Статическая ошибка

Качество любой системы регулирования в большой степени определяется величиной ошибки регулирования, равной разности между управляющим воздействием и регулируемой величиной Знание мгновенных значений ошибки в течении всего времени работы объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах системы регулирования. Однако на этапах проектирования таких знаний недостаточно. Поэтому разработаны другие критерии, позволяющие оценивать показатели качества системы и более того обеспечивать необходимые свойства системе в процессе проектирования.

Все критерии и условно разделены на несколько групп:

К первой группе отнесены критерии, использующие для оценки качества величину статической ошибки в различных типовых режимах.

Ко второй группе относятся критерии, определяющие величину запаса устойчивости . Эти критерии позволяют почувствовать, как далеко от границы устойчивости находится система регулирования. Наиболее опасной для системы является колебательная граница устойчивости, когда пара комплексных корней характеристического уравнения попадает на мнимую ось комплексной плоскости. Это возникает в случае чрезмерного увеличения коэффициента усиления разомкнутой системы;

Третья группа критериев определяет быстродействие систем регулирования. Под быстродействием понимается время реагирования системы на появление внешних воздействий. Быстродействие обычно оценивается по времени затухания переходного процесса в системе. Существуют и др. группы критериев .

8.1. Статическая точность систем регулирования

Статическая точность определяется на установившемся режиме, который наступает при времени t → ∞. Ошибка регулирования в этом случае называется статической и состоит из двух составляющих:

(1.113)

где − часть статической ошибки, определяемая управляющим воздействием g(t);

− часть статической ошибки, определяемая возмущающим воздействием f(t), рис.1.50.

Выполним анализ зависимостей величин статических ошибок для различных режимов изменения управляющего воздействия g(t) при наличии и отсутствия возмущения f(t):

1. В качестве первого типового режима рассмотрим установившееся состояние при постоянных значениях управляющего и возмущающего воздействий.

Пусть управляющее воздействие g(t) = g 0 , а возмущение f(t) = 0. Для расчета ошибки воспользуемся выражением для передаточной функции системы по ошибке

, (1.114)

где − передаточная функция разомкнутой системы.

. (1.115)

Рассмотрим пример. Пусть регулятор и объект управления являются позиционными звеньями и имеют следующие передаточные функции:

, (1.116)

С учетом передаточных функций выражение (1.115) принимает вид

(1.117)

где − коэффициент передачи разомкнутой системы.

Из выражения (1.117) следует, что величина рассматриваемой ошибки зависит от коэффициента передачи . Для уменьшения ошибки необходимо увеличивать этот коэффициент. Однако необходимо помнить, что с увеличением коэффициента система приближается к границе устойчивости.

Если регулятор имеет передаточную функцию интегрирующего типа , (1.118)

то выражение (1.115) примет вид

.

Видно, что ошибка . Аналогичный результат получается и в случае, когда передаточная функция объекта управления представляется интегрирующим звеном.

Теперь рассмотрим случай, когда управляющее воздействие g(t) = 0, а возмущение f(t) = f 0 .

Для расчета ошибки воспользуемся выражением для передаточной функции системы, определяющей связь между ошибкой регулирования и действующим возмущением

. (1.119)

Для установившегося состояния можно записать

(1.120)

Опять рассмотрим пример. Пусть регулятор и объект регулирования имеют передаточные функции, соответствующие выражениям (1.116). С учетом этого выражение (1.120) принимает вид

. (1.121)

Видно, что статическая ошибка больше нуля. Величина ошибки, как и в ранее рассмотренном примере (1.116) зависит в основном от коэффициента передачи разомкнутой системы.

Если применить регулятор интегрирующего типа (1.118), то из выражения (1.121) нетрудно понять, что в этом случае статическая ошибка равна нулю.

Из рассмотренных примеров следует, что статическая ошибка характерна для систем регулирования, у которых регулятор в своем составе не имеет интегрирующих звеньев. Далее можно записать полное выражение для статической ошибки (1.113)

2. В качестве второго типового режима для САР рассмотрим изменение управляющего воздействия с постоянной скоростью

g(t) = v*t, (1.122)

где v − постоянный коэффициент.

Этот режим применяется только в следящих системах и в системах программного регулирования.

Примем, что возмущения в системе отсутствуют, т. е. .

С учетом (1.122) выражение для расчета ошибки (1.115) запишется в виде

.

Применяя изображение Карсона − Хевисайда , можем записать окончательный вид выражения для расчета статической ошибки

Рассмотрим пример. Пусть передаточные функции регулятора и объекта регулирования соответствуют выражениям (1.116). Тогда выражение для составляющей статической ошибки будет иметь вид

Видно, что составляющая ошибки стремится к бесконечности.

Если в качестве регулятора применить интегрирующее звено, то величина статической ошибки будет конечной:

,

где коэффициент называется добротностью системы по скорости.

Видно, что имеет место конечная величина ошибки, равная отношению заданной скорости к добротности системы. Данная ошибка называется скоростной. Системы регулирования, у которых регулятор и объект регулирования представлены позиционными звеньями, называют статическими. Если в качестве регулятора применяются интегрирующие звенья, то САР называют астатическими первого или второго порядка, в зависимости от количества интегрирующих звеньев в регуляторе.

Выполненный анализ показывает, что режим движения с постоянной скоростью не должен применяться к статическим системам, так как в установившемся состоянии величина статической ошибки стремится к бесконечности. Этот режим движения применим только к астатическим системам, которые имеют конечную величину статической ошибки, зависящей от добротности системы по скорости.

Случай, когда , а ранее рассматривался. Было показано, что, если регулятор системы содержит интегрирующее звено, то составляющая статической ошибки . Следовательно, в рассматриваемых астатических САР эта составляющая не формирует статическую ошибку.

3. Третьим типовым режимом, применяемым в САР, является движение по гармоническому закону:

G(t) = g max sin(ω k t),

где g max − максимальная величина управляющего воздействия g(t),

ω к − частота гармонического закона.

В данном анализе возмущающие воздействия могут отсутствовать или иметь постоянные значения. Случай постоянства возмущений приводит, как и в рассмотренных выше первом и втором типовых режимах, к появлению некоторой постоянной составляющей ошибки .

Запишем уже известное выражение для ошибки

В линеаризованной системе при гармоническом управляющем воздействии ошибка в установившемся режиме будет также изменяться по гармоническому закону с частотой ω = ω к, т.е.

Sin(ω k t+ψ).

Поэтому точность САР в этом режиме оценивается по амплитуде ошибки, которая может быть найдена по выражению

.

Так как предполагается, что х max << g max , то >> 1. Следовательно, можно записать, что

(1.123)

где − модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы при частоте ω = ω k .

Формула (1.123) позволяет вычислить амплитуду ошибки в установившемся режиме. Для этого необходимо иметь либо аналитическое выражение для передаточной функции разомкнутой системы, либо экспериментальную амплитудно-частотную характеристику.

Выражение (1.123) позволяет сформулировать требования к АЧХ, которые необходимо выполнить при расчете систем регулирования для обеспечения заданной точности. Для этого по заданному значению амплитуды управляющего воздействия g max и допустимой амплитуде ошибки вычисляется требуемое значение А к = . Далее необходимо величину А к отложить на графике АЧХ при частоте ω = ω к. Полученная точка А к называется контрольной точкой. Для того, чтобы амплитуда ошибки в системе не превосходила допустимого значения линия АЧХ должна проходить не ниже контрольной точки А к.

8.2. Оценка запаса устойчивости и быстродействия САР

Оценку запаса устойчивости и быстродействия САР можно выполнить по виду кривой переходного процесса (рис.1.51), возникшего в результате приложения к системе типового внешнего воздействия.

В качестве такого воздействия обычно рассматривается единичный скачок. В этом случае кривую переходного процесса называют переходной характеристикой системы.

Переходная характеристика может строиться для регулируемой величины или для ошибки регулирования .

Склонность системы к колебаниям и запас устойчивости могут быть охарактеризованы величиной перерегулирования

σ % = / y(∞)*100% ,

где у(∞) − установившееся значение регулируемой величины, после завершения переходного процесса.

Считается, что запас устойчивости достаточен, если величина перерегулирования не превышает 10 ¸ 30 %. Быстродействие системы может определяться по длительности переходного процесса .

Рис.1.51. Кривая переходного процесса

Длительность переходного процесса определяется как время, протекающее от момента приложения на вход единичного скачка до момента, после которого имеет место неравенство

| y(t) − y(∞)| £ ∆,

где ∆ − заданная малая постоянная величина, представляющая собой допустимую ошибку, ∆ (.01 ¸ .05) у(∞) .

Иногда в дополнение к величине перерегулирования задается допустимое число колебаний, которое может наблюдаться в течение времени переходного процесса. Количество колебаний должно составлять 1¸3.

Необходимый запас устойчивости, и быстродействие системы достигается в процессе расчета САР. Для расчета широко применяются частотные и корневые критерии и показатели качества регулирования.

Под частотными критериями понимают такие критерии, которые для оценки качества САР не опираются на формы переходных процессов, а используют для этого некоторые частотные свойства системы.

Частотные критерии наиболее разработаны для оценки запаса устойчивости. Запас устойчивости предлагается определять по удалению амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы (рис.1.52) от точки (− 1, 0). Для этого вводятся понятия запаса устойчивости поамплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе.

Для общего случая условной устойчивости, изображенного на рис.1.52, запас устойчивости по амплитуде определяется расположением на вещественной оси комплексной плоскости точек и :

20 lg ; = 20 lg .

	a

Запас устойчивости по амплитуде тем больше, чем больше и . В хорошо демпфированных системах величины и находятся в диапазоне 6 ¸ 20 дб. В случае абсолютной устойчивости имеет смысл только величина .

Запас устойчивости по фазе (Рис.1.52) характеризует удаление АФЧХ по дуге окружности единичного радиуса от точки с координатами (−1,j,0) и соответствует углу μ между отрицательным направлением действительной оси и лучом, проведенным через начало координат и точку пересечения годографа характеристики с окружностью единичного радиуса. Величина запаса устойчивости по фазе определяется по выражению μ = 180˚ + ψ, где ψ − аргумент (смещение, сдвиг по фазе) частотной передаточной функции разомкнутой системы, соответствующий амплитуде равной единице (точка b на рис.1.52).

В хорошо демпфированных системах запас по фазе составляет 30¸60˚.

Недостатком рассмотренного частотного критерия является то, что для определения запаса устойчивости необходимо задавать два числа: μ и .

Более удобно запас устойчивости определять по показателю колебательности . Показателем колебательности называется максимальное значение ординаты М мах амплитудно - частотной характеристики замкнутой системы (рис.1.53) при начальной ординате, равной единице, т. е. относительная высота резонансного пика.

Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниям и тем выше резонансный пик. Допустимое значение для показателя колебательности определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования. Считается, что в хорошо демпфированных системах регулирования показатель колебательности не должен быть больше 1.1¸1.5. Однако, в отдельных случаях допускается величина М мах =2¸2.5 .

Корневые критерии качества опираются на существующую связь характера и качества переходных процессов в системе автоматического регулирования от расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Поэтому можно сформулировать требования по запасу устойчивости и быстродействию системы посредством наложения условий на расположение корней характеристического уравнения. Заметим, что влиять на расположение корней можно только через коэффициенты характеристического уравнения:

Решение данного уравнения содержит - корней: Уже известно, что корни могут быть вещественными и комплексными типа = − α ± jb. Колебания в системе будут наблюдаться, если в решении характеристического уравнения будет присутствовать хотя бы один комплексный корень. Склонность системы к колебаниям может характеризоваться отношением мнимой части корня к его вещественной части Это отношение называют колебательностью

μ= . (1.125)

Если в решении характеристического уравнения присутствует несколько комплексных корней, то для определения колебательности системы необходимо брать отношение (1.125) для тех корней, для которых это отношение наибольшее.

Колебательность системы связана с другим корневым показателем запаса устойчивости − затуханием. Рассмотрим эту связь. Комплексные сопряженные корни дают в выражении для переходного процесса, например для ошибки регулирования, член вида

x(t) = Ce – αt sin (bt+ψ).

Найдем затухание амплитуды синусоидального колебания за один период. При некотором времени t = t 1 эта амплитуда равна С 1 = Сe –α t . Через один период Т = 2π/b амплитуда С 2 = Сe – α (t 1 + 2π / b) = C 1 e - 2π α/ b = C 1 e -2π /μ .

Затуханием за период называют величину

x =

Эта величина обычно выражается в процентах. Поставляя значение амплитуды С 2 , получаем x =1 − e −2 π / μ или μ = 2π / ln .

Обычно в системах автоматического регулирования допускается затухание за период не менее чем 90 ¸ 98 %. Так, например, если x = 98 %, то колебательность при этом составит

μ = 2π / ln 50 ≈ π/2 = 1.57.

Если x =90 %, то колебательность μ ≈ 2.72 .

Для оценки быстродействия системы может использоваться показатель, называемый степенью устойчивости. Под степенью устойчивости ή понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис.1.54).

Корни характеристического уравнения, расположенные ближе к мнимой оси дают в переходном процессе (1.102) составляющие, которые затухают наиболее медленно, так как эти корни имеют наименьшую по абсолютной величине вещественную часть. В большинстве случаев переходный процесс можно считать завершенным после затухания составляющей, соответствующей ближайшему к мнимой оси корню. Если ближайшим является вещественный корень, то составляющая в переходном процессе, определяемая этим корнем будет иметь вид = C e – t . Приняв в конце переходного процесса = ΔC , где Δ = 0.01 ¸ 0.05, можно получить приближенную зависимость между степенью устойчивостью и временем переходного процесса:

t n ≈ ln Δ −1 . (1.126)

Так, например, если принять Δ = .05, то время переходного процесса t n ≈ ln2 = 3 . (1.127)

Если ближайшими к мнимой оси является пара комплексных корней , то составляющая в переходном процессе, определяемая этими корнями будет = sin(bt + ψ). Несмотря на присутствие в этой составляющей гармонической функции формула, устанавливающая связь между степенью устойчивости и временем переходного процесса практически будет совпадать с выражением (1.127).

Для систем невысокого порядка степень устойчивости можно найти без вычисления корней характеристического уравнения. С этой целью в уравнении (1.124) необходимо перейти к новой переменной . Подставив в уравнение (1.124) , получим так называемое смещенное уравнение

Раскрывая скобки и группируя члены по степеням переменной , получаем

Это уравнение соответствует смещению осей на плоскости корней влево на величину (рис.1.54). В результате один (рис.1.54,а) или два (рис.1.54,б) корня попадают на ось мнимых, что соответствует границе устойчивости.

Для вычисления степени устойчивости необходимо применить к смещенному уравнению (1.128) любой критерий устойчивости и определить, при каком значении = получается граница устойчивости. Однако, если характеристическое уравнение имеет порядок выше второго, то задача расчета степени устойчивости оказывается не менее сложной, чем расчет корней характеристического уравнения. Например, если в уравнении (1.128) принять , то смещенное уравнение принимает вид:

Видно, что для вычисления степени устойчивости (как и для вычисления корней исходного характеристического уравнения) необходимо решать алгебраическое уравнение третьей степени. Если характеристическое уравнение будет иметь пятый порядок, то для расчета степени устойчивости необходимо будет решать алгебраическое уравнение пятого порядка и т.д. В связи со сложностью решения алгебраических уравнений применение формулы (1.127) для расчета времени переходного процесса оказывается проблематичным.

Однако, применение степени устойчивости оказывается перспективным в задаче обеспечения требуемого быстродействия, возникающей при проектирования системы.

Пусть смещенное уравнение (1.128) относится к проектируемой системе. Этап проектирования соответствует расчету области устойчивости. Для придания системе требуемого быстродействия необходимо выполнить следующее:

Задать требуемое время переходного процесса и по формуле (1.127) вычислить величину . ;

Изменяя переменные параметры, в плоскости которых строилась область устойчивости, необходимо переместить рабочую точку на границу устойчивости.

После выполнения указанных действий полученная система регулирования будет иметь время переходного процесса равное и соответствующие значения переменных параметров.

Диаграмма Вышнеградского (рис.1.55) позволяет существенно облегчить процесс проектирования систем управления. Несмотря на то, что диаграмма разработана для систем, имеющих характеристическое уравнение третьего порядка, ее применение может существенно облегчить расчет показателей качества и для систем более высокого порядка.

Рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка

Данное уравнение приводится к нормированному виду,

называются параметрами Вышнеградского, а − это новая переменная, введенная в уравнение (1.130), вместо переменной .

Диаграмма расположена в плоскости параметров А и В (рис.1.55) и содержит несколько основных кривых линий. Первая линия − граница устойчивости (колебательная). Уравнение границы: АВ = 1, при А > 0 и В > 0. Это равнобокая гипербола, для которой оси координат служат асимптотами.

Граница устойчивости

2 4 6

А

0

	Рис. 1.55. Диаграмма Вышнеградского

К системам автоматического регулирования (САР) предъявляются требования не только
устойчивости процессов регулирования. Для работоспособности системы не менее необходимо, чтобы процесс автоматического регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества процесса управления .

Если исследуемая САР является устойчивой, возникает вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям обьекта управления.На практике качество регулирования определяется визуально по графику . Однако, имеются точные но более сложные математические методы, дающие конкретные числовые значения (которые не рассматриваются в данной методике).

Классификация показателей качества состоит из нескольких групп:

• прямые - определяемые непосредственно по процесса,
• корневые - определяемые по корням характеристического полинома,
• частотные - по частотным характеристикам,
• интегральные - получаемые путем интегрирования функций.

Прямыми показателями качества процесса управления, определяемые непосредственно по
являются:

1. Yуст ,
2. Степень затухания ? ,
3. Время достижения первого максимума tmax ,
4. Ошибка регулирования Ест (статистическая или среднеквадратическая составляющие),
5. Динамический коэффициент регулирования Rd ,

Например, переходная характеристика, снятая на объекте управления при отработке ступенчатого воздействия, имеет колебательный вид и представлена на рис.1.

Рисунок 1 - Определение показателей качества по переходной характеристике

Установившееся значение выходной величины Yуст

Установившееся значение выходной величины Yуст определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.

Степень затухания ?

Степень затухания ? определяется по формуле:

где А1 и А3 - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной характеристики рис.1.

Время достижения первого максимума tmax

Время достижения первого максимума tmax определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.

Время регулирования tp

Условно считается, что значение М=1,5-1,6 является оптимальным для промышленных САР, т.к. вэтом случае у обеспечивается в районе от 20% до 40%. При увеличении значения M колебательность всистеме возрастает.

В некоторых случаях нормируется полоса пропускания системы щп, которая соответствует уровню усиления в замкнутой системе 0,05. Чем больше полоса пропускания, тем больше быстродействие замкнутой системы. Однако при этом повышается чувствительность системы к шумам в канале измерения и возрастает дисперсия ошибки регулирования.

Точность регулирования

Точность в установившемся режиме

Качество работы любой системы регулирования в конечном счете определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым (заданным) и действительным (фактическим) значениями регулируемой величины. В следящих системах, в частности, совпадает с командой . Величина мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы системы позволяет наиболее полно судить о свойствах системы регулирования. Ошибки регулирования можно разделить на статические и динамические, т.е. соответствующие установившемуся (статическому) и переходному (динамическому) режимам. В данном разделе речь пойдет об ошибке установившегося режима.

Теорема о конечном значении оригинала

Для определения величины ошибки в установившемся режиме можно воспользоваться теоремой о конечном значении оригинала:

Согласно этой теореме установившемуся режиму () по Лапласу соответствует , а по Фурье - круговая частота .

Пример 2.8.1. Оценим величину ошибок от управляющего и возмущающих воздействий, приложенных в различных точках схемы рис.2.8.1. На схеме - передаточная функция регулятора; - передаточная функция объекта; - возмущение, приложенное к объекту; - возмущение, приложенное к регулятору.

Любому чувствительному элементу присущи свои ошибки. Ошибку чувствительного элемента можно рассматривать как некоторое возмущающее воздействие, которое отнесем к . Воспользовавшись принципом суперпозиции (наложения), изображение реакции найдем как сумму реакций на все входные сигналы. В результате для изображения ошибки получим

Здесь - изображение ошибки от команды;

Изображение ошибки от помехи на входе регулятора;

Изображение ошибки от помехи на входе объекта.

Передаточные функции для ошибок равны

; ;.

Таким образом, общая ошибка является суммой составляющих ошибки от команды и помех. При этом в случае статического регулятора и объекта с коэффициентами усиления , и постоянных входных воздействиях , и по теореме о конечном значении оригинала (2.8.1) получим

– статическая ошибка от входного сигнала;

- статическая ошибка от погрешности чувствительного элемента (или возмущения на входе регулятора);

- статическая ошибка от возмущающего воздействия на входе объекта регулирования (выходе регулятора).

Чтобы ошибка от команды была маленькой, надо взять . В этом случае ; . То есть помеха на входе системы переходит в ошибку (с противоположным знаком), помеха на входе объекта уменьшается в раз. Очевидно, что нельзя уменьшить за счет выбора коэффициента усиления (методами теории автоматического регулирования). Для уменьшения ошибки надо уменьшить величину возмущающего воздействия. Ошибку можно уменьшить за счет увеличения коэффициента усиления регулятора, т.е. части схемы до точки приложения возмущения.

Коэффициенты ошибок

Метод может применяться как для управляющего, так и для возмущающих воздействий. В конкретном случае необходимо использовать передаточную функцию по соответствующему воздействию. Поэтому ограничимся только случаем управляющего воздействия.

Если функция времени имеет произвольную форму, но достаточно плавную, так что вдали от начальной точки существенное значение имеет только конечное число производных ; ;…; , то ошибку системы можно определить следующим образом. Пусть

Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд Тейлора (по возрастающим степеням комплексной величины) в окрестности . Тогда

Степенной ряд сходится при малых значениях, т.е. при достаточно больших значениях времени , что согласно теореме о конечном значении оригинала соответствует установившемуся режиму. Коэффициенты ряда Тейлора можно определить по формуле . (2.8.5)

Переходя от (2.8.4) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки . (2.8.6)

Таким образом, ошибка установившегося режима выражена через входной сигнал и его производные, а также через коэффициенты , которые в связи с этим называются коэффициентами ошибок .

Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно-рациональную функцию, то производные для (2.8.4) вычислять сложно и коэффициенты ошибок более просто получить делением числителя на знаменатель младшими степенями вперед и сравнением получающегося ряда с выражением в (2.8.3).

Пример 2.8.2 . Найти ошибку установившегося режима от команды для системы рис.2.8.1, у которой .

Имеем передаточную функцию для ошибки .

Делим числитель на знаменатель, начиная с младших степеней переменной :

Теперь сравниваем результат деления с рядом в общем виде. В результате деления нет свободного члена и поэтому . Имеем также ; и т.д.

Пусть . Тогда по (2.7.4) найдем

Пусть , т.е. команда изменяется по линейному закону (с постоянной скоростью). Тогда по (2.8.4) найдем

Порядок астатизма системы

Обобщая предыдущий пример, можно заметить, что в системе с астатизмом порядка первые коэффициентов ошибок равны нулю. Если сигнал является полиномом степени , то первые слагаемых в (2.8.6) обращаются в нуль за счет нулевых коэффициентов ошибок, а следующие – за счет нулевых производных. Если сигнал представляет собой полином степени , то ()-е слагаемое не равно нулю.

В последнем примере имели систему с астатизмом первого порядка. В случае сигнала – полинома нулевой степени (константа) ошибка была равна нулю. В случае сигнала – полинома первой степени ошибка не равна нулю.

Не трудно заметить, что порядок астатизма связан с количеством интегрирующих звеньев в системе. Если бы их было , то младший член числителя передаточной функции по ошибке содержал бы и при делении числителя передаточной функции на знаменатель младший член результата также содержал

Соответственно первые коэффициентов ошибок были бы равны нулю.

Таким образом, для повышения точности желательно увеличивать порядок астатизма, т.е. количество интегрирующих звеньев в системе. Однако это трудно сделать по двум причинам. Во-первых, набор аналоговых интегрирующих звеньев ограничен. Это двигатели (электрические, гидравлические и т.д.). Включать в систему несколько двигателей несуразно. Во-вторых, интегрирующее звено вносит отставание по фазе (- на всех частотах), что приводит к потере устойчивости. Поэтому одновременно приходится вводить корректирующие звенья. Этого можно избежать за счет включения интегрирующего звена параллельно основному тракту прохождения сигнала. В этом случае передаточная функция равна , где регулирования характеризует быстродействие системы. Рис. 1 2. Величина...

Регулирование давления в рабочем пространстве дуговой сталеплавильной печи ДСП-25Н

Курсовая работа >> Промышленность, производство

Заданном уровне. Так как регулирование режима ДСП осуществляется в основном... CO2/CO позволяет повысить точность регулирования окислительно – восстановительного потенциала рабочего... от входной величины y в установившемся состоянии. Входной величиной является...

Регулирование энергетических установок

Реферат >> Физика

Следовательно, возможный режим установившейся работы ГТУ. Возможно... Автоматическое регулирование холодильной машины позволяет обеспечить точность поддержания... предупредить аварийные режимы . 4.2 Способы регулирования холодопроизводительности Установление...

Линейные автоматические системы регулирования

Курсовая работа >> Экономика

В таблицу 5. Таблица 5 – Динамическая характеристика объекта регулирования i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t 0 1 2 3 4 5 6 7 9 Y 0 0,1 0,5 0,7 0,82 0,91 0,975 ... регулируемого параметра от заданного в установившемся режиме (точность системы); . Если в числителе...

Точность систем управления является важнейшим показателем их качества. Чем выше точность, тем выше качество системы. Однако предъявление повышенных требований к точности вызывает неоправданное удорожание системы, усложняет ее конструкцию. Недостаточная точность может привести к несоответствию характеристик системы условиям функционирования и необходимости ее повторной разработки. Поэтому на этапе проектирования системы должно быть проведено тщательное обоснование требуемых показателей точности.

В этом разделе рассматриваются методы определения ошибок, возникающих при работе систем управления с детерминированными входными воздействиями. Вначале анализируются ошибки систем в переходном режиме. Затем особое внимание уделено простым способам расчета ошибок систем в установившемся режиме. Будет показано, что все системы управления можно разделить по величине установившихся ошибок на системы без памяти, так называемые статические системы, и системы, обладающие памятью, – астатические системы управления.

Типовые входные воздействия

Для оценки качества работы систем управления рассматривают их поведение при некоторых типовых воздействиях. Обычно такими воздействиями служат следующие три основные вида функций:

а) ступенчатое воздействие: g(t) = , g(p) = ;

б) линейное воздействие: g(t) = t , t > 0 ; ;

в) квадратичное воздействие: /2 , t > 0 ; g(p) = .

В некоторых случаях рассматривают обобщенное полиномиальное воздействие:

Ступенчатое воздействие является одним из простейших, но именно с его помощью определяется ряд важных свойств систем управления, связанных с видом переходного процесса. Линейное и квадратичное воздействия часто бывают связаны с задачами слежения за координатами движущегося объекта. Тогда линейное воздействие соответствует движению объекта с постоянной скоростью; квадратичное - движению объекта с постоянным ускорением.

Переходные процессы при типовых воздействиях можно построить следующим образом. Пусть задана передаточная функция замкнутой системы управления W(p). Тогда

x(p) = W(p) g(p),

где g(p) – изображение соответствующего воздействия.

Например, если , то и для g(t) = g0 получим .

С помощью вычетов или по таблицам находим обратное преобразование Лапласа и получаем вид переходного процесса x(t) для заданного входного воздействия:

где Res x(p) – вычет функции x(p) в точке a.

Обычно реакция системы на ступенчатое воздействие имеет вид, показанный на рис. 21,а или рис. 21,б.

Переходный процесс, как правило, характеризуют двумя параметрами – длительностью переходного процесса (временем установления) и величиной перерегулирования.

Под временем установления tу понимают временной интервал, по истечении которого отклонение |x(t) - xуст | выходного процесса от установившегося значения xуст не превышает определенную величину, например, 0,1gо. Время установления является важным параметром САУ, позволяющим оценить ее быстродействие. Величину tу можно оценить приближенно по амплитудно-частотной характеристике системы. При заданной частоте среза . Для оценки качества системы используется также величина перерегулирования, определяемая соотношением .

В зависимости от характера собственных колебаний системы переходный процесс в ней может быть колебательным, как это показано на рис. 21, б, или плавным гладким, называемым апериодическим (рис. 21,а). Если корни характеристического уравнения системы действительны, то переходный процесс в ней апериодический. В случае комплексных корней характеристического уравнения собственные колебания устойчивой системы управления являются затухающими гармоническими и переходный процесс в системе имеет колебательный характер.

При малом запасе устойчивости САУ ее собственные колебания затухают медленно, и перерегулирование в переходном режиме получается значительным. Как следствие, величина перерегулирования может служить мерой запаса устойчивости системы. Для многих систем запас устойчивости считается достаточным, если величина перерегулирования .

Установившийся режим

При проектировании систем управления часто требуется оценить ошибку слежения в установившемся режиме . В зависимости от вида воздействия и свойств системы эта ошибка может быть нулевой, постоянной или бесконечно большой величиной.

Очень важно, что величина установившейся ошибки может быть легко найдена с помощью теоремы о предельном значении оригинала: .

При использовании этой теоремы нужно выразить величину ошибки e (p) через g(p). Для этого рассмотрим структурную схему замкнутой системы управления (рис. 22).

Очевидно, e (p) = g(p) - x(p) = g(p) - H(p)e(p). Отсюда или e (p) = He(p)g(p) , где He(p) = называется передаточной функцией системы управления от входного воздействия g(p) к ошибке слежения e(p). Таким образом, величину установившейся ошибки можно найти с помощью следующего соотношения:

,

где He(p) = 1/(1+H(p)); g(p) - изображение типового входного воздействия.

Пример 1. Рассмотрим систему управления, в составе которой нет интеграторов, например,

.

Найдем величину установившейся ошибки при ступенчатом входном воздействии g(t) = g0, t ³ 0. В этом случае

.

Предположим теперь, что входное воздействие изменяется линейно t или .

Тогда . Соответствующие входные воздействия и переходные процессы можно представить графиками на рис. 23,а и б.

Пример 2. Рассмотрим теперь систему, содержащую один интегратор. Типичным примером может быть система сервопривода (рис. 6) с .

Для ступенчатого воздействия g(t) = g0 или g(p) = получим

.

При линейном входном воздействии

.

Такие процессы можно проиллюстрировать соответствующими кривыми на рис.24, а и б.

Пример 3. Рассмотрим систему с двумя интеграторами. Пусть, например, . При ступенчатом воздействии .

При линейном .

Наконец, если входное воздействие квадратичное g(t) = at2/2 (g(p) = a/p3), то

.

Таким образом, в системе с двумя интеграторами может осуществляться слежение за квадратичным входным воздействием при конечной величине установившейся ошибки. Например, можно следить за координатами объекта, движущегося с постоянным ускорением.

Статические и астатические системы управления

Анализ рассмотренных примеров показывает, что системы управления, содержащие интегрирующие звенья, выгодно отличаются от систем без интеграторов. По этому признаку все системы делятся на статические системы, не содержащие интегрирующих звеньев, и астатические системы, которые содержат интеграторы. Системы с одним интегратором называются системами с астатизмом первого порядка . Системы с двумя интеграторами – системами с астатизмом второго порядка и т.д.

Для статических систем даже при неизменяющемся воздействии g(t) = g0 установившаяся ошибка имеет конечную величину g(t) = g0 . В системах с астатизмом первого порядка при ступенчатом воздействии установившаяся ошибка равна нулю, но при линейно изменяющемся воздействии . Наконец, в системах с астатизмом второго порядка ненулевая установившаяся ошибка появляется только при квадратичных входных воздействиях g(t) = at2 /2 и составляет величину eуст = a/k.

Какие же физические причины лежат в основе таких свойств астатических систем управления?

Рассмотрим систему управления с астатизмом второго порядка (рис. 25)

Пусть входной сигнал системы управления изменяется линейно: t. Как было установлено, в такой системе установившаяся ошибка равна нулю, т.е. e (t) =0. Каким же образом система работает при нулевом сигнале ошибки? Если x(t) = t , то на входе второго интегратора должен быть сигнал . Действительно, при нулевом рассогласовании e (t) =0 в системе с интеграторами возможно существование ненулевого выходного сигнала первого интегратора . Первый интегратор после окончания переходного процесса «запоминает» скорость изменения входного воздействия и в дальнейшем работа системы управления осуществляется по «памяти». Таким образом, физическим объяснением такого значительного различия статических и астатических систем является наличие памяти у астатических систем управления.

Итак, существуют простые возможности определения важнейшего показателя систем управления – величины их динамических ошибок. Детальный анализ переходных процессов в системах управления обычно выполняют с помощью моделирования на ПЭВМ. Вместе с тем величины установившихся ошибок легко находятся аналитически. При этом астатические системы управления, т.е. системы с интеграторами, имеют существенно лучшие показатели качества по сравнению со статическими системами.

Оценивают по величинам статической и динамической ошибок. По этим характеристикам автоматические системы бывают статические и астатические.

Статическая ошибка - это разность величин регулируемого параметра в исходном и конечном (после окончания регулирования) состояниях равновесия системы.

Рисунок 6.17 - График регулирования астатической (а) и статической (б) САУ.

В астатической системе статическая ошибка равна нулю, т.е. система после процесса регулирования возвращается в исходное состояние равновесия. В астатических САУ конечное и исходное равновесие совпадает с заданием. Поэтому в этих САУ динамическая ошибка равна максимальному отклонению параметра в процессе регулирования (рис. 6.17а).

В статической системе в установившемся состоянии - через достаточно долгое время после начала регулирования τ, всегда имеется статическая ошибка регулирования (рис.6.17б).

Динамическая ошибка - это максимальное в процессе регулирования отклонение регулируемого параметра от конечного состояния равновесия

Δ дин = (Y вых ма x - Y вых ном).

Время регулирования - это отрезок времени Δτ с момента нанесения на замкнутую САУ возмущающего воздействия, по истечении которого отличие регулируемого параметра от конечного состояния равновесия становится равным и меньше ± 5% от заданной величины. Если заданная величина равна нулю, то ± 5% берут от величины динамической ошибки.

Перерегулирование - это динамическая ошибка, отнесённая к номинальной величине регулируемого параметра в процентах.

Перерегулирование вычисляют по формуле:

σ = (Y вых ма x - Y вых ном)100%/Y вых ном.

Степень затухания - это показатель качества, который характеризует, насколько процентов уменьшается амплитуда колебаний выходного сигнала системы за один период колебаний. Степень затухания Ψ определяется по формуле:

ψ = (Δ дин - Δ 3) 100% / Δ дин ,

где: Δ з - амплитуда колебаний третьего периода. Если Δ з = 0, то Ψ = 100%.

Обобщённый показатель качества . Для определения величины этого показателя вычисляют интеграл (площадь подынтегральной фигуры) изменения в процессе регулирования выходного сигнала системы за период времени регулирования:

t рег

J = ∫ (Δ) 2 dt.

Δ - амплитуду колебаний берут в квадрате, чтобы просуммировать как положительные, так и отрицательные отклонения выходного сигнала. Естественно, чем меньше динамическая, статическая ошибки и время регулирования, тем меньше величина интеграла J и выше качество работы САУ.

Оптимальные процессы регулирования.

На практике часто требования к качеству работы проектируемой САУ задаются не в виде величины отдельных показателей качества, а в виде требования реализации одного из трёх оптимальных процессов регулирования.

Первый из них - апериодический процесс регулирования показан на рис. 6.18а.

Регулируемый параметр после отклонения плавно возвращается к заданной величине. В этом процессе по сравнению с двумя последующими будет минимально время регулирования, но максимальна динамическая ошибка.

Второй - процесс регулирования с 20% перерегулированием условно дан на рис. 6.18б. В этом процессе по сравнению с апериодическим меньше динамическая ошибка, но больше время регулирования. Для этого процесса перерегулирование не должно превышать 20%.

Третий- процесс регулирования с минимальным интегральным показателем качества (рис. 6.18в). В этом процессе регулирования интегральный показатель качества сведён к минимуму, а из трёх рассмотренных оптимальных процессов регулирования будет минимальная динамическая ошибка, но время регулирования - максимальное.

Выбор оптимального процесса из трёх определяется видом технологического процесса объекта управления. Иногда кратковременная большая динамическая ошибка может быть очень опасна. Например, при управлении давлением пара в котле. Для такого объекта апериодический процесс не самый лучший. В некоторых случаях большое время перерегулирования может быть опасным для проведения операции - например, при выпечке хлеба, значительное повышение температуры в печи не может быть длительным.