Рассмотрим две равенства:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной а. Областью допустимых значений для того равенства будет все множество вещественных чисел.

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Областью допустимых значений для этого неравенства будет все множество вещественных чисел, кроме нуля.

О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верно при любых допустимых значениях переменных а. Такие равенства в математике называются тождествами .

Понятие тождества

Тождество - это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Если в данное равенство подставить вместо переменных любые допустимые значения, то должно получиться верное числовое равенство.

Стоит отметить, что верные числовые равенства тоже являются тождествами. Тождествами, например, будут являться свойства действий над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называют тождественно равными . Ниже представлены несколько примеров тождественно равных выражений:

1. (a 2) 4 и a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .

Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет являться тождественным преобразованием.

Примеры тождеств

Пример 1: являются ли тождествами следующие равенства:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Не все представленные выше выражения будут являться тождествами. Из этих равенств тождествами являются лишь 1,2 и 3 равенства. Какие бы числа мы в них не подставили, вместо переменных а и b у нас все равно получатся верные числовые равенства.

А вот 4 равенство уже не является тождеством. Потому что не при всех допустимых значениях это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 получится следующий результат:

Данное равенство не верно, так как число 3 не равняется числу -3.

Все словари Автомобильный словарь Архитектурный словарь Астрономический словарь Библейская энциклопедия Бизнес словарь Биографический словарь Большой бухгалтерский словарь Джинсовый словарь Кулинарный словарь Медицинский словарь Морской словарь Полиграфический словарь Политический словарь Психологический словарь Религиозный словарь Сексологический словарь Словарь воровского жаргона Словарь географических названий Словарь Даля Словарь Ефремовой Словарь имён Словарь иностранных слов Словарь компьютерного жаргона Словарь курортов Словарь лекарственных растений Словарь логики Словарь мер Словарь моды Словарь молодёжного слэнга Словарь народов Словарь нумизмата Словарь Ожегова Словарь по искусству Словарь по ландшафтному дизайну Словарь по мифологии Словарь русских фамилий Словарь символов Словарь синонимов Словарь фразеологизмов Словарь эпитетов Строительный словарь Толковый словарь Ушакова Финансовый словарь Энциклопедический словарь Энциклопедия Кольера Этимологический словарь Фасмера Этнографический словарь

Что такое Тождество? Значение и толкование слова tozhdestvo, определение термина

1) Тождество - - отношение между предметами (реальными или абстрактными), которое позволяет говорить о них как о неотличимых друг от друга, в какой-то совокупности характеристик (напр., свойств). В действительности все предметы (вещи) обычно отличаются нами друг от друга по каким-то характеристикам. Это не исключает того обстоятельства, что у них есть и общие характеристики. В процессе познания мы отождествляем отдельные вещи в их общих характеристиках, объединяем их в множества по этим характеристикам, образуем понятия о них на основе абстракции отождествления (см.: Абстракция). Предметы, объединяемые в множества по некоторым общим для них свойствам, перестают различаться между собой, поскольку в процессе такого объединения мы отвлекаемся от их различий. Иными словами, они становятся неразличимыми, тождественными в этих свойствах. Если бы все характеристики двух объектов а и b оказались тождественными, объекты превратились бы в один и тот же предмет. Но этого не происходит, т. к. в процессе познания мы отождествляем отличные друг от друга предметы не по всем характеристикам, а лишь по некоторым. Без установления тождеств и различий между предметами невозможно никакое познание окружающего нас мира, никакая ориентировка в окружающей нас среде. Впервые в самой общей и идеализированной формулировке понятие Т. двух предметов дал Г. В. Лейбниц. Закон Лейбница можно сформулировать так: "х = у, если и только если х обладает каждым свойством, которым обладает у, а у обладает каждым свойством, которым обладает х". Другими словами, предмет х может быть отождествлен с предметом у, когда абсолютно все их свойства являются одними и теми же. Понятие Т. широко используется в различных науках: в математике, логике и естествознании. Однако во всех случаях его применения тождество изучаемых предметов определяют не по абсолютно всем общим характеристикам, а лишь по некоторым, что связано с целями их изучения, с тем контекстом научной теории, в пределах которой изучаются эти предметы.

2) Тождество - философская категория, выражающая: а) равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов (а б с т р а к т н о е тождесто); б) единство сходства и несходства, тождества (в первом значении) и различия, обусловленною изменением, развитием предмета (к о н к р е т н о е тождество). Оба вида тождества в процессе познания взаимно связаны и переходят друг в друга: первый из них выражает момент устойчивости, второй – изменчивости.

3) Тождество - - совпадение, предполагающее нумерическое единство.

4) Тождество - - см. Идентичность.

5) Тождество - - категория, выражающая равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов. О предметах А и В говорят, что они являются тождественными, одними и теми же, неразличимыми, если и только если все свойства (и отношения), к-рые характеризуют А, характеризуют и В, и наоборот (закон Лейбница). Однако, поскольку материальная действительность постоянно изменяется, абсолютно тождественных самим себе предметов, даже в их существенных, осн. свойствах, не бывает. Т. является не абстрактным, а конкретным, т. е. Содержащим внутренние различия, противоречия, постоянно “снимающим” себя в процессе развития, зависящим от данных условий. Само отождествление отдельных предметов требует их предварительного отличия от других предметов; с др. стороны, часто приходится отождествлять различные предметы (напр., с целью создания их классификаций). Это означает, что Т. неразрывно связано с различием и является относительным. Всякое Т. вещей временно, преходяще, а их развитие, изменение абсолютно. В математике, где мы оперируем с абстракциями (числами, фигурами), рассматриваемыми вне времени, вне их измерения, закон Лейбница действует без особых ограничений. В точных же опытных науках абстрактное, т. е. отвлекающееся от развития вещей Т., используется с ограничениями, и то лишь потому, что в процессе познания мы прибегаем в известных условиях к идеализации и упрощению действительности. С подобными ограничениями формулируется и логический тождества закон.

Тождество

Отношение между предметами (реальными или абстрактными), которое позволяет говорить о них как о неотличимых друг от друга, в какой-то совокупности характеристик (напр., свойств). В действительности все предметы (вещи) обычно отличаются нами друг от друга по каким-то характеристикам. Это не исключает того обстоятельства, что у них есть и общие характеристики. В процессе познания мы отождествляем отдельные вещи в их общих характеристиках, объединяем их в множества по этим характеристикам, образуем понятия о них на основе абстракции отождествления (см.: Абстракция). Предметы, объединяемые в множества по некоторым общим для них свойствам, перестают различаться между собой, поскольку в процессе такого объединения мы отвлекаемся от их различий. Иными словами, они становятся неразличимыми, тождественными в этих свойствах. Если бы все характеристики двух объектов а и b оказались тождественными, объекты превратились бы в один и тот же предмет. Но этого не происходит, т. к. в процессе познания мы отождествляем отличные друг от друга предметы не по всем характеристикам, а лишь по некоторым. Без установления тождеств и различий между предметами невозможно никакое познание окружающего нас мира, никакая ориентировка в окружающей нас среде. Впервые в самой общей и идеализированной формулировке понятие Т. двух предметов дал Г. В. Лейбниц. Закон Лейбница можно сформулировать так: "х = у, если и только если х обладает каждым свойством, которым обладает у, а у обладает каждым свойством, которым обладает х". Другими словами, предмет х может быть отождествлен с предметом у, когда абсолютно все их свойства являются одними и теми же. Понятие Т. широко используется в различных науках: в математике, логике и естествознании. Однако во всех случаях его применения тождество изучаемых предметов определяют не по абсолютно всем общим характеристикам, а лишь по некоторым, что связано с целями их изучения, с тем контекстом научной теории, в пределах которой изучаются эти предметы.

философская категория, выражающая: а) равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов (а б с т р а к т н о е тождесто); б) единство сходства и несходства, тождества (в первом значении) и различия, обусловленною изменением, развитием предмета (к о н к р е т н о е тождество). Оба вида тождества в процессе познания взаимно связаны и переходят друг в друга: первый из них выражает момент устойчивости, второй – изменчивости.

Совпадение, предполагающее нумерическое единство.

См. Идентичность.

Категория, выражающая равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов. О предметах А и В говорят, что они являются тождественными, одними и теми же, неразличимыми, если и только если все свойства (и отношения), к-рые характеризуют А, характеризуют и В, и наоборот (закон Лейбница). Однако, поскольку материальная действительность постоянно изменяется, абсолютно тождественных самим себе предметов, даже в их существенных, осн. свойствах, не бывает. Т. является не абстрактным, а конкретным, т. е. Содержащим внутренние различия, противоречия, постоянно “снимающим” себя в процессе развития, зависящим от данных условий. Само отождествление отдельных предметов требует их предварительного отличия от других предметов; с др. стороны, часто приходится отождествлять различные предметы (напр., с целью создания их классификаций). Это означает, что Т. неразрывно связано с различием и является относительным. Всякое Т. вещей временно, преходяще, а их развитие, изменение абсолютно. В математике, где мы оперируем с абстракциями (числами, фигурами), рассматриваемыми вне времени, вне их измерения, закон Лейбница действует без особых ограничений. В точных же опытных науках абстрактное, т. е. отвлекающееся от развития вещей Т., используется с ограничениями, и то лишь потому, что в процессе познания мы прибегаем в известных условиях к идеализации и упрощению действительности. С подобными ограничениями формулируется и логический тождества закон.

Эта статья дает начальное представление о тождествах . Здесь мы определим тождество, введем используемое обозначение, и, конечно же, приведем различные примеры тождеств.

Навигация по странице.

Что такое тождество?

Логично начать изложение материала с определения тождества . В учебнике Макарычева Ю. Н. алгебра для 7 классов определение тождества дается так:

Определение.

Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных; любое верное числовое равенство – это тоже тождество.

При этом автор сразу оговаривается, что в дальнейшем это определение будет уточнено. Это уточнение происходит в 8 классе, после знакомства с определением допустимых значений переменных и ОДЗ . Определение становится таким:

Определение.

Тождества – это верные числовые равенства, а также равенства, которые верны при всех допустимых значениях входящих в них переменных.

Так почему, определяя тождество, в 7 классе мы говорим про любые значения переменных, а в 8 классе начинаем говорить про значения переменных из их ОДЗ? До 8 класса работа ведется исключительно с целыми выражениями (в частности, с одночленами и многочленами), а они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. Поэтому в 7 классе мы и говорим, что тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных. А в 8 классе появляются выражения, которые уже имеют смысл не для всех значений переменных, а только для значений из их ОДЗ. Поэтому тождествами мы начинаем называть равенства, верные при всех допустимых значениях переменных.

Итак, тождество – это частный случай равенства. То есть, любое тождество является равенством. Но не всякое равенство является тождеством, а только такое равенство, которое верно для любых значений переменных из их области допустимых значений.

Знак тождества

Известно, что в записи равенств используется знак равенства вида «=», слева и справа от которого стоят некоторые числа или выражения. Если к этому знаку добавить еще одну горизонтальную черту, то получится знак тождества «≡», или как его еще называют знак тождественного равенства .

Знак тождества обычно применяют лишь тогда, когда нужно особо подчеркнуть, что перед нами не просто равенство, а именно тождество. В остальных случаях записи тождеств по виду ничем не отличаются от равенств.

Примеры тождеств

Пришло время привести примеры тождеств . В этом нам поможет определение тождества, данное в первом пункте.

Числовые равенства 2=2 и являются примерами тождеств, так как эти равенства верные, а любое верное числовое равенство по определению является тождеством. Их можно записать как 2≡2 и .

Тождествами являются и числовые равенства вида 2+3=5 и 7−1=2·3 , так как эти равенства являются верными. То есть, 2+3≡5 и 7−1≡2·3 .

Переходим к примерам тождеств, содержащих в своей записи не только числа, но и переменные.

Рассмотрим равенство 3·(x+1)=3·x+3 . При любом значении переменной x записанное равенство является верным в силу распределительного свойства умножения относительно сложения, поэтому, исходное равенство является примером тождества. Вот еще один пример тождества: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y , здесь область допустимых значений переменных x и y составляют все пары (x, y) , где x и y - любые числа, кроме нуля.

А вот равенства x+1=x−1 и a+2·b=b+2·a не являются тождествами, так как существуют значения переменных, при которых эти равенства будут неверны. Например, при x=2 равенство x+1=x−1 обращается в неверное равенство 2+1=2−1 . Более того, равенство x+1=x−1 вообще не достигается ни при каких значениях переменной x . А равенство a+2·b=b+2·a обратится в неверное равенство, если взять любые различные значения переменных a и b . К примеру, при a=0 и b=1 мы придем к неверному равенству 0+2·1=1+2·0 . Равенство |x|=x , где |x| - переменной x , также не является тождеством, так как оно неверно для отрицательных значений x .

Примерами наиболее известных тождеств являются вида sin 2 α+cos 2 α=1 и a log a b =b .

В заключение этой статьи хочется отметить, что при изучении математики мы постоянно сталкиваемся с тождествами. Записи свойств действий с числами являются тождествами, например, a+b=b+a , 1·a=a , 0·a=0 и a+(−a)=0 . Также тождествами являются

то, посредством чего одна вещь абсолютно подобна другой. Понимание обычно предполагает подведение («идентификацию») нового знания под то, что мы уже знаем. Именно в этом смысле тождество - форма всякого понимания. Мейерсон видел в синтезе всех знаний об универсуме, в их редукции к тождеству идеал науки: как раз, наука должна прийти в результате к единой формуле (представленной сегодня формулой относительности), из которой мы сможем вывести все частные законы науки. Этот идеал предстает скорее как философский, чем как научный, потому что научный прогресс ведет скорее к бесконечной диверсификации методов науки (специализация), и ее непосредственная цель состоит скорее в вечной возможности познания новых объектов, чем в унификации методов (эта работа по унификации составляет цель размышления о науке, эпистемологии).

Отличное определение

Неполное определение ↓

ТОЖДЕСТВО

Понятие Т. является осн. понятием философии, логики и математики, поэтому к нему относятся все трудности, связанные с выяснением и определением исходных (основных, фундаментальных) понятий науки. В комплексе вопросов, относящихся к понятию Т., особого внимания заслуживают два: вопрос о Т. "... самом по себе. Признаем мы, что оно существует, или не признаем?" (Plato, Phaed. 74 b; рус. пер. Соч., т. 2, 1970) и вопрос о Т. вещей. (Т. вещей выражают обычно символом "=", к-рый встречается впервые у Р. Рекорда в его "The whetstone of witte", L., 1557.) Первый из этих вопросов является частью вопроса об онтологич. статусе абстрактных объектов (см., напр., Отношение, Универсалии), второй имеет самостоят. значение. Как бы эти вопросы ни решались в философии, для логики и математики их решение всегда эквивалентно решению вопроса об определении понятия Т. Однако нетрудно убедиться, проанализировав любое из известных логических (математических) определений Т. (вместо со способом его обоснования), что "идея Т." и так или иначе определенное "понятие Т." – это не одно и то же. Идея Т. п р е д в а р я е т любое определение понятия (предиката) Т., равно как и вводимое определением понятие "тождественные вещи". Это обусловлено тем, что суждение о Т. к.-л. объектов всегда предполагает, что уже выполнены (или должны быть выполнены) какие-то другие, вспомогательные, но необходимые – отнюдь не посторонние для данного суждения – отождествления. Именно в связи с проблемой "допустимых отождествлений" филос. анализ может послужить полезной предпосылкой для логического и матем. анализа понятия Т. Принцип индивидуации. В соответствии с филос. т. зр. следует различать онтологич., гносеологич. и семантич. проблемы Т. вещей. Онтологическая проблема Т. – это проблема Т. вещей "самих по себе" или in se – по их "внутреннему обстоянию" (Г. Кантор). Она ставится и решается на основе п р и н ц и п а и н д и в и д у а ц и и (principium individuationis): всякая вещь универсума есть единств. вещь; двух различных вещей, из к-рых каждая была бы тою же вещью, что и другая, не существует. Именно "...в соответствии с началами индивидуации, которые проистекают от материи" мы принимаем, что "... всякая самосущая вещь, составленная из материи и формы, составлена из индивидуальной формы и индивидуальной материи" (Фома Аквинский, цит. по кн.: "Антология мировой философии", т. 1, ч. 2, М., 1969, с. 847, 862). Принцип индивидуации не содержит в себе никакого указания на то, как индивидуализировать предметы универсума или как они индивидуализированы "сами по себе", поскольку это уже имеет место; он лишь постулирует абстрактную возможность такой индивидуализации. И это естественно, коль скоро мы понимаем его как принцип чисто онтологический. Вопрос о том, как индивидуализировать предметы универсума, есть уже гносеологич. вопрос. Но в этом случае никакая возможная индивидуализация не выводит нас за пределы того и н т е р в а л а абстракции, к-рым определяется универсум рассуждения (см. Универсум). Хотя принцип индивидуации является древним филос. утверждением о мире, его аналоги можно найти и в (современных) собственно научных (математических, физических и др.) теориях. В этой связи можно сослаться на идею "субстанциональных", или мировых, точек (пространственных точек в определенный момент времени) в четырехмерном (абстрактном) "мире Минковского" и связанную с ней идею пространственно-временн?й модели физич. реальности, позволяющую индивидуа-лизировать каждый ее объект, или на принцип Паули, или, наконец, на гипотезу Г. Кантора о том, что любые два элемента произвольного множества различимы между собой. Можно даже считать, что принцип индивидуации лежит в основе всей классич. математики с ее – в известном смысле онтологическим – "само собой разумеющимся" постулатом упорядоченного (по величине) числового континуума. Принцип Т. неразличимых. Принимая принцип индивидуации, мы, тем не менее, как в повседневной практике, так и в теории, постоянно отождествляем различные предметы, т.е. говорим о разных предметах так, как если бы они были одной и той же вещью. Возникающая при этом абстракция отождествления различного была впервые явно отмечена Лейбницем в его знаменитом принципе Т. неразличимых (Principium identitatis indiscernibilium). Кажущееся противоречие между принципом индивидуации и принципом Т. неразличимых легко разъяснить. Противоречие возникает лишь тогда, когда, полагая, что, напр., x и у – разные вещи, в формулировке принципа Т. неразличимых имеют в виду их абсолютную, или онтологическую, неразличимость, а именно, когда думают, что неразличимость x и у предполагает, что x и у "сами по себе" не отличимы по любому признаку. Однако, если иметь в виду относительную, или гносеологическую, неразличимость x и у, напр. их неразличимость "для нас", хотя бы ту, с к-рой мы можем встретиться в результате практически осуществимого сравнения х и у (см. об этом в ст. Сравнение), то никакого противоречия не возникает. Если различать понятия "вещь", или предмет универсума "сам по себе", и "объект", или предмет универсума в познании, в практике, в отношении к др. предметам, то совместимость принципа Т. неразличимых и принципа индивидуации должна означать, что нет тождественных вещей, но есть тождественные объекты. Очевидно, что с онтологич. т. зр., выраженной в принципе индивидуации, Т. представляется абстракцией и, следовательно, идеализацией. Тем не менее оно имеет объективное основание в условиях существования вещей: практика убеждает нас в том, что существуют ситуации, в к-рых "разные" вещи ведут себя как "одна и та же" вещь. В этом смысле принцип Т. неразличимых выражает эмпирически подтверждаемый, основанный на опыте, факт нашей абстрагирующей деятельности. Поэтому "отождествление различного" по принципу Лейбница не следует понимать как упрощение или огрубление действительности, не соответствующее, вообще говоря, и с т и н н о м у п о р я д к у п р и р о д ы. Интервал абстракции отождест- вления. Неразличимость объектов, отождествляемых согласно принципу Т. неразличимых, может выражаться операционально – в их "поведении", истолковываться в терминах свойств, вообще определяться совокупностью нек-рых фиксиров. условий неразличимости. Эта совокупность условий (функций или предикатов), относительно к-рых к.-л. предметы универсума неразличимы, определяет интервал абстракции о т о ж д е с т в л е н и я этих предметов. Так, если на множестве предметов определено свойство А и предмет x им обладает, то для отождествления х и у в интервале абстракции, определяемом свойством А, необходимо и достаточно, чтобы предмет у также обладал свойством А, что символически можно выразить следующей аксиомой: A(x)?((x=y)?A(y)). Заметим, что при наличии "избыточной" информации о заведомом (естественно – "вне" данного интервала абстракции) различии предметов их отождествление "внутри" данного интервала абстракции может даже казаться парадоксальным. Типичный пример из теории множеств – "парадокс Сколема". Если смотреть "изнутри" интервала абстракции, определяемого свойством А, то х и у – абсолютно один и тот же объект, а не два предмета, как предполагается в приведенном выше рассуждении. Дело в том, что рассуждение о Т. двуx и, следовательно, различны х предметов возможно только в нек-ром метаинтервале, указывающем также на возможность индивидуализации x и у. Очевидно, что неразличимость x и у эквивалентна здесь их взаимозаменимости относительно свойства А, но, разумеется, не относительно любого свойства. В этой связи укажу на абстракцию актуальной различимости, вытека-ющую из принципа индивидуации и связанную с таким истолкованием этого принципа, при к-ром он сводится к утверждению о существовании условий, в к-рых индивидуализация всегда осуществима (напр., условий, в к-рых x и у уже не будут взаимозаменимы, что и позволит, естественно, говорить об их индивидуальности). В этом смысле принцип индивидуации отличается тем же характером, что и т.н. "чистые" постулаты существования в математике, и может рассматриваться как абстракция индивидуализации. Не говоря уже об "абстрактных" матем. объектах, очевидно, что и для "конкретных" физич. предметов природы условия индивидуализации любого из них отнюдь не всегда могут быть найдены или явно указаны в к.-л. конструктивном смысле. Более того, задача их разыскания иногда принципиально неосуществима, как об этом свидетельствует, напр., принцип "неделимости квантовых состояний" и обусловленная им, предписанная самой природой, неопределенность в нашем описании "индивидуального поведения" элементарных частиц. Д о п о л н е н и я. Интервал абстракции отождествления может быть столь (но не сколь угодно) широк, что в него войдут все (исходные) понятия (функции или предикаты) рассматриваемой в том или ином случае теории. Тогда говорят, что х=у для любого понятия А. В этом случае и квантор "для любого", и Т. имеют относительный характер – они p е л я т и в и з и р о в а н ы множеством понятий теории, к-рое ограничено, в свою очередь, осмысленностью этих понятий (и н т е р в а л о м значения) по отношению к предметам универсума данной теории. Напр., предикат "красный" не определен на множестве натуральных чисел и поэтому к нему не могут относиться слова "для любого предиката", когда говорят о Т. в арифметике. Такие с м ы с л о в ы е о г р а н и ч е н и я по сути дела всегда имеют место в приложениях теории, чем и исключаются противоречия, связанные с нарушением интервала абстракции отождествления. Поскольку в отождествлениях имеют в виду только предикаты данной теории – интервал абстракции отождествления фиксирован. Предметы универсума, неразличимые относительно каждого предиката теории, неразличимы абсолютно в данном интервале-абстракции и могут рассматриваться как "один и тот же" объект, что как раз и соответствует обычному истолкованию Т. Если относительно каждого такого предиката неразличимы все предметы универсума, то последний в этом случае будет представляться нам одночленной совокупностью, хотя в др. интервале абстракции он может и не быть таковым. Так, если условие А - тавтология, то в подразумеваемой предметной области все предметы тождественны в интервале А. Иначе говоря, тавтологии не могут служить критерием различимости объектов, они как бы проектируют универсум в точку, производя абстракцию отождествления элементов множества любой мощности, "превращая" разные элементы в "один и тот же" абстрактный объект. Неудивительно поэтому, что к аксиомам "чистого" предикатов исчисления первой ступени можно без противоречия присоединять формулу?хА(х)^/xA(x), выражающую тождественность (или абсолютную неразличимость) всех предметов универсума. По-видимому, эта неполнота чистого исчисления предикатов (элементарной логики) обусловлена именно его неонтологическим характере м. В прикладных логических исчислениях, в частности в теории множеств, выходя из сферы "чистой логики", мы вынуждены - во избежание парадоксов- фиксировать интервал абстракции отождествления. В этих случаях Т., поскольку речь идет об отождествлениях только в данной системе понятий, может быть введено конечным списком аксиом Т. для конкретных функций и предикатов рассматриваемой теории. Но постулируя т.о. те или иные отождествления, мы как бы ф о р м и р у е м универсум в соответствии с принципом Т. неразличимых. Значит универсум в этом смысле является эпистемологич. понятием, зависящим от наших абстракций. Вопрос, что считать "одним и тем же" объектом, каково число "различных" индивидуумов в предметной области (какова мощность области индивидуумов), – это в известном смысле вопрос о том, как мы применяем наши абстракции и какие именно, а также какова объективная область их применимости. В частности, это всегда вопрос об интервале абстракции. Вот почему с нашей т. зр. указание на интервал абстракции отождествления в определении Т. следует считать необходимым условием осмысленного применения " п о н я т и я Т.". Понятие "интервал абстракции отождествления" является гносеологич. дополнением к понятию абстракции отождествления и, в известном смысле (содержательным), его уточнением. Кроме того, вводя понятие Т. в интервале абстракции, мы легко достигаем необходимой общности в построении теории Т., избегая обычного "умножения понятий", связанного с различением терминов "тождественный", "подобный", "равный", "эквивалентный" и пр. В связи с вышесказанным определение предиката Т. в формулировке Гильберта – Бернайса, задаваемое, как известно, условиями: 1) х=х 2) х=y? (A(x)? А(у)), можно интерпретировать так, что условие 2) будет выражать Т. предметов универсума в интервале абстракции, определяемом множеством аксиом, задаваемых схемой аксиом 2). Что же касается условия 1), то, выражая свойство рефлексивности Т., оно в известном смысле соответствует принципу индивидуации. По крайней мере, очевидно, что из принципа индивидуации не следует отрицания условия х=х, поскольку между принципом индивидуации и традиц. принципом Т. (абстрактным Т. – lex identitatis), выражаемым формулой х=х, имеется следующая определенная "связь по смыслу": если бы индивидуальный предмет универсума не был тождествен с самим собой, то он не был бы самим собой, а был бы другим предметом, что, конечно, ведет к отрицанию принципа индивидуации (ср. Энгельс Ф.: "... тождество с собой уже с самого начала имеет своим необходимым дополнением отличие о т в с е г о д р у г о г о" – Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 530). Т.о., принцип индивидуации предполагает утверждение х=х, к-рое является его необходимым условием – логической о с н о в о й понятия индивидуального. Достаточно констатировать совместимость х=х с принципом индивидуации, чтобы, основываясь на совместимости 1) и 2), утверждать совместимость принципа индивидуации с принципом Т. неразличимых, а принимая во внимание независимость 1) и 2), прийти к заключению о независимости этих же принципов, по крайней мере, в рассматриваемом случае. То обстоятельство, что принцип индивидуации в отмеченном выше смысле соответствует традиц. закону Т. (см. Тождества закон), представляет особый интерес с т. зр. проблемы "реализуемости" абстрактного Т. в природе, а значит. и онтологич. статуса абстракций вообще. Принцип Т. неразличимых в том его истолковании, к-рое дано выше - как принцип Т. в интервале абстракции, - выражает по существу философскую гносеологическую идею Т., основанного на понятии практики. Что же касается математики, где так или иначе оперируют с предикатом Т., с условием, что тождественное можно заменять тождественным (см. Правило замены равного равным), то здесь, принимая принцип индивидуации, т.е. полагая, что каждый матем. объект в универсуме рассуждения индивидуален, по видимости, легко можно уйти от решения гносеологич. проблемы Т., потому что в предложениях матем. теорий матем. объекты фигурируют не "сами по себе", а через своих представителей – обозначающие их символы. Отсюда возможность построений, существенно игнорирующих условие индивидуальности этих объектов; Так, известное построение взаимно-однозначного соответствия между совокупностью натуральных чисел и ее частью – совокупностью всех четных чисел (парадокс Галилея) игнорирует единственность каждого натурального числа, довольствуясь Т. его представителей: иначе как возможно указанное построение? Аналогичных построений в математике множество. Утверждению "предмет x тождествен предмету y" математик обычно приписывает следующий смысл: "символы x и у обозначают один и тот же предмет" или "символ x обозначает тот же предмет, к-рый обозначен символом у". Очевидно, что так понимаемое Т. относится скорее к языку соответствующих исчислений (вообще к формализованному языку) и выражает, по существу, случай языковой синонимии, а вовсе не философский гносеологич. смысл Т. Однако характерно, что даже и в этом случае не удается избежать относит. отождествления, основанного на применении принципа абстракции, поскольку синонимы возникают как результат абстракции отождествления по обозначению (см. Синонимы в логике). К тому же при интерпретации исчислений любое такое с е м а н т и ч е с к о е определение Т. как "отношения между выражениями языка" необходимо дополнять разъяснением того, чт? в этой семантич. формулировке Т. означают слова "один и тот же предмет". В связи с этим формулировка принципа Т., известная как лейбницевско-расселовская (см. Равенство в логике и математике), вряд ли соответствует филос. т. зр. самого Лейбница. Известно, что Лейбниц принимал принцип индивидуации: "Если бы два индивида были совершенно... не различимы сами по себе, то...в этом случае не было бы индивидуального различия или различных индивидов" ("Новые опыты о человеческом разуме", М.–Л., 1936, с. 202). Известно также, что любое нетривиальное употребление Т., соответствующее принципу Т. неразличимых, предполагает, что x и у – разные предметы, к-рые лишь относительно неразличимы, неразличимы в нек-ром интервале абстракции, определяемом либо разрешающей способностью наших средств различения, либо принимаемой нами абстракцией отождествления, либо, наконец, задаваемом самой природой. Но в формулировке Рассела наличие неогранич. квантора общности по предикатной переменной, придавая определению а б с о л ю т н ы й характер ("абсолютность" здесь следует понимать как антипод "относительности" в указ. выше смысле), навязывает идею абс. неразличимости x и у, противоречащую принципу индивидуации, хотя из определения Рассела выводима формула х=х, к-рая, как было отмечено выше, совместима и с принципом Т. неразличимых и с принципом индивидуации. В свете идеи Т. в интервале абстракции выясняется еще одна гносеологич. роль принципа абстракции: если в определении Т. предикат (хотя бы и произвольный) характеризует класс абстракции предмета х, и у – элемент этого класса, то тождественность x и у в силу принципа абстракции не предполагает, что x и у должны быть одним и тем же предметом в онтологич. смысле. С этой т. зр., два предмета универсума, принадлежащие к одному классу абстракции, рассматриваются как "один и тот же" предмет не в онтологическом, а в гносеологич. смысле: они тождественны только как абстрактные представители одного класса абстракции и только в этом смысле они неразличимы. В этом, собственно, и состоит диалектика понятия Т., а также ответ на вопрос: "Как могут быть тождественны разные предметы?". Лит.: Жегалкин И. И., Арифметизация символической логики, "Матем. сб.", 1929, т. 36, вып. 3–4; Яновская С. ?., О так называемых "определениях через абстракцию", в кн.: Сб. статей по философии математики, М., 1936; Лазарев Ф. В., Восхождение от абстрактного к конкретному, в кн.: Сб. работ аспирантов и студентов философского факультета МГУ, М., 1962; Вейль Г., Дополнения, в сб.: Прикладная комбинаторная математика, пер. с англ., М., 1968. М. Новоселов. Москва.

- это уравнение , которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Тождество - это предикат , изображаемый формулой х = у (читается: «х тождественно у », «х то же самое, что и y »), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения «одного и того же» предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Тождество - это отношение , основанное на представлениях или суждениях о том, что такое «один и тот же» предмет реальности, восприятия, мысли.

Логические и философские аспекты Тождество дополнительны: первый даёт формальную модель понятия Тождество , второй - основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об «одном и том же» предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Тождество связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления.

Различение логических и философских аспектов Тождество восходит к известному положению, что суждение о тождественности предметов и Тождество как понятие - это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Тождество исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, «не извлекается» из неё, а является абстракцией, восполняемой в «подходящих» условиях опыта или, в теории, - путём предположений (гипотез ) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, «внутри» этого интервала, фактическое Тождество предметов в точности совпадает с Тождество в логическом смысле.

Важность понятия Тождество обусловила потребность в специальных теориях Тождество Самый распространённый способ построения этих теорий - аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):

1. х = х ,

2. х = у É у = х ,

3. x = y & y = z É x = z ,

4. А (х ) É (х = у É А (у )),

где А (х ) - произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у , а А (х ) и А (у ) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y .

Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Тождество В традиционной логике она считалась единственным логическим законом Тождество , к которому в качестве «нелогических постулатов» добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается «данность» предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете «как данном», необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Тождество , основанное на аксиоме 1, является особым отношением «самотождественности», которое связывает каждый предмет только с самим собой - и ни с каким др. предметом.

Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Тождество Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат - в данном случае равновесие - один и тот же для обоих.

Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Тождество как неразличимости, теории, в которой представление об «одном и том же» предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счёте - от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от «порога различимости» на практике принципиально неустранима, представление о Тождество , удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.

Аксиома 3 постулирует транзитивность Тождество Она утверждает, что суперпозиция Тождество также есть Тождество и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Тождество - это либо «идеализация опыта» в условиях «убывающей точности», либо абстракция, восполняющая опыт и «создающая» новый, отличный от неразличимости, смысл Тождество : неразличимость гарантирует только Тождество в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Тождество как эквивалентности .

Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Тождество предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: «одному и тому же» предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об «одном и том же» предмете неизбежно основывается на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Её нельзя верифицировать «вообще» - по всем мыслимым признакам, а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым - основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об «одном и том же» предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её аллоформ - конгруентных ей «содержательных» аксиом Тождество Например, в аксиоматической теории множеств Цермело - Френкеля - аксиомами:

4.1 z Î x É (x = y É z Î y ),

4.2 x Î z É (x = y É y Î z ),

определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по «членству в них» и по их «собственному членству», с обязательным добавлением аксиом 1-3, определяющих Тождество как эквивалентность.

Перечисленные выше аксиомы 1-4 относятся к так называемым законам Тождество Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Тождество не имеет значения, коль скоро речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Тождество Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие «один и тот же» предмет, аксиоматики Тождество необходимо влияют на формирование универсума «внутри» соответствующей аксиоматической теории.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, ., 1973.

М. М. Новосёлов.

Статья про слово "Тождество " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 8308 раз