Умножение одночленов и многочленов. Умножение многочлена на одночлен: правило, примеры С 29 умножение многочлена на одночлен

Класс: 7

Цель :

1. Обеспечить усвоение первоначальных знаний по теме «Умножение одночлена на многочлен»;
2. Развивать аналитико-синтезирующее мышление;
3. Воспитывать мотивы учения и положительного отношения к знаниям.

Сплочение коллектива класса.

Задачи :

1. Познакомиться с алгоритмом умножения одночлена на многочлен;
2. Отрабатывать практическое применение алгоритма.

Оборудование : карточки с заданиями, компьютер, интерактивный проектор.

Тип урока : комбинированный.

Ход урока

I. Организационный момент:

Здравствуйте ребята, садитесь.

Сегодня мы продолжаем изучение раздела «Многочлены» и тема нашего урока «Умножение одночлена на многочлен». Откройте тетради и запишите число и тему урока «Умножение одночлена на многочлен».

Задача нашего урока вывести правило умножения одночлена на многочлен и учиться применять его на практике. Знания, полученные сегодня необходимы вам на протяжении изучения всего курса алгебры.

У вас на столах лежат бланки в которые мы будем заносить ваши баллы, набранные на протяжении всего урока, и по итогам будет выставлена оценка. Баллы мы будем изображать в виде смайликов. (Приложение 1 )

II. Этап подготовки учащихся к активному и осознанному усвоению нового материала.

При изучении новой темы нам потребуются знания, которые вы получили на предыдущих уроках.

Учащихся выполняют задания по карточкам по теме «Степень и ее свойства». (5-7 минут)

Фронтальная работа:

1) Даны два одночлена: 12p 3 и 4p 3

а) сумму;
б) разность;
в) произведение;
д) частное;
е) квадрат каждого одночлена.

2) Назовите члены многочлена и определите степень многочлена:

а)5ab – 7a 2 + 2b – 2,6
б)6xy 5 + x 2 y - 2

3) Нам сегодня потребуется распределительное свойство умножения.

Давайте сформулируем это свойство и запись в буквенном виде.

III. Этап усвоения новых знаний.

Мы с вами повторили правило умножения одночлена на одночлен, распределительное свойство умножения. А теперь давайте усложним задачу.

Разделитесь на 4 группы. У каждой группы на карточках 4 выражения. Попробуйте восстановить недостающее звено в цепи и пояснить свою точку зрения.

• 8x 3 (6x 2 – 4x + 3) = ………………….……= 48x 5 – 32x 4 + 24x 3
• 5a 2 (2a 2 + 3a – 7) = …………………...…..= 10a 4 + 15a 3 – 35a 2
• 3y(9y 3 – 4y 2 – 6) = ………………………. =27y 4 – 12y 3 – 18y
• 6b 4 (6b 2 + 4b – 5) = ………….……………= 36b 6 + 24b 5 – 30b 4

(Один представитель от каждой группы выходит к экрану, записывает недостающую часть выражения и поясняет свою точку зрения.)

Попробуйте сформулировать правило (алгоритм) умножения многочлена на одночлен.

Какое выражение получается в результате выполнения данных действий?

Чтобы проверить себя откройте учебник стр. 126 и прочитайте правило (1 человек читает вслух).

Совпадают ли наши выводы с правилом в учебнике? Запишите правило умножения одночлена на многочлен в тетрадь.

IV. Закрепление:

1. Физкультминутка:

Ребята, сядьте поудобнее, закройте глаза, расслабьтесь, сейчас мы отдыхаем, мышцы расслаблены, мы изучаем тему «Умножение одночлена на многочлен».

И так мы помним правило и повторяем за мной: чтобы умножить одночлен на многочлен нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и записать сумму полученных выражений. Открываем глаза.

2. Работа по учебнику № 614 у доски и в тетрадях;

а) 2х(х 2 – 7х - 3) = 2х 3 – 14х 2 – 6х
б) -4в 2 (5в 2 – 3в - 2) = -20в 4 + 12в 3 + 8в 2
в) (3а 3 – а 2 + а)(- 5а 3) = -15а 6 + 5а 5 – 5а 4
г) (у 2 – 2,4у + 6)1,5у = 1,5у 3 – 3,6у 2 + 9у
д) -0,5х 2 (-2х 2 – 3х + 4) = х 4 + 1,5х 3 – 2х 2
е) (-3у 2 + 0,6у)(- 1,5у 3) = 4,5у 5 - 0,9у 4

(При выполнении номера анализируются наиболее типичные ошибки)

3. Соревнование по вариантам (расшифровка пиктограммы). (Приложение 2)

1 вариант:		2 вариант:
1) -3х 2 (- х 3 + х - 5) 2) 14 x (3 xy 2 – x 2 y + 5) 3) -0,2 m 2 n (10 mn 2 – 11 m 3 – 6) 4) (3a 3 – a 2 + 0,1a)(-5a 2) 5) 1/2 с (6 с 3 d – 10c 2 d 2) 6) 1,4p 3 (3q – pq + 5p) 7) 10x 2 y(5,4xy – 7,8y – 0,4) 8) 3 а b(a 2 – 2ab + b 2)		1) 3а 4 х(а 2 – 2ах + х 3 - 1) 2) -11a(2a 2 b – a 3 + 5b 2) 3) -0,5 х 2 y(х y 3 – 3 х + y 2) 4) (6b 4 – b 2 + 0,01)(-7b 3) 5) 1/3m 2 (9m 3 n 2 – 15mn) 6) 1,6c 4 (2c 2 d – cd + 5d) 7) 10p 4 (0,7pq – 6,1q – 3,6) 8) 5xy(x 2 – 3xy + x 3)

Задания представлены на индивидуальных карточках и на экране. Каждый учащийся выполняет свое задание, находит букву и записывает ее на экране напротив того выражения, которое он преобразовывал. Если получен правильный ответ, то получится слово: молодцы! умники 7а

На одночлен? Как при умножении правильно расставить знаки?

Правило.

Чтобы умножить многочлен на , надо каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные результаты сложить.

Удобно одночлен записывать перед скобками.

Чтобы правильно расставить знаки при умножении, лучше воспользоваться правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс» либо знак «минус».

Умножения многочлена на одночлен можно изобразить с помощью схемы.

Одночлен умножаем на каждый член многочлена, стоящего в скобках («фонтанчиком»).

Если перед скобками стоит знак «+», знаки в скобках не изменяются:

Если перед скобками стоит знак «-«, каждый знак в скобках меняется на противоположный:

Рассмотрим, как умножить многочлен на одночлен, на конкретных примерах.

Примеры.

Выполнить умножение многочлена на одночлен:

Решение:

Умножаем одночлен на каждый член многочлена, стоящего в скобках. Так как перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не изменяются:

отдельно перемножаем числа, отдельно — с одинаковыми основаниями:

Одночлен умножаем на каждый член многочлена. Так как перед скобками стоит множитель, знак каждого слагаемого, стоящего в скобках, меняем на противоположный:

Обычно пишут короче, умножение степеней и чисел (за исключением обыкновенных дробей и смешанных чисел) выполняют устно.

Если коэффициенты — обыкновенные дроби, то умножаем их по правилу умножения обыкновенных дробей: числитель — на числитель, знаменатель — на знаменатель, и сразу же записывая их под одну дробную черту. Если коэффициенты — смешанные числа, переводим их в неправильные дроби:

Внимание!

Не сокращаем дроби, пока не записали все действия до конца. Как показывает практика, если сразу же начинать с сокращения дробей, то до остальных слагаемых дело не доходит — о них просто забывают.

§ 1 Умножение многочлена на одночлен

Когда речь идёт об умножении многочленов, то мы можем иметь дело с операциями двух видов: умножение многочлена на одночлен и умножение многочлена на многочлен. На этом занятии мы узнаем, как умножить многочлен на одночлен.

Основным правилом, которое используют при умножении многочлена на одночлен, является распределительное свойство умножения. Вспомним:

Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

Это свойство умножения распространяется и на действие вычитания. В буквенной записи распределительное свойство умножения выглядит так:

(а + b) ∙ с = ас + bc

(а - b) ∙ с = ас - bc

Рассмотрим пример: многочлен (5аb - 3а2) умножить на одночлен 2b.

Введём новые переменные и обозначим 5аb - буквой х, 3а2 - буквой у, 2b - буквой с. Тогда наш пример примет вид:

(5аb - 3а2) ∙ 2b = (х - у) ∙с

Согласно распределительному закону это равно хс - ус. Теперь вернёмся к первоначальному значению новых переменных. Получим:

5аb∙2b - 3а2∙2b

Теперь приведём получившийся многочлен к стандартному виду. Получим выражение:

Таким образом, можно сформулировать правило:

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.

Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен.

§ 2 Примеры по теме урока

При умножении многочленов на практике во избежание путаницы с определением получающихся знаков рекомендуют сначала определять и сразу записывать знак произведения, а уж потом находить и записывать произведение чисел и переменных. Вот как это выглядит на конкретных примерах.

Пример 1. (4а2b - 2а) ∙ (-5аb).

Здесь одночлен - 5аb надо умножить на два одночлена, составляющих многочлен, 4а2b и - 2а. Первое произведение будет со знаком «-», а второе - со знаком «+». Поэтому решение будет выглядеть так:

(4а2b - 2а) ∙ (-5аb) = - 4а2b ∙ 5аb + 2а ∙ 5аb = -20а3b2 + 10а2b

Пример 2. -ху(2х - 3у +5).

Здесь нам придётся выполнить три действия умножения, причём знак первого произведения будет «-», знак второго «+», знак третьего «-». Решение выглядит так:

Ху(2х - 3у + 5) = -ху∙2х + ху∙3у - ху∙5 = -2х2у + 3ху2 - 5ху.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

I. Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Пример 1. Умножить одночлен на многочлен: 2a·(4a 2 -0,5ab+5a 3).

Решение. Одночлен 2а будем умножать на каждый одночлен многочлена:

2a·(4a 2 -0,5ab+5a 3)= 2a∙4a 2 +2a∙(-0,5ab)+2a∙5a 3 =8a 3 -a 2 b+10a 4 . Запишем полученный многочлен в стандартном виде:

10a 4 +8a 3 -a 2 b.

Пример 2. Умножить многочлен на одночлен: (3xyz 5 -4,5x 2 y+6xy 3 +2,5y 2 z)∙(-0,4x 3).

Решение. Каждое слагаемое, стоящее в скобках, умножаем на одночлен (-0,4x 3) .

(3xyz 5 -4,5x 2 y+6xy 3 +2,5y 2 z)∙(-0,4x 3)=

3xyz 5 ∙(-0,4x 3) -4,5x 2 y∙(-0,4x 3)+6xy 3 ∙(-0,4x 3)+2,5y 2 z∙(-0,4x 3)=

=-1,2x 4 yz 5 +1,8x 5 y-2,4x 4 y 3 -x 3 y 2 z.

II. Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители.

III. Вынесение общего множителя за скобки – простейший способ разложения многочлена на множители.

Пример 3. Разложить на множители многочлен: 5a 3 +25ab-30a 2 .

Решение. Вынесем общий множитель всех членов многочлена за скобки. Это одночлен 5а , потому что на 5а делится каждый из членов данного многочлена. Итак, 5а мы запишем перед скобками, а в скобках запишем частные от деления каждого одночлена на 5а .

5a 3 +25ab-30a 2 =5a·(a 2 +5b-6a). Проверяем себя: если мы умножим 5а на многочлен в скобках a 2 +5b-6a, то получим данный многочлен 5a 3 +25ab-30a 2 .

Пример 4. Вынесите общий множитель за скобки: (x+2y) 2 -4·(x+2y).

Решение. (x+2y) 2 -4·(x+2y)=(x+2y)(x+2y-4).

Общим множителем здесь являлся двучлен (х+2у). Мы вынесли его за скобки, а в скобках записали частные от деления данных членов (x+2y) 2 и -4·(x+2y) на их общий делитель

(х+2у). В результате мы представили данный многочлен в виде произведения двух многочленов (x+2y) и (x+2y-4) , другими словами, мы разложили многочлен (x+2y) 2 -4·(x+2y) на множители. Ответ: (x+2y)(x+2y-4).

IV. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать полученные произведения в виде суммы одночленов. При необходимости привести подобные слагаемые.

Пример 5. Выполнить умножение многочленов: (4x 2 -6xy+9y 2)(2x+3y).

Решение. По правилу мы должны каждый член первого многочлена (4x 2 -6xy+9y 2) умножить на каждый член второго многочлена (2x+3y). Чтобы не запутаться, делайте всегда так: сначала умножьте каждый член первого многочлена на 2х, потом опять каждый член первого многочлена умножайте на 3у.

(4x 2 -6xy+9y 2)(2x +3y )=4x 2 ∙2x -6xy∙2x +9y 2 ∙2x +4x 2 ∙3y -6xy∙3y +9y 2 ∙3y =

8x 3 -12x 2 y+18xy 2 +12x 2 y-18xy 2 +27y 3 =8x 3 +27y 3 .

Подобные слагаемые -12x 2 y и 12x 2 y, а также 18xy 2 и -18xy 2 оказались противоположными, их суммы равны нулю.

Ответ: 8x 3 +27y 3 .

Страница 1 из 1 1

На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней. Кроме того, будут сформулированы типовые ошибки при выполнении различных примеров.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи

Операция умножения многочлена на одночлен является основой для рассмотрения операции умножения многочлена на многочлен и нужно сначала научиться умножать многочлен на одночлен, чтобы разобраться в умножении многочленов.

Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:

По существу, мы видим правило умножения многочлена, в данном случае двучлена, на одночлен и это правило можно сформулировать так: чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Сложить алгебраически полученные произведения, после чего произвести над многочленом необходимые действия - а именно привести его к стандартному виду.

Рассмотрим пример:

Комментарий: данный пример решается, точно следуя правилу: каждый член многочлена умножается на одночлен. Для того, чтобы хорошо понять и усвоить распределительный закон, в данном примере члены многочлена были заменены на х и у соответственно, а одночлен на с, после этого выполнено элементарное действие в соответствии с распределительным законом и выполнена подстановка исходных значений. Следует быть внимательными со знаками и правильно выполнить умножение на минус единицу.

Рассмотрим пример умножения трехчлена на одночлен и убедимся, что оно ничем не отличается от такой же операции с двучленом:

Перейдем к решению примеров:

Комментарий: данный пример решается согласно распределительному закону и аналогично предыдущему примеру - каждый член многочлена умножается на одночлен, полученный многочлен уже записан в стандартном виде, поэтому упростить его нельзя.

Пример 2 - выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:

Комментарий: для решения данного примера сначала произведем умножение для первого и второго двучленов согласно распределительному закону, после этого приведем полученный многочлен к стандартному виду - приведем подобные члены.

Теперь сформулируем основные задачи, связанные с операцией умножения многочлена на одночлен, и приведем примеры их решения.

Задача1 - упростить выражение:

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, а именно вначале производится умножение многочленов на соответствующие одночлены, после этого приведение подобных.

Задача 2 - упростить и вычислить:

Пример 1:;

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, с тем лишь дополнением, что после приведения подобных членов нужно вместо переменной подставить ее конкретное значение и вычислить значение многочлена. Напомним, чтобы легко умножить десятичную дробь на десять, нужно переместить запятую на один разряд вправо.