Свойства числовых неравенств объяснение. Основные свойства числовых неравенств

Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности (п. 6, стр. 35): для любых чисел а, b имеет место одно и только одно из трех соотношений: или . При этом запись а > b означает, что разность положительна, а запись разность отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа.

Соотношения назовем неравенствами, числа а и b - членами (или частями) неравенства, знаки > (больше) и Неравенства а > b и с > d называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства а > b и с Из определения неравенства сразу следует, что

1) любое положительное число больше нуля;

2) любое отрицательное число меньше нуля;

3) любое положительное число больше любого отрицательного числа;

4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.

Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число.

Неравенства обладают следующими основными свойствами.

1. Несимметричность (необратимость): если , то , и обратно.

Действительно, если разность положительна, то разность отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный.

2. Транзитивность: если , то . Действительно, из положительности разностей следует и положительность

Кроме знаков неравенства применяют также знаки неравенства и Они определяются следующим образом: запись означает, что либо либо Поэтому, например, можно писать , а также . Обычно неравенства, записанные с помощью знаков называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков нестрогими неравенствами. Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств.

Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами.

3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.

Доказательство. Пусть даны неравенство и произвольное число . По определению разность положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа от чего оно не изменится, т. е.

Это равенство можно переписать так:

Из этого следует, что разность положительна, т. е. что

а это и надо было доказать.

На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства

следует, что

4. При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.

Доказательство. Пусть тогда Если то так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим , т. е. . Аналогичным образом рассматривается случай .

Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число равносильно умножению на число а числа имеют одинаковые знаки.

5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется.

Доказательство. Пусть этом случае по свойству транзитивности и . Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции при и положительном будем иметь

В частности, если где -натуральное число, то получим

т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется.

Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени.

Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство!

Все сказанное о возведении неравенств в степень полезно проверить на следующем примере.

Пример 1. Возвести в указанную степень следующие неравенства, изменив в случае необходимости знак неравенства на противоположный или на знак равенства.

а) 3 > 2 в степень 4; б) в степень 3;

в) в степень 3; г) в степень 2;

д) в степень 5; е) в степень 4;

ж) 2 > -3 в степень 2; з) в степень 2,

6. От неравенства можно перейти к неравенству между если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла:

Доказательство. Если а и b - одного знака, то их произведение положительно. Разделим на неравенство

т. е. , что и требовалось получить.

Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин.

Пример 2. Проверить последнее свойство 6 на следующих неравенствах:

7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).

Пусть . Тогда при будет

а при будет

Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание и убывает при

Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по положительному основанию, меньшему единицы, - неравенство противоположного смысла.

8. Если , то если , но , то .

Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции (п. 42), которая возрастает в случае и убывает, если

При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.

Доказательство. Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства

По определению числа будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е.

Группируя иначе слагаемые, получим

и, следовательно,

а это и надо было доказать.

Нельзя сказать Ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла.

10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.

Доказательство. Пусть даны два неравенства разного смысла. Второе из них по свойству необратимости можно переписать так: d > с. Сложим теперь два неравенства одинакового смысла и получим неравенство

того же смысла. Из последнего находим

а это и надо было доказать.

Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла.

Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Бернулли, Коши - Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств.

Формулы основных неравенств

Формулы универсальных неравенств

Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств.

1) | a ± b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 ± a 2 ± ... ± a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Равенство имеет место только при a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Неравенство Коши - Буняковского

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α a k = β b k для всех k = 1, 2, ..., n и некоторых α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Неравенство Минковского , при p ≥ 1

Формулы выполнимых неравенств

Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин.

1) Неравенство Бернулли:
.
В более общем виде:
,
где , числа одного знака и больше, чем -1 : .
Лемма Бернулли:
.
См. «Доказательства неравенств и леммы Бернулли ».

2)
при a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Неравенство Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Обобщенные неравенства Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n и k натуральном
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Свойства неравенств

Свойства неравенств - это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях x i (i = 1, 2, 3, 4) , принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу.

1) При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный.
Если x 1 < x 2 , то x 2 > x 1 .
Если x 1 ≤ x 2 , то x 2 ≥ x 1 .
Если x 1 ≥ x 2 , то x 2 ≤ x 1 .
Если x 1 > x 2 , то x 2 < x 1 .

2) Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака.
Если x 1 = x 2 , то x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2 , то x 1 = x 2 .

3) Свойство транзитивности
Если x 1 < x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 < x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 ≤ x 3 .

4) К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число.
Если x 1 < x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Если x 1 ≤ x 2 , то x 1 + A ≤ x 2 + A .
Если x 1 ≥ x 2 , то x 1 + A ≥ x 2 + A .
Если x 1 > x 2 , то x 1 + A > x 2 + A .

5) Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить.
Если x 1 < x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 < x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при сложении получается строгое неравенство.

6) Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число.
Если x 1 < x 2 и A > 0 , то A · x 1 < A · x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и A > 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Если x 1 ≥ x 2 и A > 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Если x 1 > x 2 и A > 0 , то A · x 1 > A · x 2 .

7) Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2 и A < 0 , то A · x 1 > A · x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и A < 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Если x 1 ≥ x 2 и A < 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Если x 1 > x 2 и A < 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга.
Если x 1 < x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 < x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 ≤ x 2 · x 4 .
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при умножении получается строгое неравенство.

9) Пусть f(x) - монотонно возрастающая функция. То есть при любых x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится.
Если x 1 < x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Если x 1 ≤ x 2 , то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Если x 1 ≥ x 2 , то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Если x 1 > x 2 , то f(x 1) > f(x 2) .

10) Пусть f(x) - монотонно убывающая функция, То есть при любых x 1 > x 2 , f(x 1) < f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2 , то f(x 1) > f(x 2) .
Если x 1 ≤ x 2 , то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Если x 1 ≥ x 2 , то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Если x 1 > x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .

Методы решения неравенств

Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x , и оно имеет вид:
f(x) > 0
где f(x) - непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, <, ≤ .

Метод интервалов заключается в следующем.

1) Находим область определения функции f(x) и отмечаем ее интервалами на числовой оси.

2) Находим точки разрыва функции f(x) . Например, если это дробь, то находим точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Отмечаем эти точки на числовой оси.

3) Решаем уравнение
f(x) = 0 .
Корни этого уравнения отмечаем на числовой оси.

4) В результате числовая ось окажется разбитой точками на интервалы (отрезки). Внутри каждого интервала, входящего в область определения, выбираем любую точку и в этой точке вычисляем значение функции. Если это значение больше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „+“ . Если это значение меньше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „-“ .

5) Если неравенство имеет вид: f(x) > 0 , то выбираем интервалы с знаком „+“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0 , то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0 . То есть часть интервалов, возможно, будут иметь закрытые границы (граница принадлежит интервалу). другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу).
Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0 , то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0 .

Решение неравенств, применяя их свойства

Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Множество всех действительных чисел можно представить, как объединение трех множеств: множество положительных чисел, множество отрицательных чисел и множество состоящее из одного числа - число нуль. Для того чтобы указать, что число а положительно, пользуются записью а > 0 , для указания отрицательного числа используют другую запиь a < 0 .

Сумма и произведение положительных чисел также являются положительными числами. Если число а отрицательно, то число -а положительно (и наоборот). Для любого положительного числа а найдется такое положительное рациональное число r , что r < а . Эти факты и лежат в основе теории неравенств.

По определению неравенство а > b (или, что то же самое, b < a) имеет место в том и только в том случае, если а - b > 0, т. е. если число а - b положительно.

Рассмотрим, в частности, неравенство а < 0 . Что означает это неравенство? Согласно приведенному выше определению оно означает, что 0 - а > 0 , т. е. -а > 0 или, иначе, что число -а положительно. Но это имеет место в том и только в том случае, если число а отрицательно. Итак, неравенство а < 0 означает, что число а отрицательно.

Часто используется также запись аb (или, что то же самое, bа ).
Запись аb , по определению, означает, что либо а > b , либо а = b . Если рассматривать запись аb как неопределенное высказывание, то в обозначениях математической логики можно записать

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Пример 1. Верны ли неравенства 5 0, 0 0?

Неравенство 5 0 - это сложное высказывание состоящее из двух простых высказываний связанных логической связкой "или" (дизъюнкция). Либо 5 > 0 либо 5 = 0. Первое высказывание 5 > 0 - истинно, второе высказывание 5 = 0 - ложно. По определению дизъюнкции такое сложное высказывание истинно.

Аналогично обсуждается запись 00.

Неравенства вида а > b, а < b будем называть строгими, а неравенства вида ab, ab - нестрогими.

Неравенства а > b и с > d (или а < b и с < d ) будем называть неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b и c < d - неравенствами противоположного смысла. Отметим, что эти два термина (неравенства одинакового и противоположного смысла) относятся лишь к форме записи неравенств, а не к самим фактам, выражаемым этими неравенствами. Так, по отношению к неравенству а < b неравенство с < d является неравенством того же смысла, а в записи d > c (означающей то же самое) - неравенством противоположного смысла.

Наряду с неравенствами вида a > b , ab употребляются так называемые двойные неравенства, т. е. неравенства вида а < с < b , ас < b , a < cb ,
a cb . По определению запись

а < с < b (1)
означает, что имеют место оба неравенства:

а < с и с < b.

Аналогичный смысл имеют неравенства асb, ас < b, а < сb.

Двойное неравенство (1) можно записать так:

(a < c < b) [(a < c) & (c < b)]

а двойное неравенство a ≤ c ≤ b можно записать в следующем виде:

(a c b) [(a < c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Перейдем теперь к изложению основных свойств и правил действий над неравенствами, договорившись, что в данной статье буквы a, b, с обозначают действительные числа, а n означает натуральное число.

1) Если а > b и b > с, то a > с (транзитивность).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как по условию а > b и b > c , то числа а - b и b - с положительны, и, следовательно, число а - с = (а - b) + (b - с) , как сумма положительных чисел, также является положительным. Это означает, по определению, что а > с .

2) Если а > b, то при любом с имеет место неравенство а + с > b + c.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как а > b , то число а - b положительно. Следовательно, число (а + с) - (b + с) = a + c - b - c = а - b также является положительным, т. е.
a + с > b + с.

3) Если a + b > c, то a > b - c , т. е. любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Доказательство вытекает из свойства 2) достаточно к обеим частям неравенства а + b > с прибавить число - b.

4) Если а > b и с > d, то а + с > b + d, т. е. при сложении двух неравенств одного и того же смысла получается неравенство того же смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

В силу определения неравенства достаточно показать, что разность
(а + с} - (b + c) положительна. Эту разность можно записать следующим образом:
(a + c) - (b + d) = {а - b) + (с - d) .
Так как по условию числа а - b и с - d положительны, то (a + с) - (b + d) также есть число положительное.

Следствие. Из правил 2) и 4) вытекает следующее Правило вычитания неравенств: если а > b, с > d , то a - d > b - с (для доказательства достаточно к обеим частям неравенства а + с > b + d прибавить число - c - d ).

5) Если а > b, то при с > 0 имеем ас > bc, а при с < 0 имеем ас < bc.

Иначе говоря, при умножении обеих частей неравенства ни положительное число знак неравенства сохраняется (т. е. получается неравенство, того же смысла), а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (т. е. получается неравенство противоположного смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если а > b , то а - b есть число положительное. Следовательно, знак разности ас-bс = с(а - b) совпадает со знаком числа с : если с - положительное число, то и разность ас - bc положительна и потому ас > bс , а если с < 0 , то эта разность отрицательна и потому bc - ас положительно, т. е. bc > ас .

6) Если а > b > 0 и с > d > 0, то ас > bd, т. е. если все члены двух неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном умножении этих неравенств получается неравенство того же смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Имеем ас - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b{c - d) . Так как с > 0, b > 0, a - b > 0, с - d > 0, то ас - bd > 0, т. е. ас > bd.

Замечание. Из доказательства видно, что условие d > 0 в формулировке свойства 6) несущественно: для справедливости этого свойства достаточно, чтобы были выполнены условия a > b > 0, с > d, с > 0 . Если же (при выполнении неравенств a > b, с > d ) числа а, b, с не будут все положительными, то неравенство ас > bd может не выполняться. Например, при а = 2, b =1, c = -2, d = -3 имеем a > b, с > d , но неравенство ас > bd (т. е. -4 > -3) не выполнено. Таким образом, требование положительности чисел а, b, с в формулировке свойства 6) существенно.

7) Если a ≥ b > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

ИмеемЧислитель дроби, стоящей в правой части, положителен (см. свойства 5), 6)), знаменатель также положителен. Следовательно,. Этим свойство 7) доказано.

Замечание. Отметим важный частный случай правила 7), получающийся при а = b = 1: если с > d > 0, то. Таким образом, если члены неравенства положительны, то при переходе к обратным величинам получаем неравенство противоположного смысла. Предлагаем читателям проверить, что это правило сохраняется и в7) Если ab > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).

Д о к а з а т е л ь с т в о. то.

Мы доказали выше несколько свойств неравенств, записанных с помощью знака > (больше). Однако все эти свойства можно было бы формулировать с помощью знака < (меньше), так как неравенство b < а означает, по определению, то же самое, что и неравенство а > b . Кроме того, как это нетрудно проверить, доказанные выше свойства сохраняются и для нестрогих неравенств. Например, свойство 1) для нестрогих неравенств будет иметь следующий вид: если аb и bс , то ас .

Разумеется, сказанным выше не ограничиваются общие свойства неравенств. Существует еще целый ряд неравенств общего вида, связанных с рассмотрением степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций. Общий подход для написания такого рода неравенств заключается в следующем. Если некоторая функция у = f(х) монотонно возрастает на отрезке [а, b] , то при x 1 > x 2 (где x 1 и x 2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) > f(x 2). Аналогично, если функция y = f{x) монотонно убывает на отрезке [а, b] , то при х 1 > х 2 (где х 1 и х 2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) < f(x 2 ). Разумеется, сказанное не отличается от определения монотонности, но для запоминания и написания неравенств этот прием очень удобен.

Так, например, для любого натурального n функция у = х n является монотонно возрастающей на луче }