Структурные средние - мода, медиана, квантиль, дециль. Структурные средние величины Медианная сумма

что такое медиана набора чисел? и как найти медиану 13, 19, 24, 17, 15, 11 ??? и получил лучший ответ

Ответ от Ўлия Деркач[гуру]
Медианой набора чисел называется такое число, которое разделяет набор на две равные по численности части. Вместо “медиана” можно было бы сказать “середина”.
1. Нужно написать числа в порядке возрастания (составить ранжированный ряд)
11,13,15,17,19,24
2. Одновременно зачеркиваем “самое большое” и “самое маленькое” числа данного набора чисел до тех пор пока не останется одно число или два числа.
3. Если осталось одно число, то оно и есть медиана.
4. Если осталось два числа, то медианой будет среднее арифметическое двух оставшихся чисел.
Ме= 15+17/2=16

Ответ от A.R.E. R.U. [активный]
Расположи их в порядке возрастания. То, что посередине и будет медианой.
Если их четное количество (как в твоем случае) , то медианой будет среднее арифметическое 2-х серединных чисел.
11, 13, 15, 17, 19, 24
(15+17)/2=16.

Ответ от Пользователь удален [эксперт]
расположи числа по порядку и в середине ряда будет твоя "медиана" обычно дают нечетное число чисел...а у тебя их 6?

Ответ от 3 ответа [гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: что такое медиана набора чисел? и как найти медиану 13, 19, 24, 17, 15, 11 ???

Медиана треугольника, так же, как и высота служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы - это, как штрих-код на товаре, наша задача просто уметь его считать.

Определение

Медиана - это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

Свойства медиан

• Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
• Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
• Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольника.

Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника.

• Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
• Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Задачи

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

• В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенуза через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Найдем значение медианы: $$m={c\over2}={5\over2}=2,5$$ - получившееся число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

• В треугольнике известны значения сторон: a=7; b=8; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

$$m^2 ={1\over2}*(a^2+c^2-b^2)$$

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего - вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая.

Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=\sqrt{{1\over2}*(a^2+c^2-b^2)}$$

$$m=\sqrt{{1\over2}*(49+81-64)}=\sqrt{33}$$ - оставим результат в виде корня.

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

$$S={1\over2}*6*8=24$$

Площадь каждого из малых треугольников: $${24\over6}=4$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.7 . Всего получено оценок: 87.

Мода и медиана – особого рода средние, которые используются для изучения структуры вариационного ряда. Их иногда называют структурными средними, в отличие от рассмотренных ранее степенных средних.

Мода – это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности, т.е. имеет наибольшую частоту.

Мода имеет большое практическое применение и в ряде случаев только мода может дать характеристику общественных явлений.

Медиана – это варианта, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которой достигла половина единиц совокупности. Применение медианы наряду со средней или вместо нее целесообразно при наличии в вариационном ряду открытых интервалов, т.к. для вычисления медианы не требуется условное установление границ отрытых интервалов, и поэтому отсутствие сведений о них не влияет на точность вычисления медианы.

Медиану применяют также тогда, когда показатели, которые нужно использовать в качестве весов, неизвестны. Медиану применяют вместо средней арифметической при статистических методах контроля качества продукции. Сумма абсолютных отклонений варианты от медианы меньше, чем от любого другого числа.

Рассмотрим расчет моды и медианы в дискретном вариационном ряду:

Определить моду и медиану.

Мода Мо = 4 года, так как этому значению соответствует наибольшая частота f = 5.

Т.е. наибольшее число рабочих имеют стаж 4 года.

Для того, чтобы вычислить медиану, найдем предварительно половину суммы частот. Если сумма частот является числом нечетным, то мы сначала прибавляем к этой сумме единицу, а затем делим пополам:

Медианой будет восьмая по счету варианта.

Для того, чтобы найти, какая варианта будет восьмой по номеру, будем накапливать частоты до тех пор, пока не получим сумму частот, равную или превышающую половину суммы всех частот. Соответствующая варианта и будет медианой.

Ме = 4 года.

Т.е. половина рабочих имеет стаж меньше четырех лет, половина больше.

Если сумма накопленных частот против одной варианты равна половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Вычисление моды и медианы в интервальном вариационном ряду

Мода в интервальном вариационном ряду вычисляется по формуле

где Х М0 - начальная граница модального интервала,

h м 0 – величина модального интервала,

f м 0 , f м 0-1 , f м 0+1 – частота соответственно модального интервала, предшествующего модальному и последующего.

Модальным называется такой интервал, которому соответствует наибольшая частота.

Пример 1

Определить моду и медиану.

Модальный интервал , т.к. ему соответствует наибольшая частота f = 35. Тогда:

Хм 0 =6, fм 0 =35

h м 0 =2, fм 0-1 =20

fм 0+1 =11

Вывод: Наибольшее число рабочих имеет стаж примерно 6,7 лет.

Для интервального ряда Ме вычисляется по следующей формуле:

где Хм е – нижняя граница медиального интервала,

hм е – величина медиального интервала,

– половина суммы частот,

fм е – частота медианного интервала,

Sм е-1 –сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному.

Медианный интервал – такой интервал, которому соответствует кумулятивная частота, равная или превышающая половину суммы частот.

Определим медиану для нашего примера.

т.к 82>50, то медианный интервал .

Хм е =6, fм е =35,

hм е =2, Sм е-1 =47,

Вывод: Половина рабочих имеет стаж меньше 6,16 лет, а половина имеет стаж больше, чем 6,16 лет.

Центральную тенденцию данных можно рассматривать не только, как значение с нулевым суммарным отклонением (среднее арифметическое) или максимальную частоту (мода), но и как некоторую отметку (значение в совокупности), делящую ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Половина исходных данных меньше этой отметки, а половина – больше. Это и есть медиана .

Итак, медиана в статистике – это уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины. Значения в одной половине меньше, а в другой больше медианы. В качестве примера обратимся к набору случайных чисел.

Очевидно, что при симметричном распределении середина, делящая совокупность пополам, будет находиться в самом центре – там же, где средняя арифметическая (и мода). Это, так сказать, идеальная ситуация, когда мода, медиана и средняя арифметическая совпадают и все их свойства приходятся на одну точку – максимальная частота, деление пополам, нулевая сумма отклонений – все в одном месте. Однако, жизнь не так симметрична, как нормальное распределение.

Допустим, мы имеем дело с техническими замерами отклонений от ожидаемой величины чего-нибудь (содержания элементов, расстояния, уровня, массы и т.д. и т.п.). Если все ОК, то отклонения, скорее всего, будут распределены по закону, близкому к нормальному, примерно, как на рисунке выше. Но если в процессе присутствует важный и неконтролируемый фактор, то могут появиться аномальные значения, которые в значительной мере повлияют на среднюю арифметическую, но при этом почти не затронут медиану.

Медиана выборки – это альтернатива средней арифметической, т.к. она устойчива к аномальным отклонениям (выбросам).

Математическим свойством медианы является то, что сумма абсолютных (по модулю) отклонений от медианного значения дает минимально возможное значение, если сравнивать с отклонениями от любой другой величины. Даже меньше, чем от средней арифметической, о как! Данный факт находит свое применение, например, при решении транспортных задач, когда нужно рассчитать место строительства объектов около дороги таким образом, чтобы суммарная длина рейсов до него из разных мест была минимальной (остановки, заправки, склады и т.д. и т.п.).

Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет.

Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле:

№ Me – номер значения, соответствующего медиане,

N – количество значений в совокупности данных.

Тогда медиана обозначается, как

Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений:

В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу.

Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал . Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал.

Не знаю, кто придумал формулу медианы, но исходили явно из того предположения, что распределение данных внутри медианного интервала равномерное (т.е. 30% ширины интервала – это 30% значений, 80% ширины – 80% значений и т.д.). Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале. Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой.

Обратимся к наглядной схеме.

Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид:

где x Me - нижняя граница медианного интервала;

i Me - ширина медианного интервала;

∑f/2 - количество всех значений, деленное на 2 (два);

S (Me-1) - суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;

f Me - число наблюдений в медианном интервале.

Как нетрудно заметить, формула медианы состоит из двух слагаемых: 1 – значение начала медианного интервала и 2 – та самая часть, которая пропорциональна недостающей накопленной доли до 50%.

Для примера рассчитаем медиану по следующим данным.

Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров.

По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану.

То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть.

Расчет медианы в Excel

Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА . Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать.

Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта:

Мода, медиана и среднее значение выборки – это разный способ определить центральную тенденцию в выборке.

• Примечание . В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен .

  Задача . Найти длину медианы треугольника через его стороны

  Стороны треугольника равны 8, 9 и 13 сантиметров. К наибольшей стороне треугольника проведена медиана. Определите медиану треугольника исходя из размеров его сторон.

  Решение .

  Задача имеет два способа решения. Первый, который не нравится учителям средней школы, но является наиболее универсальным.

  Способ 1 .

  Применим Теорему Стюарта, согласно которой квадрат медианы равен одной четвертой от суммы удвоенных квадратов сторон из которой вычли квадрат стороны, к которой проведена медиана.
  

  M c 2 = (2a 2 + 2b 2 - c 2) / 4

  Соответственно

  M c 2 = (2 * 8 2 + 2 * 9 2 - 13 2) / 4
  m c 2 = 30,25
  m c = 5,5 см

  Способ 2 .

  Второй способ решения, который преподаватели в школе любят - это дополнительные построения треугольника до параллелограмма и решение через теорему о диагоналях параллелограмма.

  Продлим стороны треугольника и медиану достроив их до параллелограмма. В этом случае медиана BO треугольника ABC будет равна половине диагонали получившегося параллелограмма, а две стороны треугольника AB, BC - его боковым сторонам. Третья сторона треугольника AC, к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма.

  

  Согласно теореме, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

  2(a 2 +b 2)=d 1 2 +d 2 2

  Обозначим диагональ параллелограмма, которая образована продолжением медианы исходного треугольника как х, получим:

  2(8 2 + 9 2) = 13 2 + x 2
  290 = 169 + x 2
  x 2 = 290 - 169
  x 2 = 121
  х = 11

  Поскольку искомая медиана равна половине диагонали параллелограмма, то величина медианы треугольника составит 11 / 2 = 5,5 см

  Ответ : 5,5 см