Вращательное движение. Градусы и радианы. Вычисление среднего ускорения по двум скоростям

Скорость () - это физическая величина, характеризующая быстроту пространственного перемещения тела и определяемая отношением вектора перемещения к промежутку времени, за которое это перемещении произошло:

. (1)

Модуль вектора скорости
.

Перейдем к понятию средней путевой скорости (это скалярная величина):

(2)

Скорость измеряется в метрах на секунду (м/с ).

Равномерным поступательным называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело проходит равные пути (
).

Ускорение () – физическая величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости и определяемая отношением изменения вектора скорости
к промежутку времени
, за которое оно произошло:

. (3)

Ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с 2 ).

Равнопеременным , то есть равноускоренным или равнозамедленным, называется движение, при котором ускорение с течением времени остается неизменным (
).

1.1.3. Кинематика вращательного движения

Равномерное движение по окружности (
) не является равноускоренным, хотя и обладает центростремительным ускорением

. (4)

Поскольку центростремительное ускорение направлено по радиусу вращения к центру окружности, а сам радиус при вращательном движении все время меняет свое пространственное положение, то, как векторная величина,
.

Пусть материальная точка движется по окружности радиуса вокруг осии за время
(рис. 3) радиус повернется на угол
.

Рис.3. Вращательное движение

Угловая скорость (
) - это физическая величина, определяемая отношением угла поворота
радиусак промежутку времени
, за которое этот поворот произошел:

. (5)

Особенностью вращательного движения является то, что все точки тела в любой момент времени имеют относительно оси вращения одинаковые угловые скорости
. Угловая скорость измеряется в радианах на секунду (рад/с ).

1.2. Динамика материальной точки

Динамика – раздел физики, изучающий движение тел и причины, вследствие которых движение возникает или изменяется его характер. Динамика оперирует понятиями скорости, ускорения, силы, массы, импульса.

1.2.1. Масса, сила, принцип суперпозиции сил

Масса (
) – мера инертности и гравитационного взаимодействия тел. Масса измеряется в килограммах (кг ).

С массой тесно связано понятие плотности вещества.

Плотность вещества () определяется массой, заключенной в единице объема:

. (6)

Плотность измеряется в килограммах на кубический метр (кг/м 3 ).

Сила () – мера воздействия на тело других тел или полей, в результате чего тело приобретает ускорение или деформируется. Сила - величина векторная. Понятия «сила подействовала» и «тело подействовало» – равнозначны. Сила измеряется в ньютонах (Н ). При действии на тело нескольких сил их равнодействующая находится по правилу сложения векторов.

Правила сложения векторов

Векторной суммой двух векторов
называют вектор, изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на составляющих (правило параллелограмма, рис.4,а ).

Ранее рассматривались характеристики прямолинейного движения: перемещение, скорость, ускорение . Их аналогами при вращательном движении являются: угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение .

• Роль перемещения во вращательном движении играет угол ;
• Величина угла поворота за единицу времени - это угловая скорость ;
• Изменение угловой скорости за единицу времени - это угловое ускорение .

Во время равномерного вращательного движения тело совершает движение по окружности с одинаковой скоростью, но с изменяющимся направлением. Например, такое движение совершают стрелки часов по циферблату.

Допустим, шар равномерно вращается на нити длиной 1 метр. При этом он будет описывать окружность с радиусом 1 метр. Длина такой окружности: C = 2πR = 6,28 м

Время, за которое шар полностью делает один полный оборот по окружности, называется периодом вращения - T .

Чтобы вычислить линейную скорость шара, необходимо разделить перемещение на время, т.е. длину окружности на период вращения:

V = C/T = 2πR/T

Период вращения:

T = 2πR/V

Если наш шар будет делать один оборот за 1 секунду (период вращения = 1с), то его линейная скорость:
V = 6,28/1 = 6,28 м/с

2. Центробежное ускорение

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением .

Во время равномерного вращательного движения меняется только направление вектора скорости, но не величина! Поэтому линейное ускорение = 0 . Изменение линейной скорости поддерживается центробежным ускорением, которое направлено к центру окружности вращения перпендикулярно вектору скорости - a ц .

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле: a ц = V 2 /R

Чем больше линейная скорость тела и меньше радиус вращения, тем центробежное ускорение больше.

3. Центробежная сила

Из прямолинейного движения мы знаем, что сила равна произведению массы тела на его ускорение.

При равномерном вращательном движении на вращающееся тело действует центробежная сила:

F ц = ma ц = mV 2 /R

Если наш шарик весит 1 кг , то для удержания его на окружности понадобится центробежная сила:

F ц = 1·6,28 2 /1 = 39,4 Н

С центробежной силой мы сталкиваемся в повседневной жизни при любом повороте.

Сила трения должна уравновесить центробежную силу:

F ц = mV 2 /R; F тр = μmg

F ц = F тр; mV 2 /R = μmg

V = √μmgR/m = √μgR = √0,9·9,8·30 = 16,3 м/с = 58,5 км/ч

Ответ : 58,5 км/ч

Обратите внимание, что скорость в повороте не зависит от массы тела!

Наверняка вы обращали внимание, что некоторые повороты на шоссе имеют некоторый наклон внутрь поворота. Такие повороты "легче" проходить, вернее, можно проходить с бОльшей скоростью. Рассмотрим какие силы действуют на автомобиль в таком повороте с наклоном. При этом силу трения учитывать не будем, а центробежное ускорение будет компенсироваться только горизонтальной составляющей силы тяжести:

F ц = mV 2 /R или F ц = F н sinα

В вертикальном направлении на тело действует сила тяжести F g = mg , которая уравновешивается вертикальной составляющей нормальной силы F н cosα :

F н cosα = mg , отсюда: F н = mg/cosα

Подставляем значение нормальной силы в исходную формулу:

F ц = F н sinα = (mg/cosα)sinα = mg·sinα/cosα = mg·tgα

Т.о., угол наклона дорожного полотна:

α = arctg(F ц /mg) = arctg(mV 2 /mgR) = arctg(V 2 /gR)

Опять обратите внимание, что в расчетах не участвует масса тела!

Задача №2: на некотором участке шоссе имеется поворот с радиусом 100 метров. Средняя скорость прохождения этого участка дороги автомобилями 108 км/ч (30 м/с). Каким должен быть безопасный угол наклона полотна дороги на этом участке, чтобы автомобиль "не вылетел" (трением пренебречь)?

α = arctg(V 2 /gR) = arctg(30 2 /9,8·100) = 0,91 = 42° Ответ : 42° . Довольно приличный угол. Но, не забывайте, что в наших расчетах мы не принимаем во внимание силу трения дорожного полотна.

4. Градусы и радианы

Многие путаются в понимании угловых величин.

При вращательном движении основной единицей измерения углового перемещения является радиан .

• 2π радиан = 360° - полная окружность
• π радиан = 180° - половина окружности
• π/2 радиан = 90° - четверть окружности

Чтобы перевести градусы в радианы, необходимо значение угла разделить на 360° и умножить на 2π . Например:

• 45° = (45°/360°)·2π = π/4 радиан
• 30° = (30°/360°)·2π = π/6 радиан

Ниже в таблице представлены основные формулы прямолинейного и вращательного движения.

> Второй закон Ньютона: сила и ускорение

Изучите второй закон Ньютона в физике: формулировка и формула, сила и ускорение Второго закона Ньютона, линейный импульс, скорость и масса в уравнении.

Второй закон Ньютона гласит: чистая сила равна скорости изменения или производной ее линейного импульса.

Задача обучения

• Разобраться во втором законе Ньютона.

Основные пункты

• Три закона Ньютона объясняют связь влияющих на тело сил и созданных движением. Выступают основой механики.
• Второй закон расшифровывает связь силы и движения при помощи линейного импульса.
• Линейный импульс (р) выходит из массы и скорости: p = mv.
• Чистая сила равна производной или скорости изменения линейного импульса.

Термины

• Ускорение – количество, с которым увеличивается скорость.
• Импульс – продукт массы и скорости тела.
• Равнодействующая сила ­­­– сумма всех влияющих на объект сил.

Пример

Линейный импульс применяют при упругом столкновении: оба тела движутся навстречу с одинаковой скоростью. При ударе более крупное тело приложит больше силы, и заставит меньший объект отскочить с большей скоростью.

Английский ученый Исаак Ньютон интересовался перемещением объектов в различных условиях. В 1687 году он описал три знаменитых закона движения, применимых для характеристики физических объектов и систем в физике. Они составляют основу механики и описывают связь сил, воздействующих на тело, и вызванные этим движения. Три закона Ньютона гласят:

• Если объект не испытывает никакого силового влияния, то скорость останется стабильной. Если объект пребывает в покое, то скорость равняется нулю.
• Ускорение параллельно и прямо пропорционально чистой силе, влияющей на объект, и находится в направлении чистой силы и обратно пропорционально массе.
• Если первый объект влияет силой на второй, то тот одновременно влияет на первый. То есть их силы равны по величине и противоположны по направлению.

Первый закон Ньютона определяет исключительно естественное состояние движения (чистая сила равна нулю). Из-за этого мы не можем количественно определить силу и ускорение (количество изменения скорости). Чистая сила объекта равна скорости изменения линейного импульса.

Линейный импульс

Это векторное понятие, характеризующееся величиной и направлением. Создается от массы и скорости в данный временной промежуток:

где р – импульс, m – масса и v – скорость. Из этого уравнения видно, что объекты с большей массой обладают большим импульсом.

Второй закон движения

Рассмотрим второй закон Ньютона. Возьмем два шара с разными массами, но перемещающихся в одном направлении. Если они одновременно ударят о стену, то крупный приложит больше силы. Этот пример проиллюстрирован ниже и отображает второй закон Ньютона, где подчеркивается, что чистая сила тела равна скорости изменения линейного импульса. Если получим линейный импульс, то выходит:

где F – сила, а t – время. Отсюда можно упростить:

где а – ускорение.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости движущегося тела. Если скорость тела остается постоянной, то оно не ускоряется. Ускорение имеет место только в том случае, когда скорость тела меняется. Если скорость тела увеличивается или уменьшается на некоторую постоянную величину, то такое тело движется с постоянным ускорением. Ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду (м/с 2) и вычисляется по значениям двух скоростей и времени или по значению силы, приложенной к телу.

Шаги

Вычисление среднего ускорения по двум скоростям

Формула для вычисления среднего ускорения. Среднее ускорение тела вычисляется по его начальной и конечной скоростям (скорость – это быстрота передвижения в определенном направлении) и времени, которое необходимо телу для достижения конечной скорости. Формула для вычисления ускорения: a = Δv / Δt , где а – ускорение, Δv – изменение скорости, Δt – время, необходимое для достижения конечной скорости.

Определение переменных. Вы можете вычислить Δv и Δt следующим образом: Δv = v к - v н и Δt = t к - t н , где v к – конечная скорость, v н – начальная скорость, t к – конечное время, t н – начальное время.

• Так как ускорение имеет направление, всегда вычитайте начальную скорость из конечной скорости; в противно случае направление вычисленного ускорения будет неверным.
• Если в задаче начальное время не дано, то подразумевается, что t н = 0.

1. Найдите ускорение при помощи формулы. Для начала напишите формулу и данные вам переменные. Формула: . Вычтите начальную скорость из конечной скорости, а затем разделите результат на промежуток времени (изменение времени). Вы получите среднее ускорение за данный промежуток времени.

   • Если конечная скорость меньше начальной, то ускорение имеет отрицательное значение, то есть тело замедляется.
   • Пример 1: автомобиль разгоняется с 18,5 м/с до 46,1 м/с за 2,47 с. Найдите среднее ускорение.
     • Напишите формулу: a = Δv / Δt = (v к - v н)/(t к - t н)
     • Напишите переменные: v к = 46,1 м/с, v н = 18,5 м/с, t к = 2,47 с, t н = 0 с.
     • Вычисление: a = (46,1 - 18,5)/2,47 = 11,17 м/с 2 .
   • Пример 2: мотоцикл начинает торможение при скорости 22,4 м/с и останавливается через 2,55 с. Найдите среднее ускорение.
     • Напишите формулу: a = Δv / Δt = (v к - v н)/(t к - t н)
     • Напишите переменные: v к = 0 м/с, v н = 22,4 м/с, t к = 2,55 с, t н = 0 с.
     • Вычисление: а = (0 - 22,4)/2,55 = -8,78 м/с 2 .

Вычисление ускорения по силе

1. Второй закон Ньютона. Согласно второму закону Ньютона тело будет ускоряться, если силы, действующие на него, не уравновешивают друг друга. Такое ускорение зависит от результирующей силы, действующей на тело. Используя второй закон Ньютона, вы можете найти ускорение тела, если вам известна его масса и сила, действующая на это тело.

   • Второй закон Ньютона описывается формулой: F рез = m x a , где F рез – результирующая сила, действующая на тело, m – масса тела, a – ускорение тела.
   • Работая с этой формулой, используйте единицы измерения метрической системы, в которой масса измеряется в килограммах (кг), сила в ньютонах (Н), а ускорение в метрах в секунду за секунду (м/с 2).

2. Найдите массу тела. Для этого положите тело на весы и найдите его массу в граммах. Если вы рассматриваете очень большое тело, поищите его массу в справочниках или в интернете. Масса больших тел измеряется в килограммах.

   • Для вычисления ускорения по приведенной формуле необходимо преобразовать граммы в килограммы. Разделите массу в граммах на 1000, чтобы получить массу в килограммах.

3. Найдите результирующую силу, действующую на тело. Результирующая сила не уравновешивается другими силами. Если на тело действуют две разнонаправленные силы, причем одна из них больше другой, то направление результирующей силы совпадает с направлением большей силы. Ускорение возникает тогда, когда на тело действует сила, которая не уравновешена другими силами и которая приводит к изменению скорости тела в направлении действия этой силы.

   Преобразуйте формулу F = ma так, чтобы вычислить ускорение. Для этого разделите обе стороны этой формулы на m (массу) и получите: a = F/m. Таким образом, для нахождения ускорения разделите силу на массу ускоряющегося тела.

   • Сила прямо пропорциональна ускорению, то есть чем больше сила, действующая на тело, тем быстрее оно ускоряется.
   • Масса обратно пропорциональна ускорению, то есть чем больше масса тела, тем медленнее оно ускоряется.

4. Вычислите ускорение по полученной формуле. Ускорение равно частному от деления результирующей силы, действующей на тело, на его массу. Подставьте данные вам значения в эту формулу, чтобы вычислить ускорение тела.

   • Например: сила, равная 10 Н, действует на тело массой 2 кг. Найдите ускорение тела.
   • a = F/m = 10/2 = 5 м/с 2

Проверка ваших знаний

1. Направление ускорения. Научная концепция ускорения не всегда совпадает с использованием этой величины в повседневной жизни. Помните, что у ускорения есть направление; ускорение имеет положительное значение, если оно направлено вверх или вправо; ускорение имеет отрицательное значение, если оно направлено вниз или влево. Проверьте правильность вашего решения, основываясь на следующей таблице:

2. Пример: игрушечная лодка массой 10 кг движется на север с ускорением 2 м/с 2 . Ветер, дующий в западном направлении, действует на лодку с силой 100 Н. Найдите ускорение лодки в северном направлении.
3. Решение: так как сила перпендикулярна направлению движения, то она не влияет на движение в этом направлении. Поэтому ускорение лодки в северном направлении не изменится и будет равно 2 м/с 2 .

4. Результирующая сила. Если на тело действуют сразу несколько сил, найдите результирующую силу, а затем приступайте к вычислению ускорения. Рассмотрим следующую задачу (в двумерном пространстве):

   • Владимир тянет (справа) контейнер массой 400 кг с силой 150 Н. Дмитрий толкает (слева) контейнер с силой 200 Н. Ветер дует справа налево и действует на контейнер с силой 10 Н. Найдите ускорение контейнера.
   • Решение: условие этой задачи составлено так, чтобы запутать вас. На самом деле все очень просто. Нарисуйте схему направления сил, так вы увидите, что сила в 150 Н направлена вправо, сила в 200 Н тоже направлена вправо, а вот сила в 10 Н направлена влево. Таким образом, результирующая сила равна: 150 + 200 - 10 = 340 Н. Ускорение равно: a = F/m = 340/400 = 0,85 м/с 2 .

По принципу суперпозиции:

Þ

внутри объёма , вне объёма . (16)

Разность потенциалов

Þ Þ

. (15)

Таким образом, поле заряженных плоскостей однородно и сосредоточено в объёме между плоскостями.

32. Укажите, что мы называем массой (m) тела.

г) Меру инертности тел и их гравитационных свойств.

33. Что называется силой?

б) Причина ускорения тела.

34. Что называется импульсом тела?

а) Произведение массы тела на его скорость ().

35. Укажите единицу измерения импульса тела в системе СИ.

д) кг×м/с.

36. В чем состоит основная прямая задача динамики.

а) По заданной массе тела и зависимости результирующей силы , найти радиус-вектор тела в любой момент времени и определить траекторию движения тела.

37. В чем состоит обратная задача динамики?

б) По заданной массе тела и известной зависимости , определить силы, обеспечившие данное движение.

38. Что мы называем импульсом силы?

в) Величину равную

39. Найдите продолжение фразы «Момент силы это вектор направленный …»

а) параллельно силе.

40. Укажите выражение реактивной силы по отношению к системе координат, связанной с движущимся телом.

41. Какое из представленных ниже соотношений отображает универсальную форму записи основного уравнения динамики поступательного движения?

42. Какое из представленных ниже соотношений отображает универсальную форму записи второго закона Ньютона?

43. От чего зависит изменение импульса тела?

в) От массы тела и скорости его движения.

44. В каких случаях можно воспользоваться следующей формой записи второго закона Ньютона
F = ma?

г) При рассмотрении прямолинейных движений тел постоянной массы.

45. В каких случаях следует пользоваться только следующей формой записи второго закона
Ньютона ?

г) При рассмотрении движения тел неизменной массы.

46. В каких случаях нужно воспользоваться следующей формой записи второго закона Ньютона ?

в) При рассмотрении движения тел переменной массы.

47. Что мы называем центром масс?

а) Это точка, определяемая соотношением

48. На каких рисунках правильно изображены силы реакции опоры?

Б, В

48-а. На каком из рисунков изображено тело,

находящееся в состоянии безразличного равновесия?

?50. Какой из рисунков правильно отражает связь между линейной и угловой скоростями точки?

51. Какие соотношения соответствуют связям между линейными и угловыми кинематическими характеристиками движения?

52. Как связаны между собой элементарные линейное и угловое перемещения точки, движущейся по окружности?

53. Как направлен вектор угловой скорости секундной стрелки часов, когда Вы смотрите на них?

д) Вдоль оси вращения от нас, если мы смотрим на циферблат.

54. Как направлен вектор углового ускорения, если ось вращения неподвижна?

а) По касательной к траектории движения в сторону вращения, если e > < 0. б) Перпендикулярно к траектории движения к центру кривизны, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. в) Вдоль направления движения, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. г) Вдоль оси вращения сонаправлено с угловой скоростью, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. д) Правильного ответа нет. (Свой вариант ответа)

55. Как направлен вектор угловой скорости?

а) По касательной к траектории движения в сторону вращения, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. б) Перпендикулярно к траектории движения к центру кривизны, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. в) Вдоль направления движения, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. г) Вдоль оси вращения так, чтобы из его конца движение точек тела наблюдалось происходящим против часовой стрелки. д) Правильного ответа нет. (Свой вариант ответа)

56. Что называется вектором углового ускорения?

а) Вектор, характеризующий поворот тела на некоторый угол j, заданный в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью вращения. б) Аксиальный вектор, направленный по оси вращения так, что с конца этого вектора видно вращение тела против часовой стрелки. в) Вектор, направленный вдоль оси, вокруг которой вращается тело. г) Физическая величина , характеризующая быстроту изменения вектора угловой скорости тела. д) Вектор, характеризующий неравномерное вращения тела, направленный в ту же сторону, что в , если >0 и в противоположную сторону в противном случае.

57. Что называется вектором угловой скорости (w )?

а) Вектор характеризующий поворот тела на некоторый угол j заданный в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадаете осью вращения. б) Аксиальный вектор, направленный по оси вращения так, что с конца этого вектора вращение тела видно происходящим против часовой стрелки. в) Вектор , направленный вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, определяемую правилом правого винта. г) Физическая величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота тела в единицу времени. д) Правильного ответа здесь нет. (Свой вариант)

58. Момент импульса точки

в) Моментом импульса материальной точки называется векторное произведение .

59. В каких единицах измеряется момент силы?

г) кг×м 2 /с 2

60. В каких единицах измеряется момент импульса?

б) кг×м 2 /с

61. В каких единицах измеряется момент инерции?

г) кг×м 2

62. Какое соотношение является универсальной формой записи основного уравнения динамики вращательного движения точки?

63. Какое из уравнений является основным уравнением динамики вращательного движения абсолютно твердого тела?

а) б) в) г) д)

64. Какая из приведенных формул является наиболее общей записью основного закона динамики вращательного движения атт?

а) б) в) г) д)

65. Найдите продолжение фразы «Момент инерции – это …»

а) … инерция в данный момент времени. б) … мера взаимодействия между телами, участвующими во вращательном движении. в) … мера инертности тела в данный момент времени. г) … мера инертности тела при его вращательном движении. д) Правильного продолжения нет. (Свой вариант)

66. Найдите продолжение фразы «Момент силы – это …»