Свойства стеной функции гипербола. Гипербола: определение, свойства, построение. Примеры гипербол в рекламе

Определение 1

Гипербола в математике – это множество всех точек на плоскости, для любой из которых абсолютная разность расстояния между двумя точками $F_1$ и $F_2$, называемыми фокусами, всегда равна одному и тому же значению и равна $2a$.

Рисунок 1. Как выглядит гипербола: пример гиперболы

Свойства гиперболы

• Если точки $F_1$ и $F_2$ являются фокусами гиперболы, то касательная, проведённая через любую точку $A$, принадлежащую кривой, является биссектрисой угла $F_1AF_2$;
• Отношение расстояний от точки на гиперболе до фокуса и от этой же точки до директрисы – это константа, называемая эксцентриситетом $ε$;
• Гиперболе свойственна зеркальная симметричность относительно действительной и мнимой осей, а также вращательная к центру при повороте на 180°;
• Ограниченный действительными осями отрезок касательной, проведённой через точку $M$, делится пополам точкой $M$;
• У каждой гиперболы есть сопряжённая гипербола, которая располагается в незанятых четвертях графика.

Основные определения

• Ветви гиперболы – это две непересекающиеся кривые;
• Вершинами гиперболы называются две ближайшие точки на разных ветвях гиперболы;
• Формула для определения расстояния между вершинами гиперболы выглядит как $2\cdot a$;
• Большой действительной осью называется прямая, проложенная через две ближайшие точки на гиперболе. На половине этого расстояния расположен центр гиперболы;
• Полуосями гиперболы называется половина расстояния между вершинами гиперболы, формула для его определения $2\cdot a/2 = a$;
• Мнимая ось – это прямая, проложенная через центр гиперболы и перпендикулярная действительной оси;
• Геометрическое построение гиперболы производится по заданным вершинам и фокусам с помощью циркуля.

Уравнение гиперболы

Общая формула гиперболы и функция гиперболы описывается следующим уравнением: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a, b$ - положительные действительные числа.

Уравнение вырожденной гиперболы выглядит как уравнение двух асимтот к гиперболе: $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$

Уравнение гиперболы со смещенным центром $\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$, где $x_0, y_0$ - координаты центра гиперболы.

Для нахождения уравнения смещенной гиперболы по графику сначала определяют смещение центра относительно оси координат, оно равно координатам центра. Затем по асимтоптам определяют значения $a$ и $b$.

Гипербола и ее свойства

Конспект лекции 14.

Гипербола и парабола и их свойства. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.

Литература. § 20, 21.

Определœение 1. Гиперболой принято называть множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек и, принадлежащих той же плоскости, является постоянной величиной, меньшей расстояния между точками и.

Точки и,как и в случае эллипса, будем называть фокусами . Очевидно, следует предполагать, что фокусы не совпадают друг с другом. Пусть, а модуль разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равен. Тогда, как следует из определœения

Из неравенств, связывающих стороны треугольника, следует, что не существует таких точек М, для которых. Заметим, что эта разность равна в том и только в том случае, когда М лежит на прямой, и не принадлежит отрезку между фокусами. Будем также предполагать, что a ¹ 0, иначе, точки, удовлетворяющие этому условию, образуют серединный перпендикуляр отрезка.

Выведем уравнение гиперболы. Как и в случае эллипса введем прямоугольную декартовую систему координат, которую также будем называть канонической , ось абсцисс которой содержит фокусы и, а ось ординат совпадает с серединным перпендикуляром отрезка (рис. 67). В этой системе координаты фокусов равны: . Точка в том и только в том случае лежат на гиперболе, когда ее координаты удовлетворяют уравнению:

Упростим это уравнение. Раскроем модуль: , и ʼʼуединимʼʼ один из радикалов: . Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

После упрощений получим: . Еще раз возведем обе части в квадрат: , или

В силу неравенства (17.1) , в связи с этим существует число b , для которого

Тогда. Разделив обе части этого равенства на, окончательно получим:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (17.4). Покажем обратное. Возьмем произвольную точку, координаты которой являются решением этого уравнения. Пусть. Эти числа будем называть фокальными радиусами точки М. Нам следует показать, что. Из уравнения (17.4) следует, что

Так как, то, заменив в данном выражении у по формуле (17.6), получим:

Из формулы (17.3) следует, что. По этой причине. Таким образом,

Аналогично показывается, что

Раскроем модули в полученных формулах. Пусть. Тогда, в связи с этим. Из неравенства (17.5) следует, что. Так как, то перемножая эти неравенства, получим: . Отсюда следует, что. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, и.

Пусть. Тогда и. Из неравенства (17.5) следует, что, перемножая его с неравенством, получим: или. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, и. И в первом и во втором случаях модуль разности фокальных радиусов постоянен и равен. Уравнение (17.4) является уравнением гиперболы. Оно носит название канонического .

Рассмотрим свойства гиперболы, которые позволят построить ее изображение. Вначале найдем ее точки пересечения с осями канонической системы координат. Пусть точка служит точкой пересечения гиперболы с осью абсцисс. Тогда из уравнения (17.4) следует, что, ᴛ.ᴇ. либо, либо. Гипербола пересекается с осью абсцисс в двух точках: . Она не пересекает оси ординат. Действительно, в случае если точка лежит на гиперболе, то число удовлетворяет уравнению: , ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ не имеет действительных корней. Точки и называются вершинами гиперболы, а числа а и b ‑ ее действительной и мнимой полуосями .

В случае если точка лежит на гиперболе, то, как следует из ее канонического уравнения, точки и также лежат на гиперболе. Отсюда следует, что гипербола симметрична, относительно осœей и центрально симметрична относительно начала канонической системы координат. По этой причине достаточно построить точки гиперболы, лежащие в первой координатной четверти, а затем отразить их симметрично относительно осœей и начала системы координат. Из формулы (17.6) следует, что в этой четверти гипербола совпадает с графиком функции. Средствами математического анализа доказывается, что при эта функция является непрерывной, гладкой и возрастающей. Вместе с тем, она имеет асимптоту. Как доказывается в курсе математического анализа, прямая тогда и только тогда служит асимптотой функции при, когда В данном случае

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, прямая ‑асимптота гиперболы в первой координатной четверти. Так как гипербола симметрична относительно координатных осœей, то эта же прямая служит ее асимптотой в третьей четверти, а прямая ‑ ее асимптота во второй и четвертой четвертях. Гипербола изображена на рисунке 67.

Укажем способ построения точек гиперболы циркулем и линœейкой. Пусть и ‑ ее фокусы, и - точки пересечения с осью абсцисс. Построим окружность a с центром в точке радиуса r . Далее увеличим раствор циркуля на длину отрезка и построим окружность b с центром в точке с радиусом. Ясно, что точки пересечения окружностей a и b лежат на гиперболе. Меняя радиус r можно построить любое число точек гиперболы (рис. 68).

Гипербола, аналогично тому, как и эллипс, обладает директориальным свойством.

Определœение 2. Под эксцентриситетом гиперболы принято понимать число, равное:

Из неравенства (17.1) следует, что для гиперболы (сравните, для эллипса эксцентриситет меньше единицы). Выясним, как меняется форма гиперболы, в случае если ее эксцентриситет принимает значения от 1 до + .. Тогда из формулы (17.9) получим: . Пусть e ® 1, тогда a ® c . Как мы уже отмечали, в данном случае гипербола "сжимается", ее ветви приближаются к двум лучам оси абсцисс, начала которых лежат в ее фокусах. При a ® 0 ветви гиперболы "распрямляются" к серединному перпендикуляру отрезка, ᴛ.ᴇ. к оси ординат.

Определœение 3. Прямые, определœенные уравнениями:

называются директрисами гиперболы.

Считается, что директриса соответствует фокусу, а - фокусу. Так как, то. По этой причине директрисы пересекают ось абсцисс во внутренних точках отрезка, заключенного между вершинами гиперболы (рис. 69). Докажем директориальное свойство гиперболы.

Теорема. Гипербола представляет собой множество всœех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию до директрисы, соответствующей этому фокусу, является постоянным числом, равным эксцентриситету.

Доказательство. Пусть дана гипербола. Будем предполагать, что на плоскости выбрана ее каноническая система координат. Рассмотрим точку, лежащую на гиперболе. Обозначим через и ее расстояния до директрис и. Из формулы для вычисления расстояния от точки до прямой (см. § 14) следует, что, . Найдем отношения и, где и ‑ фокальные радиусы точки М . Из равенств (17.7) - (17.9), получим: и. По этой причине.

Покажем обратное. Пусть отношение расстояния от некоторой точки М до фокуса гиперболы к расстоянию от нее до соответствующей директрисы равно эксцентриситету. Проверим, что точка лежит на гиперболе. Доказательство проведем для фокуса и директрисы. Для вторых фокусов и директрисы рассуждения проводятся аналогично. Пусть даны координаты точки: . Тогда. Расстояние до директрисы равно: . Так как, то. Отсюда

Так как (см. (17.3)), то, или. Точка М принадлежит гиперболе, теорема доказана.

Директориальные свойства эллипса и гиперболы позволяют иначе подойти к определœению этих кривых. Из доказанных теорем следует, что если на плоскости даны прямая (директриса) и точка (фокус), которая не лежит на этой прямой, то множество всœех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы, равно постоянному числу, представляет собой эллипс, в случае если это число меньше единицы, и гиперболу, в случае если оно больше единицы. Ответ на вопрос, какой вид имеет это множество, в случае если отношение равно единице, будет дан в следующем параграфе.

Ответим на вопрос, какой вид имеет множество точек, для каждой из которых отношении расстояния до точки к расстоянию до прямой, не содержащей эту точку, равно единице. Мы покажем, что такое множество точек хорошо известно из школьного курса алгебры, оно совпадает с параболой.

Определœение 1. Множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки плоскости равно расстоянию до фиксированной прямой, не содержащей эту точку, принято называть параболой.

Точку и прямую, которые упомянуты в определœении, будем называть соответственно фокусом и директрисой параболы. Будем также считать, что эксцентриситет параболы равен единице. Нетрудно узнать, что представляет собой множество точек, удовлетворяющих определœению 1, в случае если фокус лежит на директрисе. В случае если F - фокус, d ‑ директриса, а М - точка множества, то в данном случае отрезок FM перпендикулярен d . По этой причине такое множество совпадает с прямой, проходящей через фокус перпендикулярной директрисе.

Выведем уравнение параболы. Для этого выберем прямоугольную декартовую систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус F и была перпендикулярна даректрисе d параболы, а ее начало О совпадало с серединой отрезка, заключенного между F и точкой Q пересечения оси абсцисс и директрисы. Направление оси абсцисс определяется вектором (рис. 71). Такую систему координат будем называть канонической . Обозначим через p длину отрезка FQ , Число р принято называть фокальным параметром параболы. Тогда в канонической системе координаты фокуса F и уравнение директрисы d имеет вид: ,

Рассмотрим произвольную точку. расстояние р от М до F равно: . Длина перпендикуляра d, опущенного из M на директрису d , согласно формуле для вычисления расстояния от точки до прямой (см § 14), имеет вид: . По этой причине из определœения 1 следует, что точка М в том и только в том случае лежит на параболе, когда

Уравнение (18.1) представляет собой уравнение параболы. Нам крайне важно его упростить. Для этого возведем обе части в квадрат:

Отсюда следует, что

После приведения подобных членов, получим:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в случае если точка принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (18.4). Нетрудно убедиться в обратном. В случае если координаты точки М служат решением уравнения (18.4), то они удовлетворяют уравнениям (18.3) и (18.2). Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (18.2), получим, что координаты точки М удовлетворяют (18.1). Точка лежит на параболе.

Уравнение (18.4) носит название канонического уравнения параболы. Отметим ее свойства. Начало О канонической системы координат лежит на параболе, так как ‑ решение уравнения (18.4). Она принято называть ее вершиной. Парабола симметрична относительно оси абсцисс и не симметрична относительно оси ординат канонической системы. Действительно, в случае если координаты точки удовлетворяют уравнению (18.4), то координаты точки также удовлетворяют уравнению (18.4), а координаты точки не являются решением этого уравнения. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, для построения параболы достаточно изобразить график степенной функции, а затем отобразить его симметрично относительно оси абсцисс. Средствами математического анализа доказывается, что она непрерывная, гладкая и бесконечно возрастающая функция. Парабола изображена на рисунке 71.

Рассмотрим способ построения точек параболы. Пусть F - ее фокус, а d - директриса. Проведем ось симметрии параболы, ᴛ.ᴇ. прямую l , содержащую F и перпендикулярную d . Далее построим несколько прямых перпендикулярных оси. На каждой прямой определим две точки пересечения с окружностью, центр которой находится в фокусе F , а радиус равен расстоянию между этой прямой и директрисой (см. рис. 72). Ясно, что эти точки лежат на параболе.

Пусть кривая g представляет собой эллипс, одну ветвь гиперболы, либо параболу. Пусть F - фокус, а d - директриса кривой g, соответствующая этому фокусу. При этом будем предполагать, что в случае гиперболы фокус и директриса выбраны так, что рассматриваемая ветвь кривой лежит в той же полуплоскости относительно d, что и фокус F . Будем также предполагать, что полюс полярной системы координат совпадает с F, a полярная ось l - лежит на оси симметрии и не пересекает директрису d (рис. 74). Восставим в точке F перпендикуляр к l , Р - точка его пересечения с γ. Обозначим через р длину отрезка FР . Число р будем называть фокальным параметром g.

Обозначим через r и j - полярные координаты точки М . Напомним, что в нашем случае, а j - ориентированный угол между полярной осью l и вектором. Обозначим через Q и N проекции точек Р и М на директрису d , а через К ‑ проекцию М на ось симметрии кривой g (см. рис. 74). Тогда, в случае если R - точка пересечения директрисы d и оси симметрии l , то Так как проекция на l имеет вид: , а, то. Воспользуемся директориальным свойством кривой второго порядка. В случае если e - эксцентриситет g, то. По этой причине, а. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, . Помножив это соотношение на e и выделив r, окончательно получим:

Уравнение (18.6) принято называть полярным уравнением кривой второго порядка g.

Пусть e < 1. Тогда g представляет собой эллипс. В этом случае для любого j: . Так как полярный радиус всœегда положителœен, то для любого угла φ существует значение, ρ определяемое формулой (18.6), для которого точка M (r; j) лежит на эллипсе. Любой луч с началом в полюсе полярной системы координат пересекает эллипс (рис. 75). В случае если e = 1, то g представляет собой - параболу. В этом случае для любого j: , причем при j = 0. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в уравнении (18.6) j принимает всœе значения на полуинтервале (- p; p] , за исключением 0. Любой луч с началом в фокусе F , за исключением полярной оси, пересекает параболу (рис. 76). Рассмотрим случай, когда e > 1. Тогда g представляет собой ветвь гиперболы. Как следует из уравнения (18.6), угол j удовлетворяет неравенству. Отсюда

Решим это неравенство. Пусть. Так как, то. Воспользуемся формулами, выражающими эксцентриситет гиперболы через ее полуоси и расстояние между фокусами (см. § 17), получим: , ᴛ.ᴇ. . Нетрудно видеть, что j является решением неравенства (18.7) в том и только в том случае, когда, . Геометрически это означает, что если угол φ принадлежит отрезку [ ; ], то луч, составляющий угол j с полярной осью и с началом в фокусе F, не пересекает ветвь гиперболы. Отметим, что лучи, образующие с полярной осью углы, равные и, параллельны асимптотам гиперболы (рис. 77). Можно доказать, что если на плоскости введены обобщенные полярные координаты (см. § 9), то уравнение (18.6) в случае задает вторую ветвь гиперболы.

Гипербола и ее свойства - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Гипербола и ее свойства" 2017, 2018.

Гипербола - это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух отдельных кривых, которые не пересекаются.
Формула гиперболы y = k/x , при условии, что k не равно 0 . То есть вершины гиперболы стремятся к нолю, но никогда не пересекаются с ним.

Гипербола - это множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Свойства:

1. Оптическое свойство: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
Иначе говоря, если F1 и F2 фокусы гиперболы, то касательная в любой точки X гиперболы является биссектрисой угла ∠F1XF2.

2. Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.

3. Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей , а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.

4. Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу , для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними.

Свойства гиперболы:

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу ). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния r i от точки гиперболы до фокуса F i к расстоянию d i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

42. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная.

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r 1 - r 2 | = 2a , откуда Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить

- каноническое уравнение гиперболы . (11.3)

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная называется эксцентриситетом гиперболы

Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

Эксцентриситет:

Определение 11.7. Директрисой D i гиперболы, отвечающей фокусу F i , называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

43.Случай сопряжённой,вырожденной гиперболы (НЕ ПОЛНОСТЬЮ)

Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу , для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной . Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными .

Здравствуйте, уважаемые читатели блога сайт. Все мы в жизни хоть раз говорили или слышали подобные выражение (а кто-то и не раз): ВЕЧНО ОПАЗДЫВАЕТЕ или СТО ЛЕТ НЕ ВИДЕЛИСЬ.

И мало кто задумывался, что эти фразы лишены какого-то здравого смысла. Так, человек просто не может «вечно опаздывать». И не может кто-то не видиться «сто лет», хотя бы потому, что люди редко так долго живут.

Подобные преувеличения в русском языке называются гиперболами и именно о них пойдет речь в этой публикации.

Гипербола - это красивое преувеличение

Само это слово греческое – «hyperbole» и обозначает оно «чрезмерность, избыток, преувеличение».

Гипербола – это одно из средств усиления эмоциональной оценки , заключающееся в чрезмерном преувеличении каких-либо явлений, качеств, свойств или процессов. Благодаря этому создается более впечатляющий образ.

Причем часто преувеличение доходит до совершенно непостижимых понятий, иногда даже . Любой иностранец, если будет переводить дословно, будет явно озадачен. Мы же давно к ним привыкли, и воспринимаем их как совершенно нормальные.

Вот примеры наиболее часто используемых в обиходе гипербол:

НАПУГАТЬ ДО СМЕРТИ
ТЫСЯЧА ИЗВИНЕНИЙ
ХОТЬ ЗАЛЕЙСЯ
РЕКИ КРОВИ
ГОРЫ ТРУПОВ
ЖДУ ЦЕЛУЮ ВЕЧНОСТЬ
ЕХАТЬ ЗА ТЫСЯЧУ КИЛОМЕТРОВ
ВЕСЬ ДЕНЬ ПРОСТОЯЛА
КУЧА ДЕНЕГ
ПИР НА ВЕСЬ МИР
МОРЕ СЛЕЗ
НЕ ВИДЕЛИСЬ 100 ЛЕТ
ОКЕАН СТРАСТЕЙ
ВЕСИТ СТО ПУДОВ
ЗАДУШИТЬ В ОБЪЯТЬЯХ
ИСПУГАТЬСЯ ДО СМЕРТИ

Все перечисленные выражения мы постоянно используем в разговорной речи. И ради эксперимента просто попробуйте разобрать их дословно и увидите, насколько некоторые из них смешны, а порой и абсурдны.

Ну, например, «хоть залейся» — это должно быть такое количество жидкости, чтобы ее хватило на целый бассейн, в который можно было бы погрузиться с головой. Хотя на самом деле мы этим выражением просто хотим сказать, что напитков у нас много — даже больше чем нужно.

Или фраза «куча денег» на самом ведь деле обозначает просто хорошее финансовое состояние, а не то, что человек собрал все свои сбережения и давай их складывать в одну кучу.

А выражение «ехать за тысячу километров» мы употребляем, ни когда речь идет о реальном расстоянии, например, от Москвы до Волгограда или Ростова-на-Дону. А просто в значении «далеко», хотя на самом деле в реальных цифрах там расстояние может быть всего в несколько километров.

И так можно «развенчать» абсолютно любую гиперболу. Но делать этого не стоит. Они и не должны означать абсолютную правду, их задача – наиболее живописно охарактеризовать конкретную ситуацию или мысль, усиливая ее эмоциональный окрас .

Примеры гипербол в художественной литературе

На самом деле подобные преувеличения – это очень старый литературный прием. Он использовался , а это было без малого тысячу лет назад. С помощью гипербол многократно усиливали силу богатырей и их противников.

Сон богатырский длился 12 ДНЕЙ (ну не может человек спать почти две недели)

На пути богатыря стояли силы несметные – ВОЛК ИХ ЗА ДЕНЬ НЕ ОБЕЖИТ, ВОРОН ЗА ДЕНЬ НЕ ОБЛЕТИТ (это сколько врагов должно быть – миллион?)

Махнет богатырь рукой – СРЕДИ ВРАГОВ УЛИЦА, махнет другой – ПЕРЕУЛОК (то есть одним ударом богатырь убивает сразу несколько десятков)

Взял Илья Муромец палицу ВЕСОМ СТО ПУДОВ (тут надо понимать, что сто пудов – это полторы тонны)

Соловей-разбойник свистит – ЛЕС К ЗЕМЛЕ КЛОНИТСЯ, а ЛЮДИ МЕРТВЫМИ ПАДАЮТ (ну тут совсем что-то из разряда сказки)

Точно такие же гиперболы встречаются и в «Слове о полку Игореве» . Например:

«Русичи червлеными щитами перегородили широкие поля, ища себе честь, а князю славы» или «Войско такое, что можно Волгу веслами расплескать, а Дон вычерпать шлемами».

Среди писателей больше всего гипербол встречается у Николая Васильевича Гоголя . Преувеличения есть практически в каждом его известном произведении. Вот, например, он описывает реку Днепр:

Редкая птица долетит до середины Днепра.
Днепр как дорога без конца в длину и без меры в ширину.

Или использует преувеличения в своих , вкладывая их в уста героев:

В муку бы вас все стер! (Городничий)
Тридцать пять тысяч одних курьеров… Меня сам государственный совет боится. (Хлестаков)

А в «Мертвых душах» есть такие слова: «Бесчисленны человеческие страсти как морские пески».

Гиперболы использует практически любой писатель или поэт. С их помощью они, например, более красочно описывают характер героев произведений или показывают свое авторское отношение к ним.

Причем писатели зачастую не используют уже устоявшиеся выражения, а стараются придумать что-то свое.

Вот еще примеры гипербол в литературе :

1. И ядрам пролетать мешала гора кровавых тел (Лермонтов)
2. Закат пылал во сто сорок солнц (Маяковский)
3. Миллион терзаний (Грибоедов)
4. Порядочный человек за вас за тридевять земель готов убежать (Достоевский)
5. И сосна до звезд достает (Мандельштам)
6. Во сне дворник стал тяжелым как комод (Ильф и Петров)

Примеры гипербол в рекламе

Конечно, мимо такого интересного приема, который позволяет усилить реальное значение слов , не могли пройти и рекламщики. Масса слоганов основана на этом принципе. Ведь задача – привлечь внимание клиента, обещая при этом «золотые горы» и всячески подчеркивая уникальность товара:

1. Вкус на грани возможного (жевательная резинка «Стиморол»)
2. Контроль над стихией (кроссовки «Адидас»)
3. Король салатов (майонез «Оливьез»)

В создании рекламных роликов также часто используется принцип гиперболы. Например, серия знаменитых видео про батончики «Сникерс» со слоганом «Ты не ты, когда голоден». Там, где различные персонажи превращаются в совершенно других людей и начинают творить всякие глупости, и только шоколадный батончик способен вернуть их в привычную русло.

В этих роликах явно гиперболизировано (сильно преувеличено) чувство голода и «чудодейственная» сила самого «Сникерса».

Ну и самый простой пример гипербол, который применяют в рекламе, это выражения типа «самый лучший», «самый стильный», «самый комфортный» и так далее, а про цены, наоборот, говорят «самые низкие».

Вместо заключения

Придать большую выразительность и эмоциональную окраску любому выражению можно не только с помощью гиперболы. Есть в русском языке прием, который является ее полной противоположностью. Он не преувеличивает, а, наоборот, уменьшает значение.

Не успеешь глазом моргнуть, а годы уже пролетели.

Называется такой прием « ». Об этом подробно – в нашей следующей статье.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога сайт

Вам может быть интересно

Что такое инсинуация: значение слова, характеристика, примеры Многозначные слова - это примеры разных граней русского языка Синекдоха - это пример метонимии в русском языке Фамильярность: значение слова, примеры Профанация - это невежество профанов, которые считают способным оскорблять то, что не доступно их пониманию Что такое риторический вопрос и для чего он предназначен Эвфемизм - это фиговый листок русского языка Аллюзии - это новое с намеком на старое Ассонанс - это единство гласных Диалектизмы - это слова с местным колоритом Литота - это преуменьшение и смягчение для создания образа

Исследуя гиперболу с помощью построений, подобных построениям, проведенным для исследования эллипса, мы обнаружим, что гипербола обладает свойствами, аналогичными свойствам эллипса.

Рассечем прямой круговой конус плоскостью б, пересекающей обе его плоскости, т.е. параллельной двум его образующим. В сечении получится гипербола. Проведем через ось ST конуса плоскость АSB, перпендикулярную к плоскости б.

Впишем в конус два шара - один в одну его полость, другой в другую, так чтобы каждый из них касался конической поверхности и секущей плоскости. Пусть первый шар касается плоскости б в точке F 1 и касается конической поверхности по окружности UґVґ. Пусть второй шар касается плоскости б в точке F 2 и касается конической поверхности по окружности UV.

Выберем на гиперболе произвольную точку М. Проведем через нее образующую конуса МS и отметим точки d и D, в которых она коснется первого и второго шаров. Соединим точку М с точками F 1 , F 2 , которые назовем фокусами гиперболы. Тогда МF 1 =Md, так как оба отрезка являются касательными к первому шару, проведенными из точки М. Аналогично МF 2 =MD. Вычитая почленно из первого равенства второе, найдем

МF 1 -МF 2 =Md-MD=dD,

где dD - величина постоянная (как образующую конуса с основаниями UґVґ и UV), не зависящая от выбора точки М на гиперболе. Обозначим через Р и Q точки, в которых прямая F 1 F 2 пересекает гиперболу. Эти точки Р и Q называются вершинами гиперболы. Отрезок РQ называется действительной осью гиперболы. В курсе элементарной геометрии доказывается, что dD=PQ. Поэтому МF 1 -MF 2 =PQ.

Если точка М будет находиться на той ветви гиперболы, около которой расположен фокус F 1 , то МF 2 -MF 1 =PQ. Тогда окончательно получаем МF 1 -MF 2 =PQ.

Модуль разности расстояний произвольной точки М гиперболы от ее фокусов F 1 и F 2 есть величина постоянная, равная длине действительной оси гиперболы.

Уравнение гиперболы

Примем основное свойство гиперболы за ее определение: Гипербола - это геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная длине ее действительной оси.

Пусть длина отрезка F 1 F 2 =2с, а длина действительной оси равна 2а. Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рисунке 5. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 (с, 0) и F 2 (-с, 0). Очевидно, 2а<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 =2а (5) является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данной гиперболе. Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

r 1 =, r 2 =. Вернемся к равенству (5):

Возведем в квадрат обе части равенства

(х+с) 2 +у 2 =4а 2 ±4а+(х-с) 2 +у 2

Сокращая, получаем:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4а=4а 2 -4 хс

а 2 х 2 -2а 2 хс+а 2 с 2 +а 2 у 2 =а 4 -2а 2 хс+х 2 с 2

х 2 (с 2 -а 2) - а 2 у 2 = а 2 (с 2 -а 2) (6)

Заметим, что с 2 -а 2 >0. Обозначим с 2 -а 2 =b 2 . Уравнение (6) будет иметь вид: b 2 х 2 -а 2 у 2 =а 2 b 2 . Выполним преобразование, приводящее уравнение гиперболы к каноническому виду, а именно поделим обе части уравнения на а 2 b 2: (7) - каноническое уравнение гиперболы, величины а и b - соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы.

Мы должны убедиться в том, что уравнение (7), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (5*), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (7), величины r 1 и r 2 удовлетворяют соотношению (5). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формулы эллипса, найдем для r 1 и r 2 следующие выражения:

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем r 1 -r 2 =2а, и поэтому она располагается на гиперболе.