Точные грани. Существование верхней (нижней) грани

Рис. 1.12

Замечание. Аналогично доказывается, что точная нижняя грань единственна.

Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +¥, аналогично, если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -¥.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть I

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛА. Предел последовательности и предел функции. Теорема о существовании точной верхней грани .

Пусть переменная величина x n принимает бесконечную последовательность значений

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

причем известен закон изменения переменной x n , т.е. для каждого натурального числа n можно указать соответствующее значение x n . Таким образом предполагается, что переменная x n является функцией от n :

x n = f(n)

Определим одно из важнейших понятий математического анализа - предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной величины x n , пробегающей последовательность x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Определение. Постоянное число a называется пределом последовательности x 1 , x 2 , ..., x n , ... . или пределом переменной x n , если для сколь угодно малого положительного числа e найдется такое натуральное число N (т.е номер N ), что все значения переменной x n , начиная с x N , отличаются от a по абсолютной величине меньше, чем на e. Данное определение кратко записывается так:

| x n - a |< (2)

при всех n  N , или, что то же самое,

Определение предела по Коши . Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне . Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательноститакой, чтосходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функциисходится к числу A.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A 1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ >

Число A 2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа –Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль:и. Так, для функции

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:

Так, функция имеет в точке x = 0 бесконечный пределЧасто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Теорема о существовании точной верхней грани

Определение: АR mR, m - верхняя (нижняя) грань А, если аА аm (аm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что аА, выполняется аm (аm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) m’: m’ m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение : SupA=m называется число, такое что: 1)  aA am

2) >0 a  A, такое, что a  a-

InfA = nназывается число, такое что: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, такое, что a E a+

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aA} [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m 1 =max:aA}]

m 2 =max,m 1:aA}]

m к =max,m 1 ...m K-1:aA}]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/10 K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m 1 ...m K - точная верхняя грань и что она единственная:

к: , то найдется такая точка , в которой функция достигает своего максимума, найдется такая точка , в которой функция достигает своего минимума.

Доказательство:

Пусть функция f(x) непрерывна на , тогда в силу теоремы 1 она ограничена на этом отрезке. Следовательно, ограничено множество значений функции. Тогда в силу принципа верхней грани это множество обладает точной верхней и точной нижней границами.

Обозначим: и покажем, что и будет наибольшим значением функции f(x) на отрезке : .

Предположим противное, то есть .

Так как , то f(x)< .

введем в рассмотрение функцию . Функция непрерывна на , так как -f(x) 0. Тогда, в силу первой теоремы Вейерштрасса, функция ограничена на .

, где >0

Так как данное неравенство выполняется , то число не является точной верхней гранью множества значений функции. Приходим к противоречию, значит, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что непрерывная функция достигает на отрезке своего минимального значения. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ Теоремы Ролля и Лагранжа. Формула Т ейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если

f(a) = f(b)

то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x 0 (a < x 0 < b), что

f " (x 0 ) = 0.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Функция f(x) постоянна на интервале [а, b ]; тогда f " (x) = 0 для любого x (a < x < b) , т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.

2. Функция f(x) не является постоянной (Рисунок 1); тогда наибольшего или наименьшего или обоих этих значений она достигает во внутренней точке интервала, ибо f(b) = f(a) , и если f(a) - наименьшее значение, то наибольшее значение значение функция f(x) примет внутри интервала.

Так как, по условию, f(x) имеет в точке x 0 производную, то по теореме о необходимом признаке экстремума,

f " (x 0 ) = 0 ,

и теорема Ролля доказана.

Теорема Ролля имеет простое геометрическое толкование: если дана дуга AB кривой y = f(x), в каждой точке которой существует касательная, причем концы A и B находятся на одинаковом расстоянии от оси Ox, то на этой дуге найдется по крайней мере одна точка, в которой касательная t к кривой будет параллельна стягивающей дугу хорде, а следовательно и оси Ox (смотри рисунок 1).

Если повернуть оси координат на угол a, то концы A и B дуги AB уже не будут находится на одинаковом расстоянии от оси Ox" , но касательная t по прежнему будет параллельна хорде AB (смотри рисунок 1). Поэтому естественно ожидать, что имеет место теорема: Если дана дуга AB кривой y = f(x) с непрерывно изменяющейся касательной, то на этой дуге найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна стягивающей ее хорде AB (Рисунок 2).

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b ] и внутри него имеет производную f " (x), то найдется хотя бы одно такое значение x 0 (a < x 0 < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f "(x) .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = f(x) - k(x - a) ,

где - угловой коэффициент хордыAB (смотри рисунок 2).

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

В самом деле, при x = a имеем F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a) , при x = b имеем

Кроме того, так как функция f(x) и k(x - a) непрерывны на [a, b ] и диференцируемы в (a, b ), то и функция F(x) = f(x) - k(x - a) непрерывна на [a, b ] и диференцируема в (a, b ).

Следовательно, по теореме Ролля, в интервале (a, b ) найдется такая точка x 0 , что

F"(x 0 ) = 0 ,

f " (x 0 ) - k = 0

Отсюда имеем

f(b) - f(a) = (b - a)f " (x 0 ) ,

что и требовалось доказать.

Так как a + (b - a) = b , то величина a + (b - a) , где Q - правильная положительная дробь (0 <  < 1) , равна какому-то числу в интервале (a, b ), поэтому формулу Лагранжа можно записать в виде

f(b) - f(a) = (b - a)f "

Если положить a = x, b = x + x , откуда b - a = x , то формула Лагранжа запишется в виде

y = f(x + x) - f(x) = xf " (x + x) .

Ранее было доказано, что если функция равна постоянной C при любом значении x в интервале (a, b) , то ее производная равна нулю.

Докажем теперь обратную теорему, являющуюся следствием теоремы Лагранжа:

Если произвоодная f " (x) обращается в нуль для любых значений x в интервале (a, b), то в этом интервале f(x) = C .

В самом деле, если x 1 и x 2 - два любых значения в интервале (a, b) , то в силу теоремы Лагранжа, имеем

f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 - x 1 )f"(x 0 ),

где, x 1 < x 0 < x 2 . Но так как f"(x 0 ) = 0 , то

f(x 2 ) - f(x 1 ) = 0,

что и доказывает нашу теорему.

Отсюда непосредственно вытекает важная теорема:

Если две функции f 1 (x) и f 2 (x) имеют одну и ту же производную в интервале (a, b), то они на данном интервале отличаются друг от друга на постоянную величину.

В самом деле, рассмотрим функцию

(x) = f 2 (x) - f 1 (x) .

Тогда для любого значения x из интервала (a, b)

"(x) = f 2 "(x) - f 1 "(x) = 0 .

Но это означает, что (x) = C и, следовательно

f 2 (x) - f 1 (x) = С .

Формула Тейлора. Пусть на интервале функция f(x) дифференцируема n раз и выполняются следующие равенства:

f(a) = f(b) = f "(a) = f ""(a)= ... = f (n-1) (a)=0

Тогда внутри интервала найдется хотя бы одно значение с , при котором

f (n) (c) = 0

Доказательство. По теореме Ролля имеем

f "(x 0 ) = 0 ,

где a < x 0 < b . Тогда f "(x) на интервале удовлетворяет теореме Ролля, так как, по условию, f "(a) = 0 и f "(x 0 ) = 0 , а потому

f ""(x 1 ) = 0 ,

где a < x 1 < x 0 .

Применяя теорему Ролля последовательно к функциям f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (x) , найдем наконец:

f (n) (с) = 0 ,

где a < c < x n-1 < b . Теорема доказана.

Выведем теперь формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа .

Пусть функция f (x) дифференцируема n раз на интервале .

Рассмотрим вспомогательную функцию

(x) = f (x) - P (x) ,

Продифференцируем n раз функцию (x) . Тогда будем иметь

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 (n-1) (x) = f (n-1) (x) - A n-1 - A n (x - a) ,

 (n) (x) = f (n) (x) - A n

Потребуем, чтобы функция (x) удовлетворяла условиям обобщенной теоремы Ролля. Тогда будем иметь

(1) .

Так как функция (x) удовлетворяет условиям обобщенной теоремы Ролля, то найдется такое значение с (a < c < b) , что

 (n) (с) = f (n) (с) - A n = 0 (2)

Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества точной верхней (точной нижней) грани не является очевидным и требует доказательства. Докажем следующую основную теорему.

Основная теорема 2.1. Если Множество чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, ограничено сверху (соответственно снизу) и содержит хотя бы один элемент, то у этого множества существует точная верхняя (соответственно точная нижняя) грань.

Доказательство. Мы остановимся лишь на доказательстве существования точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества, ибо существование точной нижней грани у любого ограниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично.

Итак, пусть множество ограничено сверху, т. е. существует такое число М, что каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству

Могут представиться два случая:

1°. Среди элементов множества есть хотя бы одно неотрицательное число. 2°. Все элементы множества являются отрицательными числами. Эти случаи мы рассмотрим отдельно.

1°. Рассмотрим лишь неотрицательные числа, входящие в состав множества Каждое из этих чисел представим в виде бесконечной десятичной дроби и рассмотрим целые части этих десятичных дробей. В силу неравенства все целые части не превосходят числа М, а поэтому найдется наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна а первый десятичный знак равен и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим вторые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы последовательно определим десятичные знаки некоторого числа

Докажем, что это число х и является точной верхней гранью множества Для этого достаточно доказать два утверждения: 1) каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству 2) каково бы ни было число х, меньшее х, найдется хотя бы один элемент х множества удовлетворяющий неравенству

Докажем сначала утверждение 1). Так как х по построению является неотрицательным числом, то любой отрицательный элемент х множества заведомо удовлетворяет неравенству

Поэтому нам достаточно доказать, что любой неотрицательный элемент х множества удовлетворяет неравенству

Предположим, что некоторый неотрицательный элемент не удовлетворяет неравенству Тогда и по правилу упорядочения найдется номер такой, что Но последние соотношения противоречат

тиворечат тому, что в качестве берется наибольший из десятичных знаков тех элементов которых целая часть и первые знаков после запятой соответственно равны

Полученное противоречие доказывает утверждение 1).

Докажем теперь утверждение 2). Пусть х - любое число, удовлетворяющее условию Требуется доказать, что существует хотя бы один элемент х множества удовлетворяющий неравенству

Если число х является отрицательным, то неравенству заведомо удовлетворяет неотрицательный элемент х множества (по предположению хотя бы один такой элемент существует).

Остается рассмотреть случай, когда число х, удовлетворяющее условию является неотрицательным. Пусть Из условия и из правила упорядочения вытекает, что найдется номер такой, что

С другой стороны, из построения числа (2.9) вытекает, что для любого номера найдется неотрицательный элемент множества такой, у которого целая часть и все первые знаков после запятой те же, что у числа х. Иными словами, для номера найдется элемент х такой, для которого

Докажем еще одну теорему, которая опирается на свойство непрерывности действительных чисел.

Терема о существовании верхней (нижней) грани. Сначала введем несколько определений.

Определение . Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует число М такое, что x ≤ M для всякого элемента x из множества X .

Определение . Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует число m такое, что x ≥ m для всякого элемента x из множества X .

Определение . Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

В символической записи эти определения будут выглядеть следующим образом:

множество X ограничено сверху, если ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m и

ограничено, если ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Определение. Для любого числа a R неотрицательное число

называется его абсолютной величиной или модулем . Для абсолютных величин чисел справедливо неравенство |a+b|< |a| , которое вытекает из определения модуля числа и из аксиом сложения и порядка.

Теорема 4.3.1 . Числовое множество X ограничено тогда и только тогда, когда существует число C такое, что для всех элементов x из этого множества выполняется неравенство ≤ C.

Доказательство. Пусть множество X ограничено. Положим C =max(m, M) - наибольшее из чисел m и M. Тогда, используя свойства модуля вещественных чисел, получим неравенства x ≤M≤M ≤C и x≥m≥ −m≥ −C , откуда следует, что ≤ C .

Обратно, если выполняется неравенство ≤ C , то −C ≤ x ≤ C . Это и есть требуемое, если положить M = C и m = −C .◄

Число M , ограничивающее множество X сверху, называется верхней границей множества . Если M - верхняя граница множества X , то любое число M′ , которое больше M , тоже будет верхней границей этого множества. Таким образом, мы можем говорить о множестве верхних границ множества X . Обозначим множество верхних границ через . Тогда, ∀x ∈ X и ∀M ∈ будет выполнено неравенство x ≤M , следовательно, по аксиоме непрерывности существует число такое, что x ≤ ≤ M . Это число называется точной верхней границей числового множества X или верхней гранью этого множества или супремумом множества X и обозначается =sup X . Таким образом, мы доказали, что каждое непустое числовое множество, ограниченное сверху, всегда имеет точную верхнюю границу.

Очевидно, что равенство = sup X равносильно двум условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ , т.е. - верхняя граница множества X ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε > −ε , т.е. эту границу нельзя улучшить (уменьшить).

Аналогично, можно доказать, что если множество ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу, которая называется также нижней гранью или инфимумом множества X и обозначается inf X . Равенство =inf X равносильно условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε < + ε .

Если в множестве X есть наибольший элемент , то будем называть его

максимальным элементом множества X и обозначать = max X . Тогда

supX = . Аналогично, если в множестве существует наименьший элемент, то его будем называть минимальным, обозначать minX и он будет являться инфимумом множества X .

Cформулируем несколько свойств верхних и нижних граней:

Свойство 1 . Пусть X - некоторое числовое множество. Обозначим через −X множество {− x| x ∈ X } . Тогда sup (− X) = − inf X и inf (− X) = − sup X .

Свойство 2. Пусть X - некоторое числовое множество λ – вещественное число. Обозначим через λX множество {λx | x ∈ X } . Тогда если λ ≥ 0 , то sup(λX) = λ supX , inf(λ X)= λ infX и, если λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .

Свойство 3 . Пусть X1 и X2 - числовые множества. Обозначим через X1+X2 множество { x1+ x2| x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 } и через X1 − X2 множество {x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2} . Тогда sup(X1 + X2)=supX1+supX2 , inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2 и inf (X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .

Свойство 4 . Пусть X1 и X2 - числовые множества, все элементы которых неотрицательны. Тогда sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .

Докажем например первое равенство свойства 3. Пусть x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 и x=x1+x2. Тогда x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2 и x ≤ sup X1 + sup X2 , откуда sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .

Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число y. Тогда можно найти элементы ∈ X1 и ∈ X2 такие, что ^{y. Это означает, что существует элемент = + ∈ X1+X2, который больше числа y и sup X1 + sup X2 = sup (X1 + X2) . Остальные соотношения доказываются аналогично.}