Точка может находиться либо на прямой, либо вне её.

а) Если точка находится на прямой, тогда на основании свойства принадлежности её проекции будут принадлежать проекциям прямой – точка А (рисунок 7-2);

б) Если же точка расположена вне прямой, то тогда хотя бы на одном из видов точка не будет находиться на прямой:

· точка В на виде сверху не лежит на прямой l , а находится ближе , чем фронтально-конкурирующая с ней точка, отмеченная крестиком; следовательно точка В находится перед прямой l ;

· точка С, как это следует из вида спереди, находится ниже прямой l , т.к. она расположена ниже горизонтально-конкурирующей с ней точки, отмеченной крестиком и лежащей на прямой;

· анализируя положение точки D относительно прямой l , приходим к выводу, что точка D находится над прямой l , что определяется по положению точки D на виде спереди. По виду сверху отмечаем, что точка D находится за прямой l .

Определить взаимное положение точки и прямой профильного положения р по двум видам не представляется возможным , т.к. такая прямая на видах спереди и сверху совпадает с линиями связи по направлению (рисунок 7-3).

Получить ответ можно с помощью построения профильной проекции (вида слева).

Так по виду слева определяем, что т. М находится перед прямой (Δf ) и над ней (ΔН), т.к. она лежит ближе фронтально-конкурирующей и выше горизонтально -конкурирующих точек, отмеченных крестиками.

Точка N находится ниже (под) прямой l и за (дальше) неё.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ

Может быть два варианта:

· точка находится в плоскости;

· точка находится вне плоскости.

Точка находится в плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой этой плоскости.

Следовательно, чтобы построить точку на плоскости, необходимо сначала на этой плоскости построить произвольную прямую линию (или взять уже имеющуюся) и на ней взять точку.

Плоскость частного положения

Если точка находится в плоскостичастного положения (наклонной, вертикальной, профильно-проецирующей), то построение ее облегчается. В этом случае точка на одном из видов будет находиться на изображении плоскости, а на другом виде положение ее может быть произвольным (рисунок 7-4). Здесь показана т. А принадлежащая наклонной плоскости Б, т.к. на виде спереди она находится на прямой, являющейся изображением плоскости; а на виде сверху положение точки взято на линии связи произвольно.

Точка В находится под плоскостью, т.к. она лежит ниже отмеченной крестиком точки, с которой она горизонтально конкурирует,

Плоскость общего положения

Несколько сложнее построить на комплексном чертеже точку, принадлежащую плоскости общего положения.

Пусть задана плоскость Б(ΔАВС), (рисунок 7-5). Чтобы построить на чертеже какую-нибудь точку лежащую в плоскости Б, проведена произвольная прямая l явно принадлежащая плоскости (т.к. проходит через две точки плоскости А и 1). Затем на этой прямой взята т. М (свойство принадлежности).

Рассмотрим обратную задачу. Пусть заданы два вида точки N. Нужно определить положение т. N относительно плоскости.

Для решения этой задачи нужно на плоскости провести вспомогательную прямую, конкурирующую с данной точкой на любом из видов (например на виде спереди, как на рисунке 7-5) и определить взаимное положение данной точки N и прямой.

Итак, проведем фронтально-конкурирующую с точкой N прямую m , положение которой определено точками плоскости А и 2. По глубине точки N определяем, что она находится перед прямой l и, следовательно, перед плоскостью.

Поскольку плоскость Б - нисходящая (определяем по разным направлениям обхода на видах), и, учитывая, что т. N находится перед плоскостью, то она в то же время будет находиться и под плоскостью.

Положение точки на чертеже определяется координатами. Точка расположена выше другой, если у нее больше координата Z. Точка находится ближе к наблюдателю, если у нее большая координатаY. От профильной плоскости проекции дальше удалена та точка, у которой больше координата Х.

Практический интерес вызывают точки, расположенные на одном перпендикуляре к плоскости проекций (рис. 4.1). Такие точки на чертеже называются конкурирующими. По ним определяется видимость элементов на чертеже. Из двух конкурирующих точек видимой считается та, у которой больше координата на другой плоскости проекций.

В данном случае видимой на фронтальной плоскости проекций будет точка b, так как у нее больше координатаY.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

4.2. Взаимное расположение прямой и точки

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой (рис. 4.2).

4.3. Взаимное расположение двух прямых

Прямые относительно друг друга могут быть параллельными (рис. 4.3, а), пересекающимися (б), скрещивающимися (в).

4.4. Взаимное расположение точки и плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

П р и м е р. Плоскость задана следами (h 0
f 0 ). Требуется построить точку А, принадлежащую этой плоскости (рис. 4.4).

Р е ш е н и е. Так как в плоскости можно построить бесчисленное множество точек, принадлежащих этой плоскости, то на одной из плоскостей проекций произвольно ставим одну проекцию точки (например, А 2), но вторую проекцию А 1 находим из условия принадлежности точки плоскости. Для этого через А проводим прямую, т. е. через А 2 проводимh 2 до пересечения сf 0 , определяем горизонтальную проекцию точки 1 и из 1 1 параллельно горизонтальному следу проводимh 1 , на которой и отмечаем А 1 .

4.5. Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая принадлежит плоскости , если имеет две общие точки или одну общую точку и параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости. Пусть плоскость на чертеже задана двумя пересекающимися прямыми. В данной плоскости требуется построить две прямыеmиnв соответствии с этими условиями(Г (а
b))(рис. 4.5).

Ре ш е н и е. 1. Произвольно проводимm 2 , так как прямая принадлежит плоскости, отмечаем проекции точек пересечения ее с прямымиа иb и определяем их горизонтальные проекции, через 1 1 и 2 1 проводимm 1.

2. Через точку К плоскости проводим n 2 ║m 2 иn 1 ║m 1 .

Прямая параллельна плоскости , если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.

Пересечение прямой и плоскости. Возможны три случая расположения прямой и плоскости относительно плоскостей проекций. В зависимости от этого определяется точка пересечения прямой и плоскости.

Первый случай – прямая и плоскость – проецирующего положения. В этом случае точка пересечения на чертеже имеется (обе ее проекции), ее нужно только обозначить.

П р и м е р. На чертеже задана плоскость следами Σ (h 0
f 0 ) – горизонтально проецирующего положения – и прямаяl – фронтально проецирующего положения. Определить точку их пересечения (рис. 4.6).

Точка пересечения на чертеже уже есть – К(К 1 К 2).

Второй случай – или прямая, или плоскость – проецирующего положения. В этом случае на одной из плоскостей проекций проекция точки пересечения уже имеется, ее нужно обозначить, а на второй плоскости проекций – найти по принадлежности.

Пр и м е р ы. На рис. 4.7, а изображена плоскость следами фронтально проецирующего положения и прямаяl – общего положения. Проекция точки пересечения К 2 на чертеже уже имеется, а проекцию К 1 необходимо найти по принадлежности точки К прямойl . На рис. 4.7, б плоскость общего положения, а прямаяm– фронтально проецирующего, тогда К 2 уже есть (совпадает сm 2), а К 1 нужно найти из условия принадлежности точки К плоскости. Для этого через К проводят прямую (h – горизонталь), лежащую в плоскости.

Третий случай – и прямая, и плоскость – общего положения. В этом случае для определения точки пересечения прямой и плоскости необходимо воспользоваться так называемым посредником – плоскостью проецирующей. Для этого через прямую проводят вспомогательную секущую плоскость. Эта плоскость пересекает заданную плоскость по линии. Если эта линия пересекает заданную прямую, то есть точка пересечения прямой и плоскости.

П р и м е р ы. На рис. 4.8 представлены плоскость треугольником АВС – общего положения – и прямая l – общего положения. Чтобы определить точку пересечения К, необходимо черезl провести фронтально проецирующую плоскость Σ, построить в треугольнике линию пересечения Δ и Σ (на чертеже это отрезок 1,2), определить К 1 и по принадлежности – К 2 . Затем определяется видимость прямойl по отношению к треугольнику по конкурирующим точкам. На П 1 конкурирующими точками взяты точки 3 и 4. Видима на П 1 проекция точки 4, так как у нее координата Z больше, чем у точки 3, следовательно, проекцияl 1 от этой точки до К 1 будет невидима.

На П 2 конкурирующими точками взяты точка 1, принадлежащая АВ, и точка 5, принадлежащаяl . Видимой будет точка 1, так как у нее координатаYбольше, чем у точки 5, и следовательно, проекция прямойl 2 до К 2 невидима.

На рис. 4.9 изображены плоскость общего положения (задана следами) и прямая mтакже общего положения. Чтобы определить точку пересеченияmи плоскости, надо черезm 2 провести Σ 2 – фронтально проецирующую плоскость, построить линию пересечения двух плоскостей (отрезок 1,2), отметить К 1 и по принадлежности этой точки прямойl определить К 2 .

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

Прямая перпендикулярна профильной плоскости (EF W )

EF – профильно-проецирующая прямая. Ее проекцияef перпендикулярна осиy H , проекцияe ′ f ′ перпендикулярна осиz , проекции точекe ″ иf ″ совпадают (см. рис. 3.15,в ):

(EF )W ; (EF ) //H ; (EF ) //V ;

e′′f′′ – точка; /ef / = /e′f′ / = /EF /; (ef ) (О y н ); (e′f′ ) (О z ).

Из чертежа видно, что проецирующая прямая является вместе с тем и прямой двойного уровня, так как она параллельна одновременно двум другим плоскостям проекций.

Следовательно, на две плоскости проекций проецирующие прямые проецируются без искажения, т. е. в натуральную величину, а на третью − в точку.

3.4. Взаимное положение точки и прямой

Точка и прямая в пространстве могут быть различно расположены относительно друг друга и плоскости проекций.

Если точка в пространстве принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат соответствующим проекциям этой прямой.

На рис. 3.12–3.14 это положение показано на наглядных изображениях и чертежах прямых линий и точек.

Рассмотрим еще раз это положение на

плоскостном чертеже (рис. 3.16).

Точка F принадлежит прямойAB , так

как горизонтальная проекция f точки принад-

лежит горизонтальной проекции ab прямой, а

фронтальная проекция f ′ точки принадлежит фронтальной проекцииa ′ b ′ прямой:

() F(AB) (f ab) (f′ a′b′).

Точки С ,D ,Е не принадлежат прямой

АВ . ТочкаC лежит над прямойAB , точкаD лежит под прямойAB , точкаE лежит за пря-

мой AB :

() C ()D ()E

(AB ) (AB ) (AB )

(c ab) (c′ a′b′); (d ab) (d′ a′b′); (e ab) (e′ a′b′).

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

3.5. Следы прямой

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой . На рис. 3.17,а точкаM − горизонтальный след прямой, точкаN − фронтальный.

Горизонтальная проекция m горизонтального следа прямой совпадает с самим следом− точкойM (рис. 3.17,a ), а фронтальная проекция этого следаm ′ лежит на осиx . Фронтальная проекцияn ′ фронтального следа прямой совпадает с фронтальным следом− точкойN , а горизон-

тальная проекция n лежит на той же оси проекций.

Чтобы построить на плоскостном чертеже горизонтальный след прямой (точки m иm ′) , надо продолжить фронтальную проекциюa ′ b ′ прямой до пересечения с осьюx (точкаm ′ ). Затем через нее провести перпендикуляр к осиx до пересечения с продолжением горизонтальной проекцииab . Точкаm − горизонтальная проекция горизонтального следа.

Для построения проекций фронтального следа (точек n иn ′) необходимо продолжить горизонтальную проекциюab прямой до пересечения с осьюx (точкаn ). Затем через нее провести перпендикуляр к осиx до пересечения с продолжением фронтальной проекцииa ′ b ′. Точкаn ′ − фронтальная проекция фронтального следа. Построение проекций следов прямойпоказанонарис. 3.17,б .

Прямая может пересекать и профильную плоскость проекций, т. е. иметь профильный след. Этот след на профильной плоскости проекций совпадает со своей проекцией. Фронтальная и горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях z иy .

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

3.6. Взаимное положение двух прямых

Прямые в пространстве могут занимать различные взаимные положения:

− пересекаться, т. е. иметь одну общую точку;

− быть параллельными, если точка пересечения прямых удалена

в бесконечность;

− скрещиваться, т. е. не иметь общих точек.

Пересекающиеся прямые . Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи.

Наглядное изображение двух прямых AB иCD , пересекающихся вточкеK , приведено на рис. 3.18,а ; их чертеж в системе плоскостейH иV –

нарис. 3.18, б .

Если одна из прямых профильная, то, чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли прямые, следует построить их профильные проекции.

На рис. 3.19 все проекции точки K (k ,k ′ ,k ″ ) одновременно принадлежат прямойAB и прямойCD. Это значит, что прямыеAB иCD пересекаются.

На рис. 3.20 профильная проекция k ″ точкиK принадлежит профильной проекцииc ″ d ″ , но не принадлежит профильной проекцииa ″ b ″ . Это значит, что прямыеAB иCD не пересекаются, они скрещиваются.

Параллельные прямые . Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. Действительно, на рис. 3.21 проецирующие плоскостиQ иR , проведенные через параллельные прямыеAB иCD , параллельны между собой. С плоскостью проекцийP они пересекаются по параллельным прямымab иcd − проекциям прямыхAB иCD . Чертеж двух параллельных прямых общего по-

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

ложения приведен на рис. 3.22, чертежи параллельных прямых частного положения − на рис. 3.23:

а) горизонтальныхпрямых(см. рис. 3.23, а ); б) фронтальных прямых (см. рис. 3.23,б ); в) профильных прямых (см. рис. 3.23,в ).

	О параллельности прямых в пространстве можно судить по па-
	раллельности их одноименных проекций на двух плоскостях проекций.
	При этом нужно учитывать некоторые условия.
	Для прямых общего положения : если одноименные проекции пря-
	мых общего положения параллельны в системе двух любых плоскостей
	проекций, то прямые параллельны (рис. 3.22).
	Для прямых частного положе-
	ния : если одноименные проекции
	прямых параллельны одной из осей
	проекций, то прямые параллельны
	при условии параллельности одно-
	именных проекций на той плоскости
	проекций, которой параллельны пря-
	мые (см. рис. 3.23).
	Скрещивающиеся прямые: если
	прямые в пространстве не пересека-
	ются, а скрещиваются (см. рис. 3.24),
	то хотя на чертеже их одноименные
	проекции и пересекаются, но точки
	пересечения проекций не лежат на одной линии связи. Эти точки не яв-
	ляются общими для прямых.

Винокурова Г. Ф., Степанов Б. Л. Инженерная графика. Ч.1: учеб. пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – Томск:

Изд-во ТПУ, 2007. – 204 с.

AB// H, CD// H	AB// V, CD// V	AB// W, CD// W

Сравнивая положение таких точек, определяют, какая из изображенных на чертеже прямых выше другой или ближе другой к наблюдателю.

На рис. 3.24, а видно, что точкаE (принадлежащая прямойAB ) расположена выше точкиK (принадлежащей прямойСD ). При взгляде сверху по указанной стрелке точкаE закрывает точкуK . Соответственно и на чертеже (рис. 3.24,б ) фронтальная проекцияe ′ расположена выше фронтальной проекцииk ′. При взгляде сверху по стрелкеN при проецировании на плоскостьH точкаe закрывает точкуk . ПрямаяAB проходит над прямойCD .