Рассмотрим полую трубку постоянного малого сечения, в каждом сечении которой концентрацию диффундирующего вещества можно считать постоянной. Направим ось Ох вдоль трубки, тогда концентрация вещества в трубке выражается функцией Q(x,t) и может быть описана уравнением:

где Q(x,t) – объёмная концентрация (или плотность) диффундирующего вещества, кг/м 3 ;

f(x,t) – объёмная плотность источника примеси, кг·м -3 ·с -1 .

При условии постоянства коэффициента диффузии D коэффициент а определяется из выражения:

, (2.58)

где D – коэффициент диффузии, м 2 /с;

C – коэффициент пористости.

, (2.59)

где V – объем пор, внутри которых может происходить диффузия, м 3 ;

V 0 – полный объем, м 3 .

Если среда не пористая, то коэффициент С=1, а коэффициент а 2 =D.

В качестве начальных условий задается распределение плотности диффундирующего вещества вдоль рассматриваемой полой трубки в начальный момент времени:

Граничные условия могут быть заданы в следующей форме :

1) На границах полой трубки концентрация диффундирующего вещества поддерживается постоянной (в частности равной нулю) (граничные условия 1 рода):

2) Граничные плоскости трубки непроницаемы (граничные условия 2 рода):

; (2.63)

. (2.64)

3) Граничные плоскости полунепроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону Ньютона для конвективного теплообмена (граничные условия 3 рода):

, (2.65)

, (2.66)

где φ 1 (t), φ 2 (t) – плотность диффундирующего вещества в окружающей среде по оба конца трубки;

α – коэффициент проницаемости на концах.

Поставить краевую задачу для процесса диффузии взвешенных частиц с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тяжести, постоянна, а плотность частиц зависит только от высоты z и от времени t. Записать граничное условие, соответствующее непроницаемой перегородке.

Функция Q(x,t), описывающая плотность взвешенных частиц в трубке определяется уравнением:

,

D – коэффициент диффузии, м 2 /с;

ν – скорость оседания частиц, м/с.

Граничное условие сформулированному условию записывается в виде:

.

2.7 Уравнения линий передач

Рассмотрим кабель длиной l , находящийся под током. Кабель имеет следующие параметры, отнесенные к единице длины провода:

– активное сопротивление R, Ом/м;

– индуктивность L, Гн/м;

– емкостное сопротивление C, Ф/м;

– проводимость изоляции G, (Ом·м) -1 .

Напряжение U и ток I в каждый момент времени t в любой точке х могут быть найдены из следующих уравнений:

1) Уравнение телефона:

где Q(x,t)=U(x,t) или Q(x,t)=I(x,t).

2) Уравнение телеграфа (телеграфное уравнение) при условии пренебрежимо малых значений индуктивности и проводимости L=G=0:

. (2.68)

3) Уравнение радио (при малых значениях активного сопротивления и проводимости R=G=0):

, (2.69)

где k 2 =1/(LC).

Во всех уравнениях в качестве выходной распределенной величины могут рассматриваться как напряжение U(x,t), так и ток I(x,t).

Для уравнений телефона и радио, которые содержат вторую производную по времени t, необходимо задание начальных условий в виде самой распределенной величины в начальный момент времени вдоль всей линии, так и ее производной по времени t. Рассмотрим их расчет.

Пусть вдоль линии задано распределение напряжения и тока:

Граничные условия могут задаваться в различных вариантах. Рассмотрим самые распространенные, для одного из конца кабеля (линии), например х=l .

1) На конце включена батарея с постоянной электродвижущей силой Е, В:

2) Конец линии находится под синусоидальным напряжением с частотой ω:

3) Конец линии заземлен:

. (2.76)

4) Конец провода изолирован:

. (2.77)

5) В начале и в конце линии включены приемники с омическим сопротивлением R 0 и R l и самоиндукцией L 0 и L l :

; (2.78)

, (2.79)

где Е – электродвижущая сила батареи, В;

I 0 , I l – сила тока в начале и в конце линии, А.

6) В начале и в конце линии включены разделительные конденсаторы емкостью С 0 и С l :

; (2.80)

, (2.81)

где U l – напряжение на конце линии.

Линия передачи длиной 1000 км находится изначально в установившемся режиме с потенциалом 1200 В на передающем конце (х=0) и 1100 В на приемном конце (х=l =1000). Приемный конец линии внезапно заземляется, а на источнике сохраняется потенциал 1200 В. Сформулировать краевую задачу для потенциала в линии передач, предполагая индуктивность и проводимость изоляции пренебрежимо малыми.

Так как L=G=0, используем телеграфное уравнение вида:

,

где 0≤х≤ 1000.

Начальные условия (начальное установившееся напряжение) описываются уравнением вида:

.

,
.

Найти силу тока I(x,t) в проводе длиной l , по которому течет переменный ток, если утечка тока отсутствует, а омическим сопротивлением и проводимостью можно пренебречь. Предполагается, что начальный ток в проводе (при t=0) равен нулю, а начальное напряжение задается формулой:

.

Левый конец провода (х=0) изолирован, а правый конец (х=l ) заземлен.

Так как R=G=0 выбираем уравнение радио:

,

где Q(x,t)=I(x,t) – распределенная токовая величина;

L – индуктивность, приведенная к единице длины, Гн/м;

C – емкость, приведенная к единице длины, Ф/м.

Начальные условия имеют вид:

,

.

Граничные условия задаются в виде:

,

.

Описанные примеры формулировок краевых задач могут быть использованы для постановки собственных задач.

Вопросы для самопроверки.

1) Как записывается краевая задача в общем виде?

2) Что называется начальной функцией?

3) Что описывают граничные условия?

4) Как по внешнему виду определить уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов?

5) Какие процессы описывают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов?

6) Какие начальные условия записывают для уравнения гиперболического типа?

7) Как выглядят начальные условия для уравнений эллиптического типа?

8) Как записываются граничные условия для первой, второй и третьей краевых задач?

9) Что собой представляет функция Грина и стандартизирующая функция?

10) Какие выделяют типовые распределенные блоки?

11) Как рассчитывается передаточная функция паралелльно соединенных блоков?

12) Почему последовательное соединение называется некоммутативным?

ДИФФУЗИИ УРАВНЕНИЕ - дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс диффузии в случае, когда перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации (в отличие от термодиффузии и т. п.). Д. у. чаще всего записывают в виде

где и(x, t) - концентрация вещества в точке среды в момент времени t, D - коэф. , q - коэф. поглощения, a F - интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются ф-циями x и t , а также могут зависеть от концентрации и(x, t) . B последнем случае ур-ние (1) становится нелинейным. В коэфф. диффузии D является тензорным полем.

Наиб. полно исследовано линейное Д. у., когда коэф. диффузии D и поглощения q - пост. величины. В этом случае ур-ние (1) является ур-нием параболич. типа, для к-poro в матем. разработаны разл. методы решения: метод разделения переменных, метод источников или функций Грина (см. также Винеровский функциональный интеграл) , метод интегр. преобразований и т. д. Для выделения единств. решения линейного ур-ния (1) необходимо также задать нач. и граничные условия (если диффундирующее вещество заполняет конечный объём V , огранич. боковой поверхностью S ). Обычно рассматривают след. линейные граничные условия для Д. у.: 1) на границе S поддерживается заданное распределение вещества u 0 (x, t): на S поддерживается заданная потока вещества, входящего в V через S:

где - внутр. нормаль к поверхности S; 3) S полупроницаема, и диффузия во внеш. среду с заданной концентрацией и 0 (x, t )через S происходит по линейному закону

Простейшее Д. у.

с нач. условием имеет решение вида

фундам. решение Д. у. (2).

Методы решения Д. у. с перем. коэф. диффузии менее развиты. В нек-рых частных случаях, напр. если D зависит только от концентрации и , можно аналитически найти точные решения Д. у. с перем. D .

Нелинейные матем. модели диффузии и (ур-ние и граничные условия) условно делят на след. классы: 1) от концентрации и зависят D или q (нелинейность 1-го рода); 2) нелинейность содержится в граничных условиях (нелинейность 2-го рода); 3) нелинейность возникает вследствие зависимости мощностей внутр. источников F от концентрации и (нелинейность 3-го рода, см. Диссипативные структуры ).

Одномерные нелинейные Д. у. можно решить разл. приближёнными аналитич. методами. Двухмерные и трёхмерные нелинейные Д. у. при сложной конфигурации границ области и сложных законах изменения характеристик среды, внеш. и внутр. источников вещества, перем. границ области, где происходит диффузия, поддаются решению только числ. методами с применением ЭВМ. С матем. точки зрения Д. у., являясь частным случаем дифференц. ур-ния, описывающего процесс установления равновесного распределения, совпадает с ур-нием теплопроводности и аналогично Навъе - Стокса уравнению для ламинарного потока несжимаемой жидкости и т. д.

Лит.: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1981; Коздоба Л. A., Методы решения нелинейных задач теплопроводности, M., 1975; Pайченко А. И., Математическая теория диффузии в приложениях, К., 1981; Crank J., The mathematics of diffusion, 2 ed., Oxf., 1975. С. Я . Азаков .

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА. ДИФФУЗИЯ. УРАВНЕНИЕ ФИКА

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА. ДИФФУЗИЯ. УРАВНЕНИЕ ФИКА
Рубрика (тематическая категория)	Спорт

Необходимым условием жизни является перенос веществ через биологические мембраны в клетку и из клетки. Мембраны при этом выполняют две прямо противоположные функции: барьерную, благодаря которой клетка защищается от чужеродных веществ, и транспортную, обеспечивающую всœем необходимым процессы метаболизма, генерации биопотенциалов и нервных импульсов, биоэнергетики и т.д.

В физике под термином перенос понимают необратимые процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственное перемещение (перенос) массы, импульса, энергии, заряда или какой-либо другой физической величины. Следует понимать, что с места на место переходят частицы, которые и переносят свои физические характеристики: массу, импульс, энергию, заряд и т.д.

К явлениям переноса относятся диффузия – перенос массы; теплопроводность – перенос энергии; вязкость – перенос импульса частиц среды.

Наиболее существенными для жизнедеятельности биологических организмов являются процессы переноса массы и электрического заряда. В биофизике в качестве синонима термину перенос используют термин ʼʼтранспортʼʼ. Выведем, исходя из представлений молекулярно-кинœетической теории, общее уравнение переноса. Прежде всœего, с этой целью определим количество молекул, переходящих за промежуток времени Δt через некоторую воображаемую площадку ΔS, помещённую в вещество. Направим ось OX перпендикулярно ΔS (рис.5). Т.к. движение частиц среды хаотично, то условно можно считать, что вдоль каждой из пространственных осœей движется треть от общего числа частиц. Причём, половина от этой трети (ᴛ.ᴇ. 1/6) движется вдоль OX слева направо, а вторая половина – справа налево. Тогда, в одну сторону через площадку ΔS за 1 секунду пройдёт 1/6 всœех частиц, находящихся в объёме прямоугольного параллелœепипеда с основанием ΔS и высотой, равной средней скорости движения частиц среды: , где n – число частиц в единице объёма. За время Δt число частиц прошедших в данном направлении:

. (1)

Будем помнить, что каждая частица при этом перенесёт через площадку свои физические характеристики: массу, заряд, импульс, энергию и т. д. Тогда количество любой физической характеристики φ, перенесённое всœеми частицами в направлении нормали через площадку ΔS за время :

. (2)

Понятно, в случае если среда однородна, то количество частиц движущихся “слева направо” и “справа налево” будет одинаковым, и результирующего переноса физических величин не будет.

Предположим, что рассматриваемая среда неоднородна по своим физическим свойствам. Это означает, что значения одной и той же характеристики φ в разных точках пространства разные. В этом случае количество физической величины перешедшей ʼʼслева направоʼʼ и ʼʼсправа налевоʼʼ не будет одинаковым. Оценим результирующий перенос величины через площадку ΔS.

Пусть значение убывает в положительном направлении OX, будучи равным 1 слева от площадки ΔS и 2 – справа от неё (рис.6). Результирующий перенос величины (φN) через площадку ΔS за время Δt слева направо, равен:

Теперь остаётся только узнать на каком расстоянии от ΔS следует взять значения φn 1 и φn 2 . Обмен значениями величины φ и изменение концентрации n происходит только при взаимодействиях молекул. Это означает, что значение сохраняется неизменным на расстоянии равным длинœе свободного пробега – λ слева и справа от площадки. На этих расстояниях от ΔS и будем брать значения (φn) для подстановки в формулу (3). Умножив и разделив правую часть (3) на 2λ, получим:

Величину

(5)

называют градиентом величины (φn). 2λ = Δx – расстояние на котором величина (φn) изменяется от значения (φn) 1 до (φn) 2 . Окончательно для результирующего переноса имеем:

. (6)

Знак минус обусловлен тем, что перенос физической величины происходит в направлении, противоположном градиенту величины (φn). Grad(φn) направлен справа налево, а перенос (φn) – слева направо (рис.3). Выражение (6) является общим уравнением переноса.

Рассмотрим на его основании явление диффузии, ᴛ.ᴇ. перенос массы. Переносимой величиной будет масса молекулы, ᴛ.ᴇ. φ = m. Тогда, m·n = ρ. Подставляя в уравнение (6) вместо φ – m, получим

, (7)

где ΔM – масса газа, переносимая путём диффузии за Δt через площадку ΔS, перпендикулярную направлению убывания плотности. Обозначив , получим уравнение диффузии (закон Фика) в виде:

, (8)

где константа D – коэффициент диффузии, размерность которого (м 2 /с).

Количество вещества, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ переносится через всё поперечное сечение ΔS за единицу времени, принято называть потоком вещества:

. (9)

Уравнение Фика должна быть записано также через плотность потока вещества (интенсивность переноса) – величину, под которой понимают массу вещества, перенесённую через единицу площади поперечного сечения потока за единицу времени:

. (10)

Явления переноса изучают как на живых клетках, так и на разного рода моделях. Перенос вещества может происходить без затраты энергии (пассивный транспорт) и за счёт энергии АТФ (активный транспорт).

4. ТРАНСПОРТ ВЕЩЕСТВ ЧЕРЕЗ БИОЛОГИЧЕСКИЕ МЕМБРАНЫ.

4.1 ПАССИВНЫЙ ПЕРЕНОС. РАЗНОВИДНОСТИ ПАССИВНОГО ТРАНСПОРТА МОЛЕКУД И ИОНОВ ЧЕРЕЗ МЕМБРАНУ.

Важным элементом функционирования биологических мембран является их способность пропускать или не пропускать молекулы, атомы и ионы. Эта способность принято называть проницаемостью. Проблема мембранной проницаемости включает в себя вопрос кинœетики поступления частиц в клетку и из клетки, а также механизм распределœения вещества между клеткой и межклеточной средой. Изучение проницаемости биомембран имеет большое значение для медицины и, особенно, для фармакологии и токсикологии. Для лечения крайне важно знать проникающую способность фармакологических средств и ядов через мембрану в норме и при патологии.

Перенос вещества через мембрану является сложным процессом и может осуществляться многими способами. Учитывая зависимость оттого, что является движущей силой перемещения молекул, всœе виды переноса можно разделить на пассивные и активные. Пассивный транспорт вещества осуществляется за счёт энергии, сконцентрированной в каком-либо градиенте и не связан с затратой химической энергии гидролиза АТФ. Наиболее значимыми для биологических систем являются градиенты концентрации – dc/dx, электрического потен-циала – dφ/dx и гидростатического давления – dр/dx.

Выделяют следующие виды пассивного переноса через биологические мембраны: простая диффузия, диффузия через поры, облегченная диффузия, осмос и фильтрация :

а) Простая диффузия - ϶ᴛᴏ самопроизвольное перемещение вещества из мест с большей концентрацией в места с меньшей концентрацией вследствие хаотического теплового движения частиц. Рассмотрим в качестве примера диффузию незаряженных частиц определённого вида через биологическую мембрану толщиной l . Запишем уравнение Фика через концентрацию вещества данного вида в растворе. Не трудно видеть, что для раствора масса растворённого вещества в единице объёма и есть его массовая концентрация (кг/м 3). Теперь плотность потока вещества через поверхность мембраны в направлении нормали к ней, в соответ-ствии с (10), запишется:

, (11)

где D – коэффициент диффузии, Δc/Δx – градиент массовой концентрации вдоль направления переноса. Будем считать, что концентрация частиц, диффундирующих через мембрану, изменяется в мембране по линœейному закону от значения с i ,м внутри клетки, до значения с о,м в межклеточной среде (рис.7). Тогда градиент концентрации можно выразить соотношением:

. (12)

Измерить концентрации с о,м и с i ,м в приграничных слоях мембраны практически невозможно. По этой причине воспользуемся соотношением:

, (13)

где с о и с i – концентрации данного вещества в межклеточной жидкости и цитоплазме соответственно. Откуда, с учётом того, что с i ,м = k с i , a с о,м = k с о, получим:

. (14)

С учётом (14) уравнение диффузии частиц через мембрану примет вид:

–уравнение Коллендера. (15)

Величина Р = Dk / l принято называть коэффициентом проницаемости . В живой клетке такая диффузия обеспечивает прохождение кислорода и углекислого газа, а также ряда лекарственных веществ и ядов.

б) Диффузия может проходить через липидные и белковые поры или каналы , которые образуют в мембране проход (рис.8). Такой механизм проникновения сквозь мембрану характерен для молекул нерастворимых в липидах веществ и водорастворимых гидратированных ионов (сахар, спирт). Этот вид переноса допускает проникновение через мембрану не только малых молекул, к примеру, молекул воды, но и более крупных частиц. Значение проницаемости при этом определяется размерами молекул: с ростом размеров проницаемость молекул уменьшается.

Диффузия через поры также описывается уравнением Фика. При этом, наличие пор увеличивает коэффициент проницаемости Р. Каналы могут проявлять селœективность или избирательность по отношению к разным ионам, это проявляется в разной величинœе проницаемостях для разных ионов.

в) Облегченная диффузия происходит при участии молекул-переносчиков . Было обнаружено, что скорость проникновения в клетку глюкозы, глицерина, аминокислот не имеет линœейной зависимости от разности концентраций. Для определœенных концентраций скорость проникновения вещества через мембрану намного больше, чем следует ожидать для простой диффузии. При увеличении разности концентраций скорость диффузии возрастает в меньшей степени, чем это следует из уравнения Коллендера (15). В данном случае наблюдается облегченная диффузия.

Её механизм состоит в том, что вещество A, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ самостоятельно плохо проникает через мембрану, может образовать комплекс с молекулами X вспомогательного вещества (рис.9), ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ растворено в липидах. У поверхности мембраны молекулы А образуют комплекс AX, который способен растворяться в липидах. Оказавшись в результате диффузии по другую сторону мембраны, некоторые из комплексов отщеплют молекулы A. Молекула X возвращается к наружной поверхности мембраны и может образовать новой комплекс с молекулой А. Разумеется транспорт вещества А таким способом происходит в одну и другую сторону. По этой причине результирующий перенос возникнет только при условии, что концентрация А по одну и другую стороны мембраны разная. Таким способом, к примеру, антибиотик валиномицин переносит через мембраны ионы калия. Соединœения, обладающие способностью избирательно увеличивать скорость переноса ионов через мембрану получили название ионофоров .

В случае если концентрация молекул А в среде такова, что всœе молекулы вещества-переносчика задействованы, то дальнейшее повышении концентрации вещества А не будет больше вызывать рост скорости диффузии. Это означает, что облегчённая диффузия обладает свойст-

вом насыщения.

При облегчённой диффузии наблюдается конкуренция переносимых веществ в тех случаях, когда переносчиком выступает одно и тоже соединœение. К примеру, глюкоза переносится лучше, чем фруктоза; фруктоза лучше, чем ксилоза; ксилоза, лучше, чем арабиноза и т.д.

Известны также соединœения, способные избирательно блокировать облегчённую диффузию ионов через мембрану. Οʜᴎ образуют прочные комплексы с молекулами переносчиками. К примеру яд рыбы фугу тетродотоксин блокирует транспорт натрия, флоридзин подавляет транспорт сахаров и т.д.

Разновидностью облегчённой диффузии является транспорт с помощью неподвижных переносчиков. Молекулы X образуют фиксированные цепочки поперек мембраны, к примеру, выстилают изнутри пору (рис.10). Молекулы переносимого вещества А передаются от одной молекулы переносчика к другой, как по эстафете. При этом предполагается, что пространство в поре недостаточно велико для прохождения через нее частиц А, в случае если только они не способны к специфическому взаимодействию с переносчиком Х.

Диффузия является основным видом пассивного транспорта веществ через мембрану клетки. Все остальные виды пассивного переноса связаны в основном с транспортом воды.

в) Осмос – диффузия растворителя через полупроницаемую мембрану, разделяющую два раствора с разной концентрацией . Сила, которая вызывает это движение растворителя, принято называть осмотическим давлением. Оно возникает вследствие теплового движения молекул воды и растворённого вещества. Некоторые молекулы воды, векторы скорости которых параллельны каналам мембраны, проникают через неё. В то же время для растворённого вещества А мембрана непроницаема. По этой причинœе поток воды из раствора, где концентрация А ниже будет больше (в данном растворе выше концентрация воды). Процесс приводит к возрастанию гидростатического (водяного) давления в растворе с большей концентрацией А. Это избыточное давление вызывает фильтрацию воды в обратном направлении. В некоторый момент наступает состояние динамического равновесия. Давление соответствующее этому состоянию принято называть осмотическим давлением. Величина осмотического давления определяется уравнением Ван-Гоффа:

р = i·c·R·T, (16)

где с – концентрация растворённого вещества; Т – термодинамическая температура; R – газовая постоянная; i – изотонический коэффициент, показывает во сколько раз возросло число частиц в растворе из-за диссоциации молекул. Скорость осмотического переноса воды через мембрану определяется соотношением:

, (17)

где Р о – коэффициент проницаемости, S – площадь мембраны, (р 1 – р 2) – разность осмотических давлений по одну и другую стороны мембраны.

г) Фильтрацией принято называть движение жидкости через поры в мембране под действием градиента гидростатического давления . Объёмная скорость переноса жидкости при этом подчиняется закону Пуазейля:

где r – радиус поры; l – длина канальца поры; (р 1 -р 2) – разность давлений на концах канальца; η – коэффициент вязкости переносимой жидкости; – модуль градиента давления вдоль поры; – гидравлическое сопротивление. Это явление наблюдается при переносœе воды через стенки кровеносных сосудов (капилляров). Явление филь-трации играет важную роль во многих физиологических процессах. Так, к примеру, образование первичной мочи в почечных нефронах происходит в результате фильтрации плазмы крови под действием давления крови. При некоторых патологиях фильтрация усиливается, что приводит к отёкам.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА. ДИФФУЗИЯ. УРАВНЕНИЕ ФИКА - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА. ДИФФУЗИЯ. УРАВНЕНИЕ ФИКА" 2017, 2018.

Процессов в твердых телах.

Определение диффузии. Первое и второе уравнения Фика.

Определим диффузию как процесс переноса вещества из одной части системы в другую, происходящий под действием градиента концентрации. Отметим, однако, что градиент концентрации – важная, но не единственная причина, вызывающая перенос вещества в системе.

При свободной диффузии не взаимодействующих между собой частиц (в отсутствии приложенных внешних сил) в однородном и изотропном твердом теле поток диффузионных частиц https://pandia.ru/text/80/099/images/image002_18.gif" width="53" height="25 src="> (для одномерного случая). Связь между ними определяется первым законом Фика:

где - коэффициент диффузии атомов. Из выражения (10.1) можем определить коэффициент диффузии как скорость, с которой система способна при заданных условиях сделать нулевой разность концентраций. Знак “минус” в выражении означает, что поток атомов направлен из области с большей концентрацией в область с меньшей концентрацией. Для трехмерной задачи первое уравнение Фика имеет вид:

где - оператор Набла, который записывается .

В случае независимости коэффициента диффузии от концентрации легирующих частиц, применение закона сохранения вещества при диффузии в форме уравнения непрерывности для потока частиц позволяет перейти ко второму уравнению Фика, устанавливающему связь между концентрацией диффундирующих частиц в различных точках тела и временем диффузии:

Для трехмерного случая:

https://pandia.ru/text/80/099/images/image010_8.gif" width="88" height="48">, (10.4)

где - оператор Лапласа, который записывается .

Второй закон Фика, как закон сохранения вещества, можно записать в форме уравнения непрерывности:

. (10.5)

Размерность плотности потока вещества зависит от размерности концентрации..gif" width="219" height="48">.

Одним из основных параметров диффузии является коэффициент диффузии, вводимый как коэффициент пропорциональности между потоком и градиентом концентрации вещества в уравнении (10.1). В зависимости от условий проведения диффузионного опыта, различают несколько типов коэффициента диффузии.

1. Для описания взаимной диффузии при контакте двух образцов неограниченно растворимых один в одном, пользуются понятием коэффициента взаимной диффузии https://pandia.ru/text/80/099/images/image017_4.gif" width="21 height=25" height="25">, равным коэффициенту взаимной диффузии, если собственные коэффициенты диффузии компонентов равны между собой, т. е..gif" width="17" height="19 src="> и ).

3. Кроме того, подвижность - того компонента сплава может быть охарактеризована порциальными коэффициентами диффузии , которые вводятся следующим образом:

. (10.6)

Порциальные коэффициенты можно определить как для собственной, так и для взаимной диффузии. Все введенные до сих пор коэффициенты являются коэффициентами гитеродиффузии (химической диффузии), т. е. такой диффузии, которая имеет место при наличии только градиента концентрации.

Диффузия в реальных кристаллах происходит вследствие четырех основных механизмов:

1. Для идеальных кристаллов процесс диффузии предполагает простой обмен местами между соседними атомами вещества. В этом случае необходимо затратить значительную энергию (порядка энергии связи между соседними атомами решетки).

2. Для примесей внедрения характерно перемещение атомов по междоузлиям из-за наличия в системе некоторой концентрации дефектов.

3. При вакансионном механизме диффузии один из соседних атомов занимает близлежащую вакансию. Вакансии могут образовываться вследствие того, что некоторые атомы, совершающие тепловые колебания около положения равновесия, могут иметь энергию, значительно превышающую среднюю энергию связи. Такие атомы уходят из узлов решетки в междуузельное пространство, образуя вакансию. Такая вакансия перемещается в кристалле путем последовательного заполнения ее другими атомами.

4. Возможна также диффузия по междоузлиям путем вытеснения, когда атом выталкивает одного из ближайших соседей в междоузлие, а сам занимает его место в решетке.

Таким образом, мы видим, что в твердых телах благодаря тепловому движению происходит непрерывное перемешивание частиц..gif" width="120" height="52">, (10.7)

где - энергия активации диффузии; - постоянная, равная по порядку величины периоду собственных колебаний атомов в узлах решетки https://pandia.ru/text/80/099/images/image029_2.gif" width="109" height="25 src=">, где - энергия активации при https://pandia.ru/text/80/099/images/image032_1.gif" width="15" height="20"> зависит от характера колебаний атомов.

В большинстве случаев коэффициент диффузии в твердых телах увеличивается с ростом температуры по закону, имеющему вид уравнения Аррениуса:

, (10.8)

где - предэкспоненциальный множитель (фактор), численно равный коэффициенту диффузии при бесконечно большой температуре.

Процессы взаимной диффузии в поликристаллических пленках металлов приводят к образованию интерметаллидов. При этом можно выделить следующие изменения их свойств:

1. Образуются металлические слои, структура которых имеет большое количество дефектов, через которые возможна диффузия примесей и газов.

2. Электронные характеристики пленок металлов из-за образования твердых растворов металлов и соединений изменяются.

3. Меняется толщина и состав переходного слоя.

4. Возможно развитие неоднородностей в слоях металлов и в переходном слое из-за неравномерности взаимной диффузии металлов через границу раздела.

Отмеченные выше процессы приводят к деградации электрических параметров и зависят от количества продиффундированного в структуру вещества. Поэтому особенно важно уметь находить зависимости распределения концентрации диффундирующих примесей в структурах от времени и температуры процесса диффузии. Это можно сделать, решив второе уравнение Фика или уравнение диффузии.

Уравнение диффузии представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных и для его решения необходимо сформулировать начальные и граничные условия, которым должна удовлетворять концентрация и первоначальное распределение диффундирующего вещества. Эти условия определяют на основе анализа конкретной ситуации, в которой происходит процесс диффузии. Здесь важно отметить, что внутри твердого тела концентрация является непрерывной функцией координат и времени, а ее первая производная по времени и первая и вторая производные по координатам , и DIV_ADBLOCK165">

Начальное распределение концентрации может быть произвольным, но чаще всего эта функция постоянна либо равна нулю. Что касается граничных условий (условий на поверхности), то обычно в задачах диффузии задана либо концентрация на поверхности , либо поток https://pandia.ru/text/80/099/images/image042.gif" width="45" height="20"> переходы, глубина которых контролируется с точностью до долей микрометра.

Контрольные вопросы

1. Что такое диффузия?

2. Как записывается первое уравнение Фика?

3. Как записывается второе уравнение Фика?

4. Что такое коэффициент диффузии?

5. Какие различают типы коэффициентов диффузии?

6. Как записывается зависимость изменения коэффициента диффузии от температуры в твердом теле?

7. Как процессы взаимной диффузии и образование при этом интерметаллидов изменяют свойства пленок металлов?

8. Как можно задавать начальное распределение концентрации и граничные условия (условия на поверхности) при решении уравнения диффузии?

Явлением диффузии называется процесс установления внутри фаз равновесного распределения концентраций.

Результатом диффузии при постоянной температуре является выравнивание химических потенциалов. В однофазной системе при постоянной температуре и при отсутствии внешних сил диффузия выравнивает концентрацию компонента фазы во всей системе. Если на систему действуют внешние силы или поддерживается градиент температуры, то в результате диффузии устанавливаются градиенты концентраций отдельных компонентов (термодиффузия, электродиффузия и другие процессы).

Уравнение диффузии в одномерном случае

Уравнение диффузии в одномерном случае () в двухкомпонентной системе - это первый закон Фика:

где dm – масса первого компонента, которая переносится за время dt через элементарную площадку dS в направлении нормали x к рассматриваемой площадке в сторону убывания плотности первого компонента, – градиент плотности, D – коэффициент диффузии.

Если в однокомпонентной системе выделить группу молекул, выравнивание концентрации выделенных частиц по объёму сосуда называется самодиффузией. Самодиффузия тоже описывается уравнением диффузии (первым законом Фика), в котором коэффициент D- называется коэффициентом самодиффузии.

Уравнение диффузии в трехмерном случае

В случае трехмерной диффузии изменение концентрации с течением времени при постоянной температуре и отсутствии внешних сил описывается дифференциальным уравнением диффузии:

где D- коэффициент диффузии, t- время. Если D не зависит от концентрации, то уравнение диффузии будет иметь вид:

Уравнение (3) еще называют вторым законом Фика, где - дифференциальный оператор Лапласа.

В том случае, если перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации уравнение диффузии можно записать и в следующем виде:

где c(x, t) - концентрация вещества в точке среды в момент времени t, D – коэффициент диффузии, q - коэффициент поглощения, a F - интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются функциями координат и времени, а также могут зависеть от концентрации с(x, t). B последнем случае, уравнение диффузии (4) становится нелинейным. В анизотропной среде коэффициент диффузии D является тензорным полем. В случае, когда величины D и q постоянны уравнение (4) является уравнением параболического типа. Для такого типа уравнений в математической физике разработаны методы решения. Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев реализуемых на практике. Уравнения диффузии не содержат ни каких сведений о механизмах этого процесса. Основная цель решения уравнения - найти распределение примеси c(x,t) после диффузии в течение определенного времени при различных условиях осуществления процесса.

Решение уравнения диффузии

Для выделения единственного решения для уравнения (4) необходимо задать начальные и граничные условия. Обычно, рассматривают следующие граничные условия:

1) на границе поверхности S поддерживается заданное распределение вещества

2)на границе поверхности S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через границу S:

где n – внутренняя нормаль к поверхности S

3) S- полупроницаема, и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией через поверхность S происходит по линейному закону:

В простейшем случае, когда диффузия происходит только вдоль одной прямой и c=c(x,t)уравнение (3) запишется в виде:

с начальным условием:

Тогда уравнение (5) имеет решение вида:

Текущая координата интегрирования.

Выражение (6) называется фундаментальным решением уравнения диффузии в случае (5).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти массу газа ( с молярной плотностью прошедшего вследствие диффузии через площадку за время , если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен . Температура газа T, средняя длинна свободного пробега молекулы .
Решение	Запишем первый закон Фика в терминах условий задачи: Знак минус означает, направление вектора плотности. Возьмем модуль от правой части выражения (1.1): Зная, что , где - средняя длина свободного пробега молекулы, - средняя скорость молекулы газа и она равна: . Соответственно преобразуем (1.2), найдем искомую массу газа:
Ответ	Искомая масса газа может быть найдена по формуле: