Теория нечетких множеств для. Пересечения и произведения нечетких. Смотреть что такое "Теория нечётких множеств" в других словарях

К. Хирота (Институт государства и права)

Прошло более четверти века с тех пор, как Л. А. Заде из Калифорнийского университета предложил теорию нечетких множеств. Эта теория развивалась во многих направлениях, поэтому для восприятия всех ее идей потребуется довольно много времени. Однако чтобы применить ее в конкретной области, достаточно небольшого числа понятий. Ниже рассмотрены основные положения теории нечетких множеств с тем, чтобы ее быстро освоить в прикладной области. Прежде всего изучим теорию четких множеств и двузначную булеву логику. Затем на их основе перейдем к понятиям теории нечетких множеств и нечеткой логики. Кроме того, обратим внимание на нечеткие выводы, особенно важные с точки зрения применения этой теории, а также на нечеткие продукционные правила и нечеткие отношения.

2.1. ЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Английское слово fuzz, от которого образовано прилагательное fuzzy (нечеткий), означает «ворс» - специальный термин, определяющий свойство тканей. Когда мы смотрим на рисунок на ворсистой ткани, он кажется нам размытым, поэтому говоря «нечеткий», мы будем иметь в виду «неясный», «размытый». Нечетким множеством, например, мы назовем всех японских красавиц. Смысл этого определения нам понятен, но сказать, принадлежит ли этому множеству та или иная девушка однозначно, только с помощью слов «да» или «нет», нам трудно; таким образом, мы имеем дело с неопределенными, нестрогими свойствами объектов изучения.

В отличие от этого мир, свойства которого можно строго определить двумя словами, например «мужчина или женщина?», назовем четким миром. Следовательно, логику компьютеров, которые имеют дело с 0 и 1, будем называть

четкой логикой, а обычные множества - четкими множествами. Как расширение этих понятий можно рассматривать нечеткую логику и нечеткие множества. Для того чтобы подготовиться к пониманию этих понятий, прежде всего изучим теорию четких множеств.

К теории четких множеств в общем случае относятся аксиоматическая теория множеств и элементарная теория множеств. Первая - одна из фундаментальных теорий математики, она требует достаточно высокого уровня философского мышления. Однако здесь нам достаточно всего лишь расширить понятие множества, изучаемого еще в школе, до понятий элементарной теории множеств. Кроме того, для понимания теории нечетких множеств нам необходимо понятие характеристической функции.

Сначала объясним несколько основных терминов и обозначений. Прописными буквами (например, X) будем обозначать совокупность объектов, с которыми мы будем иметь дело, а строчными буквами (например, х) - отдельные структурные элементы. При этом введем обозначение

Фигурные скобки означают совокупность объектов. Саму совокупность (здесь X) назовем предметной областью, полным пространством или вспомогательным множеством. Последнее название особенно часто используется в области нечеткого управления. (Слово «вспомогательный» в математическом анализе и ряде других областей имеет несколько иной оттенок, поэтому обращаем на это внимание.) Отдельные структурные элементы назовем просто элементами или объектами. Тот факт, что х является элементом X, обозначим следующим образом:

В полном пространстве X определим множество (четкое множество). В качестве названий (меток) множеств будем использовать прописные буквы А, В, С. Например, пусть полное множество состоит из десяти цифр

тогда множество четных цифр A - это множество

При этом число структурных элементов назовем мощностью множества или кардинальным числом; введем для него обозначение . В указанных выше примерах

В случае назовем синглетоном. Множество с конечным назовем конечным множеством, все элементы в таком множестве можно записать так, как в формулах (2.3) и (2.4), но, например в случае натуральных или вещественных чисел, т. е. бесконечных множеств, этого сделать нельзя. При этом часто используют способ записи, при котором справа от вертикальной черты записывают все свойства множества. Например формулу (2.4) можно записать в виде

Кроме того, для об означения понятия в виде рисунка часто используют диаграммы Венна (рис. 2.1).

Помимо указанных способов для определения понятий четкого множества существует способ определения с помощью характеристической функции. Характеристическая функция определяющая множество А в полном пространстве X, представляет собой отображение, для которого X есть область определения, а (двузначное множество из 0 и 1) есть область значений:

При этом если элемент удовлетворяет свойствам А, и 0, если не удовлетворяет. Следовательно, если отложить X на горизонтальной, а на вертикальной оси, то получим графической представление, показанное на рис. 2.2.

В полном пространстве X можно рассматривать различные множества, например А с некоторыми свойствами и В с другими свойствами. Объединение всех Таких множеств называется степенным множеством и обозначается Например, пусть

тогда степенное множество есть

Рис. 2.1. Представление множества с помощью диаграммы Вейна.

Рис. 2.2. Определение множества с помощью характеристической функции.

Здесь 0 - специальное множество, в котором нет элементов, оно называется пустым множеством. Его характеристическая функция

Здесь V называется квантором всеобщности, его можно читать словом «всех». (Кроме него есть квантор существования 3 в смысле «существует...».) Эти кванторы часто используются в логике и искусственном интеллекте. В отличие от пустого множества характеристическая функция полного множества X имеет вид

Кроме того, для мощности множества в общем случае справедливо утверждение

Это можно легко вывести из формул (2.8) и (2.9).

Теперь изучим некоторые операции над множествами (рис. 2.3). Прежде всего, отношение вложения множеств: если элементы А обязательно являются элементами В, то А называется подмножеством В (или В - надмножеством А), что обозначается как ( справедливо также при , если , но , то А называется собственным подмножеством В). Если определить А с: В через характеристическую функцию, то получим следующее неравенство:

Для отношения вложения множеств можно доказать

Рис. 2.3. Вложение (а), дополнение (б), произведение (в) и сумма множеств

справедливость трех свойств:

1) рефлексивность

2) антисимметричность

3) транзитивность

Можно сказать, что образует частично упорядоченное множество, или (Для отношения вложени» множеств обычно для произвольных А, В не всегда справед ливо А с В или В а А, поэтому наше множество не является линейно упорядоченным или полностью упорядоченным множеством.)

Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический государственный университет ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ Учебное пособие Часть I Издательство ВСГТУ Улан-Удэ 2004 УДК 519.5 510.22 ББК 22.12 Ха199 Хаптахаева Н.Б., Дамбаева С.В., Аюшеева Н.Н. Введение в теорию нечетких множеств: Учебное пособие. – Часть I. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004. - 68 с.: ил. Ха199 ISBN 5-89230-199-0 Рецензенты: Д.Ш. Ширапов, д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Электронно- вычислительные системы» ВСГТУ Б.М. Степанов, к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Информационные технологии) БГУ Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 220400 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» и 351500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». Пособие состоит из двух частей и содержит теоретические основы и приложения по дисциплине «Нечеткая логика». В части I рассмотрены основы теории нечетких множеств: понятие нечетких множеств, нечетких отношений, а также понятие нечеткой и лингвистической переменных. Материал снабжен контрольными вопросами и упражнениями для самостоятельного выполнения. Ключевые слова: нечёткое множество, нечеткое отношение, нечеткая переменная, лингвистическая переменная, нечеткий логический вывод. Печатается по решению редакционно-издательского совета Восточно-Сибирского государственного технологического университета. ISBN 5-89230-199-0 ББК 22.12  Хаптахаева Н.Б. с соавт., 2004 г. ВСГТУ, 2004 г. 2 Оглавление Введение.............................................................................................................................................4 1. Нечеткие множества......................................................................................................................6 1.1. Основные характеристики нечетких множеств...................................................................6 1.2. Методы построения функции принадлежности.................................................................10 1.3. Операции над нечеткими множествами.............................................................................13 1.3.1. Логические операции над нечеткими множествами..................................................13 1.3.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами...........................................17 Контрольные вопросы.................................................................................................................21 Упражнения..................................................................................................................................22 2. Нечеткие отношения и операции над ними...............................................................................24 2.1. Нечеткие отношения.............................................................................................................25 2.2. Операции над нечеткими отношениями.............................................................................28 2.3. Свойства нечетких отношений............................................................................................33 2.4. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения.............................................37 2.5. Специальные типы нечетких отношений...........................................................................39 2.5.1. Нечеткие отношения предпорядка...............................................................................39 2.5.2. Нечеткие отношения порядка.......................................................................................40 2.5.3. Отношение подобия.......................................................................................................41 2.5.4. Отношения различия. ....................................................................................................43 2.5.5. Отношения сходства и несходства...............................................................................44 Контрольные вопросы.................................................................................................................46 Упражнения..................................................................................................................................47 3. Нечеткая и лингвистическая переменные.................................................................................50 3.1. Понятие нечеткой и лингвистической переменных..........................................................50 3.1.1. Характеристики простых отношений между нечеткими переменными..................52 3.2. Нечеткие числа......................................................................................................................54 3.2.1. Операции над нечеткими числами...............................................................................54 3.2.2. Сравнение нечетких чисел............................................................................................56 3.3. Лингвистические неопределенности...................................................................................59 3.3.1. Вычисление значений лингвистических переменных................................................61 Контрольные вопросы.................................................................................................................64 Упражнения..................................................................................................................................65 Заключение.......................................................................................................................................66 Список рекомендуемой литературы..............................................................................................67 3 Введение Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Традиционные компьютерные вычисления «слишком точны» для реального мира. Человечество столкнулось с проблемами, для решения которых невозможно получить полную информацию или определение которых недостаточно полно. Казалось бы ситуация безвыходная, но благодаря развитию и совершенствованию так называемых нечетких и гибридных систем в настоящее время уже довольно обыденно воспринимаются «сверхинтеллектуальные» стиральные машины и бытовые автоматы, гиперзвуковые самолеты и самонаводящиеся ракеты и многое другое. Математическую основу нечетких и гибридных систем составляют противоположные традиционным компьютерным вычислениям (hard computing), так называемые мягкие вычисления (soft computing), одной из составляющих которых является нечеткая логика. Математическая теория нечетких множеств, предложенная в 1965 в работах Лотфи А. Задэ (Lotfi A. Zadeh), профессора технических наук Калифорнийского университета в Беркли, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых 4 алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности. Учебное пособие состоит из двух частей и содержит теоретические основы нечеткой логики. Первая часть пособия посвящена математической теории нечетких множеств и состоит из трех разделов. В первом разделе рассмотрены основные определения и понятия теории нечетких множеств: характеристики нечетких множеств, методы построения функций принадлежности элемента нечеткому множеству, операции над нечеткими множествами, свойства операций. Второй раздел содержит основные определения и понятия нечетких отношений и операций над ними, свойств нечетких отношений. Рассмотрены специальные типы бинарных нечетких отношений: нечеткое отношение предпорядка, нечеткое отношение порядка, нечеткое отношение подобия, нечеткое отношение сходства, нечеткое отношение различия. В третьем разделе вводятся понятия нечеткой и лингвистической переменных, в качестве значений которых выступают нечеткие множества, а также рассматриваются понятия нечетких чисел и лингвистических неопределенностей. Каждый раздел сопровождается контрольными вопросами и упражнениями для самостоятельного выполнения. 5 1. Нечеткие множества 1.1. Основные характеристики нечетких множеств Опр.1.1. Нечетким множеством А во множестве U называется совокупность пар вида (u, µА(u)), где u∈U, а µА(u)) – это функция принадлежности нечеткого множества А, µА: U → . Здесь U – некоторое обычное множество, называемое универсальным множеством. Для любого элемента U функция принадлежности µА определяет степень принадлежности данного элемента множеству А. Нечеткое множество можно записать следующим образом: A= Υ µ A (u) / u u∈U (1.1) Примеры записи нечетких множеств 1. Если U = (a, b, c, d, e, f); M = (0, 0.5, 1), тогда А можно представить в виде: А = (0/а, 1/b, 0.5/c, 0/d, 0.5/e, 0/f). 2. Если А = (0.8/а1, 1/a2, 0.4/a3, 0.2/a4, 0.5/a5, 0/a6), то U = (a1, а2, а3, а4, а5, а6); M = (0, 0.2, 0.4, 0.5, 0.8, 1). 3. Если элементы множества U являются числовыми значениями, то порядок следования элементов пары должен соответствовать (1.1). U = (1, 2, 3, 4, 5, 6); M = (0, 0.5, 1), тогда А = (0/1, 0/2, 0.5/3, 0.5/4, 0.5/5, 1/6). Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств. Функцией принадлежности обычного множества В ⊂ U является функция: 1, u ∈ B µ B (u) =  (1.2) 0, u ∉ B Опр.1.2. Нечеткое множество А называется пустым, если µ A (u) = 0, ∀u ∈ U Опр.1.3. Носителем нечеткого множества А называется обычное подмножество таких точек U, для которых величина µА(u) положительна. Носитель обозначается S(A) или SuppA: S (A) = {u u ∈ U , µ A (u) > 0} (1.3) 6 Опр. 1.4. Высотой h(A) нечеткого множества А называется величина h(A) = sup µ A (u) (1.4) u∈U Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота равна единице. В противном случае нечеткое множество А субнормально. Отметим, что субнормальное нечеткое множество всегда можно нормализовать, поделив функцию принадлежности µА на величину h(A) = sup µ A (u) . u∈U Опр. 1.5. Элементы множества U, для которых степень принадлежности µА(u) = 0.5 называются точками перехода нечеткого множества А. Примеры нечетких множеств 1. Пусть универсальное множество U представлено в виде {a, b, c, d, e} и нечеткое подмножество А, заданное на U, имеет вид A = (0/a, 0.5/b, 0.6/c, 0.7/d, 0.85/e). Тогда носителем нечеткого множества A является S(A) = {b, c, d, e}. Высота нечеткого множества А - h(A)=0.85. Точка перехода - u=b. Множество А – субнормально. Нормализованное множество будет иметь вид: A = (0/a, 0.6/b, 0.7/c, 0.8/d, 1/e). 2. Пусть универсальное множество U представляет собой интервал , и переменная u, принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как «Возраст». Тогда нечеткое множество A, обозначаемое термином «Старый», можно определить функцией принадлежности вида 0, при 0 ≤ u ≤ 50   −1 µ A (u) =   u − 50  −2  (1.5) 1 +    5    , при 50 < u ≤ 100     Здесь носитель S(A) = (50, 100]. Высота множества «Старый» близка к 1, соответственно множество нормальное. Точкой перехода является значение u=55. 7 3. Пусть U = и переменная u, принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как «Возраст». Тогда нечеткое множество «Молодой», можно определить функцией принадлежности вида 1, при 1 ≤ u ≤ 25  µ Молодой (u) =  1 (1.6) 1 + ((u − 25) / 5)2 , при 25 < u ≤ 100  Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве U′={Иванов, Петров, Сидоров, …} задается с помощью функции принадлежности µМолодой(u) на U = , называемой по отношению к U′ функцией совместимости, при этом: µМолодой(Петров) = µМолодой(u), где u – возраст Петрова. 4. Пусть U = {Запорожец, Жигули, Мерседес, …} – множество марок автомобилей, а U′ = $$

и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр отвечает за крутизну функции.

Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно изображаются вместе на одном графике. На рисунке 3 приведен пример описанной выше лингвистической переменной "Цена акции", на рисунке 4 – формализация неточного понятия "Возраст человека". Так, для человека 48 лет степень принадлежности к множеству "Молодой" равна 0, "Средний" – 0,47, "Выше среднего" – 0,20.

Количество термов в лингвистической переменной редко превышает 7.

Нечеткий логический вывод

Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме "Если-то" и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия:

1. Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.
2. Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида:
R 1: ЕСЛИ x 1 это A 11 … И … x n это A 1n , ТО y это B 1
…
R i: ЕСЛИ x 1 это A i1 … И … x n это A in , ТО y это B i
…
R m: ЕСЛИ x 1 это A i1 … И … x n это A mn , ТО y это B m ,
где x k , k=1..n – входные переменные; y – выходная переменная; A ik – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.

Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y * на основе заданных четких значений x k , k=1..n.

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (см. рисунок 5).

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического вывода в нечетких системах. В нем используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий.

1. Процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок). Для базы правил с m правилами обозначим степени истинности как A ik (x k), i=1..m, k=1..n.

Нечеткий вывод. Сначала определяются уровни "отсечения" для левой части каждого из правил:

$$alfa_i\,=\,\min_i \,(A_{ik}\,(x_k))$$

$$B_i^*(y)= \min_i \,(alfa_i,\,B_i\,(y))$$

Композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств:

$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества.

Дефазификация, или приведение к четкости. Существует несколько методов дефазификации. Например, метод среднего центра, или центроидный метод:
$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

Геометрический смысл такого значения – центр тяжести для кривой MF(y). Рисунок 6 графически показывает процесс нечеткого вывода по Мамдани для двух входных переменных и двух нечетких правил R1 и R2.

Интеграция с интеллектуальными парадигмами

Гибридизация методов интеллектуальной обработки информации – девиз, под которым прошли 90-е годы у западных и американских исследователей. В результате объединения нескольких технологий искусственного интеллекта появился специальный термин – "мягкие вычисления" (soft computing), который ввел Л. Заде в 1994 году. В настоящее время мягкие вычисления объединяют такие области как: нечеткая логика, искусственные нейронные сети, вероятностные рассуждения и эволюционные алгоритмы. Они дополняют друг друга и используются в различных комбинациях для создания гибридных интеллектуальных систем.

Влияние нечеткой логики оказалось, пожалуй, самым обширным. Подобно тому, как нечеткие множества расширили рамки классической математическую теорию множеств, нечеткая логика "вторглась" практически в большинство методов Data Mining, наделив их новой функциональностью. Ниже приводятся наиболее интересные примеры таких объединений.

Нечеткие нейронные сети

Нечеткие нейронные сети (fuzzy-neural networks) осуществляют выводы на основе аппарата нечеткой логики, однако параметры функций принадлежности настраиваются с использованием алгоритмов обучения НС. Поэтому для подбора параметров таких сетей применим метод обратного распространения ошибки, изначально предложенный для обучения многослойного персептрона. Для этого модуль нечеткого управления представляется в форме многослойной сети. Нечеткая нейронная сеть как правило состоит из четырех слоев: слоя фазификации входных переменных, слоя агрегирования значений активации условия, слоя агрегирования нечетких правил и выходного слоя.

Наибольшее распространение в настоящее время получили архитектуры нечеткой НС вида ANFIS и TSK. Доказано, что такие сети являются универсальными аппроксиматорами.

Быстрые алгоритмы обучения и интерпретируемость накопленных знаний – эти факторы сделали сегодня нечеткие нейронные сети одним из самых перспективных и эффективных инструментов мягких вычислений.

Адаптивные нечеткие системы

Классические нечеткие системы обладают тем недостатком, что для формулирования правил и функций принадлежности необходимо привлекать экспертов той или иной предметной области, что не всегда удается обеспечить. Адаптивные нечеткие системы (adaptive fuzzy systems) решают эту проблему. В таких системах подбор параметров нечеткой системы производится в процессе обучения на экспериментальных данных. Алгоритмы обучения адаптивных нечетких систем относительно трудоемки и сложны по сравнению с алгоритмами обучения нейронных сетей, и, как правило, состоят из двух стадий: 1. Генерация лингвистических правил; 2. Корректировка функций принадлежности. Первая задача относится к задаче переборного типа, вторая – к оптимизации в непрерывных пространствах. При этом возникает определенное противоречие: для генерации нечетких правил необходимы функции принадлежности, а для проведения нечеткого вывода – правила. Кроме того, при автоматической генерации нечетких правил необходимо обеспечить их полноту и непротиворечивость.

Значительная часть методов обучения нечетких систем использует генетические алгоритмы. В англоязычной литературе этому соответствует специальный термин – Genetic Fuzzy Systems.

Значительный вклад в развитие теории и практики нечетких систем с эволюционной адаптацией внесла группа испанских исследователей во главе с Ф. Херрера (F. Herrera).

Нечеткие запросы

Нечеткие запросы к базам данных (fuzzy queries) – перспективное направление в современных системах обработки информации. Данный инструмент дает возможность формулировать запросы на естественном языке, например: "Вывести список недорогих предложений о съеме жилья близко к центру города", что невозможно при использовании стандартного механизма запросов. Для этой цели разработана нечеткая реляционная алгебра и специальные расширения языков SQL для нечетких запросов. Большая часть исследований в этой области принадлежит западноевропейским ученым Д. Дюбуа и Г. Праде.

Нечеткие ассоциативные правила

Нечеткие ассоциативные правила (fuzzy associative rules) – инструмент для извлечения из баз данных закономерностей, которые формулируются в виде лингвистических высказываний. Здесь введены специальные понятия нечеткой транзакции, поддержки и достоверности нечеткого ассоциативного правила.

Нечеткие когнитивные карты

Нечеткие когнитивные карты (fuzzy cognitive maps) были предложены Б. Коско в 1986 г. и используются для моделирования причинных взаимосвязей, выявленных между концептами некоторой области. В отличие от простых когнитивных карт, нечеткие когнитивные карты представляют собой нечеткий ориентированный граф, узлы которого являются нечеткими множествами. Направленные ребра графа не только отражают причинно-следственные связи между концептами, но и определяют степень влияния (вес) связываемых концептов. Активное использование нечетких когнитивных карт в качестве средства моделирования систем обусловлено возможностью наглядного представления анализируемой системы и легкостью интерпретации причинно-следственных связей между концептами. Основные проблемы связаны с процессом построения когнитивной карты, который не поддается формализации. Кроме того, необходимо доказать, что построенная когнитивная карта адекватна реальной моделируемой системе. Для решения данных проблем разработаны алгоритмы автоматического построения когнитивных карт на основе выборки данных.

Нечеткая кластеризация

Нечеткие методы кластеризации, в отличие от четких методов (например, нейронные сети Кохонена), позволяют одному и тому же объекту принадлежать одновременно нескольким кластерам, но с различной степенью. Нечеткая кластеризация во многих ситуациях более "естественна", чем четкая, например, для объектов, расположенных на границе кластеров. Наиболее распространены: алгоритм нечеткой самоорганизации c-means и его обобщение в виде алгоритма Густафсона-Кесселя.

Литература

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. – М.: Мир, 1976.
• Круглов В.В., Дли М.И. Интеллектуальные информационные системы: компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. – М.: Физматлит, 2002.
• Леоленков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. – СПб., 2003.
• Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. – М., 2004.
• Масалович А. Нечеткая логика в бизнесе и финансах. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
• Kosko B. Fuzzy systems as universal approximators // IEEE Transactions on Computers, vol. 43, No. 11, November 1994. – P. 1329-1333.
• Cordon O., Herrera F., A General study on genetic fuzzy systems // Genetic Algorithms in engineering and computer science, 1995. – P. 33-57.