В нем содержится множество. Множества. Операции над множествами. Множество натуральных чисел

Теория множеств.

Множества. Пустое множество. Универсальное множество. Подмножества. Собственное подмножество. Способы задания множеств. Мощность множества. Равномощные множества. Конечные и счётные множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность). Законы алгебры множеств. Характеристические функции. Декартово произведение множеств. Отношения и свойства отношений. Функции на множествах.

Определение множества.

Множество - это совокупность определённых различаемых объектов, причём таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет.

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами, а элементы множества - строчными. Элементами множеств могут быть любые объекты, например, числа, символы, слова, объекты реального мира. В частности, элементами множества могут быть другие множества.

Например:

A = { a, b, c } - множество A состоящее из 3 элементов

N = { 1, 2, 3, … } - множество N целых чисел

Элементы множества являются уникальными, то есть, один и тот же элемент не может включаться в множество несколько раз (в отличие от векторов и мультимножеств). Считается, что при добавлении в множество элемента, который в нем уже присутствует, множество не меняется.

Порядок записи элементов множества не является существенным (в отличие от записи элементов векторов, где порядок важен).

Таким образом, множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Если некоторый объект является элементом множества , то этот факт записывается следующим образом: и читается «x принадлежит А». Аналогично, если элемент не является элементом множества , используется запись («y не принадлежит А»).

Пустое множество – это множество, не содержащее элементов. Пустое множество может быть обозначено с использованием фигурных скобок: = { }. Однако, множество B = { } не является пустым: это множество, содержащее один элемент, который является пустым множеством.

Универсальное множество Е – множество всех объектов, рассматриваемых в данной задаче.

Конечные и бесконечные множества. Если количество элементов множества конечно (то есть существует натуральное число, равное количеству элементов множества), то такое множество называется конечным. В противном случае множество называется бесконечным.

Мощность множества или кардинальное число |A| (иногда card (A)). Мощность множества является обобщением понятия количества элементов на бесконечные множества. Для конечных множеств мощность равна количеству элементов множества.

Мощность пустого множества по определению равна нулю: .

Равномощные множества – это множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие.

Счётное множество – множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Множество А называют подмножеством множества B (обозначается либо ) если все элементы, которые принадлежат множеству A, так же принадлежат и множеству B.

В этом случае B называют надмножеством A

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Любое множество является подмножеством самого себя:

Определение. Множество - это совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Элементы, составляющие множество, обычно обозначаются малыми латинскими буквами, а само множество - большой латинской буквой. Знак ∈ используется для обозначения принадлежности элемента множеству. Запись a∈A означает, что элемент a принадлежит множеству A. Если некоторый объект x не является элементом множества A, пишут x∉A. Например, если A - это множество четных чисел, то 2∈A, а 1∉A. Множества A и B считаются равными (пишут A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Если множество содержит конечное число элементов, его называют конечным; в противном случае множество называется бесконечным. Если множество A конечно, символом |A| будет обозначаться число его элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅. Очевидно, |∅|=0.

Пример . Пусть A - множество действительных решений квадратного уравнения x 2 + px + q = 0. Множество A конечно, |A|≤2. Если дискриминант D = p 2 -4q отрицателен, множество A пусто. Множество действительных решений квадратичного неравенства x 2 +px+q≤0 конечно, если D≤0, и бесконечно, если D>0.

Конечное множество может быть задано перечислением всех его элементов,

либо описываются их свойства. Если множество A состоит из элементов x, y, z, пишут A ={x, y, z,}. Например, A = {0, 2, 4, 6, 8} - множество четных десятичных цифр или - множество натуральных чисел, удовлетворяющих условию х + 2 = 1.

Введем используемое в дальнейшем понятие индексированного семейства множеств. Пусть I - некоторое множество, каждому элементу которого i сопоставлено однозначно определенное множество A i . Элементы множества I называют индексами, а совокупность множеств A i называют индексированным семейством множеств и обозначают через (A i) i ∈ I .

Говорят, что множество B является подмножеством множества A и пишут B⊂A, если всякий элемент множества B является элементом множества A. Например, множество натуральных чисел N является подмножеством множества целых чисел Z, а последнее в свою очередь является подмножеством множества рациональных чисел Q, то есть N⊂Z и Z⊂Q, или, короче, N⊂Z⊂Q. Легко видеть, что если B⊂A и A⊂B, то множества A и B состоят из одних и тех же элементов, и, значит, A=B, в противном случае . Наряду с обозначением B⊂A используется также A⊃B, имеющее тот же смысл.

Подмножества множества A, отличные от ∅ и A, называются собственными. Пустое множество и множество А называются несобственными подмножествами множества А. Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном , или множеством-степенью , и обозначается через Р(А) или 2 А.

Пример . Пусть A = {a, b, c}. Тогда множество 2 A состоит из следующих элементов:

{∅}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.

Если множество A конечно и содержит n элементов, то это множество имеет 2 n подмножеств, то есть |2 A |=2 | A | .

Все операции над множествами можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Если некоторое универсальное множество, содержащее как подмножества все другие множества, обозначить U и изобразить его в виде всей плоскости, то любое множество можно изобразить в виде части плоскости, т.е. в виде некоторой фигуры, лежащей на плоскости.

Объединением или суммой множеств А и В называют такое множество С, которое состоит из элементов множества А, или элементов множества В, или из элеметов обоих этих множеств, т.е. . Например, если A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то A∪B = {1, 2, 3, 4}.

Пересечением или произведением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам, т.е. . Например, если A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то A∩B = {2, 3}.

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в А и одновременно не входят в В, т.е.

Например, если A = {1, 2, 3} и B ={2, 3, 4}, то A\B = {1}.

Если, в частности, А - подмножество U, то разность U \ A обозначается и называется дополнением множества А.

Симметрической разностью (кольцевой суммой) множеств А и В называется множество , т.е. . Например, если A ={1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то AΔB = {1, 4}.

Законы алгебры множеств:

1. Коммутативный закон : .

2. Ассоциативный закон : .

3. Дистрибутивный закон :

4. Законы идемпотентности : , в частности

5. Законы поглощения :

6. Законы де Моргана (двойственности) :

7. Закон двойного дополнения :

8. Закон включения :

9. Закон равенства :

Пример 1. Проверим первый из законов де Моргана. Покажем сначала, что. Предположим, что . Тогда x∉A∩B, так что x не принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Таким образом, x∉A или x∉B, то есть или .

Это означает, что. Мы показали, что произвольный элемент множества является элементом множества. Следовательно, . Обратное включение доказывается аналогично. Достаточно повторить все шаги предыдущего рассуждения в обратном порядке.

Пример 2. Доказать включения

Решение. Легче всего это сделать по диаграмме Эйлера-Венна

Из любой пары элементов a и b (не обязательно различных) можно составить новый элемент - упорядоченную пару (a,b). Упорядоченные пары (a,b) и (c,d) считают равными и пишут (a,b) = (c,d), если a = c и b = d. В частности, (a,b) = (b,a) лишь в том случае, когда a=b. Элементы a и b называют координатами упорядоченной пары (a,b) .

Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар (a,b), где a∈A и b∈B. Прямое произведение множеств A и B обозначается через A×B. В соответствии с определением имеем

A×B = {(a,b)| a∈A, b∈B}. Произведение называется декартовым квадратом.

Пример 3. Даны множества А = {1; 2}; B = {2; 3}. Найти .

Решение.

Таким образом, декартово произведение не подчиняется коммутативному закону.

Пример 4. Пусть Из каких элементов состоят множества ?

Решение. Запишем множества А; В; С, перечислив их элементы:

А = {3; 4; 5; 6}; B = {2; 3}; C = {2}. Тогда Подобно парам, можно рассматривать упорядоченные тройки, четверки и, вообще, упорядоченные наборы элементов произвольной длины. Упорядоченный набор элементов длины n обозначается через (a 1 , a 2 , a n). Для таких наборов используется также название кортеж длины n. Допускаются в том числе и кортежи длины 1 - это просто одноэлементные множества. Кортежи (a 1 , a 2 , a n) и (b 1 , b 2 , b n) считаются равными, если a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a n = b n .

По аналогии с произведением двух множеств определим прямое произведение множеств A 1 , A 2 , A n как множество всех кортежей (a 1 , a 2 , a n) таких, что a 1 ∈A 1 , a 2 ∈A 2 , a n ∈A n . Обозначается прямое произведение через A 1 × A 2 × A n .

Понятие прямого произведения может быть обобщено на случай произвольного семейства множеств (A i) i ∈ I . Назовем I-кортежем набор элементов (A i) i ∈ I такой, что a i ∈A i для каждого i∈I. Прямое произведение семейства множеств (A i) i ∈ I - это множество, состоящее из всех I-кортежей. Для обозначения этого множества используется символ Π i ∈ I A i и его разновидности, подобные тем, которые применяются для обозначения пересечения и объединения семейства множеств.

В случае, когда множество A умножается само на себя, произведение называют (декартовой) степенью и используют экспоненциальные обозначения. Так, в соответствии с определением A × A = A 2 , A × A × A = A 3 и т. д. Считается, что A 1 = A и A 0 = ∅.

Непосредственно из определений следует справедливость следующих соотношений (A∪B) × C = (A × C) ∪ (B × C);

(A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);

(A\B) × C = (A × C)\(B × C).

1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.:ИНФРА-М, Новосибирск, 2002.

2. Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика. Харьков, «Торсинг», 2003.

3. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.:Наука, 1973.

4. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001.

Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.

Начнём с того, что же, собственно, понимать под словом "множество". На интуитивном уровне под множеством понимают некую совокупность объектов, именуемых элементами множества . Например, можно говорить о множестве груш на столе, множестве букв в слове "множество" и так далее. Георг Кантор (немецкий математик, основатель современной теории множеств) писал, что под "множеством я понимаю вообще всё то многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определённых элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое". Некоторое время понятие множества, введённое Кантором, полагалось довольно очевидным и не требующим дополнительных пояснений. Казалось, что появление работ Больцано, а затем и Кантора в конце 19 - начале 20 века, положит конец многим вопросам (например, окончательно разрешит апории Зенона, разрешит проблему бесконечности и т.д.) и станет началом новой математики. Гениальный немецкий математик Давид Гильберт отмечал, что "Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором".

Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец "канторовскому раю". Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием "парадокс брадобрея" звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, - а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей - вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали "наивной". Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая "аксиома выбора". Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.

Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.

Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:

$$\{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я \} $$

А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:

$$\{9,10,11,12,13,14 \} $$

Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае его именуют пустым множеством и обозначают как $\varnothing$.

Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:

$$A=\{0, 5, 6, -9 \},\; B=\{\Delta, +, -5, 0\}.$$

Есть и устоявшиеся обозначения определённых множеств. Например, множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$; множество целых чисел - буквой $Z$; множество рациональных чисел - буквой $Q$; множество всех действительных чисел - буквой $R$. Есть и иные устоявшиеся обозначения, но к ним мы станем обращаться по мере необходимости.

Множество, которое содержит конечное количество элементов, именуют конечным множеством . Если множество содержит бесконечное количество элементов, его называют бесконечным .

Например, указанное выше множество $A=\{0, 5, 6, -9 \}$ - конечное множество, ибо содержит 4 элемента (т.е. конечное число элементов). Множество натуральных чисел $N$ является бесконечным. Вообще говоря, мы не всегда можем сразу с уверенностью сказать, бесконечно некое множество или нет. Например, пусть $F$ - множество простых чисел.

Что такое простое число : показать\скрыть

Простыми числами именуют такие натуральные числа большие 1, которые делятся лишь на 1 или на самое себя. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Для сравнения: число 12 не является простым числом, так как оно делится не только на 12 и 1, а ещё и на иные числа (например, на 3). Число 12 является составным.

Возникает вопрос: бесконечно множество $F$ или нет? Существует ли наибольшее простое число? Для ответа на этот вопрос понадобилась целая теорема, доказанная Эвклидом, о том, что множество простых чисел - бесконечно.

Под мощностью множества для конечных множеств понимают количество элементов данного множества. Мощность множества $A$ обозначается как $|A|$.

Например, так как конечное множество $A=\{0, 5, 6, -9 \}$ содержит 4 элемента, то мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$.

Если нам известно, что некий объект $a$ принадлежит множеству $A$, то записывают это так: $a\in A$. Например, для вышеуказанного множества $A$ можно записать, что $5\in A$, $-9\in A$. Если же объект $a$ не принадлежит множеству $A$, то обозначается это следующим образом: $a\notin A$. Например, $19\notin A$. Кстати, сказать, элементами множеств могут быть и иные множества, например:

$$ M=\{-9,1,0, \{ a, g\}, \varnothing \} $$

Элементами множества $M$ являются числа -9, 1, 0, а также множество $ \{ a,\; g\}$ и пустое множество $\varnothing$. Вообще, для упрощения восприятия множество можно представлять как портфель. Пустое множество - пустой портфель. Эта аналогия пригодится чуть далее.

Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.

Множество $A$ называют подмножеством множества $B$, если все элементы множества $A$ являются также элементами множества $B$. Обозначение: $A\subseteq B$.

Например, рассмотрим множества $K=\{ -9,5\}$ и $T=\{8,-9,0,5,p, -11\}$. Каждый элемент множества $K$ (т.е. -9 и 5) является также элементом множества $T$. Следовательно, множество $K$ есть подмножество множества $T$, т.е. $K\subseteq T$.

Так как все элементы любого множества $A$ принадлежат самому множеству $A$, то множество $A$ является подмножеством самого множества $A$. Пустое множество $\varnothing$ является подможеством любого множества. Т.е. для произвольного множества $A$ верно следующее:

$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$

Введём ещё одно определение - универсальное множество.

Универсальное множество (универсум) $U$ обладает тем свойством, что все иные множества, рассматриваемые в данной задаче, являются его подмножествами.

Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:

$$ Vasilij=\{MTC, Life \} $$

Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.

Множества $A$ и $B$ называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, если каждый элемент множества $A$ является также элементом множества $B$, и каждый элемент множества $B$ является также элементом множества $A$, то $A=B$.

Определение равенства множеств можно записать и по-иному: если $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, то $A=B$.

Рассмотрим пару множеств: первое будет $\{\Delta, k \}$, а второе - $\{k, \Delta\}$. Каждый элемент первого множества (т.е. $\Delta$ и $k$) является также элементом второго множества. Каждый элемент второго множества (т.е. $k$ и $\Delta$) является также элементом второго множества. Вывод: $\{\Delta, k \}=\{k, \Delta\}$. Как видите, порядок записи элементов в множестве роли не играет.

Рассмотрим ещё пару множеств: $X=\{k, \Delta, k, k,k \}$ и $Y=\{\Delta, k \}$. Каждый элемент множества $X$ является также элементом множества $Y$; каждый элемент множества $Y$ является также элементом множества $X$. Следовательно, $\{k, \Delta, k, k, k \}=\{\Delta, k \}$. С учётом подобных равенств в теории множеств принято одинаковые элементы не повторять в записи дважды. Например, множество цифр числа 1111111555559999 будет таким: $\{1,5,9\}$. Есть, конечно, исключения: так называемые мультимножества . В записи мультимножеств элементы могут повторяться, однако в классической теории множеств повторения элементов не допускаются.

Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.

Если $A\subseteq B$, при этом $A\neq B$, то множество $A$ называют собственным (строгим) подмножеством множества $B$. Также говорят, что множество $A$ строго включено в множество $B$. Записывают это так: $A \subset B$.

Если же некое подмножество множества $A$ совпадает с самим множеством $A$, то это подмножество называют несобственным . Иными словами, множество $A$ является несобственным подмножеством самого множества $A$.

Например, для рассмотренных выше множеств $K=\{ -9,5\}$ и $T=\{8,-9,0,5,p, -11\}$ имеем: $K\subseteq T$, при этом $K\neq T$. Следовательно, множество $K$ является собственным подмножеством множества $T$, что записывается как $K\subset T$. Можно сказать и так: множество $K$ строго включено в множество $T$. Запись $K\subset T$ более конкретна, нежели $K\subseteq T$. Дело в том, что записывая $K\subset T$ мы гарантируем, что $K\neq T$. В то время как запись $K\subseteq T$ не исключает случая равенства $K=T$.

Примечание относительно терминологии : показать\скрыть

Вообще говоря, тут есть некая путаница в терминологии. Приведённое выше определение несобственных множеств принято в американской и части отечественной литературы. Однако в другой части отечественной литературы есть несколько иная трактовка понятия несобственных множеств.

Если $A\subseteq B$, при этом $A\neq B$ и $A\neq \varnothing$, то множество $A$ называют собственным (строгим) подмножеством множества $B$. Также говорят, что множество $A$ строго включено в множество $B$. Записывают это так: $A \subset B$. Множества $B$ и $\varnothing$ именуются несобственными подмножествми множества $B$.

Иными словами, пустое множество в такой трактовке исключается из собственных подмножеств и переходит в разряд несобственных. Выбор терминологии - дело вкуса.

Множество всех подмножеств некоего множества $A$ называют булеаном или степенью множества $A$. Обозначается булеан как $P(A)$ или $2^A$.

Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. Булеан множества $A$ содержит $2^n$ элементов, т.е.

$$ \left| P(A) \right|=2^{n},\;\; n=|A|. $$

Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.

Пример №1

Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.

$\{-3,5, 9 \}\subseteq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $;
$\{-3,5, 9 \}\subset \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $;
$\{-3,5, 9 \}\in \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $;
$\varnothing \subseteq \varnothing$;
$\varnothing=\{\varnothing \}$;
$\varnothing \in \varnothing$;
$A=\{9, -5, 8 \{7, 6 \} \};\; |A|=5$.

Нам заданы два множества: $\{-3,5, 9 \}$ и $\{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Каждый элемент первого множества является также элементом второго множества. Следовательно, первое множество есть подмножество второго, т.е. $\{-3,5, 9 \}\subseteq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Утверждение первого пункта - верное.
В первом пункте мы выяснили, что $\{-3,5, 9 \}\subseteq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. При этом данные множества не равны между собой, т.е. $\{-3,5, 9 \}\neq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Значит, множество $\{-3,5, 9 \}$ является собственным (в иной терминологии строгим) подмножеством множества $\{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Этот факт записывается как $\{-3,5, 9 \}\subset \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $. Итак, утверждение второго пункта истинно.
Множество $\{-3,5, 9 \}$ не является элементом множества $\{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Утверждение третьего пункта ложно. Для сравнения: утверждение $\{-3,5, 9 \}\in \{9, 8, 5, 4, \{-3,5,9\}, 6 \}$ истинно.
Пустое множество является подможеством любого множества. Поэтому утверждение $\varnothing \subseteq \varnothing$ истинно.
Утверждение ложно. Множество $\varnothing$ не содержит элементов, а множество $\{\varnothing \}$ содержит один элемент, посему равенство $\varnothing=\{\varnothing \}$ неверно. Чтобы это было нагляднее, можно обратиться к той аналогии, что я описал выше. Множество - это портфель. Пустое множество $\varnothing$ - пустой портфель. Множество $\{\varnothing \}$ - портфель, внутри которого лежит пустой портфель. Естественно, что пустой портфель и непустой портфель, внутри которого нечто есть - разные портфели:)
Пустое множество не содержит элементов. Ни единого. Поэтому утверждение $\varnothing \in \varnothing$ ложно. Для сравнения: утверждение $\varnothing\in\{\varnothing \}$ истинно.
Множество $A$ содержит 4 элемента, а именно: 9, -5, 8 и $\{7, 6 \}$. Поэтому мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$. Следовательно, утверждение о том, что $|A|=5$ - ложно.

Ответ : Утверждения в пунктах №1, №2, №4 - истинны.

Пример №2

Записать булеан множества $A=\{-5,10,9\}$.

Множество $A$ содержит 3 элемента. Иными словами: мощность множества $A$ равна 3, $|A|=3$. Следовательно, множество $A$ имеет $2^3=8$ подмножеств, т.е. булеан множества $A$ будет состоять из восьми элементов. Перечислим все подмножества множества $A$. Напомню, что пустое множество $\varnothing$ является подмножеством любого множества. Итак, подмножества таковы:

$$ \varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} $$

Напомню, что подмножество $\{-5, 10, 9 \}$ является несобственным, так как совпадает с множеством $A$. Все остальные подмножества - собственные. Все записанные выше подмножества являются элементами булеана множества $A$. Итак:

$$ P(A)=\left\{\varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} \right\} $$

Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.

Ответ : $P(A)=\left\{\varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} \right\}$.

Способы задания множеств.

Первый способ - это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:

$$ \{1,2,3\} $$

Часто в литературе можно встретить обозначения такого характера: $T=\{0,2,4,6,8, 10, \ldots \}$. Здесь множество задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд. Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют множество $T$, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись вида $T=\{0,2,4,6,8, 10, \ldots \}$ допускается только тогда, когда не вызывает разночтений.

Второй способ - задать множество с помощью так называемого характеристического условия (характеристического предиката) $P(x)$. В этом случае множество записывается в таком виде:

$$\{x| P(x)\}$$

Запись $\{x| P(x)\}$ читается так: "множество всех элементов $x$, для которых высказывание $P(x)$ истинно". Что именно значит словосочетание "характеристическое условие" проще пояснить на примере. Рассмотрим такое высказывание:

$$P(x)="x\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$

Подставим в это высказывание вместо $x$ число 27. Мы получим:

$$P(27)="27\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$

Это истинное высказывание, так как 27 действительно является натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в это высказывание число $\frac{2}{5}$:

$$P\left(\frac{2}{5}\right)="\frac{2}{5}\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$

Это высказывание ложно, так как $\frac{2}{5}$ не является натуральным числом. Итак, для некоторых объектов $x$ высказывание $P(x)$ может быть ложно, для некоторых - истинно (а для некоторых вообще не определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых высказывание $P(x)$ будет истинно. Именно эти объекты и образуют множество, заданное с помощью характеристического условия $P(x)$ (см. пример №3).

Третий способ - задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).

Пример №3

Записать множество $A=\{x| x\in Z \wedge x^2 < 10\}$ перечислением элементов.

Множество $A$ задано с помощью характеристического условия. Характеристическое условие в данном случае выражено записью "$x\in Z \wedge x^2 < 10$" (знак "$\wedge$" означает "и"). Расшифровывается эта запись так: "$x$ - целое число, и $x^2 < 10$". Иными словами, в множество $A$ должны входить лишь целые числа, квадрат которых меньше 10. Таких чисел всего 7, т.е.

$$ A=\{0,-1,1,-2,2,-3,3\} $$

Множество $A$ теперь задано с помощью перечисления элементов.

Ответ : $A=\{0,-1,1,-2,2,-3,3\}$.

Пример №4

Описать элементы множества $M$, которое задано такой порождающей процедурой:

$3\in M$;
Если элемент $x\in M$, то $3x\in M$.
Множество $M$ - является подмножеством любого множества $A$, удовлетворяющего условиям №1 и №2.

Давайте пока оставим в покое условие №3 и посмотрим, какие элементы входят в множество $M$. Число 3 туда входит согласно первому пункту. Так как $3\in M$, то согласно пункту №2 имеем: $3\cdot 3\in M$, т.е. $9\in M$. Так как $9\in M$, то согласно пункту №2 получим: $3\cdot 9\in M$, т.е. $27\in M$. Так как $27\in M$, то по тому же пункту №2 имеем: $81\in M$. Короче говоря, построенное множество 3, 9, 27, 81 и так далее - это натуральные степени числа 3.

$$3^1=1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$

Итак, кажется, что искомое множество задано. И выглядит оно так: $\{3,9,27,81,\ldots \}$. Однако действительно ли условия №1 и №2 определяют только это множество?

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, т.е. $N$. Число 3 - натуральное, посему $3\in N$. Вывод: множество $N$ удовлетворяет пункту №1. Далее, для любого натурального числа $x$ множество $N$ содержит также и число $3x$. Например, 5 и 15, 7 и 21, 13 и 39 и так далее. Значит, множество $N$ удовлетворяет условию №2. И, кстати сказать, не только множество $N$ удовлетворяет условиям №1 и №2. Например, множество всех нечётных натуральных чисел $N_1=\{1,3,5,7,9,11, \ldots\}$ тоже подходит под условия пунктов №1 и №2. Как же указать, что нам нужно именно множество $\{3,9,27,81,\ldots \}$?

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A ; или a принадлежит A , или A содержит a ). Если a не является элементом множества A , то пишут (a не входит в A , A не содержит a ). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так {a , b , c } обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором - только четные.

Два множества A и B называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A . Тогда пишут A = B . Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a , b , c допускает шесть видов записи:

{a , b , c } = {a , c , b } = {b , a , c } = {b , c , a } = {c , a , b } = {c , b , a }.

Из соображений формального удобства вводят еще так называемое "пустое множество", а именно, множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают , иногда символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).

Если каждый элемент множества A входит во множество B , то A называется подмножеством B , а B называется надмножеством A . Пишут (A входит в B или A содержится в B , B содержит A ). Очевидно, что если и , то A = B . Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Если каждый элемент множества A входит в B , но множество B содержит хотя бы один элемент, не входящий в A , т. е. если и , то A называется собственным подмножеством B , а B - собственным надмножеством A . В этом случае пишут . Например, запись и означают одно и то же, а именно, что множество A не пусто.

Заметим еще, что надо различать элемент a и множество {a }, содержащее a в качестве единственного элемента. Такое различие диктуется не только тем, что элемент и множество играют неодинаковую роль (отношение не симметрично), но и необходимостью избежать противоречия. Так, пусть A = {a , b } содержит два элемента. Рассмотрим множество {A }, содержащее своим единственным элементом множество A . Тогда A содержит два элемента, в то время как {A } - лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому рекомендуется применять запись , и не пользоваться записью .

Основные понятия теории множеств

Понятие множества является фундаментальным понятием современной математики. Мы будем считать его первоначальным и теорию множеств строить интуитивно. Дадим описание этого первоначального понятия.

Множество – это совокупность объектов (предметов или понятий), которая мыслится как единое целое. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.

Можно говорить о множестве студентов первого курса математического факультета, о множестве рыб в океане и т.д. Математика обычно интересуется множеством математических объектов: множество рациональных чисел, множество прямоугольников и т.д.

Множества будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а его элементы малыми.

Если – элемент множества M , то говорят « принадлежит M » и пишут: . Если некоторый объект не является элементом множества, то говорят « не принадлежит M » и пишут (иногда ).

Существует два основных способа задания множеств: перечисление его элементов и указание характеристического свойства его элементов. Первый из этих способов применяется, в основном, для конечных множеств. При перечислении элементов рассматриваемого множества его элементы обрамляются фигурными скобками. Например, обозначает множество, элементами которого являются числа 2, 4 , 7 и только они. Этот способ применим не всегда, так как, например, множество всех действительных чисел таким образом задать невозможно.

Характеристическое свойство элементов множества M – это такое свойство, что всякий элемент, обладающий этим свойством, принадлежит M , а всякий элемент, не обладающий этим свойством, не принадлежит M . Множество элементов, обладающих свойством , обозначается так:

или .

Наиболее часто встречающиеся множества имеют свои особые обозначения. В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений:

N = – множество всех натуральных чисел;

Z = – множество всех целых чисел;

– множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных (вещественных) чисел, т.е. рациональных чисел (бесконечных десятичных периодических дробей) и иррациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей);

– множество всех комплексных чисел.

Приведем более специальные примеры задания множеств с помощью указания характеристического свойства.

Пример 1. Множество всех натуральных делителей числа 48 можно записать так: (запись используется только для целых чисел , и означает, что делится на ).

Пример 2. Множество всех положительных рациональных чисел, меньших 7, записывается следующим образом: .

Пример 3. – интервал действительных чисел с концами 1 и 5; – отрезок действительных чисел с концами 2 и 7.

Слово «множество» наводит на мысль, что оно содержит много элементов. Но это не всегда так. В математике могут рассматриваться множества, содержащие только один элемент. Например, множество целых корней уравнения . Более того, удобно говорить о множестве, не содержащем ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается через Ø. Например, пустым является множество действительных корней уравнения .

Определение 1. Множества и называются равными (обозначается А=В ), если эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Определение 2. Если каждый элемент множества принадлежит множеству , то называют подмножеством множества .

Обозначения: (« включается в »); (« включает »).

Ясно, что Ø и само множество являются подмножествами множества . Всякое другое подмножество множества называется его правильной частью . Если и , то говорят, что « А – собственное подмножество »или что «А строго включается в » и пишут .

Очевидно следующее утверждение: множества и равны тогда и только тогда, когда и .

На этом утверждении основан универсальный метод доказательства равенства двух множеств : чтобы доказать, что множества и равны, достаточно показать, что , а является подмножеством множества .

Это наиболее употребительный способ, хотя и не единственный. Позже, познакомившись с операциями над множествами и их свойствами, мы укажем другой способ доказательства равенства двух множеств – с помощью преобразований .

В заключение заметим, что часто в той или иной математической теории имеют дело с подмножествами одного и того же множества U , которое называют универсальным в этой теории. Например, в школьной алгебре и математическом анализе универсальным является множество R действительных чисел, в геометрии – множество точек пространства.

Операции над множествами и их свойства

Над множествами можно выполнять действия (операции), напоминающие сложение, умножение и вычитание.

Определение 1. Объединением множеств и называется множество, обозначаемое через , каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств или .

Сама операция , в результате которой получается такое множество, называется объединением.

Краткая запись определения 1:

Определение 2. Пересечением множеств и называется множество, обозначаемое через , содержащее все те и только те элементы, каждый из которых принадлежит и , и .

Сама операция , в результате которой получается множество , называется пересечением.

Краткая запись определения 2:

Например, если , , то , .

Множества можно изображать в виде геометрических фигур, что позволяет наглядно иллюстрировать операции над множествами. Такой метод был предложен Леонардом Эйлером (1707–1783) для анализа логических рассуждений, широко применялся и получил дальнейшее развитие в трудах английского математика Джона Венна (1834–1923). Поэтому такие рисунки называют диаграммами Эйлера-Венна .

Операции объединения и пересечения множеств можно проиллюстрировать диаграммами Эйлера–Венна следующим образом:

– заштрихованная часть; – заштрихованная часть.

Можно определить объединение и пересечение любой совокупности множеств , где – некоторое множество индексов.

Определение . Объединением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств .

Определение . Пересечением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит любому из множеств .

В случае, когда множество индексов конечно, например, , то для обозначения объединения и пересечения совокупности множеств в этом случае обычно пользуются обозначениями:

и .

Например, если , , , то , .

С понятиями объединения и пересечения множеств неоднократно встречаются в школьном курсе математики.

Пример 1. Множество М решений системы неравенств

является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы: .

Пример 2. Множество М решений системы

является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы. Множество решений первого уравнения – множество точек прямой , т.е. . Множество . Множество состоит из одного элемента – точки пересечения прямых.

Пример 3. Множество решений уравнения

где , является объединением множеств решений каждого из уравнений , , т.е.

Определение 3. Разностью множеств и называется множество, обозначаемое через , и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат , но не принадлежат .– заштрихованная часть; . с операциями объединения, пересечения и дополнения. Полученную математическую структуру называют алгеброй множеств илиалгеброй Булямножеств (вчесть ирландского математика и логика Джорджа Буля (1816–1864)). Через будем обозначать множество всех подмножеств произвольного множества и называть его булеаном множества .

Перечисленные ниже равенства справедливы для любых подмножеств A, B, C универсального множества U. Поэтому их и называют законами алгебры множеств.