорости будут одинаковы. Время движения первого шарика будет больше.

На рисунке изображены приблизительные графики движения шариков.

Т.к. пути, пройденные шариками, равны, то площади заштрихованных фигур также равны (площадь заштрихованной фигуры численно равна пройденному пути), поэтому, как видно из рисунка, t 1 >t 2 .

Самолет летит из пункта A в пункт B и возвращается назад в пункт A . Скорость самолета в безветренную погоду равна v . Найти отношение средних скоростей всего перелета для двух случаев, когда во время перелета ветер дует: а) вдоль линии AB ; б) перпендикулярно линии AB . Скорость ветра равна u .

Ответ и решение

Время полета самолета из пункта A в пункт B и обратно в случае, когда ветер дует вдоль линии AB :

Тогда средняя скорость в этом случае:

В случае, если ветер дует перпендикулярно линии AB , вектор скорости самолета должен быть направлен под углом к линии AB так, чтобы скомпенсировать влияние ветра:

Время полета «туда-обратно» в этом случае составит:

Скорости полета самолета в пункт B и обратно одинаковы и равны:

Теперь можно найти отношение средних скоростей, полученных для рассмотренных случаев:

Расстояние между двумя станциями s = 3 км поезд метро проходит со средней скоростью v ср = 54 км/ч. При этом на разгон он затрачивает время t 1 = 20 с, затем идет равномерно некоторое время t 2 и на замедление до полной остановки тратит время t 3 = 10 с. Построить график скорости движения поезда и определить наибольшую скорость поезда v макс.

Ответ и решение

На рисунке изображен график скорости движения поезда.

Пройденный поездом путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком и осью времени t , поэтому можно записать систему уравнений:

Из первого уравнения выражаем t 2:

тогда из второго уравнения системы найдем v макс:

От движущегося поезда отцепляют последний вагон. Поезд продолжает двигаться с той же скоростью v 0 . Как будут относиться пути, пройденные поездом и вагоном к моменту остановки вагона? Считать, что вагон двигался равнозамедленно. Решить задачу также графически.

Ответ

В момент, когда тронулся поезд, провожающий начал равномерно бежать по ходу поезда со скоростью v 0 =3,5 м/с. Принимая движение поезда равноускоренным, определить скорость поезда v в тот момент, когда провожаемый поравняется с провожающим.

Ответ

v =7 м/с.

График зависимости скорости некоторого тела от времени изображен на рисунке.

Начертить графики зависимости ускорения и координаты тела, а также пройденного им пути от времени.

Ответ

Графики зависимости ускорения, координаты тела, а также пройденного им пути от времени изображены на рисунке.

График зависимости ускорения тела от времени имеет форму, изображенную на рисунке.

Начертить графики зависимости скорости, смещения и пути, пройденного телом, от времени. Начальная скорость тела равна нулю (на участке разрыва ускорение равно нулю).

Тело начинает двигаться из точки A со скоростью v 0 и через некоторое время попадает в точку B .

Какой путь прошло тело, если оно двигалось равноускоренно с ускорением, численно равным a ? Расстояние между точками A и B равно l . Найти среднюю скорость тела.

На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени.

После момента t =t 1 кривая графика — парабола. Что за движение изображено на этом графике? Построить график зависимости скорости тела от времени.

Решение

На участке от 0 до t 1: равномерное движение со скоростью v 1 = tgα ;

на участке от t 1 до t 2: равнозамедленное движение;

на участке от t 2 до t 3: равноускоренное движение в противоположную сторону.

На рисунке изображен график зависимости скорости тела от времени.

На рисунке даны графики скоростей для двух точек, движущихся по одной прямой от одного и того же начального положения.

Известны моменты времени t 1 и t 2 . В какой момент времени t 3 точки встретятся? Построить графики движения.

За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом в равноускоренном движении, втрое больше пути, пройденного в предыдущую секунду, если движение происходит без начальной скорости?

Ответ и решение

За вторую секунду.

Проще всего эту задачу решить графически. Т.к. пройденный телом путь численно равен площади фигуры под линией графика скорости, то из рисунка очевидно, что путь, пройденный за вторую секунду (площать под соответствующим участком графика равна площади трех треугольников), в 3 раза больше пути, пройденного на первую секунду (площадь равна площади одного треугольника).

Вагонетка должна перевезти груз в кратчайший срок с одного места на другое, находящееся на расстоянии L . Она может ускорять или замедлять свое движение только с одинаковым по величине и постоянным ускорением a , переходя затем в равномерное движение или останавливаясь. Какой наибольшей скорости v должна достичь вагонетка, чтобы выполнить указанное выше требование?

Ответ и решение

Очевидно, что вагонетка перевезет груз за минимальное время, если она будет первую половину пути двигаться с ускорением +a , а оставшуюся половину с ускорением -a .

Тогда можно записать следующие выражения: L = ½·vt 1 ; v = ½·at 1 ,

откуда находим максимальную скорость:

Реактивный самолет летит со скоростью v 0 =720 км/ч. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение t =10 с и в последнюю секунду проходит путь s =295 м. Определить ускорение a и конечную скорость v самолета.

Ответ и решение

a =10 м/с 2 , v =300 м/с.

Изобразим график скорости самолета на рисунке.

Скорость самолета в момент времени t 1 равна v 1 = v 0 + a (t 1 - t 0). Тогда путь, пройденный самолетом за время от t 1 до t 2 равен s = v 1 (t 2 - t 1) + a (t 2 - t 1)/2. Отсюда можно выразить искомую величину ускорения a и, подставив значения из условия задачи (t 1 - t 0 = 9 с; t 2 - t 1 = 1 с; v 0 = 200 м/с; s = 295 м), получим ускорение a = 10 м/с 2 . Конечная скорость самолета v = v 2 = v 0 + a (t 2 - t 0) = 300 м/с.

Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платформе, за t 1 =1 с, а второй — за t 2 =1,5 с. Длина вагона l =12 м. Найти ускорение a поезда и его скорость v 0 в начале наблюдения. Движение поезда считать равнопеременным.

Ответ и решение

a =3,2 м/с 2 , v 0 ≈13,6 м/с.

Путь, пройденный поездом к моменту времени t 1 равен:

а путь к моменту времени t 1 + t 2:

Из первого уравнения найдем v 0:

Подставив полученное выражение во второе уравнение, получим ускорение a :

Шарик, пущенный вверх по наклонной плоскости, проходит последовательно два равных отрезка длиной l каждый и продолжает двигаться дальше. Первый отрезок шарик прошел за t секунд, второй — за 3t секунд. Найти скорость v шарика в конце первого отрезка пути.

Ответ и решение

Поскольку рассматриваемое движение шарика обратимо, целесообразно выбрать началом отсчета общую точку двух отрезков. При этом ускорение при движении на первом отрезке будет положительным, а при движении на втором отрезке — отрицательным. Начальная скорость в обоих случаях равна v . Теперь запишем систему уравнений движения для путей, пройденных шариком:

Исключив ускорение a , получим искомую скорость v :

Доска, разделенная на пять равных отрезков, начинает скользить по наклонной плоскости. Первый отрезок прошел мимо отметки, сделанной на наклонной плоскости в том месте, где находился передний край доски в начале движения, за τ =2 с. За какое время пройдет мимо этой отметки последний отрезок доски? Движение доски считать равноускоренным.

Ответ и решение

τ п =0,48 с.

Найдем длину первого отрезка:

Теперь запишем уравнения движения для точек начала (момент времени t 1) и конца (момент времени t 2) пятого отрезка:

Выполнив подстановку найденной выше длины первого отрезка вместо l и найдя разность (t 2 - t 1), получим ответ.

Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяет в земляной вал и проникает в него на глубину 36 см. Сколько времени двигалась она внутри вала? С каким ускорением? Какова была ее скорость на глубине 18 см? На какой глубине скорость пули уменьшилась в три раза? Движение считать равнопеременным. Чему будет равна скорость пули к моменту, когда пуля пройдет 99% своего пути?

Ответ и решение

t = 1,8·10 -3 с; a ≈ 2,21·10 5 м/с 2 ; v ≈ 282 м/с; s = 32 см; v 1 = 40 м/с.

Время движения пули внутри вала найдем из формулы h = vt /2, где h — полная глубина погружения пули, откуда t = 2h /v . Ускорение a = v /t .

По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии l = 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через t 1 = 1 с и через t 2 = 2 с после начала движения. Определить начальную скорость v 0 и ускорение a движения шарика, считая его постоянным.

Ответ и решение

v 0 = 0,45 м/с; a = 0,3 м/с 2 .

Зависимость скорости шарика от времени выражается формулой v = v 0 - at . В момент времени t = t 1 и t = t 2 шарик имел одинаковые по величине и противоположные по направлению скорости: v 1 = - v 2 . Но v 1 = v 0 - at 1 и v 2 = v 0 - at 2 , поэтому

v 0 - at 1 = - v 0 + at 2 , или 2v 0 = a (t 1 + t 2).

Т.к. шарик движется равноускоренно, то расстояние l можно выразить следующим образом:

Теперь можно составить систему из двух уравнений:

решив которую, получим:

Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости. За какое время тело проходит первый и последний метры своего пути? Какой путь проходит тело за первую, за последнюю секунду своего движения?

Ответ

t 1 ≈ 0,45 с; t 2 ≈ 0,023 с; s 1 ≈ 4,9 м; s 2 ≈ 40 м.

Определить время открытого положения фотографического затвора τ , если при фотографировании шарика, падающего вдоль вертикальной сантиметровой шкалы от нулевой отметки без начальной скорости, на негативе была получена полоска, простирающаяся от n 1 до n 2 делений шкалы?

Ответ

Свободно падающее тело прошло последние 30 м за время 0,5 с. Найти высоту падения.

Ответ

Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего пути. Найти время падения и высоту, с которой упало тело.

Ответ

t ≈ 5,45 с; h ≈ 145 м.

С какой начальной скоростью v 0 надо бросить вниз мяч с высоты h , чтобы он подпрыгнул на высоту 2h ? Трением о воздух и другими потерями механической энергии пренебречь.

Ответ

С каким промежутком времени оторвались от карниза крыши две капли, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстояние между каплями было 25 м? Трением о воздух пренебречь.

Ответ

τ ≈ 1 с.

Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель замечает промежуток времени t 0 между двумя моментами, когда тело проходит точку B , находящуюся на высоте h . Найти начальную скорость бросания v 0 и время всего движения тела t .

Ответ

; .

Из точек A и B , расположенных по вертикали (точка A выше) на расстоянии l = 100 м друг от друга, бросают одновременно два тела с одинаковой скоростью 10 м/с: из A — вертикально вниз, из B — вертикально вверх. Через сколько времени и в каком месте они встретятся?

Ответ

t = 5 с; на 75 м ниже точки B .

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 0 . Когда оно достигло высшей точки пути, из того же начального пункта с той же скоростью v 0 брошено второе тело. На какой высоте h от начального пункта они встретятся?

Ответ

Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одинаковой начальной скоростью v 0 = 19,6 м/с с промежутком времени τ = 0,5 с. Через какое время t после бросания второго тела и на какой высоте h встретятся тела?

Ответ

t = 1,75 с; h ≈ 19,3 м.

Аэростат поднимается с Земли вертикально вверх с ускорением a = 2 м/с 2 . Через τ = 5 с от начала его движения из него выпал предмет. Через сколько времени t этот предмет упадет на Землю?

Ответ

t ≈ 3,4 с.

С аэростата, опускающегося со скоростью u , бросают вверх тело со скоростью v 0 относительно Земли. Какое будет расстояние l между аэростатом и телом к моменту наивысшего подъема тела относительно Земли? Каково наибольшее расстояние l макс между телом и аэростатом? Через какое время τ от момента бросания тело поравняется с аэростатом?

Ответ

l = v 0 2 + 2uv 0 /(2g );

l макс = (u + v 0) 2 /(2g );

τ = 2(v 0 + u )/g .

Тело, находящееся в точке B на высоте H = 45 м от Земли, начинает свободно падать. Одновременно из точки A , расположенной на расстоянии h = 21 м ниже точки B , бросают другое тело вертикально вверх. Определить начальную скорость v 0 второго тела, если известно, что оба тела упадут на Землю одновременно. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 м/с 2 .

Ответ

v 0 = 7 м/с.

Тело свободно падает с высоты h . В тот же момент другое тело брошено с высоты H (H > h ) вертикально вниз. Оба тела упали на землю одновременно. Определить начальную скорость v 0 второго тела. Проверить правильность решения на численном примере: h = 10 м, H = 20 м. Принять g = 10 м/с 2 .

Ответ

v 0 ≈ 7 м/с.

Камень бросают горизонтально с вершины горы, имеющей уклон α. С какой скоростью v 0 должен быть брошен камень, чтобы он упал на гору на расстоянии L от вершины?

Ответ

Двое играют в мяч, бросая его друг другу. Какой наибольшей высоты достигает мяч во время игры, если он от одного игрока к другому летит 2 с?

Ответ

h = 4,9 м.

Самолет летит на постоянной высоте h по прямой со скоростью v . Летчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолета. Под каким углом к вертикали он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы? Каково в этот момент расстояние от цели до точки, над которой находится самолет? Сопротивление воздуха движению бомбы не учитывать.

Ответ

; .

Два тела падают с одной и той же высоты. На пути одного тела находится расположенная под углом 45° к горизонту площадка, от которой это тело упруго отражается. Как различаются времена и скорости падения этих тел?

Ответ

Время падения тела, на пути которого находилась площадка, больше, поскольку вектор набранной к моменту сооударения скорости изменил свое направление на горизонтальное (при упругом соударении меняется направление скорости, но не его величина), значит вертикальная составляющая вектора скорости стала равна нулю, в то время как у другого тела вектор скорости не изменялся.

Скорости падения тел равны до момента столкновения одного из тел с площадкой.

Лифт поднимается с ускорением 2 м/с 2 . В тот момент, когда его скорость стала равна 2,4 м/с, с потолка лифта начал падать болт. Высота лифта 2,47 м. Вычислить время падения болта и расстояние, пройденное болтом относительно шахты.

Ответ

0,64 с; 0,52 м.

На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены два тела под углом 45° к вертикали со скоростью 20 м/с: одно вниз, другое вверх. Определить разность высот Δh , на которых будут тела через 2 с. Как движутся эти тела друг относительно друга?

Ответ

Δh ≈ 56,4 м; тела отдаляются друг от друга с постоянной скоростью.

Доказать, что при свободном движении тел вблизи поверхности Земли их относительная скорость постоянна.

Из точки A свободно падает тело. Одновременно из точки B под углом α к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе.

Показать, что угол α не зависит от начальной скорости v 0 тела, брошенного из точки B , и определить этот угол, если . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ

α = 60°.

Тело брошено под углом α к горизонту со скоростью v 0 . Определить скорость v этого тела на высоте h над горизонтом. Зависит ли эта скорость от угла бросания? Сопротивление воздуха не учитывать.

Под углом α =60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью v =20 м/с. Через сколько времени t оно будет двигаться под углом β =45° к горизонту? Трение отсутствует.

Из трех труб, расположенных на земле, с одинаковой скоростью бьют струи воды: под углом 60, 45 и 30° к горизонту. Найти отношения наибольших высот h подъема струй воды, вытекающих из каждой трубы, и дальностей падения l воды на землю. Сопротивление воздуха движению водяных струй не учитывать.

Из точки, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра d некоторой окружности, по желобам, установленным вдоль различных хорд этой окружности, одновременно начинают скользить без трения грузы.

Определить, через какой промежуток времени t грузы достигнут окружности. Как это время зависит от угла наклона хорды к вертикали?

Начальная скорость брошенного камня v 0 =10 м/с, а спустя t =0,5 с скорость камня v =7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень?

Ответ

H макс ≈ 2,8 м.

На некоторой высоте одновременно из одной точки с одинаковыми скоростями выбрасываются по всевозможным направлениям шарики. Что будет представлять собой геометрическое место точек нахождения шариков в любой момент времени? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ

Геометрическим местом точек нахождения шариков в любой момент времени будет сфера, радиус которой v 0 t , а ее центр расположен ниже начальной точки на величину gt 2 /2.

Цель, находящаяся на холме, видна с места расположения орудия под углом α к горизонту. Дистанция (расстояние по горизонтали от орудия до цели) равна L . Стрельба по цели производится при угле возвышения β .

Определить начальную скорость v 0 снаряда, попадающего в цель. Сопротивление воздуха не учитывать. При каком угле возвышения β 0 дальность стрельбы вдоль склона будет максимальной?

Ответ и решение

, .

Выберем систему координат xOy таким образом, чтобы точка отсчета совпала с орудием. Теперь запишем кинематические уравнения движения снаряда:

Заменив x и y на координаты цели (x = L , y = L tgα) и исключив t , получим:

Дальность l полета снаряда вдоль склона l = L /cosα . Поэтому формулу, которую мы получили, можно переписать так:

это выражение максимально при максимальном значении произведения

Поэтому l максимально при максимальном значении = 1 или

При α = 0 мы получаем ответ β 0 = π /4 = 45°.

Упругое тело падает с высоты h на наклонную плоскость. Определить, через сколько времени t после отражения тело упадет на наклонную плоскость. Как время зависит от угла наклонной плоскости?

Ответ

От угла наклонной плоскости не зависит.

С высоты H на наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол α =45°, свободно падает мяч и упруго отражается с той же скоростью. Найти расстояние от места первого удара до второго, затем от второго до третьего и т. д. Решить задачу в общем виде (для любого угла α ).

Ответ

; s 1 = 8H sinα ; s 1:s 2:s 3 = 1:2:3.

Расстояние до горы определяют по времени между выстрелом и его эхом. Какова может быть погрешность τ в определении моментов выстрела и прихода эха, если расстояние до горы не менее 1 км, а его нужно определить с точностью 3%? Скорость звука в воздухе c =330 м/с.

Ответ

τ ≤ 0,09 с.

Глубину колодца хотят измерить с точностью 5%, бросая камень и замечая время τ , через которое будет слышен всплеск. Начиная с каких значений τ необходимо учитывать время прохождения звука? Скорость звука в воздухе c =330 м/с.

Ответ

Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть скорость лодки в неподвижной воде – км/ч. Тогда скорость лодки по течению – км/ч, против течения – км/ч.

Заполняем первые две колонки таблицы. После чего заполняем третью колонку, пользуясь формулой

Поскольку на обратный путь лодка затратила на 2 часа меньше, то меньше на 2. Поэтому

Домножаем обе части уравнения на :

В силу положительности величины , имеем:

(км/ч) – скорость лодки в неподвижной воде.

Задача 2.

Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Пусть собственная скорость байдарки – км/ч.

В одну сторону байдарка плыла по течению (со скоростью – км/ч), в другую – против течения (со скоростью км/ч).

Заполним таблицу:

Байдарка затратила на весь путь АВ–ВА часов час минут часа минут или часа.

Домножаем обе части уравнения на

Откуда следует, что км/ч.

Задача 3.

От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью на 2 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 168 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть км/ч – скорость первого теплохода, тогда согласно условию км/ч – скорость второго теплохода. Оба они проделали один и тот же путь – 168 км.

Составим таблицу:

Второй теплоход был в пути на 2 часа меньше, поэтому меньше на 2.

Составим уравненине:

Домножаем обе части уравнения на (заметим, ).

Верны те же формулы: \[{\large{S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv}}\]
по течению :

\(v_t\) - скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c+v_t\) .
Значит, \[{\large{S=(v_c+v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке против течения :
\(v_c\) - собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) - скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c-v_t\) .
Значит, \[{\large{S=(v_c-v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Заметим, что плот - это тело, у которого собственная скорость \(v_c=0\) . Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Задание 8 #830

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Теплоход с туристами плыл из города А в город В. Его скорость в неподвижной воде была 12 км/ч. В городе В он сделал остановку продолжительностью 5 часов, после чего поплыл обратно в А. Скорость течения составляла 2 км/ч. В город А теплоход вернулся через 29 часов после отплытия из него. Найдите расстояние между А и В. Ответ дайте в километрах.

Пусть \(S\) км – расстояние, которое проплыл теплоход по пути из А в В, тогда

\(\dfrac{S}{12 + 2}\) часов – время, которое теплоход плыл по течению,

\(\dfrac{S}{12 - 2}\) часов – время, которое теплоход плыл против течения,

плыл теплоход всего \(29 - 5 = 24\) часа, тогда:

\[\dfrac{S}{14} + \dfrac{S}{10} = 24,\] откуда находим \(S = 140\) км.

Ответ: 140

Задание 9 #2121

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Яхта проплыла по течению реки \(144\, км\) и вернулась обратно, после чего проплыла ещё \(36\, км\) по течению реки. Известно, что время, затраченное на движение яхты по течению, равно времени, затраченному на движение яхты против течения. При этом скорость яхты в неподвижной воде равна \(18\, км/ч\) . Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(v_{\text{т}}\, км/ч\) – скорость течения, \(v > 0\) , тогда

\(18 + v_{\text{т}}\) – скорость перемещения яхты по течению,

\(18 - v_{\text{т}}\) – скорость перемещения яхты против течения,

\(\dfrac{180}{18 + v_{\text{т}}}\) – время, затраченное яхтой на перемещение по течению,

\(\dfrac{144}{18 - v_{\text{т}}}\) – время, затраченное яхтой на перемещение против течения.

Так как время перемещения против течения совпадает со временем по течению, то: \[\dfrac{180}{18 + v_{\text{т}}} = \dfrac{144}{18 - v_{\text{т}}}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{180(18 - v_{\text{т}}) - 144(18 + v_{\text{т}})}{(18 + v_{\text{т}})(18 - v_{\text{т}})} = 0\,\] что при \(v_{\text{т}}\neq \pm 18\) равносильно \(v_{\text{т}} = 2\) .

Ответ: 2

Задание 10 #2122

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Моторная лодка проплыла по течению реки \(20\, км\) , после чего сломалась и в течение часа её уносило течением. Спустя час после поломки лодка развернулась и поплыла в обратную сторону с изначальной собственной скоростью, равной \(13\, км/ч\) . Известно, что обратный путь занял \(2 ч\) . Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость течения реки равна \(v_{\text{т}}\) , тогда путь лодки по течению составил \(20 + 1\cdot v_{\text{т}} = 20 + v_{\text{т}}\, км\) .

Так как обратный путь занял \(2\, ч\) , то \

Ответ: 2

Задание 11 #2125

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Лодка участвует в соревнованиях. Ей необходимо доплыть по реке из пункта \(А\) в пункт \(Б\) и обратно. Известно, что течение реки направлено от пункта \(А\) к пункту \(Б\) . Лодка проплыла от пункта \(А\) до пункта \(Б\) за час. Сколько километров останется проплыть лодке через час после отплытия из пункта \(Б\) в пункт \(А\) , если скорость течения реки равна \(2,5\, км/ч\) ?

Пусть собственная скорость лодки равна \(v_{\text{л}}\, км/ч\) , а скорость течения равна \(v_{\text{т}}\, км/ч\) . За первый час лодка проплыла \(v_{\text{л}} + v_{\text{т}}\) , а за второй час (на обратном пути) \(v_{\text{л}} - v_{\text{т}}\) в другую сторону, то есть её перемещение за первые два часа составило \[|(v_{\text{л}} + v_{\text{т}}) - (v_{\text{л}} - v_{\text{т}})| = 2v_{\text{т}}\] – в сторону течения, то есть через два часа после отплытия, лодке оставалось \(2\cdot 2,5 = 5\, км\) до финиша.

Ответ: 5

Задание 12 #829

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Города M и N находятся возле реки на расстоянии 60 км. Из M в N отправился катер, который прибыл в город N и сразу повернул назад. К тому времени, как катер вернулся в М, плот, который отправился из M в N на час раньше катера, проплыл 13 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в неподвижной воде. Ответ дайте в км/ч.

Плот проплыл 13 км за \(13: 2 = 6,5\) часов. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера \(6,5 - 1 = 5,5\) часов.

Пусть \(v\) км/ч – скорость катера в стоячей воде, \(v > 0\) , тогда

\(\dfrac{60}{v + 2}\) часов – время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как течение направлено из M в N (плот плывёт по течению),

\(\dfrac{60}{v - 2}\) часов – время, затраченное катером на дорогу из N в M.

Так как суммарное время, затраченное катером на дорогу из M в N и обратно, равно 5,5 часов, то: \[\dfrac{60}{v + 2} + \dfrac{60}{v - 2} = 5,5\qquad\Leftrightarrow\qquad 11v^2 - 240v - 44 = 0\] – при \(v \neq \pm 2\) , откуда находим \(v_1 = 22,\ v_2 = -\dfrac{2}{11}\) . Так как \(v > 0\) , то ответ \(22\) км/ч.

Ответ: 22

Задание 13 #2126

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У Игоря есть своя яхта. Плавая на яхте, он понял, что обронил шляпу и стал её искать. При этом он проплыл час против течения, затем развернулся и проплыл час по течению, затем снова развернулся и проплыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению, после чего проплыл ещё четверть часа против течения. Оказалось, что он сместился от места начала поисков на \(10,5\, км\) . Найдите скорость течения, если собственная скорость яхты во время поисков оставалась постоянной. Ответ дайте в км/ч.

Пусть собственная скорость яхты равна \(v_{\text{я}}\, км/ч\) , а скорость течения равна \(v_{\text{т}}\, км/ч\) . За первый час Игорь проплыл \(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}\) , а за второй час \(v_{\text{я}} + v_{\text{т}}\) в другую сторону, то есть его перемещение за первые два часа составило \[|(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}) - (v_{\text{я}} + v_{\text{т}})| = 2v_{\text{т}}\] – в сторону течения.