Стохастические уравнения. Стохастические дифференциальные уравнения

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) - дифференциальное уравнение , в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название - случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ - уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс (более подробно см. ).

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения , сделанными независимо Марианом Смолуховским ( г.) и Альбертом Эйнштейном ( г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее ( г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена , хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум . Вторая распространенная форма - уравнение Фоккера-Планка , которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Пусть , и пусть

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

для

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и -непрерывное решение , такое что - адаптированный процесс к фильтрации , генерируемое и , , и

Применение стохастических уравнений

Физика

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

где - набор неизвестных, и - произвольные функции, а - случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если - константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда . Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум - проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа . В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразованием первоначального уравнения в уравнение Фоккера-Планка . Уравнение Фоккера-Планка - дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло . Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

Теория вероятностей и финансовая математика

Биология

Химия

Ссылки

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Литература

Adomian George Stochastic systems. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983.
Adomian George Nonlinear stochastic operator equations. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
Adomian George Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989.
Øksendal Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. - Berlin: Springer, 2003. - ISBN ISBN 3-540-04758-1
Teugels, J. and Sund B. (eds.) Encyclopedia of Actuarial Science. - Chichester: Wiley, 2004. - P. 523–527.
C. W. Gardiner Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. - Springer, 2004. - P. 415.
Thomas Mikosch Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. - Singapore: World Scientific Publishing, 1998. - P. 212. - ISBN ISBN 981-02-3543-7
Bachelier, L., Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0 , 1900. - ISBN In English in 1971 book "The Random Character of the Stock Market" Eds. P.H. Cootner

Решение стохастических дифференциальных уравнений проиллюстрируем следующими примерами.

Пример 7.1. Процесс x(t) арифметического броуновского движения определяется начальным условием x(0)=x 0 и стохастическим дифференциальным уравнением

Решение. Применяя определение (7.3), получим

Пример 7.2. Процесс геометрического броуновского движения аналогично определяется начальным условием x(0 )=x 0 и стохастическим дифференциальным уравнением

Решение. Рассмотрим процесс

применяя к которому формулу дифференцирования Ито, получим

то есть h(t ) является процессом арифметического броуновского движения, поэтому в силу примера 7.1 его можно записать в виде

тогда в силу замены (7.9) процесс x(t ) представим в виде

Так как, , то окончательно запишем

следовательно

поэтому в силу замены (7.10) можно записать

Пример 7.4. Для процесса броуновского моста

Решение. В этом уравнении выполним замену

Применяя формулу дифференцирования Ито, получим

следовательно

поэтому в силу замены (7.11) можно записать

следовательно

поэтому в силу (7.12) можно записать

Найдём математическое ожидание и дисперсию этого процесса

в частности, получим

Так как приращения винеровского процесса на непересекающихся интервалах независимы, их математические ожидание равны нулю, а дисперсии равны длинам этих интервалов, то

и, в частности,

В силу равенств (7.14) и (7.13) можно говорить, что броуновский мост соединяет в среднем квадратическом точки и , что оправдывает название этого диффузионного случайного процесса.

Литература

1. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. – М.: Изд-во «Наука», 1969. – 512 с.

2. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.– 448 с.

3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 3-е, испр. и доп. – М. : КомКнига, 2005. – 400 с.

4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. – 448 с.

5. Маталыцкий М.А. Элементы теории случайных процессов: Учеб. пособие. – Гродно: ГрГУ, 2004. – 326 с.

6. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. – М.:ФИЗМАТЛИТ,2002. – 320 с.

7. Назаров А.А., Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных процессов: учеб. пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2006. – 204 с.

8. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2004.

9. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. – М.: Сов. Радио, 1971.

Введение. 1

Глава 1. Элементы теории случайных процессов. 2

Определение и описание случайного процесса. 2

Задачи для самостоятельного решения. 5

Статистические средние характеристики случайных процессов. 8

Стационарные случайные процессы.. 10

Свойства функции корреляции. 11

Эргодические случайные процессы.. 14

Задачи для самостоятельного решения. 16

Глава 2. Цепи Маркова с дискретным временем.. 21

Основные определения. 21

Цепи Маркова с дискретным временем.. 22

Классификация состояний цепи Маркова с дискретным временем.. 26

Структура периодического замкнутого класса. 29

Классификация состояний цепи Маркова по асимптотическим свойствам переходных вероятностей 30

Эргодические теоремы для цепей Маркова. 31

Вероятностно-временные характеристики цепи Маркова. 33

Задачи для самостоятельного решения. 38

Глава 3. Цепи Маркова с непрерывным временем.. 46

Дифференциальные уравнения Колмогорова. 48

Финальные вероятности. 51

Время перехода из одного состояния в другое. 52

Статистический смысл финальных (стационарных) вероятностей. 53

Время пребывания цепи Маркова в j -ом состоянии. 53

Процессы гибели и размножения. 55

Процесс чистого размножения. 57

Простейший поток. 57

Основные вероятностные характеристики простейшего потока. 60

Задачи для самостоятельного решения. 64

Глава 4. Элементы теории массового обслуживания. 70

Система массового обслуживания, основные определения и классификация. 70

Система M/M/1/¥ (с очередью) 74

Система M/M/N.. 75

Задачи для самостоятельного решения. 77

Глава 5. Непрерывные марковские процессы.. 83

Определение диффузионного случайного процесса. 84

Обратное уравнение Колмогорова. 85

Прямое уравнение Колмогорова. Уравнение Фоккера-Планка. 86

Некоторые частные случаи уравнения Фоккера-Планка. 86

Допредельная модель диффузионного процесса. 89

Глава 6. Стохастические интегралы.. 91

Стохастический интеграл в форме Ито. 91

Особенность стохастического интеграла в форме Ито. 91

Стохастический интеграл в форме Стратановича. 92

Связь интегралов Ито и Стратановича. 93

Глава 7. Стохастические дифференциальные уравнения. 94

Определение стохастических дифференциальных уравнений. Свойства их решений. 94

Формула дифференцирования Ито. 96

Решение стохастических дифференциальных уравнений. 97

Поведение многих реальных систем подвержено флуктуациям и в этом смысле не описывается строгими детерминированными законами. В качестве примеров можно указать броуновское движение, колебания стрелки гальванометра, флуктуации в электрических цепях и т. д. В таких случаях говорят о стохастических процессах, в которых рассматриваются вероятности реализации тех или иных конкретных условий. При этом уравнения, определяющие свойства системы, становятся уравнениями для случайных переменных, т.с. стохастическими уравнениями.

Различают три основных типа стохастических дифференциальных уравнений в соответствии с формами, в которых случайные элементы входят в уравнение:

1) случайные начальные условия;
2) случайные действующие силы;
3) случайные изменения коэффициентов уравнения, зависящих от параметров системы.

Типичный пример уравнения первого типа - это уравнение движения частицы, определяемое законами, когда случайный элемент обусловлен только неопределенностью начальных условий.

Во втором случае задается стохастический процесс, определяющий случайную действующую на систему силу. Типичный пример - броуновское движение частицы под действием случайных сил.

В третьем случае параметры системы представляют собой случайные переменные. Например, электрическая цепь, в которой случайным образом меняется емкость конденсатора.

Разумеется, возможны ситуации, когда случайные элементы возникают в результате комбинации различных действующих причин. В качестве примера, позволяющего проиллюстрировать описываемую проблему без детального анализа различных вероятностных моментов, рассмотрим стохастическое уравнение первого порядка:

которое описывает одномерное движение классической частицы под действием силы трения, пропорциональной скорости v(t)> и некоторой «случайной» силы, описываемой функцией u(t).

Отметим, что несмотря на то, что уравнение (1) формально выглядит как второй закон Ньютона и в этом смысле является «точным» для механического поведения классической частицы, в действительности оно является модельным, так как в нем использовано модельное выражение для силы сопротивления движению в сплошной среде.

Формальное решение уравнения (1) записывается в виде

однако случайный, непредсказуемый характер поведения функции u(t) делает невозможным обычный путь решения этого уравнения, связанный с вычислением входящего в выражение (2) интеграла.

Для дальнейшего решения задачи следует задать ансамбль реализаций случайной силы u(t) и провести усреднение всех фигу- рируемых в (2) величин по этому ансамблю. Обозначая средние значения угловыми скобками, получим

Простейший ансамбль реализаций случайной величины - это так называемый «белый шум», при котором справедливы соотношения

где 6(т) - 6-функция Дирака. Соотношения (4) соответствуют независимым случайным значениям величины u(t) в разные моменты времени. В случае «белого шума» (4) уравнение (3) дает т.е. средняя скорость частицы убывает со временем по экспоненциальному закону. Рассмотрим теперь (v 2 (f)). Учитывая равенство

с помощью (2) и (4) получим

При стремлении / ->

к величине, равной кТ/т , где к - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура. Поэтому С/2а = кТ/т, и соотношение (7) переписывается в виде

Равновесие практически устанавливается при значениях времени / » 1 / а. Приближение (4) используется при описании процессов типа броуновского движения, когда зависящая от скорости сила вязкого трения существует и в отсутствие флуктуаций воздействия среды на частицу, a u(t) описывает чисто случайную силу.

Теперь рассмотрим зависимость от времени координаты х броуновской частицы. Считая х(0) = 0, имеем

Для при этом получаем следующее выражение:

С помощью соотношений (2) и (4) для (v(s)v(p )) имеем:

Учитывая соотношения (4) и (8), корреляционной функции (v(s)v(p)) можно придать вид

после чего для (х 2 (/)) имеем

Выражение для среднего значения квадрата смещения частицы оказывается разным в двух предельных случаях больших (/ » 1 /а) и малых (/ / а) времен. С помощью (13) находим

Из (14) следует, что на больших временах броуновская частица движется стохастически. Наоборот, при малых временах, как следует из (15), система обнаруживает «динамическое поведение», хотя это поведение соответствует не отдельной частице, а некоторому усредненному образу, так как речь идет не о х 2 (/), а о среднем значении этой величины.

Отметим, что два последовательных характерных этапа эволюции системы, соответствующие формулам (14) и (15), возникают при использовании в уравнении (1) силы сопротивления, пропорциональной скорости. Сама такая сила устанавливается спустя некоторый промежуток времени / с, по истечении которого можно представить результат взаимодействия выделенной частицы с окружающими частицами как некоторую усредненную постоянно действующую силу. Поэтому в соотношении (15) более правильным будет записать t c На временах, меньших t c , поведение выбранной частицы описывается чисто динамически. В принятом подходе t c выступает именно как феноменологический параметр, оценить или вычислить который можно только в рамках более детальной модели.

При более общем подходе к описанию стохастических систем и, в частности, к описанию броуновского движения вводят представление о функциях распределения р(х 0 , / 0 |х, г), определяющих вероятность обнаружить броуновскую частицу в интервале (х, x + dx) в момент /, при условии, что в момент / 0 она была в точке Xq. (Для простоты опять рассматривается одномерное движение.) Функция распределения считается нормированной:

Кроме того, эта функция удовлетворяет начальному условию, поэтому

Вероятности переходов, взятые для последовательных промежутков времени, считаются независимыми, поэтому произведение

соответствует вероятности обнаружить частицу в момент времени t + dt в области (х, x + dx), если в момент / 0 она находилась в точке х 0 , а в момент/ - в области (х", х" + dx"). Проинтегрировав по всем промежуточным состояниям х" в момент /, получаем вероятность р(дсо, / 0 |х, t + dt). Поэтому

Это - уравнение Смолуховского (нелинейное интегральное уравнение). Оно служит основой для вывода линейного дифференциального уравнения Фоккера-Планка, широко используемого при рассмотрении свойств стохастических систем - динамических систем с флуктуирующими параметрами. Обобщение рассмотрения на трехмерный случай не представляет особого труда и приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Широкое распространение при изучении стохастических явлений самой различной природы получило так называемое master equation - управляющее уравнение

В этом соотношении w, - вероятность нахождения системы в состоянии, характеризуемом набором характеристик / (квантовых чисел, если речь идет о физической системе), Ру - вероятность перехода в единицу времени из состояния j в состояние /: Ру > 0. В теоретической физике уравнение (19) называется уравнением кинетического баланса Паули, а вероятности w, трактуются как диагональные элементы статистического оператора в собственном представлении.

Почти «очевидное» из интуитивных соображений, это уравнение может быть обосновано с помощью достаточно строгих соображений или выведено на основе других уравнений, например с помощью уравнения С мол ухо вс кого. Действительно, представим вероятность р(х", /| х, t + dt) в виде

где первое слагаемое в правой части характеризует вероятность частице остаться через dt в точке х", а второе - вероятность перейти за то же время dt в точку х. Учитывая условие нормировки (16), легко с помощью (20) получить соотношение

Подставляя (20) в уравнение Смолуховского (18), с учетом (21) приходим к соотношению

Из соотношения (22) непосредственно следует дифференциальное уравнение

которое в точности соответствует уравнению (19).

Управляющее уравнение (19) сохраняет нормировку распределения вероятностей и является уравнением релаксационного типа: описываемая этим уравнением система с течением времени необратимо рслаксирует к некоторому не зависящему от времени стационарному состоянию. Выбор того или иного модельного представления для вероятностей переходов /* позволяет использовать это уравнение для описания самых различных стохастических процессов. В частности, уравнение Паули содержит в себе в качестве частного случая кинетическое уравнение Больцмана и некоторые его квантовые обобщения.

Для удобства математического исследования этого уравнения оно переписывается в матричном виде для вектора состояния W с компонентами ш,:

где А - матрица перехода с элементами

При вещественных вероятностях переходов /* матрица Л эрмитова, т.е. ее собственные значения вещественны, а собственные векторы ортогональны. Формальное решение уравнения (24) записывается в виде

где W(0) - вектор состояния в начальный момент времени. Свойство эрмитовости матрицы Л позволяет легко доказать релаксационный характер уравнения (19).

Задачи и упражнения

1. Покажите, что v(t), определяемое формулой (2), является решение уравнения (1).
2. Докажите справедливость соотношений (6) и (7).
3. Получите соотношение (12).
4. Получите формулу (13) для (х 2 (/)}.
5. Используя (13), докажите соотношения (14) и (15).
6. Используя соотношения (5) и (9), найдите величину (*(/)) и проанализируйте результат в двух предельных случаях: at и я/»1. Сравните с соотношениями (14) и (15).
7. Получите соотношение (22).

Функция может описывать количество кроликов, скорость размножения которых тем больше, чем больше их уже родилось. Более экономический пример -- динамика роста средств производства, увеличение которых тем больше, чем больше их накоплено к данному моменту времени, или рост численности человечества по Мальтусу. Если , то это уравнение называют уравнением роста , в противном случае -- уравнением распада . В решении присутствует произвольная константа , для определения которой необходимо задать, например, начальное количество кроликов в момент времени .

Экспоненциальная функция растёт очень быстро. Если бы кролики размножались всё время только в соответствии с этим уравнением, Земля быстро стала бы белой и пушистой. На практике они не только размножаются, но и умирают. Относительное изменение численности популяции в общем случае может быть функцией . Разложим её в ряд , ограничившись линейной зависимостью. Второе слагаемое имеет смысл уменьшения относительного прироста в результате уничтожения природных ресурсов (из-за нехватки травы). Это происходит тем интенсивнее, чем больше численность популяции. В результате более реалистичное уравнение приводит к логистической функции , которая со временем выходит на стационарное значение (при ):

Решение уравнения (1.2) получается после замены . Асимптотически () равновесное значение легко найти из уравнения, в котором . Стоит напомнить, что (1.2) применимо и к приматам, считающим себя разумными и живущим на планете с ограниченными ресурсами, хотя само по себе логистическое уравнение носит оттенок каннибализма.

Дифференциальные уравнения впервые появились в классической механике. Действующая сила изменяет импульс частицы:

где точка сверху означает производную по времени , а -- массу частицы. К примеру, если сила линейна , то координата частицы совершает колебания с частотой . Так как уравнений два, возникают две константы. Поэтому необходимо задать два начальных условия для координаты и импульса .

Большинство экономических, биологических и физических систем может быть описано при помощи системы дифференциальных уравнений:

где -- вектор переменных, описывающих состояние системы. Векторная функция определяет её динамику. Любые дифференциальные уравнения, содержащие производные второго и более высоких порядков, можно свести к системе (1.4) введением новых динамических переменных. Примером этого служат уравнения механики в форме Гамильтона (1.3).

Мы записали (1.4) в виде изменения вектора за бесконечно малый интервал времени . Такое представление даёт простой алгоритм численного интегрирования уравнений (1.4) в ситуации, когда аналитическое решение получить не удаётся. Для этого бесконечно малые изменения заменяют на малые, но конечные , . В результате (1.4) соответствует дискретной итерационной схеме :

Задав начальный вектор , мы получаем его новое значение через интервал . Затем подставляем вместо и находим . Повторяя эту процедуру, мы приходим к последовательности значений вектора в дискретные моменты времени , , , и т.д. Чем меньше интервал времени , тем ближе численные значения схемы (1.5) будут приближаться к истинному решению уравнения (1.4).

Успехи естественных наук, использующих дифференциальные уравнения, за последние 300 лет впечатляют. Однако более аккуратное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что обыкновенные дифференциальные уравнения -- только часть правды.

В большинстве ситуаций изучаемая система подвержена непредсказуемым внешним воздействиям, которые делают динамику не такой гладкой. Летящий по параболе камень лишь в первом приближении следует математической кривой. Его неизбежный контакт с воздухом приводит к некоторым флуктуациям возле этой траектории. Ещё большая нерегулярность обнаруживается при переходе к небольшим объектам, которые, подобно броуновской пыльце, испытывают нерегулярные удары молекул и имеют совсем изломанную траекторию. Степень изломанности координат пыльцы в этом случае настолько велика, что её производную по времени уже нельзя определить.

По мере структурного усложнения природных систем роль стохастических (случайных) процессов возрастает. Кролики размножаются в соответствии с логистическим уравнением только в очень грубом приближении. Флуктуации численности популяции за счёт случайных внутренних и внешних факторов, не учитываемых простой моделью (1.2), на самом деле очень велики. Аналогично и рост экономики имеет экспоненциальный характер только в первом приближении. Функция в реальности сильно искажается экономическими подъёмами и спадами, имеющими стохастический, сложно предсказуемый характер. Наконец, в финансовом мире случайность является доминантой, которая определяет саму сущность рынков. Стохастика в этом случае, как и в броуновском движении, является не малой поправкой, а главным приближением к реальности.

Таким образом, наш мир не является детерминированным. Его истинное лицо -- вероятностное:

Обыкновенные дифференциальные уравнения -- это лишь первое приближение к реальности. Более адекватным инструментом исследования являются стохастические уравнения.

В наших лекциях будет обсуждаться математический аппарат, позволяющий совместить в одной упряжке две столь не похожие друг на друга сущности: детерминированную, гладкую динамику и скачкообразные, изломанные случайные процессы.

Говоря о внешнем шуме, нарушающем гладкую динамику, мы подразумеваем, что справедливо стохастическое уравнение следующего вида:

Оно описывает детерминированное (первое слагаемое) и случайное (второе) изменение переменных состояния системы . Так как предполагается малым, соответственно, определённым образом при уменьшении интервала времени должен уменьшаться и шум. Наши рассуждения будут посвящены корректному введению в дифференциальные уравнения шума , обладающего теми или иными свойствами.

Решением стохастического уравнения является случайная функция , которая зачастую существенно отличается от добропорядочной функции математического анализа. Если под увеличением рассмотреть сильно изгибающуюся обычную функцию, мы увидим, что она гладкая в малых масштабах. Стохастическая, случайная функция при любом увеличении может оставаться изломанной:

Несмотря на то, что случайная функция предполагается непрерывной, обычно это недифференцируемая функция. Действительно, производная представляет собой отношение при . Сколь малый интервал времени мы ни взяли бы, за счёт случайных факторов направление изменения функции может иметь непредсказуемо различный знак . В результате мы не получаем сходимости к определённому пределу. Понятно, что для такого многие факты математического анализа должны быть существенным образом пересмотрены.

Нас будут интересовать методы решения уравнений, подобных (1.6). В тех случаях, когда точное решение получить не удастся, мы будем использовать численное моделирование или приближенные аналитические соотношения. Излишне напоминать, что любой математический аппарат в конечном счёте разрабатывается для того, чтобы получить более мощные средства исследования окружающего мира. Поэтому за каждым уравнением или его решением необходимо видеть реальный случайный процесс в финансах, физике или биологии.

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Вернемся к динамическому уравнению первого порядка (система с 1/2 степени свободы), примером которого было уравнение для малых флуктуаций амплитуды в автогенераторе [первая формула (29.1)], т. е. уравнению вида

С таким же уравнением мы имеем дело в задачах о скорости и одномерного движения частицы массы в среде с вязким трением или о смещении s этой частицы, но лишенной массы и привязанной к пружине с коэффициентом упругости , или о напряжении V на емкости -контура , или о токе I в -контуре и т. д.

В соответствии со сказанным в § 28, мы рассчитываем на то, что при действии на динамическую систему (35.1) достаточно «густых» (по сравнению со временем установления ) однородных толчков отклик будет непрерывным однородным

марковским процессом с вероятностью перехода удовлетворяющей уравнению Эйнштейна - Фоккера

т. е. уравнению (29.2), но в одномерном случае, когда нет зависимости v от второй переменной. По способу, мотивированному в § 28, коэффициент в (35.2) приравнен выражению для х, т. е. правой части уравнения (35.1):

При начальном условии

решение уравнения (35.2) выражается нормальным законом

[см. (29.5) и (29.6)]. В пределе при , т. е. для t , формула (35.3) переходит в не зависящее от стационарное распределение . В задаче о скорости и частицы в вязкой среде, когда распределение должно быть максвелловским:

так что откуда Аналогичные выражения для В можно написать и в остальных перечисленных выше задачах - просто как следствие теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы: средняя энергия системы с 1/2 степени свободы должна быть равна (в данном случае

Такова при сделанных исходных допущениях чисто вероятностная схема решения задачи о флуктуациях. Теперь мы поступим иначе. Введем в уравнение (35.1) случайную (или флуктуационную) силу :

Если для конкретности рассуждать над задачей о движении частицы в неограниченной вязкой среде, то речь идет об уравнении движения

в котором воздействие среды на частицу разбито на две части: систематическую силу трения и случайную силу

Предполагая, что систематическая сила трения выражается законом Стокса (для сферической частицы радиуса а имеем , где вязкость жидкости), мы дёлаем два допущения.

Во-первых, должно быть выполнено условие ламинарности обтекания частицы, т. е. малости числа Рейнольдса:

где плотность жидкости. Если для и взять значение средней квадратичной скорости теплового движения [и - плотность вещества частицы], т. е. учесть самые быстрые дрожания частицы, то

При имеем что даже для молекулярных размеров а дает значение Таким образом, условие ламинарности выполнено.

Во-вторых, полная систематическая сила, действующая на шар, движущийся в вязкой несжимаемой жидкости, равна, согласно Буссине,

где - присоединенная масса, равная половине массы, вытесненной частицей жидкости. В уравнении (35.6) из полной силы F удержан только первый член. Но при второй и третий члены одного порядка с . В отношении это несущественно, так как роль этого члена сводится лишь к изменению эффективной массы частицы. Более важен третий член, выражающий вязкое гидродинамическое последействие (см. §§ 15 и 21), при учете которого система приобретает бесконечное множество степеней свободы.

При наличии вязкого (а тем самым и вероятностного) последействия средний квадрат смещения частицы был найден В. В. Владимирским и Я. П. Терлецким . Обычное выражение оказывается справедливым лишь для промежутков времени t, достаточно больших по сравнению со временем релаксации Мы ограничимся упрощенной постановкой задачи, основанной на уравнении (35.5).

Мы будем обращаться с этим стохастическим уравнением так, как если бы это было обычное дифференциальное уравнение.

Проинтегрировав его при начальном условии получаем

Так как по предположению усреднение (35.7) по ансамблю случайных сил дает

т. е. для х получается тот же динамический закон, что и из уравнения (35.1), и из уравнения Эйнштейна - Фоккера (35.2). Найдем теперь дисперсию . Согласно (35.7) и (35.8)

и, следовательно, для получения надо задать функцию корреляции случайной силы . Можно задать любую функцию корреляции, допускаемую общими ограничениями ее вида, но мы сделаем специальное предположение, а именно примем, что -стационарный дельта-коррелированный процесс:

где С - постоянная. Заметим, что тем самым импульс силы

представляет собой непрерывную случайную функцию с независимыми приращениями и, следовательно, распределен нормально при любом t (§ 34).

Подставив (35.10) в (35.9), находим

(35.11)

Если положить , то это совпадет с выражением (35.4) для полученным из уравнения Эйнштейна - Фоккера (35.2).

Мы нашли только моменты но можно утверждать больше. Поскольку приращение импульса распределено при всяком нормально, постольку разность представляет собою, согласно (35.7), сумму (или, точнее, предел суммы) нормально распределенных величин. Следовательно, распределение тоже дается гауссовым законом с дисперсией (35.11). Это условное распределение (при условии ), если принять просто совпадает с (35.3). Далее, нетрудно убедиться прямой подстановкой, что такого вида условные вероятности удовлетворяют уравнению Смолуховского (являются вероятностями перехода), т. е. процесс оказывается марковским. Таким образом, если в стохастическом дифференциальном уравнении (35.5) случайная сила ) стационарна и дельта-коррелирована [см. (35.10)], то отклик -диффузионный марковский процесс, у которого вероятность перехода удовлетворяет уравнению Эйнштейна - Фоккера с

Оба подхода - основанный на уравнении Эйнштейна - Фоккера и основанный на стохастическом дифференциальном уравнении для случайной функции -оказываются в рассмотренной задаче равносильными. Это, конечно, не означает их тождества за пределами этой задачи. Уравнение Эйнштейна - Фоккера обладает, например, несомненным преимуществом в тех случаях, когда наложены определенные ограничения множества возможных значений случайной функции (наличие отражающих или поглощающих стенок и т. п.), учитываемые просто соответствующими граничными условиями. При ланжевеновской постановке задачи введение такого рода ограничений довольно сложно. С другой стороны, как это уже было подчеркнуто, ланжевеновский метод не требует, чтобы сила обязательно была дельта-коррелирована.

Стоит, быть может, отметить, что как раз в случае дельта-коррелированной силы оперирование дифференциальным уравнением (35.5) имеет в известном смысле условный характер. Это уравнение написано не для х, а для мгновенного значения . Но при бесконечно-частых толчках отклик - не дифференцируемая функция, т. е. не существует (ни в каком из вероятностных смыслов понятия производной). Таким образом, все «дифференциальное уравнение» имеет лишь некий символический смысл. Это надо понимать следующим образом.

Формальное интегрирование уравнения (35.5) приводит к решению (35.7) для , в котором уже нет никаких неприятностей, поскольку оно содержит дельта-коррелированную дилу только под интегралом. Другими словами, уравнение (35.5) -

это (в рассматриваемом случае дельта-коррелированной силы) математически некорректная запись для последующего - уже вполне осмысленного и, в конечном счете, единственно интересующего нас - решения данного уравнения. Оправданием такого подхода являются хорошо известные преимущества оперирования дифференциальными уравнениями при постановке задачи - возможность исходить из общих динамических законов, возможность использования всего существующего арсенала математических средств для получения решения и т. д. Мы не говорим уже о том, что при не дельта-коррелированной все оговорки становятся излишними: стохастические дифференциальные уравнения для самих случайных функций приобретают тогда вполне определенное математическое содержание и, сверх того, позволяют выйти за пределы класса марковских процессов.

Постоянная С в функции корреляции (35.10) характеризует, очевидно, интенсивность случайных толчков. Вернемся к переменным, в которых сила и отклик системы энергетически сопряжены, т. е. произведение силы на производную отклика представляет собой мощность, отдаваемую системе. Это справедливо, например, для силы в уравнении (35.6), так как отдаваемая частице мощность равна . Уравнение (35.6) переходит в (35.5), будучи поделено на массу частицы т. Таким образом, так что функция корреляции настоящей силы в соответствии с (35.10), равна

Мы установили выше, что и что в задаче о скорости брауновской частицы . Следовательно, постоянная С в функции корреляции силы равна

т. е. связана только с коэффициентом систематического трения h. В задаче о токе в -контуре под надо понимать случайную тепловую (§ 28), а под h - активное сопротивление контура R, так что корреляционная постоянная для будет