Известно, что случайное событие вследствие испытания может произойти или не произойти. Но при этом для разных событий в одном и том же испытании существуют разные возможности. Давайте разберём пример. Если в урне сто тщательно перемешанных одинаковых шариков, причем среди них лишь десять черных, а остальные - белые, то при извлечении наугад одного шарика больше возможностей, что появится имеет именно белый. Возможность появления того или иного события в данном испытании имеет численную меру, которая называется вероятностью этого события и согласно теории вероятностей, можно посчитать, каков же шанс увидеть чёрный или белый шар.

Классическое определение вероятности

Предположим, что при проведении определенного испытания возможно появление $n$ элементарных равновозможных событий. Из этого количества число $m$ - это количество тех элементарных событий, которые благоприятствуют появлению определенного события $A$. Тогда вероятностью события $A$ называется отношение $P\left(A\right)=\frac{m}{n} $.

Пример № 1.

В урне 3 белых и 5 черных шариков, которые отличаются лишь цветом. Испытание заключается в том, что из урны наугад вынимают один шарик. Событием $A$ считаем "появление белого шарика". Вычислить вероятность события $A$.

При испытании можно извлечь любой из восьми шариков. Все эти события являются элементарными, поскольку они несовместны и образуют полную группу. Понятно также, что все эти события - равновозможны. Итак, для вычисления вероятности $P\left(A\right)$ можно применить классическое ее определение. Как решение имеем: $n=8$, $m=3$, а вероятность извлечь из шаров именно белый будет равна $P\left(A\right)=\frac{3}{8} $.

Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

• вероятность достоверного события $V$ всегда равна единице, то есть $P\left(V\right)=1$; это объясняется тем, что достоверному событию благоприятствуют все элементарные события, то есть $m=n$;
• вероятность невозможного события $H$ всегда равна нулю, то есть $P\left(H\right)=0$; это объясняется тем, что невозможному событию не благоприятствует ни одно из элементарных, то есть $m=0$;
• вероятность любого случайного события $A$ всегда удовлетворяет условию $0

Таким образом, в общем случае вероятность любого события удовлетворяет неравенству $0\le P\left(A\right)\le 1$.

Относительная частота и её устойчивость

Определение 1

Предположим, что выполняется довольно большое количество испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти определенное событие $A$. Такие испытания называют серией испытаний.

Предположим, что проведена серия из $n$ испытаний, в которых событие $A$ состоялось $m$ раз. Здесь число $m$ называют абсолютной частотой события $A$, а отношение $\frac{m}{n} $ называют относительной частотой события $A$. Например, из $n=20$ использованных во время пожара огнетушителей не сработали (событие $A$) $m=3$ огнетушителя. Здесь $m=3$ - абсолютная частота события $A$, а $\frac{m}{n} =\frac{3}{20} $ - относительная.

Практический опыт и здравый смысл подсказывают, что при малых $n$ значения относительной частоты не могут быть устойчивыми, но если количество испытаний увеличивать, то значения относительной частоты должны стабилизироваться.

Пример № 2.

Для участия в команде тренер отбирает пять мальчиков из десяти. Сколькими способами он может сформировать команду, если два определенных мальчика, образующих костяк команды, должны войти в команду?

В соответствии с условием задачи, двое мальчиков войдут в команду сразу. Следовательно, остается отобрать трех мальчиков из восьми. При этом важен только состав, так роли всех членов команды не различаются. Это значит, что мы имеем дело с сочетаниями.

Сочетаниями из $n$ элементов по $m$ называются комбинации, состоящие из $m$ элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, но не порядком расположения элементов.

Количество сочетаний вычисляется по формуле $C_{n}^{m} =\frac{n!}{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.

Таким образом, количество различных способов формирования команды в количестве трех мальчиков, выбирая их из восьми мальчиков - это число сочетаний из 8 элементов по 3:

$C_{8}^{3} =\frac{8!}{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$

Пример № 3.

На полке в кабинете в случайном порядке расставлено 15 книг, причем 5 из них по алгебре. Преподаватель берет наудачу три книги. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых книг окажется по алгебре.

Событие $A$ (хотя бы одна из взятых трех книг - книга по алгебре) и $\bar{A}$ (ни одна из взятых трех книг не является книгой по алгебре) - противоположные, поэтому Р(А) + Р($\bar{A}$) = 1. Отсюда Р(А) = 1-Р($\bar{A}$). Таким образом, искомая вероятность Р(А) = 1 - $C_{10}^{3} \, /C_{15}^{3} \, $= 1 - 24/91 = 67/91.

Пример № 4.

Из двадцати акционерных обществ четыре являются иностранными. Гражданин приобрел по одной акции шести акционерных обществ. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями иностранных акционерных обществ?

Общее число комбинаций выбора акционерных обществ равно числу сочетаний из 20 по 6, то есть ${\rm C}_{{\rm 20}}^{{\rm 6}} $. Число благоприятствующих исходов определяется как произведение ${\rm C}_{{\rm 4}}^{{\rm 2}} \cdot {\rm C}_{{\rm 16}}^{{\rm 4}} $, где первый сомножитель указывает число комбинаций выбора иностранных акционерных обществ из четырех. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться акционерные общества, не являющиеся иностранными. Число комбинаций таких акционерных обществ будет ${\rm C}_{{\rm 16}}^{{\rm 4}} $. Поэтому искомая вероятность запишется в виде ${\rm P}=\frac{{\rm C}_{{\rm 4}}^{{\rm 2}} \cdot {\rm C}_{{\rm 16}}^{{\rm 4}} }{{\rm C}_{{\rm 20}}^{{\rm 6}} } =0,28$.

Пример № 5.

В партии из 18 деталей находятся 4 нестандартных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся нестандартными.

Число всех равновозможных несовместных исходов $n$ равно числу сочетаний из 18 по 5, т.е. $n=C_{18}^{5} =8568$.

Подсчитаем число исходов $m$, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 стандартных и 2 нестандартных. Число способов выборки двух нестандартных деталей из 4 имеющихся нестандартных равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_{4}^{2} =6$.

Число способов выборки трех стандартных деталей из 14 имеющихся стандартных равно $C_{14}^{3} =364$.

Любая группа стандартных деталей может комбинироваться с любой группой нестандартных деталей, поэтому общее число комбинаций $m$ составляет $m=C_{4}^{2} \cdot C_{14}^{3} =6\cdot 364=2184$.

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов $m$, благоприятствующих событию, к числу $n$ всех равновозможных и несовместных событий $P(A)=\frac{2184}{8568} =0,255.$

Пример № 6.

В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется хотя бы один белый шар.

Пусть событие $ $ - среди вынутых шаров хотя бы один белый.

Рассмотрим противоположное событие $\bar{}$ - среди вынутых шаров нет ни одного белого. Значит все вынутые 4 шара чёрные.

Используем формулы комбинаторики.

Количество способов вынуть четыре шара из одиннадцати:

$n=!_{11}^{4} =\frac{11!}{4!\cdot (11-4)!} =330$

Количество способов вынуть четыре черных шара из одиннадцати:

$m=!_{5}^{4} =\frac{5!}{4!\cdot (5-4)!} =5$

Получаем: $\; (\bar{})=\frac{m}{n} =\frac{5}{330} =\frac{1}{66} $; $P(A)=1-\; (\bar{A})=1-\frac{1}{66} =\frac{65}{66} $.

Ответ: вероятность того, что среди четырёх вынутых шаров нет ни одного белого равна $\frac{65}{66} $.

Определение . Пусть в n повторяющихся опытах (испытаниях) некоторое событие А наступило n A раз.

Число n A называется частотой события А , а отношение

называется относительной частотой (или частостью) события А в рассматриваемой серии испытаний.

Свойства относительной частоты

Относительная частота события обладает следующими свойствами.

1. Частота любого события заключена в интервале от нуля до единицы, т.е.

2. Частота невозможного события равна нулю, т.е.

3. Частота достоверного события равна 1, т.е.

4. Частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот (частостей) этих событий, т.е. если =Ø, то

Частость обладает свойством , называемым свойством статистической устойчивости : с увеличением числа опытов (т.е. с увеличением n ) частость события принимает значения, близкие к вероятности этого события р .

Определение. Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе испытаний (опытов) n .

Вероятность события А обозначается символом Р (А ) или р (А ). Появление в качестве символа понятия «вероятность» буквы р определяется ее наличием на первом месте в английском слове probability – вероятность.

Согласно данному определению

Свойства статистической вероятности

1. Статистическая вероятность любого события А заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Статистическая вероятность невозможного события (А = Ø) равна нулю, т.е.

3. Статистическая вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице, т.е.

4. Статистическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В = Ø, то

Классическое определение вероятности

Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде группы несовместных равновозможных событий. Случай, который приводит к появлению события А , называется благоприятным или благоприятствующим, т.е. случай w влечет за собой событие А , w А .

Определение . Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.

Свойства «классической» вероятности

1. Аксиома неотрицательности : вероятность любого события А неотрицательна, т.е.

Р (А ) ≥ 0.

2. Аксиома нормированности : вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице:

3. Аксиома аддитивности : вероятность суммы несовместных событий (или вероятность появления одного из двух несовместных событий) равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В =Ø, то

Вероятность события : Р () = 1 – Р (А).

Для вероятности события, являющегося суммой любых двух событий А и В, справедлива формула:

Если события А и В не могут произойти в результате одного испытания одновременно, т.е. иными словами, если А·В – невозможное событие, то их называют несовместимыми или несовместными , и тогда Р (А·В ) = 0 и формула вероятности суммы событий приобретает особенно простой вид:

Если же события А и В могут произойти в результате одного испытания, то их называют совместимыми .

Полезный алгоритм

При нахождении вероятностей с использованием классического определения вероятности следует придерживаться следующего алгоритма.

1. Необходимо четко осмыслить, в чем состоит эксперимент.

2. Четко сформулировать, в чем состоит событие А , вероятность которого необходимо найти.

3. Четко сформулировать, что будет в рассматриваемой задаче составлять элементарное событие. Сформулировав и определив элементарное событие, следует проверить три условия, которому должно удовлетворять множество исходов, т.е. Ω.

6. Следуя классическому определению вероятности, определить

При решении задач наиболее распространенной ошибкой является нечеткое понимание того, что берется в качестве элементарного события w , а от этого зависит правильность построения множества и правильность вычисления вероятности события. Обычно на практике в качестве элементарного события берут простейший исход, который нельзя «расщепить» на более простые.

Существует несколько определений понятия вероятности. Приведем классическое определение. Оно связано с понятием благоприятствующего исхода. Те элементарные исходы (э.и.), в кот. интересующее нас событие наступает назовем благоприятствующими этому событию. Опр. : Вер.ю события А назыв. отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных э. и., образующих полную группу. P(A) = m/n, где m – число э. и., благоприятствующих событию А; n – число всех возможных э. и. испытания. Из определения вероятности вытекают ее св-ва :1)вер.(в) достоверного события всегда равна 1. Т.к. событие достоверно, то все э. и. испытания благоприятствуют этому событию, т.е. m=n. P(A)=n/n = 1; 2) В. невозможного соб. равна 0. Т.к. событие невозможно, то нет ни одного э. и., благоприятствующего этому событию, значит m=0. P(A) = 0/n = 0; 3) В. случайного события есть неотрицательная вел-на, заключенная между 0 и 1, т.е. 0

4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

Относительной частотой (ОЧ) события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. (НЕ омега!!!). W(A) = m/n, где m – число появления события А, n – общее число испытаний. Определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Определение ОЧ предполагает, что испытания были произведены фактически, т.е. вер. вычисляют до опыта, а ОЧ после опыта. Если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из кот. число испытаний достаточно велико, то ОЧ обнаруживает св-во устойчивости. Это св-во состоит в том, что в различных опытах ОЧ изменяется мало, тем меньше, чем больше произведено испытаний, колеблаясь около некоторого постоянного числа. Это число есть вер. появления события. Т.о. опытным путем установлено, что ОЧ можно принять за приближенное значение вероятности.

5.Статистическая вероятность.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике часто встречаются испытания, число возможных исходов кот. бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Наряду с классич. опр. используют статистическое. Опр.: стат. вер. (ст.в.) события – относительная частота (ОЧ) или число близкое к ней. Св-ва вероятности, вытекающие из классич. определения, сохраняются и при статистическом. Если событие достоверно, то его ОЧ =1, т.е. ст.в. также =1. Если событие невозможно, то ОЧ = 0, т.е. ст.в. тоже = 0. Для любого события 0W(A) 1, сл-но. ст.в. заключена между 0 и 1. Для существования ст.в. требуется: 1) возможность хотя бы принципиально проводить неограничен. число испытаний, в каждом из кот. событие наступает или не наступает; 2) устойчивость ОЧ появления события в различных сериях достаточно большого числа испытаний. Недостатком статистич. определения является неоднозначность ст.в. Например, если в рез-те достаточно большого числа испытаний оказалось, что ОЧ весьма близка к 0,6, то это число можно принять за ст.в. Но в кач-ве вероятности события можно принять не только 0,6, но и 0,59 и 0,61.

Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведённых испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

где m – число появлений события, n – общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относитель­ной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действитель­ности; определение же относительной частоты предпола­гает, что испытания были произведены фактически. Дру­гими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту-после опыта.

Пример 1 . Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей

Пример 2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели

Длительные наблюдения показали, что если в одина­ковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свой­ство состоит в том, что в различных опытах относитель­ная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа . Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена от­носительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Подробнее и точнее связь между относительной часто­той и вероятностью будет изложена далее. Теперь же проиллюстрируем свойство устойчивости на примерах.

Пример 3. По данным шведской статистики, относительная час­тота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождении девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают при­мерно то же значение относительной частоты.

Пример 4 . Многократно проводились опыты бросания монеты, которых подсчитывали число появления «герба». Результаты не­скольких опытов приведены в табл. 1.

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от чис­ла 0,5, причем тек меньше, чем больше число испытаний. Напри­мер, при 4040 испытаниях отклонение равно 0, 0069, а при 24 000 испытаний - лишь 0, 0005. Приняв во внимание, что вероятность появления «герба» при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеж­даемся, что относительная частота колеблется около вероятности.