Болезни Военный билет Призыв
Развернуть
Главная ›

Стационарные орбиты атома водорода. Энергетическое строение атома водорода

Электрон в атоме водорода

Постулаты Бора

Постулаты Бора определили направление развития новой науки – квантовой физики атома. Но они не содержали рецепта определения параметров стационарных состояний (орбит) и соответствующих им значений энергии E n .

Правило квантования, приводящее к согласующимся с опытом значениям энергий стационарных состояний атома водорода, Бором было угадано. Он предположил, что момент импульса электрона, вращающегося вокруг ядра, может принимать только дискретные значения, кратные постоянной Планка. Для круговых орбит правило квантования Бора записывается в виде

Здесь m e – масса электрона, υ – его скорость, r n – радиус стационарной круговой орбиты. Правило квантования Бора позволяет вычислить радиусы стационарных орбит электрона в атоме водорода и определить значения энергий. Скорость электрона, вращающегося по круговой орбите некоторого радиуса r в кулоновском поле ядра, как следует из второго закона Ньютона, определяется соотношением

где e – элементарный заряд, ε 0 – электрическая постоянная. Скорость электрона υ и радиус стационарной орбиты r n связаны правилом квантования Бора. Отсюда следует, что радиусы стационарных круговых орбит определяются выражением

Самой близкой к ядру орбите соответствует значение n = 1. Радиус первой орбиты, который называется боровским радиусом, равен

Радиусы последующих орбит возрастают пропорционально n 2 .

Полная механическая энергия E системы из атомного ядра и электрона, обращающегося по стационарной круговой орбите радиусом r n , равна

Следует отметить, что E p < 0, так как между электроном и ядром действуют силы притяжения. Подставляя в эту формулу выражения для υ 2 и r n , получим:

Целое число n = 1, 2, 3, ... называется в квантовой физике атома главным квантовым числом.

Согласно второму постулату Бора, при переходе электрона с одной стационарной орбиты с энергией E n на другую стационарную орбиту с энергией E m < E n атом испускает квант света, частота ν nm которого равна ΔE nm / h:

Эта формула в точности совпадает с эмпирической формулой Ридберга для спектральных серий атома водорода, если положить постоянную R равной

Подстановка числовых значений m e , e, ε 0 и h в эту формулу дает результат

R = 3,29·10 15 Гц, который очень хорошо согласуется с эмпирическим значением R. Рис. 1 иллюстрирует образование спектральных серий в излучении атома водорода при переходе электрона с высоких стационарных орбит на более низкие.

Электрон в атоме водорода

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в атоме водорода равна

Решение уравнения (1.15) проводят методом разделения переменных с учетом естественных требований, налагаемых на ψ -функцию: она должна быть однозначной, конечной, непрерывной и гладкой. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решения уравнения являются непрерывными, однозначными и конечными в следующих случаях:

1) при любых положительных непрерывных значениях энергии;

2) при дискретных отрицательных значениях энергии.

Первый случай соответствует свободному электрону (заштрихованная область на рис. 1.5 б ), второй - получаемым из уравнения Шрёдингера собственным значениям энергии

n = 1, 2, 3, … (1.16)

Случай (Е < 0) соответствует связанным состояниям электрона в атоме.

Решение уравнения Шрёдингера приводит в случае Е < 0 к формуле (1.16) для энергетических уровней без использования каких-либо дополнительных постулатов (в отличие от первоначальной теории Бора). Кроме того, совпадение с формулой Бора означает, что мы пришли к той же самой системе энергетических уровней, как в теории Бора. Это же относится и к частотам излучения при переходах между уровнями.

Таким образом, решение уравнения Шрёдингера приводит для атома водорода к появлению дискретных энергетических уровней Е 1 , Е 2 , ..., Е п, показанных на рис. 1.5 б в виде горизонтальных прямых.

а ) б )

Рис. 1.5 . а - потенциальная энергия U(r) и б - собственные значения энергии Е электрона в атоме водорода.

Самый нижний уровень Е 1 , отвечающий минимальной возможной энергии, - основной , все остальные (Е п > Е 1 , п = 2, 3, ...) - возбужденные . При Е < 0 движение электрона является связанным - он находится внутри гиперболической потенциальной ямы. Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п → ∞ Е ∞ → 0.

При Е > 0 движение электрона является свободным ; область непрерывного спектра Е > 0 (заштрихована на рис. 1.5 б ) соответствует ионизированному атому.

Различие в интерпретации с теорией Бора относится только к состояниям электрона: в теории Бора это движение по стационарным орбитам, здесь же орбиты теряют физический смысл, их место занимают ψ -функции.

Диаграмма энергетических уровней (рис.1.5) позволяет дать несколько важных определений.

Энергия возбуждения Е воз – это энергия, которую необходимо сообщить электрону, чтобы он из основного состояния (n = 1) перешёл в возбужденное. Например, Е воз = 10,2 эВ – энергия, необходимая для перехода электрона в состояние, соответствующее n = 2 (первое возбужденное состояние).

Энергия ионизации Е ион – энергия, необходимая для отрыва электрона, находящегося в основном состоянии (n = 1), от ядра, т.е. для перевода электрона на уровень с n = ∞ . Для атома водорода энергия ионизации равна 13,6 эВ.

Из анализа следует три вывода.

· Э лектрон в атоме может иметь только дискретные значения энергии. В любом атоме энергии электронов дискретны.

· Существует состояние электрона с энергией, меньше которой электрон иметь не может. Это состояние называется основным. Все остальные состояния называют возбужденными. При этом, двигаясь с ускорением, любая заряженная частица излучает электромагнитные волны. На этом принципе устроены все антенны, любые источники электромагнитного излучения - радиоволн, видимого света, рентгеновских и гамма-лучей. А электрон в атоме, в каком бы состоянии он ни находился, не излучает, хотя движется с ускорением. Электрон в возбужденном состоянии может излучить электромагнитную энергию, перейдя в одно из состояний с меньшей энергией. Энергия излучается квантами, и в процессе излучения, как во всех процессах, происходящих в природе, выполняется закон сохранения энергии. Энергия излученного кванта в соответствии с законом сохранения энергии равна hn = = E n - E m , где n и m - целые числа и n > m . Сколько времени электрон проведет в возбужденном состоянии, зависит от целого ряда причин, исследованных квантовой механикой. Эти времена различны, но все они конечны.

· Как исключение, основное состояние электрона в атоме устойчиво, поскольку закон сохранения энергии запрещает электрону, находящемуся в основном состоянии, излучать электромагнитную энергию.

Атом водорода. Радиус и энергия электронных орбит в атоме водорода. Серии атома водорода. Постоянная Ритберга.

Теория Бора водородоподобных атомов.

Нильс Бор создал теорию строения атома, способную объяснить опыты Резерфорда и спектр излучения паров водорода.

Спектр характеризует распределение интенсивности излучения по шкале частот (или по шкале длин волн).

Постулаты Бора.

1-й постулат:

электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, находясь на которых, он не излучает и не поглощает энергию. Момент импульса электрона на этих орбитах кратен постоянной Планка:

m e – масса электрона, - скорость электрона на орбите с номеромn , r n – радиус орбиты с номером n , n =1,2,3,….

Дж·с – постоянная Планка.

2-й постулат:

при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается фотон, энергия которого

E n1 иE n2 - энергия электрона в состоянии 1 и 2 (т.е. на орбитах 1 и 2), - частота электромагнитных волн, - постоянная Планка.

Радиус орбиты электрона в атоме водорода .

1-й постулат Бора, .

Выразим скорость электрона:

Рассмотрим круговые электронные орбиты. На электрон с зарядом -e со стороны ядра с зарядом +e действует сила Кулона F , сообщая электрону нормальное ускорение,

По 2-му закону Ньютона,

. (4)

Сократим и подставим скорость из (3):

.

.

Радиус первой орбиты электрона (n = 1), называется радиусом Бора ,

= 0.53·10 -10 м.

Радиус орбиты электрона в атоме водорода

, n =1,2,3,…. – номер орбиты.

Энергия электрона в атоме водорода.

Энергия электрона представляет собой сумму кинетической энергии и потенциальной .

И .

Потенциальная энергия – это энергия электрона с зарядом в электрическом поле ядра. Из уравнения (4) видно, что

Тогда на n –ой орбите энергия электрона равна

Т.е. кинетическая энергия электрона равна полной энергии, взятой со знаком «-».

Также полную энергию можно записать через потенциальную:

= , или

.

Подставим . Тогда

Энергия на первой орбите (на первом энергетическом уровне) равна

13,6 эВ.

Величину = 13,6 эВ = 2,18∙10 -18 Дж называютэнергией ионизации (эта энергия необходима, чтобы перевести электрон, находящийся на первом уровне, в свободное состояние, т.е. чтобы ионизовать атом). Окончательно, энергия электрона на n –ом энергетическом уровне (на n –ой орбите) записывается как

Спектр излучения водорода.

Энергия излучаемого или поглощаемого кванта:



Частота , длина волны, - скорость света в вакууме.

= + = ,

Формула Бальмера,

определяет длины волн в спектре атома водорода.

1,1∙10 7 м -1 - постоянная Ридберга.

И - номера энергетических состояний (номера орбит) электрона.

Переходы электрона с возбужденных энергетических состояний на основной энергетический уровень ( = 1) сопровождаются излучением вУФ области спектра (серия линий Лаймана),

переходы на уровень с = 2 приводят к линиямв видимой области (серия Бальмера),

переходы на уровень с = 3, 4, 5, … приводят излучению вИК области.

Теория Бора не смогла объяснить строение сложных атомов. Для объяснения поведения микрочастиц была развита квантовая механика.

Она основана на том, что любая микрочастица, наряду с корпускулярными, обладает также волновыми свойствами (гипотеза де Бройля).

Для фотона, импульс

По аналогии с фотоном, любую микрочастицу можно рассматривать как волну с длиной волны

Длина волны де Бройля.

Гипотеза де Бройля подтверждена экспериментально наблюдением дифракции электронов, а затем и протонов.

Принцип неопределенностей.

Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальных данных модели атома принадлежит Дж. Дж. Томсону (1903). Согласно этой модели, атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом порядка 10 -10 м, внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны; суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду шара, поэтому атом в целом нейтрален. Через несколько лет было доказано, что представление о непрерывно распределенном внутри атома положительном заряде ошибочно.

В развитии представлений о строении атома велико значение опытов английского физика Э. Резерфорда (1871 -1937) по рассеянию a-частиц в веществе. Альфа-частицы возникают при радиоактивных превращениях; они являются положительно заряженными частицами с зарядом 2е и массой, примерно в 7300 раз большей массы электрона. Резерфорд, исследуя прохождение a-частиц в веществе, показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые a-частицы (примерно одна из 20 000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180°). Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение a-частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы, которая сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.



На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z - порядковый номер элемента в системе Менделеева, е - элементарный заряд), размер 10 -15 - 10 -14 м и массу, практически равную массе атома, в области с линейными размерами порядка 10 -10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов.

Однако электрон, движущийся ускоренно по окружности под действием кулоновской силы, согласно электродинамике, должен излучать электромагнитные волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. В результате электрон будет приближаться к ядру и в конце концов упадет на него. Атом Резерфорда, с точки зрения классической физики, оказывается неустойчивой системой, что противоречит действительности.

Первая попытка построить качественно новую - квантовую - теорию атома была предпринята в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором. Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света.

Чтобы объяснить устойчивость атома датский физик Нильс Бор постулировал основные положения (постулаты Бора ), которые явили собой первую квантовую модель атома.

Постулаты Бора :

1. Электроны в атоме движутся по некоторым стационарным орбитам. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

2. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию квантования момента импульса электрона

n = 1,2,3…– главное квантовое число (номер орбиты-уровня), m e - масса элетрона, v - его скорость на n -ой орбите радиуса r n , , h = 6,62·10 -34 Дж·с – постоянная Планка;

3. При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией:

(3.5.2)

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (Е n и Е m - соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). При Е n >Е m происходит излучение фотона (переход атома из состояния с большей энергией в состояние меньшей энергией, т. е. переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близлежащую), при Е n <Е m - его поглощение (переход атома в состояние большей энергией, т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот

(3.5.3)

квантовых переходов определяет линейчатый спектр атома. Излучение атома представляет не непрерывный спектр, а спектр, состоящий из отдельных линий, соответствующих определенным частотам.

Используя постулаты Бора, закон Кулона и вращение электрона по круговой орбите, можно рассчитать величину радиуса орбиты r n и скорость электрона на ней v n:

n=1,2,3… (3.5.4)

где m – масса электрона;

ε 0 – электрическая постоянная:

z – порядковый номер элемента;

е – заряд ядра.

Полная энергия Е орбитального электрона равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:

Е n = Е кинn + Е потn

(3.5.6)

Для атома водорода (Z=1 ) радиус первой орбиты электрона при n=1 , называемый первым боровским радиусом, равен r 1 = 0,528 10 -10 м. Энергия электрона в водородоподобном атоме может принимать следующие дискретные значения:

n=1,2,3… (3.5.7)

Полная энергия электрона в атоме – величина отрицательная (Е n <0), т.е. электроны в атоме движутся как в потенциальной яме.

Электроны, находясь на стационарных орбитах, обладают потенциальной энергией, максимальная величина которой будет ¥, то есть будет соответствовать ионизованному атому. Там она будет равна нулю, следовательно, потенциальная энергия электрона в атоме отрицательна.

Целое число n в выражении, определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом. Энергетический уровень с n = 1 является основным (нормальным); состояния с n>1 являются возбужденными.

Из представленных выше формул можно получить выражение для частоты излучения при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой

(3.5.8)

R – постоянная Ридберга, для атома водорода R=3.29 10 15 c -1 .

При переходе электрона с произвольного возбужденного уровня на уровень с фиксированным значением m получим набор частот (группу линий в спектре атома) который называется серией. Так в атоме водорода переход на основной уровень (m=1) c произвольного возбужденного уровня (n=2,3,4…) определяет серию Лаймана; переход на уровень с m=2 c уровня n=3,4,5… определяет серию Бальмера; переход на уровень с m=3 c уровня n=4,5,6… определяет серию Пашена и т.д.

Переход с более удаленной орбиты на более близкую связан с испусканием одного фотона – такова причина возникновения линейчатого спектра испускания , а переход электрона на более дальнюю орбиту при поглощении фотона соответствует возникновению линейчатогоспектра поглощения .

Атомные спектры обладают ярко выраженной индивидуальностью, причем их вид определяется не только атомом данного элемента, но и его строением, внешними факторами: температурой, давлением, электрическими и магнитными полями и др.

Получение и анализ спектров играют огромную роль в теоретической и прикладной физике и технике. Изучение спектров испускания и поглощения веществ позволяет установить энергетические уровни и тончайшие детали строения атомов. Знание же спектров атомов и молекул различных химических соединений позволяет проводить спектральный анализ , т.е. устанавливать состав исследуемых тел.

План решения задач по теме «Теория атома водорода по Бору»

1. Следует обратить внимание, что созданная Бором теория атома водорода – первая квантовая теория атома , согласно которой электрон в атоме может находиться только в определенных стационарных состояниях. Параметры электрона в атоме: радиус круговой орбиты, скорость и его момент импульса, период обращения, энергия электрона, – имеют в этих состояниях дискретные значения, которые определяются главным квантовым числом (номер орбиты). Эта зависимость отражается индексом величин: .

2. По мере увеличения номера орбиты ее радиус увеличивается , а скорость электрона уменьшается ; в результате период обращения растет , возрастает момент импульса электрона и увеличивается его энергия .

3. Порядок величин параметров электрона в атоме водорода можно оценить по указанным зависимостям и значениям величин для основного состояния . В этом состоянии радиус орбиты , скорость электрона , период обращения , момент импульса , и полная энергия электрона

Задача 30. Для электрона, находящегося на первой орбите () атома водорода, определите радиус орбиты , момент импульса электрона и его скорость .

Здесь – масса и скорость электрона; – заряд электрона и ядра (); – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

В уравнении (1) две неизвестные величины: . Другое уравнение, которое также содержит эти величины, – первый постулат Бора, определяющий условие квантования момента импульса электрона:

Здесь – радиус -ой стационарной орбиты; – главное квантовое число; – постоянная Планка.

Выразим из уравнения (2) скорость электрона:

Подставим это значение скорости в уравнение (1) и определим из него радиус -ой орбиты электрона:

Полученную формулу представим в следующем виде:

где – первый боровский радиус.

Вычисляем величину радиуса первой орбиты электрона в атоме водорода:

Момент импульса электрона вычисляем по уравнению (2) первого постулата Бора:

Скорость электрона на первой орбите в атоме водорода определим по величине момента импульса электрона (согласно уравнению (3)):

Вычисляем скорость электрона на первой орбите в атоме водорода:

Задача 31. Для электрона, находящегося на третьей орбите () атома водорода, определите радиус орбиты , скорость электрона на этой орбите и период его обращения .

Дано Электрон в атоме : . Решение Запишем второй закон Ньютона для движения электрона по окружности радиусом вокруг ядра атома водорода, заряд которого (рис. 51). Сила Кулона направлена по радиусу окружности к ее центру и является центростремительной, поэтому уравнение закона Ньютона запишем в проекции на нормаль к траектории:

Здесь – масса и скорость электрона; – заряд электрона и ядра; – кулоновская постоянная в системе единиц СИ.

Формулу (3) представим в следующем виде:

Здесь – первый боровский радиус (согласно формуле (4) ). Вычисляем радиус третьей боровской орбиты электрона в атоме водорода:

Вычисляем скорость электрона на третьей орбите, используя первый постулат Бора, по формуле (3):

Период обращения электрона на -ной орбите: время одного оборота, – определим по формуле пути для равномерного движения электрона со скорость :

Формулу (5) представим в следующем виде:

, – период обращения электрона на первой орбите.

Вычисляем период обращения электрона на третьей боровской орбите атома водорода по формуле (6):

Полученная величина периода обращения показывает, что число оборотов в одну секунду, которое совершает электрон при движении в поле ядра атома водорода: .

Задача 32. Для атома водорода определите 1) полную энергию электрона на орбитах с главным квантовым числом и 2) длину волны λ фотона, излучаемого при переходе электрона с шестого энергетического уровня на первый – в серии Лаймана (ультрафиолетовой).

Дано Электрон в атоме : ; . Решение Полная энергия электрона в атоме водорода (и в любом другом атоме) равна сумме кинетической энергии электрона и потенциальной энергии его взаимодействия с зарядом ядра : . Таким образом, величина полной энергии атома водорода в состоянии с главным квантовым числом

Здесь – масса электрона и его скорость на -ной орбите; – кулоновская постоянная в системе единиц СИ; – заряд электрона и ядра ; – радиус орбиты с номером .

Скорость электрона определим из закона динамики движения по круговой орбите (из второго закона Ньютона, записанного в проекции на нормаль):

Подставим найденное значение в формулу энергии электрона (1):

(3)

Сравнивая уравнения (1) и (3), отметим соотношение энергий электрона, движущегося в атоме водорода:

1) потенциальная энергия ;

2) кинетическая энергия .

Полная энергия электрона в атоме отрицательна; это означает, что электрон находится в связанном состоянии благодаря электростатическому взаимодействию с заряженным ядром атома.

Для получения расчетной формулы полной энергии электрона в формулу (3) подставим значение радиуса орбиты ; при этом энергия электрона в состоянии с главным квантовым числом

где – энергия электрона в состоянии с квантовым числом (одна из искомых величин). Величина является минимальной энергией, которой обладает атом водорода в основном состоянии (). Максимальная энергия (согласно формуле (4) ) соответствует ионизации атома путем отрыва электрона от ядра.

Вычислим по формуле (4) энергию атома в возбужденном состоянии, соответствующем движению электрона по шестой стационарной орбите:

Чтобы определить длину волны фотона, испускаемого при переходе электрона с 6-го энергетического уровня на 1-й, используем второй постулат Бора: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается фотон с энергией, равной разности энергий электрона на этих орбитах :

Уравнение (5) дает следующую расчетную формулу длины волны излучаемого фотона:

Вычисляем по этой формуле длину волны спектральной линии, соответствующей переходу электрона в атоме водорода с 6-й стационарной орбиты на 1-ю (в основное состояние):

Это длина волны ультрафиолетового (УФ) излучения, так как величина .

План решения задач по теме «Элементы квантовой механики»

1. Длина волны де Бройля для частиц вычисляется по формуле , где импульс частицы . Если известна кинетическая энергия частицы , то импульс выражают через энергию:

Если заряженная частица (электрон, протон, -частица) ускорена электрическим полем, совершившим работу , то кинетическая энергия определяется величиной ускоряющей разности потенциалов . Привычную формулу классической механики можно использовать для частиц, кинетическая энергия которых мала по сравнению с их энергией покоя : . Приведем значения энергии покоя некоторых частиц: для электрона ; для протона ; для -частицы .

2. Длину волны де Бройля можно определить из дифракционного эксперимента, используя для параллельного пучка частиц такие же условия максимумов и минимумов дифракции, как и для потока фотонов видимого или рентгеновского излучения. Приведем эти формулы:

1) для дифракции на щели: а) условие – ;

б) условие – ;

2) для дифракции на кристалле – формула Вульфа – Брэггов:

.

3. Для микрочастиц, находящихся в ограниченной области пространства (в атоме, в ядре, в узкой потенциальной яме), характерна ненулевая минимальная кинетическая энергия: и ненулевое значение минимального импульса: , так как такая частица, согласно соотношению неопределенностей, не может иметь точные нулевые значения. Поскольку неопределенность координаты частицы , – определяется характерным размером области, то, используя соотношение , можно получить формулу, связывающую минимальную кинетическую энергию частицы с размером области: .

Задача 33. Электрон движется со скоростью . Определите длину волны де Бройля электрона, учитывая зависимость его массы от скорости.

Дано Электрон: ; ; . Решение Длина волны де Бройля свободно движущейся частицы определяется формулой: , (1) где – постоянная Планка; – импульс частицы; – ее масса и скорость. При скоростях, сравнимых со скоростью света ,

масса частиц зависит от их скорости. Увеличение массы частицы в зависимости от ее скорости описывается формулой специальной теории относительности:

где – масса покоя электрона; – скорость света в вакууме.

Подстановкой выражения (2) для массы электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны де Бройля релятивистского электрона:

Вычисляем величину :

Задача 34. Электрон прошел в электростатическом поле (ЭСП) ускоряющую разность потенциалов: 1) ; 2) . Определите длины волн де Бройля электрона при .

Пройдя в ЭСП ускоряющую разность потенциалов , электрон приобрел кинетическую энергию , равную работе электрического поля:

Величина работы, совершенной полем, .

Приравнивая две последние формулы, определяем кинетическую энергию:

Вычисляем кинетическую энергию электрона для обоих случаев:

Сравним найденные величины энергии с энергией покоя электрона

Отмечаем, что . Следовательно, электрон не является релятивистским и для его импульса и кинетической энергии справедливы формулы классической механики:

Проверим, что это так, вычислив скорость электрона при из равенства . Релятивистская поправка (множитель) в этом случае равна .

Используя для кинетической энергии формулу (2), определяем по формуле (3) импульс электрона:

Подстановкой полученной величины импульса электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны электрона:

Вычисляем по формуле (5):

Вычислим величину следующим путем: согласно формуле (5)

Задача 35. Параллельный пучок атомов водорода, падающий под углом скольжения к поверхности монокристалла, дает дифракционный максимум 1-го порядк

Простейший из атомов, атом водорода явился своеобразным тест-объектом для теории Бора. Ко времени создания теории он был хорошо изучен экспериментально. Было известно, что он содержит единственный электрон. Ядром атома является протон – положительно заряженная частица, заряд которой равен по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона. Еще в начале XIX века были открыты дискретные спектральные линии в видимой области излучения атома водорода (так называемый линейчатый спектр). Впоследствии закономерности, которым подчиняются длины волн (или частоты) линейчатого спектра, были хорошо изучены количественно (И. Бальмер, 1885 г.). Совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра была названа серией Бальмера. Позже аналогичные серии спектральных линий были обнаружены в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. В 1890 году И. Ридберг получил эмпирическую формулу для частот спектральных линий:

Для серии Бальмера m = 2, n = 3, 4, 5, ... . Для ультрафиолетовой серии (серия Лаймана) m = 1, n = 2, 3, 4, ... . Постоянная R в этой формуле называется постоянной Ридберга. Ее численное значение R = 3,29·10 15 Гц. До Бора механизм возникновения линейчатых спектров и смысл целых чисел, входящих в формулы спектральных линий водорода (и ряда других атомов), оставались непонятными.

Постулаты Бора определили направление развития новой науки – квантовой физики атома. Но они не содержали рецепта определения параметров стационарных состояний (орбит) и соответствующих им значений энергии E n .

Правило квантования, приводящее к согласующимся с опытом значениям энергий стационарных состояний атома водорода, Бором было угадано. Он предположил, что момент импульса электрона, вращающегося вокруг ядра, может принимать только дискретные значения, кратные постоянной Планка. Для круговых орбит правило квантования Бора записывается в виде

где e – элементарный заряд, ε 0 – электрическая постоянная. Скорость электрона υ и радиус стационарной орбиты r n связаны правилом квантования Бора. Отсюда следует, что радиусы стационарных круговых орбит определяются выражением

Радиусы последующих орбит возрастают пропорционально n 2 .

Полная механическая энергия E системы из атомного ядра и электрона, обращающегося по стационарной круговой орбите радиусом r n , равна

Целое число n = 1, 2, 3, ... называется в квантовой физике атома главным квантовым числом.

Согласно второму постулату Бора, при переходе электрона с одной стационарной орбиты с энергией E n на другую стационарную орбиту с энергией E m < E n атом испускает квант света, частота ν nm которого равна ΔE nm / h:

Подстановка числовых значений m e , e, ε 0 и h в эту формулу дает результат

который очень хорошо согласуется с эмпирическим значением R. Рис. 6.3.1 иллюстрирует образование спектральных серий в излучении атома водорода при переходе электрона с высоких стационарных орбит на более низкие.

На рис. 6.3.2. изображена диаграмма энергетических уровней атома водорода и указаны переходы, соответствующие различным спектральным сериям.

Прекрасное согласие боровской теории атома водорода с экспериментом служило веским аргументом в пользу ее справедливости. Однако попытки применить эту теорию к более сложным атомам не увенчались успехом. Бор не смог дать физическую интерпретацию правилу квантования. Это было сделано десятилетием позже де Бройлем на основе представлений о волновых свойствах частиц. Де Бройль предложил, что каждая орбита в атоме водорода соответствует волне, распространяющейся по окружности около ядра атома. Стационарная орбита возникает в том случае, когда волна непрерывно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Другими словами, стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты (рис. 6.3.3). Это явление очень похоже на стационарную картину стоячих волн в струне с закрепленными концами.

В стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться по идее де Бройля целое число длин волн λ, т. е.

Подставляя в это соотношение длину волны де Бройля λ = h / p, где p = m e υ – импульс электрона, получим:

Таким образом, боровское правило квантования связано с волновыми свойствами электронов.

Успехи теории Бора в объяснении спектральных закономерностей в изучении атома водорода были поразительны. Стало ясно, что атомы – это квантовые системы, а энергетические уровни стационарных состояний атомов дискретны. Почти одновременно с созданием теории Бора было получено прямое экспериментальное доказательство существования стационарных состояний атома и квантования энергии. Дискретность энергетических состояний атома была продемонстрирована в 1913 г., в опыте Д. Франка и Г. Герца, в котором исследовалось столкновение электронов с атомами ртути. Оказалось, что если энергия электронов меньше 4,9 эВ, то их столкновение с атомами ртути происходит по закону абсолютно упругого удара. Если же энергия электронов равна 4,9 эВ, то столкновение с атомами ртути приобретает характер неупругого удара, т. е. в результате столкновения с неподвижными атомами ртути электроны полностью теряют свою кинетическую энергию. Это означает, то атомы ртути поглощают энергию электрона и переходят из основного состояния в первое возбужденное состояние,

Спектральная линия с такой частотой действительно была обнаружена в ультрафиолетовой части спектра излучения атомов ртути.

Представление о дискретных состояниях противоречит классической физике. Поэтому возник вопрос, не опровергает ли квантовая теория ее законы.

Квантовая физика не отменила фундаментальных классических законов сохранения энергии, импульса, электрического разряда и т. д. Согласно сформулированному Н. Бором принципу соответствия, квантовая физика включает в себя законы классической физики, и при определенных условиях можно обнаружить плавный переход от квантовых представлений к классическим. Это можно видеть на примере энергетического спектра атома водорода (рис. 6.3.2). При больших квантовых числах n >> 1 дискретные уровни постепенно сближаются, и возникает плавный переход в область непрерывного спектра, вытекающего из классической физики.

Половинчатая, полуклассическая теория Бора явилась важным этапом в развитии квантовых представлений, введение которых в физику требовало кардинальной перестройки механики и электродинамики. Такая перестройка была осуществлена в 20-е – 30-е годы XX века.

Представление Бора об определенных орбитах, по которым движутся электроны в атоме, оказалось весьма условным. На самом деле движение электрона в атоме очень мало похоже на движение планет или спутников. Физический смысл имеет только вероятность обнаружить электрон в том или ином месте, описываемая квадратом модуля волновой функции |Ψ| 2 . Волновая функция Ψ является решением основного уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера. Оказалось, что состояние электрона в атоме характеризуется целым набором квантовых чисел. Главное квантовое число n определяет квантование энергии атома. Для квантования момента импульса вводится так называемое орбитальное квантовое число l. Проекция момента импульса на любое выделенное в пространстве направление (например, направление вектора магнитного поля) также принимает дискретный ряд значений. Для квантования проекции момента импульса вводится магнитное квантовое число m. Квантовые числа n, l, m связаны определенными правилами квантования. Например, орбитальное квантовое число l может принимать целочисленные значения от 0 до (n – 1). Магнитное квантовое число m может принимать любые целочисленные значения в интервале ±l. Таким образом, каждому значению главного квантового числа n, определяющему энергетическое состояние атома, соответствует целый ряд комбинаций квантовых чисел l и m. Каждой такой комбинации соответствует определенное распределение вероятности |Ψ| 2 обнаружения электрона в различных точках пространства («электронное облако»).

Состояния, в которых орбитальное квантовое число l = 0, описываются сферически симметричными распределениями вероятности. Они называются s-состояниями (1s, 2s, ..., ns, ...). При значениях l > 0 сферическая симметрия электронного облака нарушается. Состояния с l = 1 называются p-состояниями, с l = 2 – d-состояниями и т. д.

На рис. 6.3.4 изображены кривые распределения вероятности ρ (r) = 4πr 2 |Ψ| 2 обнаружения электрона в атоме водорода на различных расстояниях от ядра в состояниях 1s и 2s.

Как видно из рис. 6.3.4, электрон в состоянии 1s (основное состояние атома водорода) может быть обнаружен на различных расстояниях от ядра. С наибольшей вероятностью его можно обнаружить на расстоянии, равном радиусу r 1 первой боровской орбиты. Вероятность обнаружения электрона в состоянии 2s максимальна на расстоянии r = 4r 1 от ядра. В обоих случаях атом водорода можно представить в виде сферически симметричного электронного облака, в центре которого находится ядро.

13.7. Атом водорода (водородоподобный атом) по теории Бора

13.7.3. Орбиты электрона в атоме

Согласно правилу квантования орбит ( принципу Зоммерфельда ) связь между энергией стационарных состояний электрона в атоме, радиусом его орбиты и скоростью на этой орбите задается формулой

mvr = n ℏ,

где m - масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10 −31 кг; v - скорость электрона; r - радиус орбиты электрона; ℏ - приведенная постоянная Планка, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h - постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n - главное квантовое число.

Из правила квантования орбит следует, что стационарным состояниям электрона в атоме соответствуют только такие орбиты электронов, для которых выполняется условие

mv n r n = n ℏ,

где r n - радиус электрона на орбите с номером n ; v n - скорость электрона на орбите с номером n ; m - масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10 −31 кг; ℏ - приведенная постоянная Планка, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h - постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n - главное квантовое число.

Радиус стационарной орбиты электрона

r n = ℏ 2 n 2 k Z e 2 m ,

где k = 1/4πε 0 ≈ 9 ⋅ 10 9 Н ⋅ м 2 /Кл 2 ; ε 0 - электрическая постоянная, ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 Ф/м; Z - порядковый номер элемента; e - заряд электрона, e = −1,6 ⋅ 10 −19 Кл; m - масса электрона, m = 9,11 ⋅ 10 −31 кг; ℏ - приведенная постоянная Планка, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h - постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n - главное квантовое число.

Радиус первой орбиты электрона в атоме водорода (Z = 1 и n = 1) равен

r 1 = ℏ 2 k e 2 m = 0,53 ⋅ 10 − 10 м

и называется первым боровским радиусом .

Для упрощения вычислений радиуса n-й орбиты электрона в водородоподобном атоме применяют формулу

r (Å) = 0,53 ⋅ n 2 Z ,

где r (Å) - радиус в ангстремах (1 Å = 1,0 ⋅ 10 −10 м); Z - порядковый номер химического элемента в Периодической системе элементов Д.И. Менделеева; n = 1, 2, 3, … - главное квантовое число.

Скорость электрона на стационарной орбите в водородоподобном атоме определяется формулой

v n = k Z e 2 n ℏ ,

где k = 1/4πε 0 ≈ 9 ⋅ 10 9 Н ⋅ м 2 /Кл 2 ; ε 0 - электрическая постоянная, ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 Ф/м; Z - порядковый номер элемента; e - заряд электрона, e = −1,6 ⋅ 10 −19 Кл; ℏ - приведенная постоянная Планка, ℏ = = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; h - постоянная Планка, h = 6,626 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с; n - главное квантовое число.

Скорость электрона на первой орбите в атоме водорода (Z = 1 и n = 1) равна

v n = k e 2 ℏ = 2,2 ⋅ 10 6 м/с.

Для упрощения вычислений величины скорости электрона на n-й орбите в водородоподобном атоме применяют формулу

v (м/с) = 2,2 ⋅ 10 6 ⋅ Z n ,

где v (м/с) - модуль скорости в м/с; Z - порядковый номер химического элемента в Периодической системе элементов Д.И. Менделеева; n = 1, 2, 3, … - главное квантовое число.

Пример 21. Электрон в атоме гелия переходит с первой орбиты на орбиту, радиус которой в 9 раз больше. Найти энергию, поглощенную атомом.

Решение . Энергия, поглощенная атомом гелия, равна разности энергий:

∆E = E 2 − E 1 ,

где E 1 - энергия электрона, соответствующая радиусу орбиты r 1 ; E 2 - энергия электрона, соответствующая радиусу орбиты r 2 .

Энергии электрона в атоме гелия (Z = 2) определяются следующими формулами:

  • в состоянии с главным квантовым числом n 1 = 1 -

E 1 (эВ) = − 13,6 Z 2 n 1 2 = − 54,4 эВ;

  • состоянии с главным квантовым числом n 2 -

E 2 (эВ) = − 54,4 n 2 2 .

Для определения энергии E 2 воспользуемся выражением для радиусов соответствующих орбит:

  • для орбиты с главным квантовым числом n 1 = 1 -

r 1 (Å) ≈ 0,53 n 1 2 Z = 0,265 Å ;

  • орбиты с главным квантовым числом n 2 -

r 2 (Å) ≈ 0,265 n 2 2 .

Отношение радиусов

r 2 (Å) r 1 (Å) = 0,265 n 2 2 0,265 = n 2 2

позволяет определить главное квантовое число второго состояния:

n 2 = r 2 (Å) r 1 (Å) = 9 = 3 ,

где r 2 /r 1 - заданное в условии отношение радиусов орбит, r 2 /r 1 = 9.

Из отношения энергий

E 2 E 1 = 1 n 2 2

следует, что энергия электрона в атоме гелия во втором состоянии

E 2 = E 1 n 2 2 = − 54,4 эВ 3 2 = − 6,04 эВ.

Энергия, поглощенная атомом при указанном переходе, является разностью

∆E = E 2 − E 1 = −6,04 − (−54,4) = 48,4 эВ.

Следовательно, при указанном переходе атом поглотил энергию, равную 48,4 эВ.

Сокол-Кутыловский О.Л.

Энергетическое строение атома водорода

Современная теоретическая физика, использующая весь арсенал абстрактной математики, строит многочисленные «единые теории поля», решает созданные ей же актуальнейшие проблемы «черных дыр» и «темного вещества» во Вселенной, исследует «кривизну» четырех и более мерного пространства и «обратимость времени». Поэтому до земных дел у теоретиков неклассической физики времени и нет. Как в начале прошлого века «сляпали» атом водорода, добавили к нему несколько «постоянных» и несколько постулатов-правил, так и живем с тех пор с таким веществом. И ничего, за сто лет не рассыпалось. Авось и еще продержится. А если появляется где-нибудь когда-нибудь дотошный студент, так на него всегда управа есть, — ну что он сможет противопоставить «принципу неопределенности»? То-то же!

Была, правда, классическая натурфилософская физика, основанная когда-то Ньютоном, Галилеем, Фарадеем и Максвеллом, которая позволяла достаточно строго и доступно для понимания любого умеющего думать человека получить ответ на многие вопросы. Только все это осталось в прошлом. Теперь стало жить проще: выучил, как молитву, весь набор правил, постулатов и констант, спихнул все это на экзаменах, и спокойно забыл, — все равно эта абракадабра больше никогда не понадобится.

А если все-таки кто-то случайно захочет узнать, как же на самом деле устроен атом водорода, он может это сделать здесь, прочитав эту статью.

  1. Динамическое силовое равновесие в атоме водорода

Чтобы получить соотношение между орбитальной угловой скоростью и радиусом первой орбиты электрона, рассмотрим схематическое изображение атома водорода (Рис. 1):

Рис. 1. На стационарной круговой орбите электрическая сила притяжения электрона к ядру атома, F э, компенсируется центробежной силой, F ц, действующей на электрон при его вращении вокруг ядра. R – радиус орбиты электрона.

В стационарном состоянии в атоме водорода имеет место баланс сил, действующих на электрон, движущийся по круговой орбите вокруг положительно заряженного ядра. В этом случае электрон и ядро могут рассматриваться, как точечные объекты. Силы электрического и гравитационного притяжения уравновешиваются центробежной силой:

Из выражения (2) выразим угловую скорость электрона на стационарной (первой) орбите через радиус его стационарной орбиты:

. (3)
  1. Первое основное энергетическое состояние атома водорода

Рассмотрим основные виды энергии, определяющие баланс силового взаимодействия – электрическую энергию притяжения электрона к ядру и энергию вращательного механического движения электрона, движущегося по орбите. Именно эти две энергии определяют основное устойчивое энергетическое состояние электрона в атоме водорода на первой орбите (вне зависимости от того, вращается электрон вокруг своей оси, или нет), а их сумма должна быть примерно равна энергии связи, которая в атоме водорода равна энергии его ионизации, W iH:

Из уравнения (5) можно найти радиус стационарной (первой) орбиты электрона в атоме водорода:

. (6)

Подставляя численное значение энергии ионизации атома водорода (W iH ≈-13.595 эВ ) получаем ориентировочную величину радиуса первой орбиты электрона:

R 1 ≈0.529598·10 -10 [м].

Полученная величина радиуса первой орбиты электрона близка к боровскому радиусу атома водорода, a 0 =0.52917706·10 -10 м , но в четвертом знаке все же отличается от него.

При найденном радиусе первой орбиты величина орбитального момента импульса электрона в первом основном энергетическом состоянии атома водорода, в соответствии с определением момента импульса, будет равна:

≈1.055·10 -34 [Дж·с].

Угловая частота вращения электрона на первой (стационарной) орбите атома водорода в первом основном энергетическом состоянии может быть найдена из формулы (3):

ω о1.1 ≈4.12921·10 16 [радиан/c].

Полученные величины радиуса первой орбиты электрона, орбитального момента импульса электрона и угловую частоту вращения электрона на первой орбите атома водорода здесь пока не пронумерованы, так как все эти значения далее будут уточнены.

  1. Собственные моменты импульса электрона и ядра (протона) в атоме водорода

Рассмотрим возможные величины моментов импульса электрона и протона в атоме водорода. Энергия первого основного энергетического состояния, в качестве которой была взята энергия ионизации, – известна (W 1 и W 3 в Таблице 1). Ориентировочная величина орбитального момента импульса электрона на первой орбите в первом основном энергетическом состоянии атома водорода также найдена. Наиболее простые соотношения моментов импульса в первом основном энергетическом состоянии представлены в Таблице 1 для энергий W 1 и W 3 . Полагая, что момент импульса ядра при электронных переходах остается неизменным, можно найти момент импульса ядра и сумму моментов импульса электрона, которые совпадают в состояниях W 1 , W 2 и в состояниях W 3 , W 4 , соответственно. Определив из данных спектроскопии возможную величину энергии ионизации водорода, когда электрон находится во втором основном энергетическом состоянии (W 2 ≈ -16.6+10.2=-3.4 [эВ]), она же – энергия второго энергетического состояния, W 2 или W 4 , можно найти все моменты импульса, представленные в Таблице 1.

Таблица 1. Вероятные моменты импульса электрона и ядра в различных предполагаемых энергетических состояниях на первой орбите атома водорода (в скобках указаны значения в единицах орбитального момента импульса первого энергетического состояния)

При этом необходимо сделать некий разумный выбор в соотношении орбитального и собственного моментов импульса электрона. В Таблице 1. показаны два простейших варианта: первый, − когда собственный момент импульса электрона равен половине орбитального (W 1 , W 2 ), и второй, − когда собственный момент импульса электрона равен орбитальному моменту импульса (W 3 , W 4 ). Поскольку любая энергетическая система стремится занять состояние с наименьшей энергией, то в качестве наиболее вероятных основных энергетических состояний атома водорода приняты состояния W 1 и W 2 , как состояния с наименьшей суммой моментов электрона. В соответствии с законом сохранения импульса, определим остальные моменты импульса электрона и протона и поместим их в Таблицу 1. Так как угловая скорость собственного вращения электрона пока не известна, а значение собственного момента импульса электрона было выбрано исходя из простых соотношений, кратных половине орбитального момента импульса, то необходимо оценить допустимость сделанного выбора. Ведь не очевидно, что закон сохранения момента импульса не будет выполняться при других, более сложных соотношениях моментов импульса электрона в атоме.

Собственный момент импульса электрона может быть найден по формуле для гиромагнитного отношения электрона через его собственный магнитный момент, ориентировочную величину которого можно взять из экспериментов по электронному магнитному резонансу (μ e ≈928.47701∙10 -26 Дж/Тл ):

≈0.527902∙10 -34 Дж∙с.

Эта величина собственного магнитного момента электрона очень близка к выбранному в Таблице 1 значению, что говорит о разумности сделанного предварительного выбора. В пользу такого простого (кратного) соотношения моментов говорит и отношение энергий первого и второго энергетических состояний.

Теперь, когда известна величина орбитального момента импульса и ориентировочная величина собственного момента импульса электрона, можно найти величину угловой скорости вращения электрона вокруг собственной оси в первом основном энергетическом состоянии, а также оценить параметры протона: его угловую скорость вращения вокруг собственной оси, его радиус и его магнитный момент. Полученную таким образом величину собственного магнитного момента протона в атоме водорода можно сравнить с имеющимися экспериментальными данными, полученными в экспериментах по магнитному резонансу на ядрах водорода (протонах).

Составим уравнение моментов импульса для атома водорода на его первой орбите:

Где m p − масса протона, Ω p − угловая скорость протона и r p − радиус протона.

В этом уравнении остаются пока неизвестными две величины: угловая скорость вращения протона вокруг собственной оси и радиус протона.

Радиус ядра атома водорода (протона) можно оценить из следующих соображений. Плотность вещества в электроне известна. Протон также как и электрон является стабильной элементарной частицей вещества и также должен иметь максимально возможную плотность, так как вследствие своей элементарности и неделимости по всей вероятности внутри себя не имеет промежутков объема, свободных от вещества. Поэтому можно предположить, что радиус протона равен:

.

Так как величина момента импульса протона в первом основном энергетическом состоянии атома водорода равна сумме орбитального и собственного моментов импульса электрона, M p ≈1.58251·10 -34 Дж·с, масса протона m p =1.6736485·10 -27 кг , масса электрона m e =9.109534·10 -31 кг , а радиус электрона r e =2.817938·10 -15 м, то:

≈1.01173·10 20 [радиан/с].

Теперь можно найти магнитный момент протона в атоме водорода :

≈1.51588·10 -26 Дж/Тл.

Полученная величина магнитного момента протона не намного отличается от известного значения магнитного момента протона (на ~7% больше).

Возможное различие можно попытаться объяснить незнанием точной формы протона и точной величины его радиуса и плотности, недостаточно точными величинами моментов электрона, но, как показано в , − это результат взаимодействия магнитного поля электрона с магнитным полем протона.

Таким образом, выбранное в Таблице 1 соотношение величин моментов импульса электрона и ядра в атоме водорода для энергетических состояний W 1 и W 2 не противоречит экспериментальным результатам, полученным независимым способом.

  1. Второе основное энергетическое состояние атома водорода

4.1. В атоме водорода существует еще одно основное энергетическое состояние электрона с отрицательной суммарной энергией, возникающее при других величинах орбитального и собственного моментов импульса электрона на первой орбите:

. (7)

В соответствии с Таблицей 1 орбитальный момент импульса электрона во втором основном энергетическом состоянии:

≈1.84625·10 -34 [Дж·с],

тогда орбитальная скорость электрона во втором энергетическом состоянии:

ω 1.2 ≈3.314948·10 16 радиан/c.

Так как орбитальная скорость электрона на первой орбите во втором энергетическом состоянии не соответствует уравнению (3), то второе основное энергетическое состояние не является устойчивым.

То есть при различии энергии состояний в 4 раза во втором энергетическом состоянии орбитальный момент электрона в 1.75 раза больше, а орбитальная скорость вращения электрона несколько меньше, чем в первом основном энергетическом состоянии.

Переход электрона между основными энергетическими состояниями на первой орбите вызван изменением моментов импульса электрона и соответствует разности энергий:
1.63363 10 -18 Дж.

(8)

Эта разность энергий, W 2.1 – W 1.1 , соответствует энергии спектральной линии с длиной волны λ≈1215.99·10 -10 м . В спектре атома водорода имеется близкая спектральная линия – это самая яркая линия в спектре водорода (длина волны λ≈1215.67·10 -10 м , яркость В=3500 ).

4.2. Именно по этой спектральной линии можно определить энергию второго энергетического состояния на первой орбите. Разность между энергией ионизации W 1 ≈13.6 эВ (которая определяет энергию первого основного энергетического состояния на первой орбите) и уровнем энергии самой яркой спектральной линии λ≈1215.99·10 -10 м (10.2 эВ) равна энергии второго основного энергетического состояния на первой орбите, W 2 ≈3.4 эВ. В результате и было получено, что энергия второго основного энергетического состояния на первой орбите в четыре раза меньше, чем энергия первого основного энергетического состояния на первой орбите.

4.3. Состояния W 1.1 и W 2.1 соответствуют одной и той же первой орбите электрона с радиусом R 1 и отличаются друг от друга величиной орбитального и направлением и величиной собственного момента импульса электрона.

Зная величину собственного момента импульса электрона во втором основном энергетическом состоянии (Таблица 1), можно найти угловую скорость электрона на первой орбите во втором энергетическом состоянии:

ω s2.1 ≈4.707·10 24 [радиан/с].

Несоответствие орбитальной скорости электрона во втором основном энергетическом состоянии уравнению (3) обуславливает неустойчивость этого энергетического состояния, что приводит к обязательному и незамедлительному возврату в первое основное энергетическое состояние.

  1. Первая спектральная серия атома водорода

5.1. Между энергетическим состоянием W 1 электрона на первой орбите радиуса R 1 и до отрыва электрона от атома могут существовать еще множество энергетических состояний (или энергетических уровней) с другими радиусами орбит и, но с моментом импульса, равным моменту импульса электрона на первой орбите. Причем эти уровни энергии соответствуют отрицательной энергии электрона, то есть соответствуют связанному состоянию электрона с ядром.

Согласно закону сохранения момента импульса, на всех орбитах электрона в первом основном энергетическом состоянии с порядковым номером орбиты n =2, 3, … электрон должен иметь тот же самый орбитальный момент импульса, что и на первой орбите:

Почему в формуле (10) следует брать только половину орбитального момента импульса? Изменение энергии атома или иона осуществляется посредством поглощения или излучения электромагнитных волн. Но электромагнитная волна не несет механический момент импульса, через который выражена разность угловых скоростей или угловых частот орбитального вращения электрона . Поэтому при применении понятия механического момента к электромагнитной волне необходимо пользоваться энергетическими характеристиками. Это возможно потому, что энергия вращательного движения пропорциональна моменту импульса. Если перейти к энергетической характеристике момента импульса, то и электромагнитную волну следует рассматривать с тех же энергетических позиций. Поскольку элементарная электромагнитная волна состоит из двух одновременных электромагнитных колебаний электрического и магнитного полей, взаимно преобразующихся друг в друга , то каждое составляющее электромагнитное колебание несет половину энергии всей электромагнитной волны и, соответственно, эта энергия пропорциональна произведению половины орбитального момента импульса электрона на разность частот. То есть когда речь идет о разности энергий электрона в атоме, то его орбитальный момент импульса в основном состоянии равен M о, а энергия − 0.5M о ∙Δω, но когда речь идет о длине волны или частоте электромагнитной волны, которые определяются в каждом из двух одновременных колебаний электромагнитного поля, то при выражении длины волны или частоты через момент импульса электрона необходимо использовать только половину величины момента M о, а эквивалентная энергия этой половины электромагнитной волны − 0.25M о ∙Δω. Связь же величин в электромагнитной волне (λ=2π· с/ω ) одинакова в любом из двух составляющих волну электромагнитных колебаний.

Именно поэтому в соответствии с определением момента импульса и структурой элементарной электромагнитной волны в формулу (10) входит половина орбитального момента импульса электрона.

Преобразуем разность частот (10) в соответствующую этой разности частот величину обратной длины волны:

Эта величина в формуле (12) соответствует так называемой «постоянной Ридберга», R ∞ , которая в современной физике выражается через несколько другое соотношение некоторых других известных констант :

Рассмотрим возможную длину электромагнитных волн соответствующих изменению энергетических уровней электрона в пределах основного энергетического состояния W 1 .

Для того чтобы не изменился момент импульса электрона, допустимые длины волн излучаемого или поглощаемого электромагнитного излучения должны быть кратны длине окружности первой орбиты, то есть, кратны целому числу радиусов первой орбиты электрона:

где n= 2, 3, … – это номера орбит и соответствующих им спектральных линий в первой основной серии атома водорода, называемой серией Лаймона.

5.2. Излучение и поглощение атомом электромагнитных волн с изменением энергетических уровней в пределах одного основного энергетического состояния является дипольным электрическим излучением .

  1. 6. Вторая спектральная серия атома водорода

Энергия электрона во втором основном энергетическом состоянии в четыре раза меньше, чем в первом основном энергетическом состоянии, поэтому во втором основном энергетическом состоянии электрона в атоме водорода орбитальный момент импульса электрона в 4 раза меньше:

, (15)

а на электромагнитную волну, представленную только одним составляющим колебанием электрического и магнитного полей, приходится только половина орбитального момента импульса M о2 , то есть 0.125M о. Равный этой величине момент импульса будет у электрона и на любой другой орбите электрона во втором основном энергетическом состоянии.

Выразим разность между угловой скоростью на первой орбите и угловой скоростью электрона на орбите с номером n через орбитальный момент импульса электрона, который для всех радиусов орбит второго основного энергетического состояния равен M о /8:
absmiddle" src="http://trinitas.ru/rus/doc/0016/001b/pic/1313/1313-1010.gif" width="207" height="48">,

(18)

где n= 3, 4, …

Спектральная серия второго основного энергетического состояния в атоме водорода (18) составляет известную серию Бальмера.

  1. Переходы между основными энергетическими состояниями

Формулы (14) и (18) описывают две основные серии спектральных линий в атоме водорода, которые различаются величиной моментов импульса электрона. Электромагнитная волна, излучаемая или поглощаемая атомом при изменении энергетического состояния электрона в пределах каждой из этих основных спектральных серий в отдельности, происходит без изменения состояния моментов импульса электрона. Изменяется только радиус орбиты электрона.

Если же энергетическое состояние электрона изменяется между уровнями энергии двух основных состояний электрона, то электромагнитные волны излучаются и поглощаются атомом с изменением состояния моментов импульса электрона, радиус же орбиты при этом может измениться, но может остаться и неизменным.

Таким образом, следует, что атом водорода имеет всего два основных энергетических состояния, каждое из которых, в соответствии с законом сохранения импульса, подразделяется на дискретную серию вторичных энергетических уровней, различающихся радиусом орбиты электрона. Изменение энергетического состояния атома водорода в пределах каждого из основных состояний создает свою собственную основную серию спектральных линий (поглощения и испускания) электромагнитной энергии. В пределах первого основного энергетического состояния – это спектральная серия Лаймона, а в пределах второго основного энергетического состояния – это спектральная серия Бальмера. Все другие возможные изменения энергетического состояния атома водорода осуществляются за счет переходов между уровнями основных энергетических состояний атома водорода. При этом переход между энергетическими состояниями электрона может осуществляться как между различными орбитами электрона, так и на одной и той же орбите, так как половина орбит второго основного энергетического состояния электрона совпадает с орбитами первого основного энергетического состояния. То есть на одних и тех же орбитах электрон в атоме может находиться в одном из двух энергетических состояний, отличающихся энергией и величиной моментов импульса.

Переход электрона в пределах каждого из основных энергетических состояний соответствует электрическому дипольному излучению, переход электрона между основными энергетическими состояниями на одной орбите соответствует магнитному дипольному излучению, а переход электрона между основными энергетическими состояниями различных орбит соответствует, по-видимому, комбинированному электромагнитному излучению.

Спектральная линия с длиной волны λ=1215.67·10 -10 м имеет самую высокую яркость и соответствует переходу между двумя основными энергетическими состояниями электрона в спектре атома водорода. В то же время спектральная линия с аналогичной длиной волны является первой линией серии Лаймона.

«Постоянная Ридберга» в каждом из основных энергетических состояний атома имеет свое собственное значение. Более точная величина этих значений для атома водорода будет рассмотрена ниже.

В Таблице 2 приведены наиболее точные экспериментальные значения длин волн первой спектральной серии атома водорода в вакууме и длины волн, вычисленные по формуле (14) при различных значениях «постоянной Ридберга», а также разность измеренной и вычисленной по формуле (14) длин волн до n= 20.

Спектральные линии, длины волн которых обозначены звездочкой, определены с наивысшей точностью, причем каждая состоит из двух близко расположенных спектральных линий (дублетов), то есть имеет тонкую структуру. В Таблице 2 указаны «центры тяжести» этих дублетов .

Среди этих наиболее точных спектральных линий этой серии в спектральной линии с длиной волны λ=937.8035·10 -10 м расстояние между линиями тонкой структуры минимально, поэтому «центр тяжести» этой линии имеет наиболее точное значение. Именно по этой причине в Таблице 12.2 спектральная линия с длиной волны λ=937.8035·10 -10 м принята за эталон, и все уточненные расчеты велись по отношению именно к этой спектральной линии.

Максимальное отклонение величины длин волн, вычисленных по отношению к «эталонной» линии и измеренных величин длин волн спектральных линий серии Лаймона, (кроме первого дублета) при R ∞1 =10967878 составляет ~0.0005·10 -10 м, причем это отклонение имеет различные знаки, то есть представляет собой случайную погрешность.

В то же время значения длин волн в спектральной серии Лаймона, вычисленные с принятой в физике в настоящее время постоянной Ридберга, R ∞ =10973731.77 , имеют более чем в тысячу раз большее отклонение от измеренных значений длин волн, и это отклонение представляет собой однозначную систематическую погрешность.

Таблица 12.2.

λ×10 -10 м
измеренное
 λ×10 -10 м
вычисленное
R ∞ =10973731,77
Δλ×10 -10 м
 λ ×10 -10 м
вычисленное
R ∞1 =10967878
Δλ ×10 -10 м
2
 1215.6701*
 1215.02
 0.65
 1215.6712
 -0.0011
3
 1025.7223*
 1025.18
 0.54
 1025.7226
 -0.0003
4
 972.5368*
 972.02
 0.52
 972.5370
 -0.0002
5
 949.7431*
 949.24
 0.50
 949.74313
 -0.0003
6
 937.8035*
 937.30
 0.50
 937.8035
 0.0000
7
 930.748
 930.25
 0.50
 930.7483
 0.0003
8
 926.226
 925.73
 0.47
 926.2257
 0.0003
9
 923.150
 922.66
 0.49
 923.1503
 0.0003
10
 920.963
 920.47
 0.49
 920.9630
 0.0000
11
 919.351
 918.86
 0.49
 919.3513
 0.0003
12
 918.129
 917.64
 0.49
 918.1293
 0.0003
13
 917.181
 916.69
 0.49
 917.1805
 -0.0005
14
 916.429
 915.94
 0.49
 916.4291
 0.0001
15
 915.824
 915.34
 0.48
 915.8237
 -0.0003
16
 915.329
 914.84
 0.49
 915.3289
 -0.0001
17
 914.919
 914.43
 0.49
 914.9192
 0.0002
18
 914.576
 914.09
 0.49
 914.5762
 0.0002
19
 914.286
 913.80
 0.49
 914.2860
 0.0000
20
 914.039
 913.55
 0.49
 914.0385
 -0.0005

Установленная таким образом величина постоянной R ∞1 =10967878 для первого основного энергетического состояния электрона в атоме водорода позволяет уточнить значение радиуса первой орбиты электрона в этом атоме, угловую скорость электрона на первой орбите и орбитальный момент импульса электрона в первом основном энергетическом состоянии.

Из уравнений (12) и из определения момента импульса электрона получаем:

Из уравнения (3) получаем:

С использованием более точного значения радиуса первой орбиты (20) и угловой скорости электрона на первой орбите в первом основном энергетическом состоянии (19), получаем более точное значение орбитального момента импульса электрона в первом основном энергетическом состоянии:

Энергия ионизации атома водорода с электроном, находящимся в первом основном энергетическом состоянии, в соответствии с уточненными значениями величин (19) – (21):

а энергия ионизации атома водорода с электроном, находящимся во втором основном энергетическом состоянии:

В Таблице 3 приведены значения длин волн для второй спектральной серии атома водорода в воздухе и длин волн, вычисленных по формуле (18) при различных значениях «постоянной Ридберга», а также разность измеренной и вычисленной длин волн до n= 36.

Таблица 3.


n		 λ×10 -10 м
измеренное,
по
λ×10 -10 м
вычисленное
по (18) при
R ∞ =10973731.77
Δλ×10 -10 м
 λ ×10 -10 м
вычисленное по (18) при
R ∞1 =10967878
Δλ ×10 -10 м
3
 6562.817
 6561.12
 1.7
 6564.620
 -1.803
4
 4861.332
 4860.09
 1.24
 4862.681
 -1.349
5
 4340.468
 4339.37
 1.10
 4341.680
 -1.212
6
 4101.737
 4100.70
 1.04
 4102.887
 -1.150
7
 3970.072
 3069.07
 1.0
 3971.190
 -1.118
8
 3889.049
 3888.07
 0.98
 3890.145
 -1.096
9
 3835.384
 3834.42
 0.96
 3836.466
 -1.082
10
 3797.898
 3796.95
 0.95
 3798.970
 -1.072
11
 3770.630
 3769.69
 0.94
 3771.695
 -1.065
12
 3750.152
 3749.21
 0.94
 3751.211
 -1.059
13
 3734.368
 3733.43
 0.94
 3735.423
 -1.055
14
 3721.938
 3721.01
 0.93
 3722.990
 -1.052
15
 3711.971
 3711.04
 0.93
 3713.020
 -1.049
16
 3703.853
 3702.93
 0.92
 3704.900
 -1.047
17
 3697.152
 3696.23
 0.92
 3698.197
 -1.045
18
 3691.555
 3690.63
 0.93
 3692.599
 -1.044
19
 3686.831
 3685.91
 0.92
 3687.874
 -1.043
20
 3682.808
 3681.89
 0.91
 3683.849
 -1.041
21
 3679.352
 3678.43
 0.92
 3680.393
 -1.041
22
 3676.363
 3675.44
 0.92
 3677.403
 -1.040
23
 3673.758
 3672.84
 0.92
 3674.798
 -1.040
24
 3671.476
 3670.56
 0.92
 3672.515
 -1.039
25
 3669.464
 3668.55
 0.91
 3670.502
 -1.038
26
 3667.682
 3666.76
 0.92
 3668.719
 -1.037
27
 3666.10
 3665.18
 0.92
 3667.132
 -1.03
28
 3664.68
 3663.76
 0.92
 3665.714
 -1.03
29
 3663.41
 3662.49
 0.92
 3.664.440
 -1.03
30
 3662.26
 3661.34
 0.92
 3663.292
 -1.03
31
 3661.22
 3660.30
 0.92
 3662.254
 -1.03
32
 3660.28
 3659.36
 0.92
 3661.313
 -1.03
33
 3659.42
 3658.51
 0.91
 3.660.456
 -1.04
34
 3657.93
 3657.72
 0.21
 3659.674
 -1.74
35
 3657.27
 3657.01
 0.26
 3.658.959
 -1.69
36
 3656.67
 3656.35
 0.32
 3658.302
 -1.63

В Таблице 3 даны длины волн, измеренные в воздухе, а эти значения отличается от длин волн в вакууме. На Рис. 2 приведена зависимость изменения длины волны в воздухе в диапазоне от 2000 Е до 15000Е, построенная по данным, опубликованным в . Если учесть поправку, представленную графиком на Рис. 2, то величины вычисленных по формуле (18) длин волн при R ∞1 = 10967878 отличается от измеренных не более чем на 0.01Е. В то же время длины волн, вычисленные по той же формуле с принятой в физике «постоянной Ридберга», отличаются от измеренных на ~2Е.

Рис. 2. Поправка на изменение длины волны электромагнитных волн в воздухе в диапазоне от 2000Е до 15000Е.

Из всего этого можно утверждать, что длины волн серии Бальмера, вычисленные по формуле (18) при R ∞1 = 10967878, имеют, по крайней мере, в 200 раз меньшую величину погрешности, чем длины волн, вычисленные по традиционной формуле с «постоянной Ридберга», полученной в квантовой механике. В показано, чем ограничена точность вычисления длин волн спектральных линий серии Бальмера и как довести ее до точности, полученной при вычислении длин волн серии Лаймона.

Следует отметить, что известны попытки изменения «постоянной Ридберга», предпринятые для более точного согласования расчетных и экспериментальных значений длин волн атома водорода. В частности, в работе в качестве «постоянной Ридберга» была использована нетрадиционная величина – 10967757.6 м -1 , которая намного ближе к величине R ∞1 =10967878 , предложенной автором здесь в Таблицах 2 и 3 в качестве первого приближения. Еще более точное значение постоянных R ∞1 и R ∞2 в атоме водорода может быть при необходимости определено после подробного изучения тонкой структуры энергетического состояния электрона в этом атоме.

  1. Энергетическое строение атома водорода

В Таблице 4 представлены номера орбит, их радиусы и соответствующие им уровни энергии электрона в атоме водорода в двух основных энергетических состояниях, что составляет основу энергетического строения этого атома. В данную таблицу включены 19 орбит первого основного энергетического состояния и 37 первых орбит второго основного энергетического состояния. При этом все нечетные орбиты второго основного энергетического состояния совпадают с орбитами первого основного энергетического состояния. Кроме того, некоторые уровни энергии в обоих энергетических состояниях электрона совпадают. Такое совпадение энергетических состояний приводит к возникновению близких и практически совпадающих спектральных линий, дублетов.

В Таблице 5 представлена угловая скорость электрона на каждой из возможных орбит в обоих энергетических состояниях. Угловая скорость на n -ной орбите для первого энергетического состояния электрона определялась по формуле:

В Таблице 6 представлены возможные переходы электрона в пределах первого основного энергетического состояния, величины разности энергии и соответствующая им длина волны электромагнитного излучения для первых 18 спектральных линий вакуумной области спектра, известных, как уже упоминалось, под названием спектральной серии Лаймона.

Таблица 4. Радиусы орбит и уровни энергии электрона в атоме водорода

№ орбиты, n

Радиус орбиты,

 Энергия электрона на данной орбите в состоянии W 1.n
№ орбиты, 2n-1
 Радиус орбиты,
 Энергия электрона на данной орбите в состоянии W 2.2n-1
1
 W 1.1 13.60097
 1
 0.529365
 W 2.1 3.40025
2
 1.191071
 W 2.2 1.51122
2
 W 1.2 3.40025
 3
 2.117458
 W 2.3 0.850062
4
 3.308531
 W 2.4 0.544039
3
 W 1.3 1.51122
 5
 4.764281
 W 2.5 0.377805
6
 6.484721
 W 2.6 0.277571
4
 W 1.4 0.850062
 7
 8.469834
 W 2.7 0.212515
8
 10.71964
 W 2.8 0.167913
5
 W 1.5 0.54404
 9
 13.23413
 W 2.9 0.13601
10
 16.01329
 W 2.10 0.112405
6
 W 1.6 0.377806
 11
 19.05714
 W 2.11 0.0944511
12
 22.36567
 W 2.12 0.0804791
7
 W 1.7 0.277571
 13
 25.93889
 W 2.13 0.0693927
14
 29.77678
 W 2.14 0.0604488
8
 W 1.8 0.212516
 15
 33.87936
 W 2.15 0.0531288
16
 38.24662
 W 2.16 0.0470622
9
 W 1.9 0.167914
 17
 42.87857
 W 2.17 0.0419783
18
 47.77519
 W 2.18 0.0376758
10
 W 1.10 0.13601
 19
 52.93646
 W 2.19 0.0340025
20
 58.36249
 W 2.20 0.0308412
11
 W 1.11 0.112405
 21
 64.05317
 W 2.21 0.0281012
22
 70.00852
 W 2.22 0.0257107
12
 W 1.12 0.0944514
 23
 76.22856
 W 2.23 0.0236128
24
 82.71328
 W 2.24 0.0217616
13
 W 1.13 0.0804793
 25
 89.46269
 W 2.25 0.0201198
26
 96.47677
 W 2.26 0.018657
14
 W 1.14 0.0693929
 27
 103.7555
 W 2.27 0.0173482
28
 111.2990
 W 2.28 0.01611724
15
 W 1.15 0.0604489
 29
 119.1071
 W 2.29 0.0151122
30
 127.1799
 W 2.30 0.0141529
16
 W 1.16 0.0531289
 31
 135.5174
 W 2.31 0.0132822
32
 144.1196
 W 2.32 0.0124894
17
 W 1.17 0.0470623
 33
 152.9865
 W 2.33 0.0117655
34
 162.1180
 W 2.34 0.0111028
18
 W 1.18 0.0419784
 35
 171.5143
 W 2.35 0.0104946
36
 181.1752
 W 2.36 0.0093497
19
 W 1.19 0.0376759
 37
 191.1008
 W 2.37 0.0094190

Таблица 5. Радиусы орбит и угловая скорость электрона в атоме водорода

1-е основное энергетическое состояние электрона

2-е основное энергетическое состояние электрона
№ орбиты, n

Радиус орбиты,

Угловая скорость
электрона,

×10 15 рад/с

 № орбиты, 2n-1
 Радиус орбиты,

Угловая скорость
электрона,

×10 15 рад/с
1
 41.3193
 1
 0.529365
 20.6597
2
 1.191071
 9.18209
2
 10.3299
 3
 2.117458
 5.16493
4
 3.308531
 3.30555
3
 4.59105
 5
 4.764281
 2.29552
6
 6.484721
 1.68651
4
 2.58246
 7
 8.469834
 1.29123
8
 10.71964
 1.02023
5
 1.65278
 9
 13.23413
 0.826388
10
 16.01329
 0.62965
6
 1.14776
 11
 19.05714
 0.573881
12
 22.36567
 0.488987
7
 0.843253
 13
 25.93889
 0.421626
14
 29.77678
 0.367284
8
 0.645616
 15
 33.87936
 0.322808
16
 38.24662
 0.285947
9
 0.510116
 17
 42.87857
 0.255058
18
 47.77519
 0.228916
10
 0.413194
 19
 52.93646
 0.206597
20
 58.36249
 0.18739
11
 0.341483
 21
 64.05317
 0.170741
22
 70.00852
 0.156217
12
 0.28694
 23
 76.22856
 0.14347
24
 82.71328
 0.132222
13
 0.244493
 25
 89.46269
 0.122247
26
 96.47677
 0.113359
14
 0.210813
 27
 103.7555
 0.105407
28
 111.2990
 0.0982625
15
 0.183642
 29
 119.1071
 0.0918209
30
 127.1799
 0.0859925
16
 0.161404
 31
 135.5174
 0.080702
32
 144.1196
 0.0774983
17
 0.142974
 33
 152.9865
 0.0714868
34
 162.1180
 0.0674603
18
 0.127529
 35
 171.5143
 0.0637645
36
 181.1752
 0.0603643
19
 0.114458
 37
 191.1008
 0.0572291

Длина волны в спектральной серии Лаймона определялась по формуле, связывающей энергию электрона с его моментом импульса:

, (26)

В этой формуле введен пересчетный коэффициент 2, учитывающий то, что разность механической энергии состояния электрона в атоме распределяется в электромагнитной волне на две равных составляющих, в соответствии со структурой электромагнитной волны.

Так как во втором энергетическом состоянии и момент импульса, и энергия состояния в четыре раза меньше, то определить длину волны и во второй спектральной серии атома водорода (Таблица 7) можно по этой же формуле (26).

Если брать из Таблицы 5 значения угловых скоростей электрона, то также можно найти длины волн соответствующих спектральных линий по формуле, связывающей длину волны с частотой электромагнитной волны. Однако здесь надо обратить внимание на то, что разность угловых скоростей вращения электрона на орбите может не совпадать с частотой электромагнитной волны. При простом соотношении энергии состояний угловые скорости и частоты могут быть кратны. Поэтому в формулу для нахождения длины электромагнитной волны по разности угловой скорости электрона, переходящего на различные орбиты в пределах одного и того же основного энергетического состояния, необходимо ввести коэффициент кратности, k :

. (27)

В первом энергетическом состоянии k =2, а во втором энергетическом состоянии k =4.

Причина несоответствия разности угловых скоростей вращения электрона и частоты электромагнитной волны при энергетическом подходе понятна и заключается в перераспределении механической энергии на две составляющие электромагнитные волны, каждая из которых в результате имеет в два раза более низкую частоту колебаний.

Той же самой причиной объясняется появление коэффициента k =2 при расчете длины волны в первом основном энергетическом состоянии по формуле (27).

Почему же при применении формулы (27) во втором энергетическом состоянии коэффициент кратности необходимо еще раз удвоить? Причина этого связана с соотношением радиусов орбит электрона, удовлетворяющим равенству момента импульса электрона во втором основном энергетическом состоянии. Проще говоря, угловая частота вращения электрона во втором энергетическом состоянии, при одном и том же моменте импульса электрона, в два раза ниже. Поэтому эквивалентная частота электромагнитной волны, излучаемой во втором энергетическом состоянии, также будет в два раза ниже, что удваивает коэффициент кратности, k . В первом основном энергетическом состоянии такого удвоения нет, так как момент импульса электрона кратен целому числу оборотов электрона вокруг ядра.

Таблица 6. Переходы в пределах первого основного энергетического состояния электрона и соответствующая им длина волны электромагнитного излучения первых 18 спектральных линий (серия Лаймона).


№
 Переход между
энергетическими
состояниями
 Величина разности
энергии состояний (эВ)
 Длина волны,
×10 -10 м
1
 W 1.1 - W 1.2
10.20072
 1215.672
2
 W 1.1 - W 1.3
12.08975
 1025.722
3
 W 1.1 - W 1.4
12.750908
 972.537
4
 W 1.1 - W 1.5
13.05693
 949.743
5
 W 1.1 - W 1.6
13.223164
 937.803
6
 W 1.1 - W 1.7
13.323399
 930.748
7
 W 1.1 - W 1.8
13.388454
 926.225
8
 W 1.1 - W 1.9
13.433056
 923.150
9
 W 1.1 - W 1.10
13.46496
 920.963
10
 W 1.1 - W 1.11
13.488565
 919.351
11
 W 1.1 - W 1.12
13.5065186
 918.129
12
 W 1.1 - W 1.13
13.5204907
 917.180
13
 W 1.1 - W 1.14
13.5315771
 916.429
14
 W 1.1 - W 1.15
13.5405211
 915.823
15
 W 1.1 - W 1.16
13.5478411
 915.329
16
 W 1.1 - W 1.17
13.5539077
 914.919
17
 W 1.1 - W 1.18
13.5589916
 914.576
18
 W 1.1 - W 1.19
13.5632941
 914.286

Все длины волн спектральных линий из Таблицы 6, построенной на основе энергетического спектра электрона, данного в Таблице 4 для первого основного энергетического состояния, точно соответствуют длинам волн спектральной серии Лаймона и могут быть получены из выведенной ранее формулы (14) для первого основного энергетического состояния электрона в атоме водорода.

Формула (14) позволяет вычислить и другие возможные спектральные линии этой серии, но эти потенциальные спектральные линии отсутствуют в имеющихся справочниках. В отличие от первого основного энергетического состояния, во всех остальных энергетических состояниях электрон не может быть сколь угодно долго. Электрон всегда стремится перейти из этих состояний в одно из двух основных своих энергетических состояний, W 1 и W 2 , а из W 2 – в состояние с наименьшей энергией W 1 .

Все длины волн спектральных линий, помещенные в Таблице 7, построенной на основе энергетического спектра электрона для второго основного энергетического состояния электрона по данным Таблицы 4, соответствуют длинам волн спектральной серии Бальмера и могут быть получены из выведенной ранее формулы (18) для второго основного энергетического состояния электрона в атоме водорода.

Таблица 7. Переходы в пределах второго основного энергетического состояния электрона и соответствующая им длина волны электромагнитного излучения первых 30 спектральных линий (серия Бальмера).


№
пп
 Переход между
энергетическими состояниями
W 2.1 - W 2.(n+1)
Разность энергии состояний (эВ)
 Длина волны,
λ вак ×10 -10 м
(вакуум)
 Попр.
(Рис.)
Δλ×10 -10 м
λ вычис-
ленное,
×10 -10 м
(воздух)
 λ изме-
ренное,
×10 -10 м
(воздух)
 δλ
1
 W 2.1 - W 2.2
1.88903
 6564.60
 -1.82
 6562.78
 6562.82*
 -0.04
2
 W 2.1 - W 2.3
2.550188
 4862.67
 -1.35
 4861.32
 4861.33
 -0.01
3
 W 2.1 - W 2.4
2.856211
 4341.67
 -1.22
 4340.45
 4340.47
 -0.02
4
 W 2.1 - W 2.5
3.022445
 4102.88
 -1.16
 4101.72
 4101.74
 -0.02
5
 W 2.1 - W 2.6
3.122679
 3971.18
 -1.12
 3970.06
 3970.07
 -0.01
6
 W 2.1 - W 2.7
3.187735
 3890.14
 -1.10
 3889.04
 3889.05
 -0.01
7
 W 2.1 - W 2.8
3.232337
 3836.46
 -1.08
 3835.38
 3835.39
 -0.01
8
 W 2.1 - W 2.9
3.26424
 3798.96
 -1.07
 3797.89
 3797.90
 -0.01
9
 W 2.1 - W 2.10
3.287845
 3771.69
 -1.06
 3770.63
 3770.63
 0
10
 W 2.1 - W 2.11
3.3057989
 3751.20
 -1.06
 3750.14
 3750.15
 -0.01
11
 W 2.1 - W 2.12
3.3197709
 3735.42
 -1.06
 3734.36
 3734.37
 -0.01
12
 W 2.1 - W 2.13
3.3308573
 3722.98
 -1.05
 3721.94
 3721.94
 0
13
 W 2.1 - W 2.14
3.3398012
 3713.01
 -1.05
 3711.96
 3711.97
 -0.01
14
 W 2.1 - W 2.15
3.3471212
 3704.89
 -1.04
 3703.85
 3703.86
 -0.01
15
 W 2.1 - W 2.16
3.3531878
 3698.19
 -1.04
 3697.15
 3697.15
 0
16
 W 2.1 - W 2.17
3.3582717
 3692.59
 -1.04
 3691.55
 3691.56
 -0.01
17
 W 2.1 - W 2.18
3.3625742
 3687.87
 -1.04
 3686.83
 3686.83
 0
18
 W 2.1 - W 2.19
3.3662475
 3683.84
 -1.04
 3682.80
 3682.81
 -0.01
19
 W 2.1 - W 2.20
3.3694088
 3680.39
 -1.04
 3679.35
 3679.36
 -0.01
20
 W 2.1 - W 2.21
3.3721488
 3677.40
 -1.04
 3676.36
 3676.36
 0
21
 W 2.1 - W 2.22
3.3745393
 3674.79
 -1.04
 3673.75
 3673.76
 -0.01
22
 W 2.1 - W 2.23
3.3766372
 3672.51
 -1.04
 3671.47
 3671.48
 -0.01
23
 W 2.1 - W 2.24
3.3784884
 3670.50
 -1.04
 3669.46
 3669.47
 -0.01
24
 W 2.1 - W 2.25
3.3801302
 3668.71
 -1.04
 3667.67
 3667.68
 -0.01
25
 W 2.1 - W 2.26
3.381593
 3667.13
 -1.03
 3666.10
 3666.10
 0
26
 W 2.1 - W 2.27
3.3829018
 3665.71
 -1.03
 3664.68
 3664.68
 0
27
 W 2.1 - W 2.28
3.38413276
 3664.37
 -1.03
 3663.34
 3663.41
 -0.07
28
 W 2.1 - W 2.29
3.3851378
 3663.29
 -1.03
 3662.26
 3662.26
 0
29
 W 2.1 - W 2.30
3.3860971
 3662.25
 -1.03
 3661.22
 3661.22
 0
30
 W 2.1 - W 2.31
3.3869678
 3661.31
 -1.03
 3660.28
 -
 -

Таблица 8. Переходы между основными состояниями электрона и соответствующая им длина волны электромагнитного излучения.


№
пп
 Переход между энергетическими уровнями:
 Величина разности энергетических состояний (эВ)
 Длина волны в вакууме,
λ×10 -10 м
 Поправка на изменение λ в воздухе, Δλ (×10 -10 м)
 Длина волны в воздухе,
λ×10 -10 м
1
 W 1.1 - W 2.1
10.20075
 1215.67*
2
 W 1.1 - W 2.2
12.08978
 1025.72*
3
 W 1.1 - W 2.3
12.75094
 972.534*
4
 W 1.1 - W 2.4
13.05698
 949.739*
5
 W 1.1 - W 2.5
13.223194
 937.80*
6
 W 1.1 - W 2.6
13.323429
 930.735*
7
 W 1.1 - W 2.7
13.388484
 926.223*
8
 W 1.1 - W 2.8
13.433086
 923.147*
9
 W 1.1 - W 2.9
13.46499
 920.96*
10
 W 1.1 - W 2.10
13.488595
 919.348*
11
 W 1.1 - W 2.11
13.5065486
 918.126*
12
 W 1.1 - W 2.12
13.520521
 917.177*
13
 W 1.1 - W 2.13
13.5316071
 916.426*
14
 W 1.1 - W 2.14
13.5405511
 915.821*
15
 W 1.1 - W 2.15
13.5478711
 915.326*
16
 W 1.1 - W 2.16
13.5539377
 914.916*
17
 W 1.1 - W 2.17
13.5590216
 914.573*
18
 W 1.1 - W 2.18
13.5633241
 914.283**
19
 W 1.2 - W 2.2
1.88903
 6564.6 *
 -1.81
 6562.79
20
 W 1.2 - W 2.3
2.550188
 4862.67*
21
 W 1.2 - W 2.4
2.85621
 4341.67*
22
 W 1.2 - W 2.5
6.022444
 2059.08**
23
 W 1.3 - W 2.3
0.661158
 18756.1
 (-5)
 18751.1
24
 W 1.3 - W 2.4
0.96718
 12821.5
 -3.5
 12818
25
 W 1.3 - W 2.5
1.133414
 10941.0
 -2
 10939
26
 W 1.3 - W 2.6
1.233649
 10052.1
 -2.75
 10049.25
27
 W 1.3 - W 2.7
1.298704
 9548.53
 -2.63
 9545.9
28
 W 1.3 - W 2.8
1.343306
 9231.49
 -2.5
 9228.99
29
 W 1.3 - W 2.9
1.37521
 9017.33
 -2.47
 9014.86
30
 W 1.3 - W 2.10
1.398815
 8865.16
 -2.43
 8862.73
31
 W 1.3 - W 2.11
1.4167686
 8752.82**
32
 W 1.4 - W 2.4
0.306022
 40522.3
 (-10.9)
 40511.4
33
 W 1.4 - W 2.5
0.472256
 26258.5
 (-7.2)
 26251.3
34
 W 1.4 - W 2.6
0.572491
 21661.0**
35
 W 1.5 - W 2.5
0.166234
 74598.0
 74578
36
 W 1.5 - W 2.6
0.266469
 46537.2**
37
 W 1.6 - W 2.6
0.100235
 123716
 (-32)
 123684
38
 W 1.6 - W 2.7
0.16529
 75024
 (-20)
 75004
39
 W 1.6 - W 2.8
0.209892
 59081.4**
40
 W 1.7 - W 2.7
0.065055
 190519
 (-50)
 190569
41
 W 1.7 - W 2.8
0.109657
 113086
 (-29)

*) – данная спектральная линия имеется в 1-й или 2-й основной серии;

**) – спектральная линия с такой длиной волны отсутствует в справочниках .

Восемнадцать первых спектральных линий в Таблице 8 совпадают с соответствующими спектральными линиями серии Лаймона в Таблице 6.

Спектральные линии под номерами 19 – 21 в Таблице 8 совпадают с первыми тремя спектральными линиями серии Бальмера (Таблица 7).

Восемь спектральных линий под номерами 23 – 30 в Таблице 8 составляют третью спектральную серию, называемую серией Пашена.

Спектральные линии под номерами 32 и 33 в Таблице 8 составляют четвертую «спектральную серию» атома водорода.

Спектральная линия под номером 35 в Таблице 8 представляет пятую «спектральную серию» атома водорода.

Спектральные линии под номерами 37 и 38 в Таблице 8 составляют шестую «спектральную серию» атома водорода.

Спектральные линии под номерами 40 и 41 в Таблице 8 составляют седьмую, заключительную «серию» известных спектральных линий атома водорода.

Все спектральные линии, входящие в серию Лаймона, могут быть получены двумя способами:

а) при переходе электрона с любой орбиты на первую в первом основном энергетическом состоянии (без изменения состояния собственного момента импульса электрона);

б) при переходе электрона с любой орбиты второго основного состояния на первую орбиту первого основного энергетического состояния (с изменением величины и направления собственного момента импульса электрона).

Аналогично спектральным линиям, входящие в серию Лаймона, первые три спектральные линии серии Бальмера могут быть получены этими же двумя способами (без изменения собственного момента импульса электрона и с изменением собственного момента импульса электрона). На языке «квантовой физики» такие состояния называются «дважды вырожденными», хотя никакого «вырождения» здесь нет, – просто электрон может перейти из одних энергетических состояний в другие, получив или отдав при этом практически равную порцию электромагнитной энергии. Небольшая разница в энергии состояний определяет тонкую структуру этих линий.

То есть все спектральные линии серии Лаймона и три первые спектральные линии серии Бальмера принципиально являются двойными спектральными линиями, дублетами, даже если тонкая структура некоторых из этих спектральных линий до сих пор не обнаружена.

Спектральные линии, входящие в 3-ю – 7-ю «серии», получаются только при переходах с изменением состояния собственного момента импульса, то есть при переходах между двумя основными энергетическими состояниями электрона.

На Рис. 3. показана вычисленная поправка на изменение длины волны в воздухе, полученная из расчетной и измеренной длин волн для той части спектра, где автор не нашел экспериментальных данных для сопоставления, как это было сделано для спектральных линий серии Бальмера и других спектральных линий, входящих в диапазон длин волн, показанный на Рис. 2. Вычисленная поправка, в отличие от поправки, взятой из эксперимента, в Таблице 8 дана в круглых скобках.

На Рис. 4 графически показана энергетическая структура атома водорода, соответствующая данным Таблицы 4, и допустимые энергетические переходы в этом атоме, соответствующие данным, помещенным в Таблицы 6 – 8.


Рис. 3. Поправка на изменение длины волны в воздухе, вычисленная по данным Таблицы 7 (эти расчетные данные в Таблице 7 приведены в скобках).

Энергетические переходы внутри первого основного энергетического состояния, W 1.1 – W 1.n , составляют спектральную серию Лаймона (Таблица 6).

Энергетические переходы внутри второго основного энергетического состояния, W 2.1 – W 2.n , составляют спектральную серию Бальмера (Таблица 7). Энергетические переходы между первой орбитой первого основного энергетического состояния и всеми орбитами второго основного энергетического состояния, W 1.1 – W 2.n , полностью дублируют все известные линии спектральной серии Лаймона (Таблица 8).

Из Рис. 4. следует, что электрон в атоме на первой орбите и на половине последующих орбит может находиться в двух различных энергетических состояниях, отличающихся как величиной энергии, так и величиной и направлением собственного момента импульса.

Рис. 4. Структура энергетических переходов атома водорода.

Условное расположение орбит атома водорода на Рис. 4 показано без соблюдения масштаба, причем представлены не все, а только ближайшие к ядру атома орбиты электрона в обоих основных энергетических состояниях. Одностороннее направление стрелок при энергетических переходах показано условно, так как переходы могут осуществляться в обоих направлениях (поглощение и излучение электромагнитной энергии).

Энергетические переходы между второй орбитой первого основного энергетического состояния (обозначено кружком) и второй, третьей и четвертой орбитами второго основного энергетического состояния, W 1.2 – W 2.2 , W 1.2 – W 2.3 и W 1.2 – W 2.4 дублируют три первые линии спектральной серии Бальмера. Энергетические переходы между третьей орбитой первого основного энергетического состояния (обозначено квадратом) и третьей – десятой орбитами второго основного энергетического состояния, от W 1.3 – W 2.3 до W 1.3 – W 2.10 составляют так называемую спектральную серию Пашена.

С четвертой орбиты первого основного энергетического состояния (обозначена ромбом) возможен переход только на четвертую и пятую орбиты второго основного энергетического состояния, W 1.4 – W 2.4 и W 1.4 – W 2.5 . С пятой орбиты первого основного энергетического состояния (обозначена треугольником) возможен переход только на пятую орбиту второго основного энергетического состояния, W 1.5 – W 2.5 . С шестой (обозначена двойным кружком) и с седьмой (обозначена крестом) орбит первого основного энергетического состояния возможны переходы только на шестую – седьмую (W 1.6 – W 2.6 и W 1.6 – W 2.7) и седьмую – восьмую (W 1.7 – W 2.7 и W 1.7 – W 2.8) орбиты второго основного энергетического состояния, соответственно.

Итак, не обращая внимания на заклинания современных шаманов, подчинивших себе физику экспериментальную и погрузивших мир теоретической физики в пучину средневековой религиозной тьмы, можно на основе доступной пониманию классической физики построить теоретическую модель простейшего атома, − атома водорода, наиболее полно соответствующую физической реальности. И нет в этой модели ни «магнетонов Бора», ни «постоянной Планка», ни «постоянной Ридберга», ни «спинов» Гаудсмита и Уленбека, ни «соотношения неопределенностей» Гейзенберга, ни «волновых свойств вещества» де Бройля, ни гипотетических «фотонов» Эйнштейна и т.п.

Все, что оказалось необходимым, − это законы сохранения энергии, импульса и момента импульса, законы классической механики и классической электродинамики, экспериментальное значение энергии ионизации. Ну и, разумеется, атомные спектры, которые необходимы не только для проверки правильности модели, но и для ее корректировки из-за недостаточной точности экспериментального определения энергии ионизации.

Это далеко не все, что можно рассказать об атоме водорода и его энергетическом строении. С более полной информацией о строении атома водорода (и не только водорода) можно ознакомиться в книге .

Литература

1. Стриганов А.Р., Одинцова Г.А. Таблицы спектральных линий атомов и ионов. Справочник. М., «Энергоиздат», 1982, 312 с.

2. Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1984.

3. Eidelman S. and al. (Particle Data Group), Phys. Lett. B 592, 1(2004) and 2005 (URL: http://pdg.lbl.gov).

4. Сокол-Кутыловский О.Л. Русская физика, Часть 1. Екатеринбург, 2006, 172 с.

5. Зайдель А.Н., Прокофьев В.К., Райский С.М., Славный В.А., Шрейдер Е.Я. Таблицы спектральных линий. М., «Наука», 1977, 800 с.

6. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Электродинамика, Том 6, М., «Мир», 1977, 347 с.

7. Garcia J.D., Mack J.E. J. Opt. Soc. Amer., 1965, V. 55, N6, P.654.

Сокол-Кутыловский О.Л., Энергетическое строение атома водорода // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13942, 27.10.2006


Не нашли ответ на свой вопрос? Посмотрите здесь
"Старуха Изергиль": анализ рассказа, образы героев События жизни старухи изергиль
В афганистане воевали секретные милицейские команды Неизвестные герои АфганаВ афганистане воевали секретные милицейские команды Неизвестные герои Афгана
Инструкция по использованию карточекИнструкция по использованию карточек