Тригонометрия. Тригонометрия - Гельфанд И., Львовский С.М., Тоом А.Л

Название: Тригонометрия. 2003.

Эта книга, написанная группой авторов под руководством одного из крупнейших математиков 20 века академика И. М. Гельфанда, призвана опровергнуть расхожее мнение о тригонометрии как скучном и непонятном разделе школьного курса математики. Читателю предлагается взглянуть на знакомый предмет по-новому. Изложение, сопровождающееся большим количеством задач, начинается «с нуля» и доходит до материала, выходящего довольно далеко за рамки школьной программы; тригонометрические формулы иллюстрируются примерами из физики и геометрии.
Отдельная глава посвящена типичным приемам решения тригонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Книга будет незаменимым помощником для школьников старших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой.

Что такое тригонометрия? Скучные и никому не нужные формулы скажут почти все старшеклассники. Тем не менее, мы хотим вас в этом разубедить.
Чтобы взглянуть на тригонометрию по-новому, мы рассказываем о ней «с нуля». Поэтому читать пособие лучше с самого начала и подряд, хотя кое-что вы. скорее всего, уже знаете.
Наши определения равносильны определениям из школьных учебников, но не всегда дословно с ними совпадают.
Не надо стремиться перерешать все задачи из книги (мы сознательно поместили их с запасом), но сколько-то задач после каждого параграфа порешать стоит. Если задачи к параграфу совсем не выходят, значит, что-то вы не усвоили, и есть смысл перечитать этот параграф.
Более трудные задачи отмечены звездочкой, более трудный текст напечатан мелким шрифтом. При первом чтении все это можно пропустить.

Оглавление
1. Первое знакомство с тригонометрией 7
§ 1. Как измерить крутизну 7
1.1. Синус 7
1.2. Измерение углов 9
§ 2. Тангенс 11
§ 3. Косинус 13
§ 4. Малые углы 16
2. Начальные свойства тригонометрических функций 21
§ 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию 21
5.1. Часы и процессы 21
5.2. Скорость 24
§ 6. Определение тригонометрических функций 26
6.1. Ось тангенсов 31
6.2. Знаки тригонометрических функций 32
§ 7. Простейшие формулы 34
§ 8. Периоды тригонометрических функций 36
§ 9. Формулы приведения 40
§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения 45
§ 11. Графики синуса и косинуса 55
§ 12. Графики тангенса и котангенса 62
§ 13. Чему равно sin x + cos x 65
3. Решение треугольников 67
§ 14. Теорема косинусов 67
§ 15. Вокруг площади треугольника 71
§ 16. Теорема синусов 76
4. Формулы сложения и их следствия 81
§ 17. Векторы 81
17.1. Направленные отрезки и векторы 81
17.2. Сложение векторов 87
17.3. Вычитание и умножение на число 90
17.4. О векторах в физике 94
§ 18. Скалярное произведение 95
§ 19. Тригонометрические формулы сложения 99
§ 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты 105
§ 21. Двойные, тройные и половинные углы 111
§ 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение 118
§ 23. Производные тригонометрических функций 126
5. Тригонометрия для абитуриентов 137
§ 24. Как решать тригонометрические уравнения 137
§ 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге 151
§ 26. Как решать тригонометрические неравенства 159
§ 27. Задачи на повторение 165
6. Комплексные числа 168
§ 28. Что такое комплексные числа 168
§ 29. Модуль и аргумент комплексного числа 173
§ 30. Показательная функция и формула Эйлера 182
Ответы и указания к некоторым задачам 189
Предметный указатель 196

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Тригонометрия - Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Отдельная глава посвящена типичным приемам решения тригонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Книга будет незаменимым помощником для школьников старших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой.

1. Первое знакомство с тригонометрией
? 1. Как измерить крутизну
1.1. Синус
1.2. Измерение углов
? 2. Тангенс
? 3. Косинус
? 4. Малые углы

2. Начальные свойства тригонометрических функций
? 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию
5.1. Часы и процессы
5.2. Скорость
? 6. Определение тригонометрических функций
6.1. Ось тангенсов
6.2. Знаки тригонометрических функций
? 7. Простейшие формулы
? 8. Периоды тригонометрических функций
? 9. Формулы приведения
? 10. Простейшие тригонометрические уравнения
? 11. Графики синуса и косинуса
? 12. Графики тангенса и котангенса
? 13. Чему равно sin x + cos x?

3. Решение треугольников
? 14. Теорема косинусов
? 15. Вокруг площади треугольника
? 16. Теорема синусов

4. Формулы сложения и их следствия
? 17. Векторы
17.1. Направленные отрезки и векторы
17.2. Сложение векторов
17.3. Вычитание и умножение на число
17.4. О векторах в физике
? 18. Скалярное произведение
? 19. Тригонометрические формулы сложения
? 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты
? 21. Двойные, тройные и половинные углы
? 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение
? 23. Производные тригонометрических функций

5. Тригонометрия для абитуриентов
? 24. Как решать тригонометрические уравнения
? 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге
? 26. Как решать тригонометрические неравенства
? 27. Задачи на повторение

6. Комплексные числа
? 28. Что такое комплексные числа
? 29. Модуль и аргумент комплексного числа
? 30. Показательная функция и формула Эйлера

Ответы и указания к некоторым задачам

Предметный указатель

Загрузить (Mb)
djvu (-)	pdf (1.74)	ps (-)	html (-)	tex (-)

- -
Обычно, когда хотят кого-то напугать СТРАШНОЙ МАТЕМАТИКОЙ в пример приводят всякие синусы и косинусы, как нечто очень сложное и гадкое. Но на самом деле - это красивый и интересный раздел, который можно понимать и решать.
Тему начинают проходить в 9 классе и не всегда всё ясно с первого раза, много тонкостей и хитростей. Я попытался рассказать что-то по теме.

Введение в мир тригонометрии:
Прежде чем кидаться с головой в формулы, нужно понять из геометрии, что такое синус, косинус и тд.
Синус угла - отношение противолежащей (углу) стороны к гипотенузе.
Косинус - отношение прилежащей к гипотенузе.
Тангенс - противолежащей стороны в прилежащей стороне
Котангенс - прилежащей к противолежащей.

Теперь рассмотрим окружность единичного радиуса на координатной плоскости и отметим на нем какой-то угол альфа: (картинки кликабельны, по крайней мере некоторые)
-
-
Тонкие красные линии - перпендикуляр из точки пересечения окружности и прямой угла на оси ох и оу. Красные х и у - значение координаты х и у на осях (серые х и у просто для того, чтобы указать, что это оси координат, а не просто линии).
Надо отметить, что углы считаются от положительного направления оси ох против часовой стрелки.
Найдем для него синус, косинус и тд.
sin a: противолежащая сторона равна у, гипотенуза равна 1.
sin a = y / 1 = y
Чтобы было совсем понятно, откуда я беру у и 1, для наглядности расставим буквы и рассмотрим треугольники.
- -
AF = AE = 1 - радиус окружности.
Следовательно и AB = 1, как радиус. AB - гипотенуза.
BD = CA = y - как значение по оу.
AD = CB = x - как значение по ох.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Далее косинус:
cos a: прилежащая сторона - AD = х
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Так же выводим тангенс и котангенс .
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Уже внезапно мы вывели формулу тангенса и котангенса.

Ну давайте с конкретными углами рассмотрим как решается.
Например, а = 45 градусов.
Получаем прямоугольный треугольник в одним углом 45 градусов. Кому-то сразу ясно, что это разнобедренный треугольник, но всё равно распишу.
Найдем третий угол треугольника (первый 90, второй 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Если два угла равны, то и стороны при них равны, вроде так это звучало.
Итак, получается как будто, если сложить два таких треугольника друг на друга, мы получим квадрат с диагональю равной радиусу = 1. По теореме пифагора мы знаем, что диагональ квадрата со стороной а равна а корней из двух.
Теперь думаем. Если 1 (гипотенуза ака диагональ) равна стороне квадрата умноженной на корень из двух, тогда сторона квадрата должна быть равна 1/sqrt(2), а если домножить числитель и знаменатель этой дроби на корень из двух, то получим sqrt(2)/2. А так как треугольник равнобедренный, то AD = AC => x = y
Находим наши тригонометрические функции:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
С остальными значениями углов работать надо так же. Только треугольники будут не равнобедренные, но стороны находятся так же легко по теореме Пифагора.
Таким макаром мы получаем таблицу значений тригонометрических функций от разных углов:
-
-
Притом эта таблица читерская и очень удобная.
Как ее составить самому без лишних хлопот: рисуешь такую таблицу и пишешь в клеточках цифры 1 2 3.
-
-
Теперь из этих 1 2 3 извлекаешь корень и делишь на 2. Получается вот так:
-
-
Теперь отчеркиваем синус и пишем косинус. Его значения - зеркально отраженный синус:
-
-
Тангенс вывести так же легко - надо разделить значение строки синуса, на значение строки косинуса:
-
-
Значение котангенса - это перевернутое значение тангенса. В итоге получаем вот такую штуку:
- -

Обратите внимание , что тангенс не существует в П/2, например. Подумайте почему. (На ноль делить нельзя.)

Что тут нужно запомнить: синус - это значение у, косинус - значение х. Тангенс - это отношение у к х, а котангенс - наоборот. так что, чтобы определять значения синусов/косинусов достаточно нарисовать табличку, которую я выше рассказал и круг с осями координат (по ней удобно смотреть значения при углах 0, 90, 180, 360).
- -

Ну и я надеюсь, что вы умеете различать четверти :
- -
От того, в какой четверти находится угол, зависит знак его синуса, косинуса и тд. Хотя, абсолютно примитивные логически размышления выведут вас на верный ответ, если вы будете учитывать, что во второй и третьей четверти х отрицателен, а у отрицателен в третьей и четвертой. Ничего страшного и пугающего.

Думаю будет не лишним упомянуть и формулы приведения аля привидения, как всем слышится, что имеет и толику правды. Формул как таковых не имеется, за ненужностью. Сам смысл всего этого действа: Мы легко находим значения углов только для первой четверти (30 градусов, 45, 60). Тригонометрические функции периодичны, поэтому мы можем любой большой угол перетащить в первую четверть. Тогда мы сразу найдем ее значение. Но просто перетащить мало - нужно не забыть про знак. Вот для этого и есть формулы приведения.
Итак, мы имеем большой угол, а точнее больше 90 градусов: а = 120. И нужно найти его синус и косинус. Для этого мы разложим 120 на такие углы, с которыми можно работать:
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
Видим, что этот угол лежит во второй четверти, синус там положительный, следовательно знак + перед синусом сохраняется.
Чтобы избавиться от 90 градусов, мы меняем синус на косинус. Ну это такое правило, надо запомнить:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
А можно представить и по-другому:
sin 120 = sin (180 - 60)
Чтобы избавиться от 180 градусов мы функцию не меняем.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Получили то же значение, значит всё верно. Теперь косинус:
cos 120 = cos (90 + 30)
Косинус во второй четверти отрицателен, значит ставим знак минус. И меняем функцию на противоположную, так как надо убрать 90 градусов.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Или:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Что нужно знать, уметь и делать, чтобы переводить углы в первую четверть:
-разложить угол на удобоваримые слагаемые;
-учесть, в какой четверти находится угол, и поставить соответствующий знак, если функция в этой четверти отрицательна или положительна;
-избавиться от лишнего:
*если надо избавиться от 90, 270, 450 и остальные 90+180n, где n - любое целое число, то функция меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот);
*если надо избавиться от 180 и остальных 180+180n, где n - любое целое число, то функция не меняется. (Тут есть одна фича, но объяснить словами ее трудно, ну и ладно).
Вот и всё. Я не считаю нужным запоминать сами формулы, когда можно запомнить пару правил и легко пользоваться ими. Кстати эти формулы очень легко доказываются:
-
-
А еще составляют громоздкие таблицы, то мы то знаем:
-
-

Основные уравнения тригонометрии: их нужно знать очень и очень хорошо, наизусть.
Основное тригонометрическое тождество (равенство):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Не веришь - лучше проверь сам и убедись. Подставь значения разных углов.
Эта формула очень и очень полезная, всегда помните ее. с помощью нее можно выражать синус через косинус и наоборот, что иногда очень полезно. Но, как и с любой другой формулой, с ней нужно уметь обращаться. Всегда помните, что знак тригонометрической функции зависит от той четверти, в которой находится угол. Поэтому при извлечении корня нужно знать четверть .

Тангенс и котангенс: эти формулы мы уже вывели в самом начале.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a

Произведение тангенса и котангенса:
tg a * ctg a = 1
Потому что:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - дроби сокращаются.

Как видите все формулы - это игра и комбинация.
Вот еще две, полученные из деления на косинус квадрат и синус квадрат первой формулы:
-
-
Обратите внимание, что две последние формулы можно использовать с ограничением значения угла а, так как делить на ноль нельзя.

Формулы сложения: доказываются с помощью векторной алгебры.
- -
Применяются редко, но метко. Формулы а скане есть, но может неразборчиво или цифровой вид воспринимается легче:
- -

Формулы двойного угла:
Их получают, опираясь на формулы сложения, например: косинус двойного угла - это cos 2a = cos (a + a) - ничего не напоминает? Просто бетту заменили альфой.
- -
Две последующие формулы выведены из первой подстановкой sin^2(a) = 1 - cos^2(a) и cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
С синусом двойного угла проще и применяется он нааамного чаще:
- -
А особые извращенцы могут вывести тангенс и котангенс двойного угла, учитывая, что tg a = sin a / cos a и тд.
-
-

Для вышеупомянутых лиц Формулы тройного угла: выводятся они сложением углов 2а и а, так как формулы двойного угла мы уже знаем.
-
-

Формулы половинного угла:
- -
Как их выводят мне неизвестно, точнее как это объяснить... Если расписать эти формулы, подставляя основное тригонометрическое тождество с а/2, то ответ сойдется.

Формулы сложения и вычитая тригонометрических функций:
-
-
Получаются они из формул сложения, но всем пофиг. Встречаются не часто.

Как понимаете, так еще куучи формул, перечисление которых просто бессмысленно, потому что я не смогу что-то адекватное о них написать, а сухие формулы можно найти где угодно, и являют они собой игру с предыдущими имеющимися формулами. Всё жутко логично и точно. Расскажу только на последок о методе вспомогательного угла:
Преобразование выражения a cosx + b sinx к виду Acos(x+) или Asin(x+) называется методом введения вспомогательного угла (или дополнительного аргумента). Метод применяется при решении тригонометрических уравнений, при оценке значений функций, в задачах на экстремум, и что важно отметить, некоторые задачи не могут быть решены без введения вспомогательного угла.
Как ты я не пытался объяснить этот метод, ничего не вышло, так что придется самим:
-
-
Вещь страшная, но полезная. Если порешать задачи, должно получиться.
Отсюда например: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Следующими по курсу идут графики тригонометрических функций. Но для одного урока хватит. Учитывая, что в школе это преподают по полгода.

Пишите свои вопросы, решайте задачи, просите сканы каких-нибудь заданий, разбирайтесь, пробуйте.
Всегда ваш, Дэн Фарадей.

И пусть в моих поступках не было логики

Я не умею жить по другому…

Привет. Меня зовут Габриэла, для знакомых и друзей можно просто Габи. Я работаю дизайнером, хотя это не совсем верно, у меня маленькая фирма, в которой я и занимаю почетное место дизайнера, директора и еще кучу должностей по совместительству. Когда же мне это все надоедает я звоню своему другу таксисту, беру у него напрокат машину и таким вот образом отдыхаю от своих забот. У каждого человека свое хобби, а мне просто нравится ездить по городу и смотреть на людей, которых я везу, счастливых, грустных, любящих поболтать или наоборот помолчать.

И вот однажды в один из таких дней, в мое такси села сногсшибательная девушка со слезами на глазах. На мой вопрос «Вам куда», был ответ «куда угодно, только подальше от этого места». Желание клиента закон, я тронула машину и, посмотрев в зеркало заднего вида, увидела как из ресторана, из которого вышла моя пассажирка, выбежала девушка и начала осматриваться по сторонам, а за ней парень. Он пытался ей что-то сказать но, судя по всему она послала его куда по дальше и, словив такси, уехала. Мы ехали уже минуты три, и я решила еще раз попробовать уточнить адрес. Мне ответили более внятно, но, тем не менее, дали очень любопытный адрес. Дословно «Ты отвези меня туда, где буду счастлива всегда». Я сначала хотела переспросить, но, посмотрев на свою пассажирку, передумала. Вместо этого я предложила ей, неожиданно для себя самой, поехать ко мне. Она только кивнула, и продолжила лить слезы, глядя в окошко. Мы добрались до моего дома, я вышла из машины и помогла ей выбраться. Судя по всему, все ее силы были в слезах, и она только что их все пролила. Поэтому мне ничего не оставалось, как взять ее на руки и занести в комнату на кровать, где она сразу же заснула. Я спустилась на кухню попить кофе и подумать. Меня очень заинтересовала эта девушка… Не своей историей, нет. Я почувствовала в ней что-то родное. Такое чувство, как будто ты нашел то, что давным-давно потерял, правда, до этого момента ты сам об этом даже и не подозревал. А мне до этого казалось, что я утратила способность чувствовать… Только вот не слишком ли тороплю события, я ведь совсем ее не знаю – подумала я. Интересно, что же с ней случилось? Наверное, застала своего парня с девушкой. Хотя сначала выбежала девушка значит, это была ее подруга. Тогда понятно чего она так расстроилась, в один день потерять и парня, и подругу, не очень весело – думала я. Допив свой кофе, я погремела посудой, помахала тряпкой и решила, что пора посмотреть на свою внезапную, но такую волнующую меня квартирантку. Войдя в спальню (ремонт закончен был только в ней и на кухне, так как я только недавно приобрела этот дом), я увидела, что она уже не спит, а любуется потолком. А я в свою очередь тайком залюбовалась ею.

Как дела? – спросила я. Она подняла на меня свои голубые, оттенка летнего неба глаза, как бы вспоминая, кто я есть, но в этот миг я сама это забыла, утонув в этом омуте. Из этого ступора меня вывели ее слова, сопровождавшиеся самой грустной улыбкой, какую я когда-нибудь видела.

Паршиво…

Ты что-нибудь хочешь? – Я подумала, что говорить «вы» девушке, которая лежит в моей постели глупо, немного неприлично, да и не хочется…

Нет, я и так уже злоупотребила твоей добротой, я лучше домой, – ответила она, поднимаясь. Услышав эту фразу, я почувствовала такое огорчение, что удивилась сама себе. Мои чувства начинали меня пугать. Но, не смотря на это, я решила, что не дам ей так просто уйти.

Пустяки. Кстати, меня зовут Элла, – представилась я, но только почему-то другим своим уменьшительным именем. – А ты уверена, что это тебе так нужно, тебя там кто-нибудь ждет?

А меня Дана. Нет, не уверена…

«Ура»,- подумала я – возможно, получится ее задержать. Хотя, что мне это даст, понять не могла…

Тогда что ты теряешь? Мы друг друга совершенно не знаем (будем это исправлять – думала я) а тебе нужно высказаться, чтобы не погрязнуть в своих слезах еще больше. А кому, как не постороннему человеку лучше всего открыться?

Моя новая знакомая нахмурилась, но потом решительно тряхнула головой, словно что-то для себя решила, и ответила, – ты права. Только у тебя есть что выпить, а то на трезвую голову,даже жить противно.

Вино подойдет? – спросила я, вдохнув воздух полной грудью, потому что неожиданно для себя самой я обнаружила, что я даже дыхание задержала, в ожидании ее ответа.

Да, вполне. И, Элла, прости, что такая назойливая, но у тебя есть какой-нибудь халат, а то это платье меня уже достало.

Прости, но халата нет, зато есть целый шкаф рубашек и маек с брюками, выбирай, – ответила я и махнула в сторону своей гардеробной. Я не стала ждать, что она там найдет и наблюдать процесс переодевания, хотя не скажу, что мне не хотелось, пошла на кухню за вином, пытаясь привести в порядок свои разбушевавшиеся чувства и отвлечь себя от картин, которые услужливо подсовывало мне мое воображение. Взяв бутылку красного, потом, подумав, белого, потом еще раз подумала и взяла обе, бокалы, штопор и корзину с фруктами.

Когда я пришла Дана ждала меня, переодевшись в мою голубую рубашку умудряясь в ней выглядеть еще бесподобнее, чем в платье.

Классно выглядишь, она тебе идет, – сказала я, пытаясь привести в норму свое кровяное давление, правда, без особого успеха. «Да что со мной такое? – думала я. – Девушке плохо, а я ни о чем, кроме как о её теле и глазах, не могу думать. Как сексуальный маньяк, честное слово. Надо брать себя в руки».

Спасибо за комплимент. Ничего, что я ее надела?

Нет, я же сказала, все что захочешь. Кстати, какое вино ты предпочитаешь, красное или белое? – спросила я, пытаясь отвлечься от мыслей о… О господи, откуда у меня такие мысли в голове?

Красное, или нет, белое. А какая разница, открывай любую – ответила Дана, махнув рукой, и заглянула мне в глаза. Лучше бы она этого не делала… Через несколько минут я пришла в себя и решила, что первое слово дороже второго и открыла красное. Разливая вино по бокалам, я думала о том, что много пить мне сегодня нельзя, а то не сдержусь и натворю что-нибудь, о чем потом буду жалеть. Протянув один из бокалов Дане, я отвернулась, не в силах смотреть, как она сама этого не желая, но, тем не менее, очень сексуально касается его губами. Пригубив вино, Дана изумленно сказала: -Элла, а это вино не слишком дорогое для водителя такси?

Не знаю, мне нравится – ответила я, психуя на свое сексуальное влечение к этой девушке. «Может все дело в том, что я давно ни с кем не была?» – подумала я. Наивная…

Ясно, – ответила мне Дана и, вздохнув, продолжила. – Ну, ладно, думаю, ты права, когда сказала, что мне нужно выговориться. Моя история с одной стороны до жути банальна, а с другой – не совсем проста, как кажется на первый взгляд … Видишь ли, дело в том, что я люблю девушек, – начала свои откровения Дана и заглянула в мои глаза, чтобы узнать, как это на меня подействует. Ха, не буду же я ей признаваться, что сама этим грешна. Тем более, что сейчас пытаюсь разобраться, что же меня так в ней привлекло. Поэтому я, пожав плечами на эту фразу, сделала вид, что моё вино очень, очень и очень хорошее.

Ну, так вот, продолжила Дана, видя такую реакцию и слегка потеплев глазами, – у меня в том ресторане, возле которого ты меня подобрала, была назначена деловая встреча. Мы почти обсудили все вопросы, как возле нас заняла столик довольно необычная пара – он и она. Необычная тем, что ОНА была моей девушкой… Она меня не видела, зато я все замечательно видела и даже слышала. Оказалось, что они отмечают что-то вроде пол года рядом. Представь мое состояние, моя девушка, с которой у нас, казалось бы, все в порядке, за моей спиной водит шашни с каким-то парнем. Она говорила ему о своей любви. Я узнала для себя много нового… но, когда они начали целоваться, мои нервы не выдержали. Благо, что мы с клиентами обо всем уже договорились, и мне не пришлось долго прощаться. Только проблема была в том, что обогнуть столик, где сидела моя девушка, никак не удавалось. Надо было видеть ее лицо, когда она заметила меня. В ее глазах за секунду промелькнуло столько чувств: равнодушие, узнавание, удивление, растерянность и, наконец, ужас. Она хотела мне что-то сказать, но мне было как-то не до этого, а остальное ты знаешь. – Закончила свое повествование Дана, и ее глаза опять наполнились слезами. Мне захотелось ее обнять, но вместо этого я решила ей рассказать то, что видела в зеркале, посчитав, что она должна это знать.

Тригонометрия. Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л.

М.: 2003. - 200 с.

Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений.

Формат: pdf / zip

Размер: 9 30 Кб

/ Download файл

Оглавление
1. Первое знакомство с тригонометрией 7
§ 1. Как измерить крутизну 7
1.1. Синус 7
1.2. Измерение углов 9
§ 2. Тангенс 11
§ 3. Косинус 13
§ 4. Малые углы 16
2. Начальные свойства тригонометрических функций 21
§ 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию. 21
5.1. Часы и процессы 21
5.2. Скорость 24
§ 6. Определение тригонометрических функций 26
6.1. Ось тангенсов 31
6.2. Знаки тригонометрических функций 32
§ 7. Простейшие формулы 34
§ 8. Периоды тригонометрических функций 36
§ 9. Формулы приведения 40
§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения.... 45
§ 11. Графики синуса и косинуса 55
§ 12. Графики тангенса и котангенса 62
§ 13. Чему равно sin x + cos x 65
3. Решение треугольников 67
§ 14. Теорема косинусов 67
§ 15. Вокруг площади треугольника 71
§ 16. Теорема синусов 76
4. Формулы сложения и их следствия 81
§ 17. Векторы 81
17.1. Направленные отрезки и векторы 81
17.2. Сложение векторов 87
17.3. Вычитание и умножение на число 90
17.4. О векторах в физике 94
§ 18. Скалярное произведение 95
§ 19. Тригонометрические формулы сложения 99
§ 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты 105
§ 21. Двойные, тройные и половинные углы 111
§ 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение 118
§ 23. Производные тригонометрических функций.... 126
5. Тригонометрия для абитуриентов 137
§ 24. Как решать тригонометрические уравнения.... 137
§ 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге 151
§ 26. Как решать тригонометрические неравенства. . . 159
§ 27. Задачи на повторение 165
6. Комплексные числа 168
§ 28. Что такое комплексные числа 168
§ 29. Модуль и аргумент комплексного числа 173
§ 30. Показательная функция и формула Эйлера 182
Ответы и указания к некоторым задачам 189
Предметный указатель 196