Вероятность случайного события примеры. Теория вероятностей введение. Решения к задачам

1.1. Некоторые сведения из комбинаторики

1.1.1. Размещения

Рассмотрим простейшие понятия, связанные с выбором и расположением некоторого множества объектов.
Подсчет числа способов, которыми можно совершить эти действия, часто производится при решении вероятностных задач.
Определение . Размещением из n элементов по k (k ≤ n ) называется любое упорядоченное подмножество из k элементов множества, состоящего из n различных элементов.
Пример. Следующие последовательности цифр являются размещениями по 2 элемента из 3 элементов множества {1;2;3}: 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Заметим, что размещения отличаются порядком входящих в них элементов и их составом. Размещения 12 и 21 содержат одинаковые цифры, но порядок их расположения различен. Поэтому эти размещения считаются разными.
Число различных размещений из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле:
,
где n ! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙ n (читается «n – факториал»).
Число двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3 при условии, что ни одна цифра не повторяется равно: .

1.1.2. Перестановки

Определение . Перестановками из n элементов называются такие размещения из n элементов, которые различаются только расположением элементов.
Число перестановок из n элементов P n вычисляется по формуле: P n =n !
Пример. Сколькими способами могут встать в очередь 5 человек? Количество способов равно числу перестановок из 5 элементов, т.е.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Определение . Если среди n элементов k одинаковых, то перестановка этих n элементов называется перестановкой с повторениями.
Пример. Пусть среди 6 книг 2 одинаковые. Любое расположение всех книг на полке - перестановка с повторениями.
Число различных перестановок с повторениями (из n элементов, среди которых k одинаковых) вычисляется по формуле: .
В нашем примере число способов, которыми можно расставить книги на полке, равно: .

1.1.3. Сочетания

Определение . Сочетаниями из n элементов по k называются такие размещения из n элементов по k , которые одно от другого отличаются хотя бы одним элементом.
Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле: .
По определению 0!=1.
Для сочетаний справедливы следующие свойства:
1.
2.
3.
4.
Пример. Имеются 5 цветков разного цвета. Для букета выбирается 3 цветка. Число различных букетов по 3 цветка из 5 равно: .

1.2. Случайные события

1.2.1. События

Познание действительности в естественных науках происходит в результате испытаний (эксперимента, наблюдений, опыта).
Испытанием или опытом называется осуществление какого-нибудь определенного комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз.
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).
Таким образом, событие рассматривается как результат испытания.
Пример. Бросание монеты – это испытание. Появление орла при бросании – событие.
Наблюдаемые нами события различаются по степени возможности их появления и по характеру их взаимосвязи.
Событие называется достоверным , если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.
Пример. Получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.
Событие называется невозможным , если оно не может произойти в результате данного испытания.
Пример. Извлечение из урны белого шара, в которой находятся лишь цветные (небелые) шары, есть событие невозможное. Отметим, что при других условиях опыта появления белого шара не исключается; таким образом, это событие невозможно лишь в условиях нашего опыта.
Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами A,B,C... Достоверное событие обозначим буквой Ω, невозможное – Ø.
Два или несколько событий называются равновозможными в данном испытании, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным или менее возможным, чем другие.
Пример. При одном бросании игральной кости появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков - все это события равновозможные. Предполагается, конечно, что игральная кость изготовлена из однородного материала и имеет правильную форму.
Два события называются несовместными в данном испытании, если появление одного из них исключает появление другого, и совместными в противном случае.
Пример. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Берем на удачу одну деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. Эти события несовместные.
Несколько событий образуют полную группу событий в данном испытании, если в результате этого испытания обязательно наступит хотя бы одно из них.
Пример. События из примера образуют полную группу равновозможных и попарно несовместных событий.
Два несовместных события, образующих полную группу событий в данном испытании, называютсяпротивоположными событиями .
Если одно из них обозначено через A , то другое принято обозначать через (читается «не A »).
Пример. Попадание и промах при одном выстреле по цели - события противоположные.

1.2.2. Классическое определение вероятности

Вероятность события – численная мера возможности его наступления.
Событие А называется благоприятствующим событию В , если всякий раз, когда наступает событие А , наступает и событие В .
События А 1 , А 2 , ..., А n образуют схему случаев , если они:
1) равновозможны;
2) попарно несовместны;
3) образуют полную группу.
В схеме случаев (и только в этой схеме) имеет место классическое определение вероятности P (A ) события А . Здесь случаем называют каждое из событий, принадлежащих выделенной полной группе равновозможных и попарно несовместных событий.
Если n – число всех случаев в схеме, а m – число случаев, благоприятствующих событию А , то вероятность события А определяется равенством:

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый случай в схеме случаев благоприятствует событию. В этом случае m = n и, следовательно,

2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один случай из схемы случаев не благоприятствует событию. Поэтому m =0 и, следовательно,

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа случаев в схеме случаев. Поэтому 0<m <n , а, значит, 0<m /n <1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
0 ≤ P(A) ≤ 1.
В настоящее время свойства вероятности определяются в виде аксиом, сформулированных А.Н. Колмогоровым.
Одним из основных достоинств классического определения вероятности является возможность вычислить вероятность события непосредственно, т.е. не прибегая к опытам, которые заменяют логическими рассуждениями.

Задачи непосредственного вычисления вероятностей

Задача 1.1 . Какова вероятность появления четного числа очков (событие А) при одном бросании игрального кубика?
Решение . Рассмотрим события А i – выпало i очков, i = 1, 2, …,6. Очевидно, что эти события образуют схему случаев. Тогда число всех случаев n = 6. Выпадению четного числа очков благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 , т.е. m = 3. Тогда .
Задача 1.2 . В урне 5 белых и 10 черных шаров. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
Решение . Всего имеется 15 случаев, которые образуют схему случаев. Причем ожидаемому событию А – появлению белого шара, благоприятствуют 5 из них, поэтому .
Задача 1.3 . Ребенок играет с шестью буквами азбуки: А, А, Е, К, Р, Т. Найти вероятность того, что он сможет сложить случайно слово КАРЕТА (событие А).
Решение . Решение осложняется тем, что среди букв есть одинаковые – две буквы «А». Поэтому число всех возможных случаев в данном испытании равно числу перестановок с повторениями из 6 букв:
.
Эти случаи равновозможны, попарно несовместны и образуют полную группу событий, т.е. образуют схему случаев. Лишь один случай благоприятствует событию А . Поэтому
.
Задача 1.4 . Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из 10 человек. Они оба очень хотели сидеть рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если среди их друзей принято места распределять путем жребия?
Решение . Обозначим через А событие «исполнение желания Тани и Вани». 10 человек могут усесться за стол 10! разными способами. Сколько же из этих n = 10! равновозможных способов благоприятны для Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут занять 20 разных позиций. В то же время восьмерка их друзей может сесть за стол 8! разными способами, поэтому m = 20∙8!. Следовательно,
.
Задача 1.5 . Группа из 5 женщин и 20 мужчин выбирает трех делегатов. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть выбран, найти вероятность того, что выберут двух женщин и одного мужчину.
Решение . Общее число равновозможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать трех делегатов из 25 человек, т.е. . Подсчитаем теперь число благоприятствующих случаев, т.е. число случаев, при которых имеет место интересующее нас событие. Мужчина-делегат может быть выбран двадцатью способами. При этом остальные два делегата должны быть женщинами, а выбрать двух женщин из пяти можно . Следовательно, . Поэтому
.
Задача 1.6. Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем лункам, каждый шарик попадает в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью и независимо от других (препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, в другой - один, а в двух остальных лунках шариков не будет.
Решение. Общее число случаев n =4 4 . Число способов, которыми можно выбрать одну лунку, где будут три шарика, . Число способов, которыми можно выбрать лунку, где будет один шарик, . Число способов, которыми можно выбрать из четырех шариков три, чтобы положить их в первую лунку, . Общее число благоприятных случаев . Вероятность события:
Задача 1.7. В ящике 10 одинаковых шаров, помеченных номерами 1, 2, …, 10. На удачу извлечены шесть шаров. Найти вероятность того, что среди извлечённых шаров окажутся: а) шар №1; б) шары №1 и №2.
Решение . а) Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шесть шаров из десяти, т.е.
Найдём число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди отобранных шести шаров есть шар №1 и, следовательно, остальные пять шаров имеют другие номера. Число таких исходов, очевидно, равно числу способов, которыми можно отобрать пять шаров из оставшихся девяти, т.е.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов:
б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди отобранных шаров есть шары №1 и №2, следовательно, четыре шара имеют другие номера), равно числу способов, которыми можно извлечь четыре шаров из оставшихся восьми, т.е. Искомая вероятность

1.2.3. Статистическая вероятность

Статистическое определение вероятности используется в случае, когда исходы опыта не являются равновозможными.
Относительная частота события А определяется равенством:
,
где m – число испытаний, в которых событие А наступило, n – общее число произведенных испытаний.
Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события. Поэтому, естественно, относительную частоту появления события при достаточно большом числе испытаний называть статистической вероятностью в отличие от ранее введенной вероятности.
Пример 1.8 . Как приближенно установить число рыб в озере?
Пусть в озере х рыб. Забрасываем сеть и, допустим, находим в ней n рыб. Каждую из них метим и выпускаем обратно. Через несколько дней в такую же погоду и в том же месте забрасываем ту же самую сеть. Допустим, что находим в ней m рыб, среди которых k меченных. Пусть событие А – «пойманная рыба мечена». Тогда по определению относительной частоты .
Но если в озере х рыб и мы в него выпустили n меченых, то .
Так как Р * (А ) » Р (А ), то .

1.2.4. Операции над событиями. Теорема сложения вероятностей

Суммой , или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (в одном и том же испытании).
Сумма А 1 + А 2 + … + А n обозначается так:
или .
Пример . Бросаются две игральные кости. Пусть событие А состоит в выпадении 4 очков на 1 кости, а событие В – в выпадении 5 очков на другой кости. События А и В совместны. Поэтому событие А +В состоит в выпадении 4 очков на первой кости, или 5 очков на второй кости, или 4 очков на первой кости и 5 очков на второй одновременно.
Пример. СобытиеА – выигрыш по 1 займу, событие В – выигрыш по 2 займу. Тогда событие А+В – выигрыш хотя бы по одному займу (возможно по двум сразу).
Произведением или пересечением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий (в одном и том же испытании).
Произведение В событий А 1 , А 2 , …, А n обозначается так:
.
Пример. События А и В состоят в успешном прохождении I и II туров соответственно при поступлении в институт. Тогда событие А ×В состоит в успешном прохождении обоих туров.
Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть событие А есть попадание точки в область А , а событие В – попадание точки в область В . Тогда событие А+В есть попадание точки в объединение этих областей (рис. 2.1), а событие А В есть попадание точки в пересечение этих областей (рис. 2.2).

Рис. 2.1 Рис. 2.2
Теорема . Если события A i (i = 1, 2, …, n ) попарно несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:
.
Пусть А и Ā – противоположные события, т.е. А + Ā = Ω, где Ω – достоверное событие. Из теоремы сложения вытекает, что
Р(Ω) = Р (А ) + Р (Ā ) = 1, поэтому
Р (Ā ) = 1 – Р (А ).
Если события А 1 и А 2 совместны, то вероятность суммы двух совместных событий равна:
Р (А 1 + А 2) = Р (А 1) + Р (А 2) – Р(А 1 ×А 2).
Теоремы сложения вероятностей позволяют перейти от непосредственного подсчета вероятностей к определению вероятностей наступления сложных событий.
Задача 1.8 . Стрелок производит один выстрел по мишени. Вероятность выбить 10 очков (событие А ), 9 очков (событие В ) и 8 очков (событие С ) равны соответственно 0,11; 0,23; 0,17. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет менее 8 очков (событие D ).
Решение . Перейдем к противоположному событию – при одном выстреле стрелок выбьет не менее 8 очков. Событие наступает, если произойдет А или В , или С , т.е. . Так как события А, В , С попарно несовместны, то, по теореме сложения,
, откуда .
Задача 1.9 . От коллектива бригады, которая состоит из 6 мужчин и 4 женщин, на профсоюзную конференцию выбирается два человека. Какова вероятность, что среди выбранных хотя бы одна женщина (событие А ).
Решение . Если произойдет событие А , то обязательно произойдет одно из следующих несовместных событий: В – «выбраны мужчина и женщина»; С – «выбраны две женщины». Поэтому можно записать: А=В+С . Найдем вероятность событий В и С . Два человека из 10 можно выбрать способами. Двух женщин из 4 можно выбрать способами. Мужчину и женщину можно выбрать 6 ×4 способами. Тогда . Так как события В и С несовместны, то, по теореме сложения,
Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + Р(С ) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Задача 1.10. На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А ).
Решение . Первый способ. Требование – хотя бы один из трех взятых учебников в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В – один учебник в переплете, С – два учебника в переплете, D – три учебника в переплете.
Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: A=B+C+D . По теореме сложения,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Найдем вероятность событий B, C и D (см комбинаторные схемы):

Представив эти вероятности в равенство (2.1), окончательно получим
P(A) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Второй способ. Событие А (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и Ā (ни один из взятых учебников не имеет переплета) – противоположные, поэтому P(A) + P(Ā ) = 1 (сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1). Отсюда P(A ) = 1 – P(Ā). Вероятность появления события Ā (ни один из взятых учебников не имеет переплета)
Искомая вероятность
P(A ) = 1 – P(Ā ) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Условной вероятностью Р(В /А ) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.
Теорема . Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р(А ∙В) = Р(А )∙Р(В /А ). (2.2)
Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого, т.е.
Р(А) = Р(А/В ) или Р(В ) = Р(В /А ). (2.3)
Если события А и В независимы, то из формул (2.2) и (2.3) следует
Р(А ∙В) = Р(А )∙Р(В ). (2.4)
Справедливо и обратное утверждение, т.е. если для двух событий выполняется равенство (2.4), то эти события независимы. В самом деле, из формул (2.4) и (2.2) вытекает
Р(А ∙В) = Р(А )∙Р(В ) = Р(А ) ×Р(В /А ), откуда Р(А ) = Р(В /А ).
Формула (2.2) допускает обобщение на случай конечного числа событий А 1 , А 2 ,…,А n :
Р(А 1 ∙А 2 ∙…∙А n )=Р(А 1)∙Р(А 2 /А 1)∙Р(А 3 /А 1 А 2)∙…∙Р(А n /А 1 А 2 …А n -1).
Задача 1.11 . Из урны, в которой 5 белых и 10 черных шаров, вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые (событие А ).
Решение . Рассмотрим события: В – первый вынутый шар белый; С – второй вынутый шар белый. Тогда А = ВС .
Опыт можно провести двумя способами:
1) с возвращением: вынутый шар после фиксации цвета возвращается в урну. В этом случае события В и С независимы:
Р(А) = Р(В )∙Р(С ) = 5/15 ×5/15 = 1/9;
2) без возвращения: вынутый шар откладывается в сторону. В этом случае события В и С зависимы:
Р(А) = Р(В )∙Р(С /В ).
Для события В условия прежние, , а для С ситуация изменилась. Произошло В , следовательно в урне осталось 14 шаров, среди которых 4 белых .
Итак, .
Задача 1.12 . Среди 50 электрических лампочек 3 нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки нестандартные.
Решение . Рассмотрим события: А – первая лампочка нестандартная, В – вторая лампочка нестандартная, С – обе лампочки нестандартные. Ясно, что С = А ∙В . Событию А благоприятствуют 3 случая из 50 возможных, т.е. Р(А ) = 3/50. Если событие А уже наступило, то событию В благоприятствуют два случая из 49 возможных, т.е. Р(В /А ) = 2/49. Следовательно,
.
Задача 1.13 . Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?
Решение . Мишень будет поражена, если в нее попадет либо первый стрелок, либо второй, либо оба вместе, т.е. произойдет событие А+В , где событие А заключается в попадании в мишень первым спортсменом, а событие В – вторым. Тогда
Р(А +В )=Р(А )+Р(В )–Р(А ∙В )=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Задача 1.14. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что два учебника окажутся в переплете.
Решение . Введем обозначения событий: A – первый взятый учебник имеет переплет, В – второй учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый учебник имеет переплет,
P(A ) = 3/6 = 1/2.
Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т.е. условная вероятность события В , такова: P(B /А) = 2/5.
Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей событий равна
P(AB ) = P(A ) ∙ P(B /А) = 1/2·∙ 2/5 = 0,2.
Задача 1.15. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
Решение . Введем обозначения событий: A – первым отобран мужчина, В – вторым отобран мужчина, С – третьим отобран мужчина. Вероятность того, что первым будет отобран мужчина, P(A ) = 7/10.
Вероятность того, что вторым отобран мужчина, при условии, что первым уже был отобран мужчина, т.е. условная вероятность события В следующая: P(B/А ) = 6/9 = 2/3.
Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, т.е. условная вероятность события С такова: P(C /АВ ) = 5/8.
Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами, P(ABC) = P(A ) P(B /А ) P(C /АВ ) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть B 1 , B 2 ,…, B n – попарно несовместные события (гипотезы) и А – событие, которое может произойти только совместно с одним из них.
Пусть, кроме того, нам известны Р(B i ) и Р(А /B i ) (i = 1, 2, …, n ).
В этих условиях справедливы формулы:
(2.5)
(2.6)
Формула (2.5) называется формулой полной вероятности . По ней вычисляется вероятность события А (полная вероятность).
Формула (2.6) называется формулой Байеса . Она позволяет произвести пересчет вероятностей гипотез, если событие А произошло.
При составлении примеров удобно считать, что гипотезы образуют полную группу.
Задача 1.16 . В корзине яблоки с четырех деревьев одного сорта. С первого – 15% всех яблок, со второго – 35%, с третьего – 20%, с четвертого – 30%. Созревшие яблоки составляют соответственно 99%, 97%, 98%, 95%.
а) Какова вероятность того, что наугад взятое яблоко окажется спелым (событие А ).
б) При условии, что наугад взятое яблоко оказалось спелым, вычислить вероятность того, что оно с первого дерева.
Решение . а) Имеем 4 гипотезы:
B 1 – наугад взятое яблоко снято с 1-го дерева;
B 2 – наугад взятое яблоко снято с 2-го дерева;
B 3 – наугад взятое яблоко снято с 3-го дерева;
B 4 – наугад взятое яблоко снято с 4-го дерева.
Их вероятности по условию: Р(B 1) = 0,15; Р(B 2) = 0,35; Р(B 3) = 0,2; Р(B 4) = 0,3.
Условные вероятности события А :
Р(А /B 1) = 0,99; Р(А /B 2) = 0,97; Р(А /B 3) = 0,98; Р(А /B 4) = 0,95.
Вероятность того, что наудачу взятое яблоко окажется спелым, находится по формуле полной вероятности:
Р(А )=Р(B 1)∙Р(А /B 1)+Р(B 2)∙Р(А /B 2)+Р(B 3)∙Р(А /B 3)+Р(B 4)∙Р(А /B 4)=0,969.
б) Формула Байеса для нашего случая имеет вид:
.
Задача 1.17. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение . Обозначим через А событие – извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: B 1 – белых шаров нет, В 2 – один белый шар, В 3 – два белых шара.
Поскольку всего имеется три гипотезы, и сумма вероятностей гипотез равна 1 (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3,т.е.
P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, Р(А /B 1)=1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, Р(А /B 2)=2/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара Р(А /B 3)=3/ 3=1.
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:
Р (А )=Р(B 1)∙Р(А /B 1)+Р(B 2)∙Р(А /B 2)+Р(B 3)∙Р(А /B 3)=1/3·1/3+1/3·2/3+1/3·1=2/3.
Задача 1.18 . Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение . Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения: B 1 – деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) Р(А /B 1) = 2/3; B 2 – деталь произведена вторым автоматом, причем P(B 2) = 1/3.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом,Р(А /B 1)=0,6.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом,Р(А /B 1)=0,84.
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна
Р(А )=Р(B 1) ∙Р(А /B 1)+Р(B 2) ∙Р(А /B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

Задача 1.19 . Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равны 20, 15, 10. Из выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Детали возвращают в партию и вторично из этой же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
Решение . Обозначим через А событие – в каждом из двух испытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь. Можно сделать три предположения (гипотезы): B 1 – детали извлекаются из первой партии, В 2 – детали извлекаются из второй партии, В 3 – детали извлекаются из третьей партии.
Детали извлекались наудачу из взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы:  P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Найдем условную вероятность Р(А /B 1), т.е. вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали. Это событие достоверно, т.к. в первой партии все детали стандартны, поэтому Р(А /B 1) = 1.
Найдем условную вероятность Р(А /B 2), т.е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали: Р(А /B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Найдем условную вероятность Р(А /B 3), т.е. вероятность того, что из третьей партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали: Р(А /B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Искомая вероятность того, что обе извлеченные стандартные детали взяты из третьей партии, по формуле Бейеса равна

1.2.7. Повторные испытания

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну ту же вероятность.
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна 1–р. Такая вероятностная схема называется схемой Бернулли . Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при п испытаниях по схеме Бернулли событие А осуществится ровно k раз (k – число успехов) и, следовательно, не осуществится п– раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности. Искомую вероятность обозначим Р п (k ). Например, символ Р 5 (3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли, которая имеет вид:
.
Задача 1.20. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р =0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равнар =0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q= 1–р =1–0,75=0,25.
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна
.
Задача 1.21 . Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?
Решение . Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р = 1/2, следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Т.к. во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлична, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:

Т.к. P 4 (2) > P 6 (3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.
Однакоможно видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами и поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.
Для решения этой проблемы существуют несколько предельных теорем, которые используются для случая большого числа испытаний.
1. Теорема Пуассона
При проведении большого числа испытаний по схеме Бернулли (при n => ∞) и при малом числе благоприятных исходов k (при этом предполагается, что вероятность успеха p мала), формула Бернулли приближается к формуле Пуассона
.
Пример 1.22. Вероятность брака при выпуске предприятием единицы продукции равна p =0,001. Какая вероятность, что при выпуске 5000 единиц продукции из них будет менее 4 бракованных (событие А Решение . Т.к. n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Вычислим x :
Функция – четная, поэтому φ(–1,67) = φ(1,67).
По таблице приложения П.1 найдем φ(1,67) = 0,0989.
Искомая вероятность P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Интегральная теорема Лапласа
Если вероятность р появления события A в каждом испытании по схеме Бернулли постоянна и отлична от нуля и единицы, то при большом числе испытаний n , вероятность Р п (k 1 , k 2) появления события A в этих испытаниях от k 1 доk 2 раз приближенно равна
Р п (k 1 , k 2) = Φ (x"" ) – Φ (x" ), где
– функция Лапласа,

Определенный интеграл, стоящий в функции Лапласа не вычисляется на классе аналитических функций, поэтому для его вычисления используется табл. П.2, приведенная в приложении.
Пример 1.24. Вероятность появления события в каждом из ста независимых испытаний постоянна и равна p = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: a) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
Решение . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Р п (k 1 , k 2) = Φ (x"" ) – Φ(x" ), где Ф(x ) – функция Лапласа,

а) По условию, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Вычислим x"" и x" :


Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т.е. Ф(-x ) = – Ф( x ), получим
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
По табл. П.2. приложения найдем:
Ф(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Искомая вероятность
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75, либо 76, …, либо 100. Т.о., в рассматриваемом случае следует принять k 1 = 75, k 2 = 100. Тогда

.
По табл. П.2. приложения найдем Ф(1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Искомая вероятность
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
в) Событие – «А появилось не менее 75 раз» и «А появилось не более 74 раз» противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна 1. Следовательно, искомая вероятность
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

В этой главе приводится краткий обзор основных понятий и результатов теории вероятностей, которые используются в курсе эконометрики.

Теория вероятностей исследует закономерности случайных явлений, изучает случайные величины, оценивает вероятности случайных событий.

Одно из основных понятий теории вероятностей – случайное событие . Под событием понимается любое явление, которое происходит в результате осуществления определенного комплекса условий. В теории вероятностей любое событие рассматривается как результат некоторого эксперимента , т.е. осуществления определенного комплекса условий (синонимами термина эксперимент являются опыт, испытание, наблюдение). В связи с этим часто вместо термина событие используется термин исход . Эксперимент, результат которого не предсказуем заранее в силу различных причин, называется случайным (вероятностным ). В частности, любое действие в экономике по своей сути является случайным экспериментом.

Событие, которое может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента, называется случайным . Если событие обязательно произойдет в условиях эксперимента, то оно называется достоверным . Событие, называется невозможным , если в условиях данного эксперимента оно никогда не произойдет.

Например, создание какой-либо фирмы в контексте получения прибыли является случайным экспериментом, поскольку результатом такого эксперимента может быть только случайное событие, т.е. прибыль может быть, а может и не быть. То, что спрос на бытовую технику упадет при резком снижении доходов населения, в экономике рассматривается как достоверное событие. То, что увеличение спроса на автомобили приведет к снижению их цены, рассматривается как невозможное событие.

В теории вероятностей события обычно обозначаются большими латинскими буквами, например A , B , C . Достоверное событие обозначается буквой W, а невозможное событие – символом Æ.

Следует отметить, что в теории вероятностей рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторить (воспроизвести) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере, теоретически). В связи с этим, в теории вероятностей имеют дело с повторением испытаний двух типов: 1) повторение испытаний для одного и того же объекта; 2) испытание многих сходных объектов. Например, можно исследовать продукцию, выпущенную каким-либо одним станком за определенный период времени, а можно исследовать продукцию, выпущенную несколькими одинаковыми станками, но в фиксированный момент времени. С точки зрения теории вероятностей такие серии экспериментов эквивалентны.

Чтобы охарактеризовать вероятность события числом, нужно установить единицу измерения вероятности. Здесь поступают следующим образом: достоверному событию приписывают вероятность, равную единице; невозможному – равную нулю. Таким образом, вероятность P (A ) события А должна удовлетворять следующим условиям:

1 о. P (A )=1, если А – достоверное событие ;

2 о. P (A )=0, если А – невозможное событие ;

3 о. 0<P (A )<1, если А – случайное событие .

При различных подходах к вероятности, величина P (A ) может трактоваться по-разному. В экономических исследованиях часто используются статистическое определение вероятности , т.е. под вероятностью события A понимается величина

где под n понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие A встречалось ровно m раз (конечно, число наблюдений n должно быть достаточно большим).

Пример 2.1. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные данные были представлены в виде таблицы:

Если акция выбрана случайно из набора в 246 акций, то чему равна вероятность того, что: а) она из числа тех акций, которые увеличились в цене; б) по ней выплачены дивиденды; в) по ней не выплачены дивиденды, и она не выросла в цене.

Решение. Используя статистическое определение вероятности, легко получаем:

а) ;

б) ;

г) . â

В задачах, использующих вероятностные количественные характеристики, приходится по вероятностям одних событий оценивать вероятности других событий. Для этого используются различные соотношения, в основе которых лежат теоремы сложения и умножения вероятностей.

События называются несовместными , если они не могут наблюдаться одновременно в одном и том же эксперименте.

Суммой событий A и B называется событие A+B , состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

Пример 2.2. В ходе исследования потребительского рынка проводили опрос потребителей. В частности, один из вопросов касался сорта зубной пасты, которую использует потребитель. Если известно, что 14% населения использует сорт A , а 9% – сорт B , то чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек будет использовать одну из двух паст. (Предполагается, что в данный момент человек использует только одну пасту).

Решение. Пусть A A , а B – событие, состоящее в том, что выбранный человек использует пасту сорта B. Поскольку события A и B несовместные по условию задачи, то, используя теорему сложения вероятностей (2.2), получим

Если появление одного из событий не меняет вероятности появления другого события, то такие события называются независимыми .

Произведением событий A и B называется событие , состоящее в появлении одновременно обоих этих событий.

Вероятность произведения независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 2.3. Алмазы, возможно, вскоре станут использовать в качестве полупроводников в спутниках связи. Теория предсказывает, алмазные микросхемы будут более быстродействующими, термо- радиационностойкими, что особенно важно для приборов, работающих в космосе. По оценкам экспертов, вероятности этих трех событий равны 0,9; 0,9 и 0,95 соответственно. Предполагается, что обсуждением проекта по разработке алмазных микросхем стоит вести лишь в том случае, если имеется хотя бы 70% уверенности в том, что они будут обладать всеми тремя указанными свойствами. Должен ли обсуждаться проект?

Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более быстродействующими, B – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более термостойкими, C – событие, состоящее в том, что алмазные микросхемы будут более радиационностойкими. Поскольку события A , B и С независимы, то, используя теорему умножения вероятностей (2.3), получим

Таким образом, поскольку 0,7695>0,7, то предложенный проект следует обсуждать. â

В ряде случаев вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Такие события называются зависимыми .

Вероятность события A , вычисленная при условии, что имело место другое событие B , называется условной вероятностью события A и обозначается или .

Вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже имело место:

Пример 2.4. Одна из наиболее сложных проблем рыночных исследований – отказ потребителей отвечать на вопросы о потребительских предпочтениях, либо, если опрос проводится по месту жительства, – отсутствие их дома на момент опроса. Предположим, что исследователь рынка с вероятностью в 0,94 верит, респондент согласится отвечать на вопросы анкеты, если окажется дома. Он также полагает, что вероятность того, что этот человек будет дома, равна 0,65. Имея такие данные, оцените процент заполненных анкет.

Решение. Пусть A – событие того, что респондент окажется дома. Вероятность этого события . Пусть B – событие того, что респондент согласится отвечать на вопросы. По условию задачи задана условная вероятность , т.е. вероятность того, что он согласится отвечать на вопросы, если он будет дома. Тогда, согласно теореме умножения вероятностей зависимых событий (2.4), вероятность того, что человек будет дома и согласится отвечать на вопросы, будет равна

т.е. процент заполненных анкет будет равен 61%. â

Вероятность суммы совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Пример 2.5. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,15. Вероятность того, что покупатель купит только пакет программ, равна 0,1. Вероятность того, что будут куплены и компьютер и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?

Решение. Пусть A – событие того, что покупатель приобретет компьютер, B – событие того, что покупатель приобретет пакет программ, тогда AB – событие того, что покупатель приобретет и компьютер, и пакет программ. Следовательно, вероятность того, что будут куплены или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе, будет равна

Два несовместных события A и называются противоположными , если при эксперименте одно из них обязательно произойдет. Иначе, для противоположных событий справедливы равенства:

Решение. Пусть A i – событие того, что i -й прохожий купит книгу. Вероятность этого события , а противоположного события . Тогда вероятность того, что хотя бы один из 20 прохожих купят книгу, будет равна

. â

Если событие B может произойти только с одним из несовместных событий A 1 , A 2 ,…, A n , образующих полную группу, т.е. , то вероятность события B может быть найдена по формуле полной вероятности :

Пример 2.7. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, товар будет иметь успех?

Решение. Пусть A 1 – событие того, что конкурент выпустит в продажу аналогичный продукт, A 2 – событие того, что конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт. Поскольку эти события несовместные и образуют полную группу, то и . По условию задачи и . В результате по формуле полной вероятности (2.9) находим

Глава 1. Основные понятия и формулы теории вероятностей ………………………………………….. 5

§ 1. Предмет теории вероятностей. Случайные

события ………………………………………. 5

§ 2. Вероятность случайного события …………... 8

§ 3 Алгебра событий …………………………….. 12

§ 4 Формула сложения вероятностей …………… 17

§ 5 Аксиоматический подход к теории

вероятностей ………………………………… 19

§ 6 Классическая схема теории вероятностей …. 24

§ 7 Геометрические вероятности ……………….. 26

§ 8 Условная вероятность. Независимость

случайных событий …………………………. 29

§ 9 Формула полной вероятности. Формулы

Байеса ……………………………………….... 39

§ 10 Комбинаторика ………………………………. 42

§ 11 Схема Бернулли ……………………………..... 49

§ 12 Вероятности при больших значениях n .

Глава 2. Случайные величины и их характеристики 62

§ 1 Случайная величина и её функция

распределения.................................................. 62

§ 2 Дискретные случайные величины................. 67

§ 3 Непрерывные случайные величины.............. 70

§ 4 Функции от случайной величины.................. 78

§ 5 Системы случайных величин ………………. 81

§ 6 Независимые случайные величины ………... 89

§ 7 Математическое ожидание случайной

величины …………………………………….. 94

§ 8 Дисперсия случайной величины ………….... 109

§ 9. Корреляционный момент и корреляция

случайных величин ……………………………. 113

Глава 3. Закон больших чисел и центральная

предельная теорема ……………………… 119

§ 1 НеравенствоЧебышева ……………………... 119

§ 2 Закон больших чисел ………………………... 123

§ 3 Центральная предельная теорема Ляпунова и

её следствия …………………………………129

Задачи по теории вероятностей …………………… 138

Индивидуальные задания № 1 по теории

вероятностей …………………………………………… 153

Индивидуальные задания № 2 по теории

вероятностей …………………………………………... 166

Таблица значений функции …….. 183

Таблица значений для функции

................................................... 185

Степени числа e ....................................................... 188

Таблица значений функции ………………..... 189

Глава I. Основные понятия и формулы теории вероятностей.

Предмет теории вероятностей. Случайные события.

Предметом теории вероятностей являются модели опытов (экспериментов, наблюдений, испытаний), которые осуществляются, как только создаются определённые совокупности условий.

Примеры опытов:

1) бросание монеты 20 раз,

2) покупка лотерейного билета,

3) приход утром (между 8 и 9 часами) на станцию метро «Новогиреево»,

На практике часто встречаются такие ситуации, когда исход проводимого нами опыта нельзя предсказать заранее с полной уверенностью. Например (смотри примеры опытов выше)

1) невозможно предсказать, что герб выпадет ровно 9 раз, или герб выпадет от 7 до 15 раз

2) выпадет ли выигрыш на лотерейный билет с таким-то номером

3) мы будем ждать электропоезд от 20 до 80 секунд

Во всех подобных ситуациях мы вынуждены считать результат опыта зависящего от случая, рассматривать его как случайное событие .

Определение. Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить.

Примером случайного события может служить выпадение герба ровно 9 раз в опыте с бросанием монеты 20 раз, выигрыш проданному лотерейному билету, будем ждать поезд от 20 до 80 секунд, совпадение даты рождения (в опыте) у двух наугад выбранных студентов на лекции по теории вероятностей и в данной аудитории.

Случайные события обозначаются в дальнейшем А , В , С и т.д.

Замечание. Согласно данному выше определению, событие считают случайным, если его наступление в результате опыта представляет собой лишь одну из двух возможностей – оно либо наступит, либо не наступит.

События, которые в результате данного опыта всегда наступают, называется достоверными (обозначение I), которые никогда не наступают – невозможными событиями (обозначение Ø).

Теория вероятностей рассматривает модели таких опытов, которые могут быть повторены в одних и тех же условиях (достаточно) неограниченное число раз, т.е. мы будем предполагать, что в принципе возможно создать много раз одни и те же условия, осуществляющие данный опыт.

Случайные события, наступление которых возможно в такого рода опытах, называются массовыми случайными событиями.

Массовые случайные события следует отличать от единичных, обладающих той особенностью, что опыт, с которым связаны эти события, принципиально невоспроизводим. Например, событие «1 января 2010 г. в Москве шел снег» является в этом смысле единичным (исключительным), так как воспроизвести наступление указанного дня много раз невозможно. В то же время событие « 1 января в Москве шёл снег» (без упоминания о годе) является несомненно, массовым: ведь наблюдать погоду в Москве 1 января можно много раз (в течение многих лет).

В самых общих словах предмет теории вероятностей может быть определён следующим образом:

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, присущих массовым случайным событиям .

Оказывается, и случайные события подчиняются некоторым (вероятностным) закономерностям. Исход каждого опыта по отношению к данному событию является случайным, неопределённым. Однако средний результат большого числа опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Например, рассмотрим опыт с бросанием данной монеты. Предположим, что бросание производится много раз подряд. Оказывается «доля» (средний результат) тех бросаний, при которых выпадает герб (т.е. отношение числа таких бросаний к числу всех бросаний) с увеличением числа бросаний приближается к (или другому числу – это зависит от состояния монеты).

Приведём другой пример. В сосуде заключён газ. Находясь в беспрерывном движении, молекулы газа ударяются друг о друга и вследствие этого постоянно меняют величину и направление своей скорости. Казалось бы, отсюда следует, что давление газа на стенки сосуда, обусловленное ударами отдельных молекул о стенки, должно меняться случайным, неконтролируемым образом. Однако это не так: давление газа подчиняется строгой закономерности (закону Бойля-Мариотта). Причина этой закономерности кроется в том, что давление газа на стенки сосуда есть средний результат воздействия большого числа молекул. Случайные особенности, свойственные движению отдельных молекул, в массе (поскольку молекул много) взаимно погашаются, нивелируются и возникает некоторая средняя закономерность.

Именно эта устойчивость среднего результата, его независимость от колебаний отдельных слагаемых (отдельных исходов опыта) и обуславливает широту применения теории вероятностей. Физика, биология, медицина, лингвистика и т.д.- все эти области науки используют (одни в большей степени, другие в меньшей) понятия и выводы теории вероятностей и родственных ей дисциплин - математической статистики, теории информации и т.д.

Перейдём теперь к простейшей, самой главной закономерности в случайных событиях, в конечном счёте, составляющей основу всех приложений теории вероятностей к практике.

Похожая информация.

Вряд ли многие люди задумываются, можно ли просчитать события, которые в той или иной мере случайны. Выражаясь простыми словами, реально ли узнать, какая сторона кубика в выпадет в следующий раз. Именно этим вопросом задались два великих ученых, положившие начало такой науке, как теория вероятности, вероятность события в которой изучается достаточно обширно.

Зарождение

Если попытаться дать определение такому понятию, как теория вероятности, то получится следующее: это один из разделов математики, который занимается изучением постоянства случайных событий. Ясное дело, данное понятие толком не раскрывает всю суть, поэтому необходимо рассмотреть ее более детально.

Хотелось бы начать с создателей теории. Как было выше упомянуто, их было двое, это и Именно они одни из первых попытались с использованием формул и математических вычислений просчитать исход того или иного события. В целом же зачатки этой науки проявлялись еще в средневековье. В то время разные мыслители и ученые пытались проанализировать азартные игры, такие как рулетка, кости и так далее, тем самым установить закономерность и процентное соотношение выпадения того или иного числа. Фундамент же был заложен в семнадцатом столетии именно вышеупомянутыми учеными.

Поначалу их труды нельзя было отнести к великим достижениям в этой области, ведь все, что они сделали, это были попросту эмпирические факты, а опыты ставились наглядно, без использования формул. Со временем получилось добиться больших результатов, которые появились вследствие наблюдения за бросанием костей. Именно этот инструмент помог вывести первые внятные формулы.

Единомышленники

Нельзя не упомянуть о таком человеке, как Христиан Гюйгенс, в процессе изучения темы, носящей название "теория вероятности" (вероятность события освещается именно в этой науке). Данная персона очень интересна. Он, так же как и представленные выше ученые, пытался в виде математических формул вывести закономерность случайных событий. Примечательно, что делал он это не совместно с Паскалем и Ферма, то есть все его труды никак не пересекались с этими умами. Гюйгенс вывел

Интересен тот факт, что его работа вышла задолго до результатов трудов первооткрывателей, а точнее, на двадцать лет раньше. Среди обозначенных понятий известнее всего стали:

• понятие вероятности как величины шанса;
• математическое ожидание для дискретных случаев;
• теоремы умножения и сложения вероятностей.

Также нельзя не вспомнить который тоже внес весомый вклад в изучении проблемы. Проводя свои, ни от кого не зависящие испытания, он сумел представить доказательство закона больших чисел. В свою очередь, ученые Пуассон и Лаплас, которые работали в начале девятнадцатого столетия, смогли доказать изначальные теоремы. Именно с этого момента для анализа ошибок в ходе наблюдений начали использовать теорию вероятностей. Стороной обойти данную науку не смогли и русские ученые, а точнее Марков, Чебышев и Дяпунов. Они, исходя из проделанной работы великих гениев, закрепили данный предмет в качестве раздела математики. Трудились эти деятели уже в конце девятнадцатого столетия, и благодаря их вкладу, были доказаны такие явления, как:

• закон больших чисел;
• теория цепей Маркова;
• центральная предельная теорема.

Итак, с историей зарождения науки и с основными персонами, повлиявшими на нее, все более или менее понятно. Сейчас же пришло время конкретизировать все факты.

Основные понятия

Перед тем как касаться законов и теорем, стоит изучить основные понятия теории вероятностей. Событие в ней занимает главенствующую роль. Данная тема довольно объемная, но без нее не удастся разобраться во всем остальном.

Событие в теории вероятности - этолюбая совокупность исходов проведенного опыта. Понятий данного явления существует не так мало. Так, ученый Лотман, работающий в этой области, высказался, что в данном случае речь идет о том, что «произошло, хотя могло и не произойти».

Случайные события (теория вероятности уделяет им особое внимание) - это понятие, которое подразумевает абсолютно любое явление, имеющее возможность произойти. Или же, наоборот, этот сценарий может не случиться при выполнении множества условий. Также стоит знать, что захватывают весь объем произошедших явлений именно случайные события. Теория вероятности указывает на то, что все условия могут повторяться постоянно. Именно их проведение получило название "опыт" или же "испытание".

Достоверное событие - это то явление, которое в данном испытании на сто процентов произойдет. Соответственно, невозможное событие - это то, которое не случится.

Совмещение пары действий (условно случай A и случай B) есть явление, которое происходит одновременно. Они обозначаются как AB.

Сумма пар событий А и В - это С, другими словами, если хотя бы одно из них произойдет (А или В), то получится С. Формула описываемого явления записывается так: С = А + В.

Несовместные события в теории вероятности подразумевают, что два случая взаимно исключают друг друга. Одновременно они ни в коем случае не могут произойти. Совместные события в теории вероятности - это их антипод. Здесь подразумевается, что если произошло А, то оно никак не препятствует В.

Противоположные события (теория вероятности рассматривает их очень подробно) просты для понимания. Лучше всего разобраться с ними в сравнении. Они почти такие же, как и несовместные события в теории вероятности. Но их отличие заключается в том, что одно из множества явлений в любом случае должно произойти.

Равновозможные события - это те действия, возможность повтора которых равна. Чтобы было понятней, можно представить бросание монеты: выпадение одной из ее сторон равновероятно выпадению другой.

Благоприятствующее событие легче рассмотреть на примере. Допустим, есть эпизод В и эпизод А. Первое - это бросок игрального кубика с появлением нечетного числа, а второе - появление числа пять на кубике. Тогда получается, что А благоприятствует В.

Независимые события в теории вероятности проецируются только на два и больше случаев и подразумевают независимость какого-либо действия от другого. Например, А - выпадение решки при бросании монеты, а В - доставание валета из колоды. Они и есть независимые события в теории вероятности. С этим моментом стало понятнее.

Зависимые события в теории вероятности также допустимы лишь для их множества. Они подразумевают зависимость одного от другого, то есть явление В может произойти только в том случае, если А уже произошло или же, наоборот, не произошло, когда это - главное условие для В.

Исход случайного эксперимента, состоящего из одного компонента, - это элементарные события. Теория вероятности поясняет, что это такое явление, которое совершилось лишь единожды.

Основные формулы

Итак, выше были рассмотрены понятия "событие", "теория вероятности", определение основным терминам этой науки также было дано. Сейчас же пришло время ознакомиться непосредственно с важными формулами. Эти выражения математически подтверждают все главные понятия в таком непростом предмете, как теория вероятности. Вероятность события и здесь играет огромную роль.

Начать лучше с основных И перед тем как приступить к ним, стоит рассмотреть, что это такое.

Комбинаторика - это в первую очередь раздел математики, он занимается изучением огромного количества целых чисел, а также различных перестановок как самих чисел, так и их элементов, различных данных и т. п., ведущих к появлению ряда комбинаций. Помимо теории вероятности, эта отрасль важна для статистики, компьютерной науки и криптографии.

Итак, теперь можно переходить к представлению самих формул и их определению.

Первой из них будет выражение для числа перестановок, выглядит оно следующим образом:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Применяется уравнение только в том случае, если элементы различаются лишь порядком расположения.

Теперь будет рассмотрена формула размещения, выглядит она так:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Это выражение применимо уже не только лишь к порядку размещения элемента, но и к его составу.

Третье уравнение из комбинаторики, и оно же последнее, называется формулой для числа сочетаний:

C_n^m = n ! : ((n - m))! : m !

Сочетанием называются выборки, которые не упорядочены, соответственно, к ним и применяется данное правило.

С формулами комбинаторики получилось разобраться без труда, теперь можно перейти к классическому определению вероятностей. Выглядит это выражение следующим образом:

В данной формуле m - это число условий, благоприятствующих событию A, а n - число абсолютно всех равновозможных и элементарных исходов.

Существует большое количество выражений, в статье не будут рассмотрены все, но затронуты будут самые важные из них такие, как, например, вероятность суммы событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) - эта теорема для сложения только несовместных событий;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а эта для сложения только совместимых.

Вероятность произведения событий:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - эта теорема для независимых событий;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а эта для зависимых.

Закончит список формула событий. Теория вероятностей рассказывает нам о теоремеБайеса, которая выглядит так:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,...,n

В данной формуле H 1 , H 2 , …, H n - это полная группа гипотез.

Примеры

Если тщательно изучить любой раздел математики, в нем не обходится без упражнений и образцов решений. Так и теория вероятности: события, примеры здесь являются неотъемлемым компонентом, подтверждающим научные выкладки.

Формула для числа перестановок

Допустим, в карточной колоде есть тридцать карт, начиная с номинала один. Далее вопрос. Сколько есть способов сложить колоду так, чтобы карты с номиналом один и два не были расположены рядом?

Задача поставлена, теперь давайте перейдем к ее решению. Для начала нужно определить число перестановок из тридцати элементов, для этого берем представленную выше формулу, получается P_30 = 30!.

Исходя из этого правила, мы узнаем, сколько есть вариантов сложить колоду по-разному, но нам необходимо вычесть из них те, в которых первая и вторая карта будут рядом. Для этого начнем с варианта, когда первая находится над второй. Получается, что первая карта может занять двадцать девять мест - с первого по двадцать девятое, а вторая карта со второго по тридцатое, получается всего двадцать девять мест для пары карт. В свою очередь, остальные могут принимать двадцать восемь мест, причем в произвольном порядке. То есть для перестановки двадцати восьми карт есть двадцать восемь вариантов P_28 = 28!

В итоге получается, что если рассматривать решение, когда первая карта находится над второй, лишних возможностей получится 29 ⋅ 28! = 29!

Используя этот же метод, нужно вычислить число избыточных вариантов для того случая, когда первая карта находится под второй. Получается также 29 ⋅ 28! = 29!

Из этого следует, что лишних вариантов 2 ⋅ 29!, в то время как необходимых способов сбора колоды 30! - 2 ⋅ 29!. Остается только лишь посчитать.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Теперь нужно перемножать между собой все числа от одного до двадцати девяти, после чего в конце умножить все на 28. Ответ получается 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Решение примера. Формула для числа размещения

В данной задаче необходимо выяснить, сколько есть способов, чтобы поставить пятнадцать томов на одной полке, но при условии, что всего томов тридцать.

В этой задаче решение немного проще, чем в предыдущей. Используя уже известную формулу, необходимо вычислить суммарное число расположений из тридцати томов по пятнадцать.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Ответ, соответственно, будет равен 202 843 204 931 727 360 000.

Теперь возьмем задачу чуть сложнее. Необходимо узнать, сколько есть способов расставить тридцать книг на двух книжных полках, при условии, что на одной полке могут находиться лишь пятнадцать томов.

Перед началом решения хотелось бы уточнить, что некоторые задачи решаются несколькими путями, так и в этой есть два способа, но в обоих применена одна и та же формула.

В этой задаче можно взять ответ из предыдущей, ведь там мы вычислили, сколько раз можно заполнить полку на пятнадцать книг по-разному. Получилось A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Вторую же полку рассчитаем по формуле перестановки, ведь в нее помещается пятнадцать книг, в то время как всего остается пятнадцать. Используем формулу P_15 = 15!.

Получается, что в сумме будет A_30^15 ⋅ P_15 способов, но, помимо этого, произведение всех чисел от тридцати до шестнадцати надо будет умножить на произведение чисел от одного до пятнадцати, в итоге получится произведение всех чисел от одного до тридцати, то есть ответ равен 30!

Но эту задачу можно решить и по-иному - проще. Для этого можно представить, что есть одна полка на тридцать книг. Все они расставлены на этой плоскости, но так как условие требует, чтобы полок было две, то мы одну длинную пилим пополам, получается две по пятнадцать. Из этого получается что вариантов расстановки может быть P_30 = 30!.

Решение примера. Формула для числа сочетания

Сейчас будет рассмотрен вариант третьей задачи из комбинаторики. Необходимо узнать, сколько способов есть, чтобы расставить пятнадцать книг при условии, что выбирать необходимо из тридцати абсолютно одинаковых.

Для решения будет, конечно же, применена формула для числа сочетаний. Из условия становится понятным, что порядок одинаковых пятнадцати книг не важен. Поэтому изначально нужно выяснить общее число сочетаний из тридцати книг по пятнадцать.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Вот и все. Используя данную формулу, в кратчайшее время удалось решить такую задачу, ответ, соответственно, равен 155 117 520.

Решение примера. Классическое определение вероятности

С помощью формулы, указанной выше, можно найти ответ в несложной задаче. Но это поможет наглядно увидеть и проследить ход действий.

В задаче дано, что в урне есть десять абсолютно одинаковых шариков. Из них четыре желтых и шесть синих. Из урны берется один шарик. Необходимо узнать вероятность доставания синего.

Для решения задачи необходимо обозначить доставание синего шарика событием А. Данный опыт может иметь десять исходов, которые, в свою очередь, элементарные и равновозможные. В то же время из десяти шесть являются благоприятствующими событию А. Решаем по формуле:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Применив эту формулу, мы узнали, что возможность доставания синего шарика равна 0,6.

Решение примера. Вероятность суммы событий

Сейчас будет представлен вариант, который решается с использованием формулы вероятности суммы событий. Итак, в условии дано, что есть два ящика, в первом находится один серый и пять белых шариков, а во втором - восемь серых и четыре белых шара. В итоге из первого и второго короба взяли по одному из них. Необходимо узнать, каков шанс того, что доставаемые шарики будут серого и белого цвета.

Чтобы решить данную задачу, необходимо обозначить события.

• Итак, А - взяли серый шарик из первого ящика: P(A) = 1/6.
• А’ - взяли белый шарик также из первого ящика: P(A") = 5/6.
• В - извлекли серый шарик уже из второго короба: P(B) = 2/3.
• В’ - взяли серый шарик из второго ящика: P(B") = 1/3.

По условию задачи необходимо, чтобы случилось одно из явлений: АВ’ или же А’В. Используя формулу, получаем: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Сейчас была использована формула по умножению вероятности. Далее, чтобы узнать ответ, необходимо применить уравнение их сложения:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Вот так, используя формулу, можно решать подобные задачи.

Итог

В статье была представлена информация по теме "Теория вероятности", вероятность события в которой играет важнейшую роль. Конечно же, не все было учтено, но, исходя из представленного текста, можно теоретически ознакомиться с данным разделом математики. Рассматриваемая наука может пригодиться не только в профессиональном деле, но и в повседневной жизни. С ее помощью можно просчитать любую возможность какого-либо события.

В тексте были затронуты также знаменательные даты в истории становления теории вероятности как науки, и фамилии людей, чьи труды были в нее вложены. Вот так человеческое любопытство привело к тому, что люди научились просчитывать даже случайные события. Когда-то они просто заинтересовались этим, а сегодня об этом уже знают все. И никто не скажет, что ждет нас в будущем, какие еще гениальные открытия, связанные с рассматриваемой теорией, будут совершены. Но одно можно сказать точно - исследования на месте не стоят!

Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.