Сложение и вычитание многозначных чисел в столбик. Письменные приёмы сложения и вычитания многозначных чисел. Перенос известного алгоритма на более сложный уровень

Задача 1

Максимальная глубина океана 11 022 м. Вычисли разницу между глубиной океана и самой высокой точкой на Земле, если высота самой высокой горы в мире (Эверест) равна 8 848 м над уровнем моря.

Решение:
• 1) 11022 - 8848 = 2174
• Ответ: 2174

Задача 2

Сорное растение василек дает 6680 семян в год, а такое растение, как ржаной костер на 5260 меньше, полевой осот на 12 920 больше, чем василек. Сколько семян в год дают вместе эти растения?

Решение:
• 1) 6680 - 5260 = 1420
• 2) 6680 + 12920 = 19600
• 3) 6680 + 1420 + 19600 = 27700
• Ответ: 27700 семян.

Задача 3

Насколько километров река Вятка короче реки Волга, если Вятка 1314км, а Волга 3530 км?

Решение:
• 1) 3530 - 1314 = 2216
• Ответ: 2216 км.

Задача 4

Столица республики Мари Эл – город Йошкар-Ола основан в 1584 году, а город Киров в 1374 году. Какой город и на сколько лет старше?

Решение:
• 1) 1584 - 1374 = 210
• Ответ: на 210 лет.



Задача 5

Центр Кировской области – город Киров. Ранее этот город именовался – Вятка и первые упоминания об этом городе встречаются в летописях в 1374 году. Сколько лет исполнится городу Кирову в 2013 году?

Решение:
• 1) 2013 - 1374 = 639
• Ответ: 639 лет.

Задача 6

Магазин тканей продавал по 75 метров ситца в день в течение 5 дней, после этого продал еще 350 метров. Сколько метров ситца нужно еще продать магазину, если всего завезли 1000 метров?

Решение:
• 1) 75 * 5 = 375
• 2) 375 + 350 = 725
• 3) 1000 - 725 = 275
• Ответ: 275 метров.

Задача 7

В течение 3 дней выставку посетило 1700 студентов. В первый день 462 студента, во второй на 147 студентов больше. Сколько студентов посетило выставку в третий день?

Решение:
• 1) 462 + 147 = 609
• 2) 462 + 609 = 1071
• 3) 1700 - 1071 = 629
• Ответ: 629 студентов.

Задача 8

Билеты на концерт продавали 3 дня: в первый день продали 327 билетов, во второй на 39 билетов больше чем в первый, в третий день было продано 593 билета. Сколько в зале будет незанятых мест, если вместительность зала 1550 мест?

Решение:
• 1) 327 + 39 = 366
• 2) 366 + 593 = 959
• 3) 959 + 327 = 1286
• 4) 1550 - 1286 = 264
• Ответ: 264 места.



Задача 9

В первый месяц в типографии израсходовали 1540 кг бумаги, во второй на 350кг больше. Сколько осталось бумаги, если сначала в типографии ее было 6000 кг?

Решение:
• 1) 1540 + 350 = 1890
• 2) 1890 + 1540 = 3430
• 3) 6000 - 3430 = 2570
• Ответ: 2570 кг.

Задача 10

Расстояние от Новгорода до Москвы, если ехать по шоссе 510 километров, от Новгорода до Санкт-Петербурга на 330 км меньше. Вычисли расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга.

Решение:
• 1) 510 - 330 = 180
• 2) 510 + 180 = 690
• Ответ: 690 км.

Задача 11

У Вани в коллекции 297 марок, а у его брата Саши на 148 марок больше. Сколько марок у Саши и у Вани вместе?

Решение:
• 1) 297 + 148 = 445
• 2) 297 + 445 = 742
• Ответ: 742 марки.

Задача 12

Предпринимателю нужно купить: муки на 563 рубля, молока на 392 рубля, сахара на 638 рублей. Достаточно ли ему будет 1900 рублей?

Решение:
• 1) 563 + 392 = 955
• 2) 955 + 638 = 1593
• 3) 1900 > 1593
• Ответ: Достаточно.

Задача 13

Строители в течении года должны были сдать 16000 квартир. Было сдано 7 домов, в которых по 196 и 4 дома по 240 квартир в каждом. Сколько осталось квартир сдать строителям?

Решение:
• 1) 7 * 196 = 1372
• 2) 4 * 240 = 960
• 3) 1372 + 960 = 2332
• 4) 16000 - 2332 = 13668
• Ответ: 13668 квартир.

Задача 14

В первые два часа самолет летел со скоростью 724 км/ч, а в последующие 3 со скоростью 648 км/ч. Сколько еще километров осталось пролететь самолету, если всего он должен пролететь 5224 километра?

Решение:
• 1) 724 * 2 = 1448
• 2) 3 * 648 = 1944
• 3) 1944 + 1448 = 3392
• 4) 5224 - 3392 = 1832
• Ответ: 1832 км.

Задача 15

В овощном складе было одинаковое количество свеклы и картофеля. После того, как в один магазин увезли 220 ц. картофеля еще осталось 142 ц. Свеклы увезли на 125 ц больше чем картофеля. Сколько центнеров свеклы осталось на овощной базе?

Решение:
• 1) 220 + 142 = 362
• 2) 220 + 125 = 345
• 3) 362 - 345 = 17
• Ответ: 17 центнеров.

Задача 16

На оптовом складе было 3 тонны сахарного песка. Сколько сахарного песка осталось на складе после того, как в один магазин отправили 1286 кг, а в другой на 483 кг меньше.

Решение:
• 1) 1286 - 483 = 803
• 2) 1286 + 803 = 2089
• 3) 3000 - 2089 = 911
• Ответ: 911 кг.

Задача 17

Для строительства дома было закуплено со склада 128 ящиков стекла. После этого 1048 ящиков осталось на складе. Какое количество ящиков было до покупки?

Решение:
• 1) 1048 + 128 = 1176
• Ответ: 1176 ящиков.



Сложение и вычитание многозначных чисел

Цель:

совершенствовать умение выполнять письменное сложение и вычитание многозначных чисел;

умение учащихся решать задачи разных видов;

развивать внимание, память, воображение, смекалку;

воспитывать любознательность, желание узнать сведения о профессиях;

прививать трудолюбие, аккуратность.

Ход урока:

I. Организационная часть

Приветствие

Здравствуйте, ребята. Сейчас у нас урок математики

Свой урок мы начинаем,

Девиз и тему прочитаем.

II. Мотивация учебной деятельности.

Девиз нашего урока:

Что одному не под силу – легко коллективу.

«Мозговой штурм»

Объясните,как вы понимаете это высказывание

III. Сообщение темы и цели урока

Сегодня у нас необычный урок на тему: «Сложение и вычитание многозначных чисел. Решение задач. Геометрический материал» , на котором мы закрепим умения :

Решать задачи разных видов;

Находить периметр треугольника

(Запись даты учащимися)

А урок наш посвящён профессии. Какой, вы угадаете, разгадав ребус.( Строитель)

Как вы считаете, чем занимаются люди, которые работают строителями?

И мы сегодня с вами будем осваивать эту профессию. А поможет нам в этом знание математики.

Прежде чем приступить к строительству дома, нужно подготовить площадку – убрать камни. Это мы сможем сделать выполнив:

Математический диктант , ответы которого вы будете записывать в тетрадь.

первый множитель – 420, второй множитель – 100. Чему равно произведение? (42000) -й

Какое число меньше 7200 на 100?(7100)- м

Увеличьте 920 на 80. (1000) - у

Найдите разность чисел 456 и 200. (256) -д

Запишите наибольшее четырёхзначное число. (9999) - а

Работа в парах. Взаимопроверка.

Обменяйтесь тетрадями и сверьте ответы с доской. Правильные ответы, отметив знаком «+», а неправильные – «-».

Ребята, поднимите руки, кто решил все задания правильно.

У кого одна ошибка?(две, три)

У кого больше ошибок?

Ребята, вам нужно больше тренироваться устно решать примеры!

Остался ещё один огромный камень . Чтобы его убрать, нужно расположить эти ответы в порядке возрастания и расшифровать слово. (думай)

Закладка фундамента

Пока мы убирали площадку для дома, бетонщики готовились к закладке фундамента. Для этого им пришлось потрудиться над решением задания № страница.

Откройте учебники и посмотрите на эти «кирпичи»– компоненты действий сложения и вычитания. А как они называются?

Как найти неизвестное слагаемое?

А неизвестное вычитаемое?

И сейчас мы выполним задание, применив эти правила.

Запишите слово примеры №121

1 вариант 2 вариант

4600+3300=7900 6200 + 3370 = 9570

8600 – 5100 = 3500 9740 – 2540 = 1200

29 135 – 1030 = 28 105 40 298 – 10 120 = 30 178

Ошибок нет. Молодцы! Фундамент заложен.

Подготовка раствора для кирпичей.

А теперь подготовим раствор для кирпичей! Для этого нужно разложить числа на сумму разрядных слагаемых.(5221, 80 665, 78 600)

Как правильно записать пример при письменном сложении и вычитании? (нужно подписывать разряд под разрядом )

С какого разряда мы начинаем выполнять действие?

( сложение чисел 5221 + 1532 )

Точно так выполняем вычитание!

Работа по учебнику(по рядам) с.54 №118

1 ряд 2 ряд 3 ряд

45 029 + 1231 =46 260 8765- 3514 = 5251 609 946 -1946 = 608000

Молодцы!

Подготовка кирпичей для строительства дома.

А теперь подготовим кирпичи для строительства дома. У вас на партах лежат листочки коричневого цвета прямоугольной формы – это «кирпичи». На них записаны примеры на сложение и вычитание. За 5 минут вам нужно решить как можно больше примеров.

1 вариант 2 вариант

3420 + 2130 = 5550 8405 + 1321 = 9726

33 007 + 3050 = 36 057 28 095+5104=33 199

9770 – 5450 = 4320 6000 – 4022 = 1978

38 502 – 2880 = 35 622 40 965 – 3651 = 37314

Самопроверка (сверить с доской, кто решил все примеры без единой ошибки и кто решил с ошибками тому перерешать эти примеры дома)

Задание выполнено.И стены дома возведены.

Пришло время немножко вам размяться. Ну – ка, проверим, как вы дружно умеете делать, то что я показываю.

Физминутка («Что манит птицу?»)

Строительство крыши

А теперь нужна крыша. Мы – кровельщики. Чтобы крыша не протекла, необходимо решить задачи. Возьмите, пожалуйста, листы, которые лежат у вас на партах и рассмотрите задачи, они разноуровневые: первая задача высокого уровня, вторая – достаточного, а третья – среднего уровня.

Составьте условие задачи по краткой записи. Начнём с третьего задания.

Высокий уровень – 11 баллов

Решить задачу:

I день – 400 кирпичей

II день - ?, на 108 кирпичей больше

III день - ?

Всего 1200 кирпичей.

Достаточный уровень – 9 баллов

Решить задачу уравнением:

Привезли -2340 кирпичей

Использовали - х кирпичей

Осталось - ?

Средний уровень – 6 баллов

Решить задачу выражением:

2010 год – 108 домов

2011 год – 94 дома

2012 год – 90 домов

Сколько всего?

( учащиеся составляют условие )

Работа над задачами

Что известно в задаче?

Что нужно узнать?

Сможем ли мы ответить сразу на вопрос задачи?(к первой )

Выберите такую задачу, которую вы решили бы легко и быстро. Определились?

Поднимите руку, кто выбрал первую задачу, (вторую, третью).

( Вызываю трёх учащихся к доске).

Проверка:

Сверьте свое решение задачи с решением ученика, отвечающего возле доски. Согласны ли вы с ним?

А что необычного вы заметили в этих задачах? (одинаковый ответ )

Молодцы, ребята! С заданием справились, крыша готова!

Постановка оконных рам и дверей

Теперь нам нужно поставить оконные рамы и двери. Мы – плотники. Для этого нужно преодолеть ещё одно препятствие – решить задание № страница.

Чтение задания.

Измерьте длины сторон треугольника.

Переведите их в миллиметры.

Найдите сумму длин сторон треугольника. Что мы сейчас с вами нашли? (периметр )

На сколько миллиметров длина сторон АВ меньше суммы сторон ВС и АС. Запишите выражением.

Молодцы, ребята! С заданием справились!

И вот какой у нас получился дом !

Резерв «Затопи печь»

А сейчас мы выполним занимательное задание и затопим печь. Я прочитаю условие задач, а вы должны быстро ответить.

1. Рабочий день у строителей закончился в 5 часов дня. Обеденный перерыв был 4 часа назад. В котором часу был перерыв?

2. Сколько времени длятся сутки?

3.Когда сутки короче: зимой или летом?

Мы затопили печь И теперь мы можем сделать вывод:

Мы строили, строили!

И, наконец, построили!

Подведение итогов урока

Много труда вложили строители, но не зря – дом получился красивый. А все это потому, что вы работали дружно. Но в строительстве дома принимали участие не только строители, а и бетонщики, кровельщики, плотники. Без их помощи мы бы не построили такой дом. Поэтому можем сделать вывод:

Все работы хороши,

Все работы так важны

А что мы закрепили на уроке?

Домашнее задание

А теперь можно заселять жильцов. Для этого нужно подобрать ключ к дому. В этом вам поможет ключевое задание, которое вы выполните дома: страница 54 №120 - решить примеры, страница

– решить задачу.

Спасибо, дети, за урок. С вами было приятно работать. Урок окончен. До свидания!

КОНСПЕКТ

ОТКРЫТОГО УРОКА.

МАТЕМАТИКА

3 КЛАСС

ТЕМА: Сложение многозначных чисел.

Учитель: Кулагина Ольга Николаевна

МАТЕМАТИКА – 3 класс

Тема: Сложение многозначных чисел.

Цель урока: Сформировать способность к сложению многозначных чисел.

Обучение сопоставлению, сравниванию.

Развитие внимательности, наблюдательности и творческого мышления.

Развитие памяти учащихся.

Воспитание в детях интереса к познавательной деятельности и учению.

Оборудование: карточки для устного счета, карточки с цифрами, дидактические карточки уровней дифференциации с примерами на сложение многозначных чисел.

Доска: числа для определения разрядов и классов чисел; таблица из цифр для игры «Найди пару», ряд чисел для продолжения логического ряда, пример на сложение многозначных чисел, рисунки лиц для рефлексии.

Ход урока

1. Организационный момент.

II. Работа с карточками:

Ребята, давайте настроимся на урок математики и на карточках запишем только разряды и классы подчеркнутых цифр в многозначных числах.

57 8 3 (дес.) 2382349 5 (ед.)

8 7 623 (ед. тыс.) 4 67344105 (сот. млн)

7 83423 (сот. тыс.) 5 7 3400805 (дес. млн)

10257 9 (ед.) 700003 4 87 (сот.)

1 243800 (ед. млн) 483 4 4907 (дес. тыс.)

III. Актуализация знаний:

Игра «Найди пару»:

На доске закрыты пары цифр от 0 до 9. Вспомним, что такое пара?

Вам надо назвать мне строку и столбец, т.е. координату, какой-нибудь цифры. Я буду их открывать, а вы должны запомнить, где они расположены, а потом назвать расположение пары этой цифры.

Вспомним, что такое строка, как она расположена? (горизонтально)

Что такое столбец, как он расположен? (вертикально)

2 5 3 0 0

6 4 9 1 2

4 1 8 5 7

7 3 6 9 8

Прочитайте те числа, которые получились у нас в каждой строке.

Найдите лишнее число и объясните, почему вы считаете, что оно лишнее.

(Дети высказывают свои предположения.)

Работа в тетрадях:

Молодцы! В тетрадях запишите число и классная работа. Какое сегодня число?

На доске написана строка чисел.

09 91 09 92 09 93 09 94 09 95

Посмотрите внимательно и подумайте, какая закономерность содержится в данной строке и продолжите ее.

Теперь, те числа, которые мы получили при открытии таблицы, запишите в виде суммы разрядных слагаемых.

IV. Постановка проблемы:

Какой большой раздел мы с вами изучаем?

(Многозначные числа).

Что мы с вами умеем с ними делать?

Как вы думаете, что мы можем еще делать с такими числами?

(производить вычисления: складывать, вычитать, умножать, делить).

Давайте попробуем сложить эти числа.

Как вы думаете, как мы это будем делать?

(Предположения детей).

Какую тему урока мы с вами запишем?

(Сложение многозначных чисел).

Чему мы должны научиться?

(Складывать многозначные числа).

Итак, цель нашего урока – научиться складывать многозначные числа.

V. «Открытие» нового знания.

Сейчас мы с вами немного передохнем. Встанем и сделаем упражнения на дыхание. При вдохе мы поднимаем руки, ладошками вперед. Я называю какое-нибудь число, а вы при выдохе рисуете в воздухе это число и опускаете руки.

Будьте внимательны и обращайте внимание на те числа, которые я вам называю. (2; 4; 7; 1).

Какое число у нас получилось?

(2471)

Получившееся многозначное число мы попробуем сложить.

Посмотрите на доску, на ней записан пример:

2471

5428

7899

Кто хотел бы мне помочь решить этот пример у доски?

(Дети решают пример у доски с проговариванием и записывают его решение в тетрадях).

V. Закрепление материала.

Давайте поработаем с учебником, решим два примера в учебнике из № 4, стр.68.

VI. Самостоятельная работа.

У вас на столе карточки с примерами на сложение, попробуйте решить этот пример самостоятельно.

3835 4928 5975

2024 2253 7348

5859 7181 13323

Работать мы будем парами. Один из вас расскажет другому, как он будет решать этот пример. А затем поменяйтесь местами.

(Дети решают примеры).

VII. Включение в систему знаний.

Давайте попробуем применить наши знания и решить задачу:

В первом поселке живет 4570 человек, во втором 3635 человек. Сколько человек живет в двух поселках?

VIII. Задание на дом.

№ 6, стр. 69, (два примера на сложение, на выбор).

IX. Итог урока.

Какая сегодня у нас была тема урока? (Сложение многозначных чисел.)

Чему мы научились? (Как складывать многозначные числа.)

Как сложить многозначные числа? (Так же как и трехзначные числа, только в многозначных числах больше разрядов.)

Давайте оценим свою работу на уроке. На доске изображены три человечка с разной мимикой.

Кому было на уроке все понятно, со всеми заданиями справлялись уверенно, нарисуйте на полях веселого человечка.

Если вы затруднялись при выполнении заданий, чувствовали себя неуверенно, нарисуйте второго человечка.

Кому на уроке было очень трудно, с заданием не справились, нарисуйте грустного человечка.

Способы устных вычислений

Устные приемы сложения и вычитания многозначных чисел изучаются в 4 классе четырехлетней начальной школы в следующем порядке:

1. Нумерационные случаи

а) Случаи вида:

99 999 + 1 345 000 - 1 560 999 + 1

560 000 - 1 399 999 + 1 40 000 - 1

При выполнении вычислений данного вида ссылаются на принцип построения натурального ряда чисел: добавление к числу единицы дает число, следующее по счету; вычитание единицы дает число, предшествующее по счету.

Например: 399 999 + 1 - добавляя к числу 1, получаем число следующее. Следующее за числом 399 999 число 400 000, значит 399 999 + 1 =400 000.

б) Случаи вида:

30 000 + 1 000 650 999 - 900 600 000 + 5

60 345 - 5 345 000 - 45 000 800 700 + 1 000

При выполнении вычислений данного вида ребенок должен хорошо знать принцип поразрядного строения чисел в десятичной системе счисления.

650 999 - 900 - 650 099

2. Сложение и вычитание целых тысяч

Сложение и вычитание вида 32 000 + 2 000, 690 000 - 50 000 является первым вычислительным приемом, с которого начинается формирование устных вычислений в объеме многозначных чисел.

Для освоения этого приема ребенок должен хорошо представлять разрядный состав многозначного числа. Рассматривая 32 000 как 32 тыс. и 2 000 как 2 тыс., прием 32 000 + 2 000 вычисляется, как 32 тыс. + 2 тыс. Ответ 34 тыс. затем рассматривается, как 34 000 и записывается результат вычислений. Таким образом, действия целыми тысячами рассматриваются как действия разрядными единицами, вычисления в этом случае сводятся к табличным вычислениям в пределах 10, 20 пли 100.

3. Сложение и вычитание целых тысяч на основе правил арифметических действий

Учебник математики для 4 класса практически не предлагает вычислений соответствующего вида, однако учителя часто используют их на устном счете.

К этим случаям относятся вычисления вида: 70 200 + 400, 600 100 - 99, 3 008 + 351,425 100 - 24 100 и т. п.

При вычислениях используется знание десятичного состава многозначных чисел и понимание того, что во всех случаях действия затрагивают только часть первого числа (первое число может рассматриваться как сумма). Таким образом действия могут выполняться только с частью первого числа.

Например:

Вычисляя сумму 70 200 + 400, можно отдельно сложить 400 и 200, а затем их сумму прибавить к числу 70 000. Фактически используется правило прибавления числа к сумме.

При выполнении вычислений в случае 425 100 - 24 100 используется правило вычитания числа из суммы. 425 100 рассматривается, как сумма 400 000 и 25 100. Из одного из слагаемых вычитается 24 100 (25 100 - 24 100 = 1 000), и полученный результат складывается с первым слагаемым: 400 000 + 1 000 = 401 000.

В основе всех этих случаев лежит хорошее знание разрядного состава многозначных чисел и умение выполнять устные вычисления целыми разрядами.

Способы письменных вычислений (в столбик)

Письменные приемы сложения и вычитания являются основными вычислительными действиями при вычислениях в объеме многозначных чисел, поскольку вычисления в уме с многозначными числами представляют собой слишком сложную проблему для всех детей. Использование письменных алгоритмов вычислений в этих условиях является психологически и методически оправданным.

Усвоение детьми нумерации четырехзначных и многозначных чисел позволяет им осуществить перенос умения складывать и вычитать числа «столбиком» из области трехзначных чисел на область многозначных чисел.

При знакомстве с письменными приемами сложения и вычитания в объеме многозначных чисел проводится аналогия с алгоритмом письменного сложения и вычитания в пределах 1000:

1) Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел.

2) При записи столбиком, как и при сложении трехзначных чисел следует записывать разряд под соответствующим разрядом, и складывать сначала единицы, потом десятки, а потом сотни, потом тысячи и т. д. (справа налево).

Считается, что дети хорошо научены выполнять действия сложения и вычитания в столбик, поэтому в учебнике 4 класса не предусмотрено распределение случаев сложения и вычитания по уровням сложности.

Первыми рассматриваются различные случаи с переходами через разряд как при сложении так и при вычитании: 3 126 + 4 232; 25 346 - 13 407.

Затем рассматриваются случаи вычитания с нулями в уменьшаемом:

600 - 25; 1 000 - 124; 30 007 - 648.

Эти случаи являются наиболее сложными, поскольку требуют «заема» разрядных единиц не из соседних, а из далеко отстоящих разрядов. Эти случаи полезно сначала сопровождать подробной пояснительной записью на доске, чтобы дети понимали и видели, откуда появляются девятки в «пустых» разрядах.

Например:

30 007 Вычитаю единицы. Из 7 нельзя вычесть 8. 648 Пробую занять единицу в соседнем разряде.

В разряде десятков, сотен и тысяч нет разрядных единиц, поэтому «заем» возможно произвести только из разряда десятков тысяч: 30 тыс. - 1 тыс. = 29 тыс. Подписываем 29 над 30.

«Занятую» тысячу представляем в виде суммы 1 тыс. = 1000 = = 990 + 10.

Подписываем над разрядами сотен и десятков девятки, а из 10 единиц вычитаем 8, получаем 2 единицы. Но в разряде единиц было 7 единиц. Добавляем их к полученным 2 единицам и пишем в разряде единиц 9.

Вычитаем: 9 дес. - 4 дес. = 5 дес. Пишем 5 в разряде десятков. 9 сот. - 6 сот. = 3 сот. Пишем 3 в разряде сотен.

От десятков тысяч осталось 29 тыс. Пишем 9 в разряде тысяч, 2 - в разряде десятков тысяч.

При изучении сложения и вычитания многозначных чисел рекомендуется повторять и закреплять названия компонентов и результатов действий; свойства нахождения неизвестных компонентов действий при проверке результатов вычислений; рассматривать закономерности изменения суммы и разности при изменении одного из компонентов действий.

Многие дети используют калькуляторы как при выполнении вычислений с многозначными числами, так и при проверке результатов. В старших классах не возбраняется использовать калькуляторы при необходимости выполнить громоздкие вычисления (на уроках физики, химии, геометрии).

Чтобы стимулировать ребенка к использованию умения самостоятельно вычислять в столбик, следует предлагать задания, не позволяющие механического использования калькулятора для вычисления результата. Это различные задания на нахождение ошибки в записях или цифрах вычислений, на прикидку округленных результатов вычислений, на восстановление пропущенных цифр в компонентах действий, на выбор верных ответов из предложенных и т. п. Учителю следует помнить, что механический характер вычислительных действий при вычислениях с многозначными числами быстро приводит к утомлению детей, что провоцирует появление ошибок. Поэтому не стоит задавать подряд больше трех примеров на вычисления с многозначными числами.

Лекция 10. Умножение

1. Смысл действия умножения.

2. Табличное умножение.

3. Приемы запоминания таблицы умножения.

Смысл действия умножения

Действие умножения рассматривается как суммирование одинаковых слагаемых.

По определению умножение целых неотрицательных чисел (натуральных) - это действие, выполняющееся по следующим правилам:

а b = a+ a+ a+ a+ a ...+ а, при b > 1

b слагаемых

а 1 = а, при b = 1

а 0 = 0, при b = 0

Использование символики умножения позволяет сократить запись сложения одинаковых слагаемых.

Запись вида 2-4 = 8 подразумевает сокращение записи вида 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Ее читают так: «по 2 взять 4 раза, получится 8»; или: «2 умножить на 4 получится 8».

Действие умножения во всех учебниках математики для начальных классов рассматривают ранее действия деления.

С теоретико-множественной точки зрения умножению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение равных (равночисленных) совокупностей. Поэтому, прежде, чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Виды заданий, которые предлагаются детям до знакомства с символикой действия умножения (в 1 и 2 классе):

1. Посчитай двойками (тройками, пятерками).

2. Нарисуй рисунок: «На трех тарелках по 2 апельсина». Сосчитай, сколько всего апельсинов.

3. Найди лишнюю запись:

Найди значение каждого выражения наиболее удобным способом.

4. Сделай запись выражения по рисунку:

Виды заданий, используемых для усвоения ребенком смысла умножения при знакомстве с этим действием:

а) На соотнесение рисунка и математической записи:

Рассмотри рисунок и объясни записи:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10и2.5 = 10 5 + 5= 10и5-2= 10

4 + 4 + 4 = 12 4-3=12

б) На нахождение суммы одинаковых слагаемых: Рассмотри рисунки и закончи записи:

в) На замену сложения умножением:

Замени, где возможно сложение умножением и вычисли результаты:

5+5+5+5 1+1+1+1+1 5+6+3

42 + 42 0 + 0+0 + 0 + 0 4 + 6 + 8

г) На понимание смысла определения действия умножения:

Рассмотри записи и объясни, какое число берется слагаемым и сколько раз берется слагаемым это число: 6-4 = 24 9-3 = ...

6 + 6 + 6 + 6 = 24 9 + 9 + 9 =...

Выражение вида 3 5 называют произведением. Числа 3 и 5 в этой записи называют сомножителями (множителями).

Запись вида 3 5 = 15 называют равенством. Число 15 называют значением выражения. Поскольку число 15 в данном случае получено в результате умножения, его также часто называют произведением.

Например:

Найдите произведение чисел 4 и 6. (Произведение чисел 4 и 6 - это 24.)

Поскольку названия компонентов действия умножения вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи.

Например:

1. Среди данных выражений найдите такие, в которых первый множитель равен 3 (второй множитель равен 2 и т. д.):

2-2 7-3 6-2 1.6 3-5 3-2 7-3 3-4 3-1

2. Составьте произведение, в котором второй множитель равен 5. Найдите его значение.

3. Выберите примеры, в которых произведение равно 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых произведение равно 12. Подчеркните их синим цветом.

7-3 6-1 2-2 2-3 6-2 3-2 2-6

4. Как называют число 4 в выражении 5 4? Как называют число 5? Найдите произведение. Составьте пример, в котором произведение равно тому же числу, а множители другие.

5. Множители 8 и 2. Найдите произведение.

В третьем классе дети знакомятся с правилом взаимосвязи компонентов умножения, которое является основой для обучения нахождению неизвестных компонентов умножения при решении уравнений:

Если произведение разделить на один множитель, то получится другой множитель.

Например:

Решите уравнение 6 * х = 24. (В уравнении неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. х= 24:6, х = 4.)

Однако, данное правило в учебнике математики 3 класса не является обобщением представлений ребенка о способах проверки действия умножения. Правило проверки результатов умножения рассматривается в учебнике намного позже - после знакомства с вне-табличным умножением и делением (знакомства с умножением и делением двузначных чисел на однозначные, не входящим в таблицу умножения и деления). Это объясняется тем, что правило взаимосвязи компонентов умножения является основой составления таблицы деления. Поскольку предполагается, что табличные случаи умножения ребенок к этому времени знает наизусть, то нет необходимости в проверке результатов. Есть только необходимость быстро восстанавливать (вспоминать) нужное третье число по двум данным.

Например:

9-2 = ... 5-4 = ... 1*7 = ...

18:2 = ... 20:4 = ... 7:7 = ...

При выполнении устного внетабличного умножения, требующего применения достаточно сложного алгоритма, необходима проверка, поскольку многие дети часто ошибаются в этих случаях.

Правило проверки действия умножения:

1) Произведение делят на множитель.

2) Сравнивают полученный результат с другим множителем. Если эти числа равны, умножение выполнено верно.

Например: 18 4 = 72. Проверка: 1) 72: 4 = 18; 2) 18 = 18.

Табличное умножение

Изучение таблицы умножения является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе.

К табличному умножению относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых).

Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Умножение с числом нуль, умножение с числами 1 и 10 относят к особым случаям.

Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения (см. предыдущий пункт). Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.

Например:

Расположенный рядом рисунок помогает ребенку получить результат пересчетом фигурок. При небольших значениях множителей прием сосчитывания для получения табличного значения произведения вполне приемлем, и учитель им часто пользуется при получении результатов таблиц значений умножения чисел 2, 3, 4. Приведенный пример показывает, что этот прием удобен лишь при небольших значениях второго множителя.

При значении второго множителя больше 5, удобнее использовать для получения результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему результату. Например:

Вычисли и запомни: 2-6 = 2.5 + 2 = ... 2-7 = 2.6 + 2 =... 2-8 = 2.7 + 2 2.9 = 2-8 + 2 =...

В учебнике математики для 2 класса этот прием дан более пространно, и поэтому не всегда правильно понимается с точки зрения техники выполнения:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2-7ит.п.

Аналогичным образом составляется таблица значений умножения числа 3.

Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей.

Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе:

От перестановки множителей произведение не меняется.

Способ знакомства детей с этим правилом (законом) обусловлен ранее введенным смыслом действия умножения. Используя предметные модели множеств, дети сосчитывают результаты группировки их элементов разными способами, убеждаясь, что результаты не меняются от изменения способов группировки.

Например:

Счет элементов рисунка (множества) парами по горизонтали совпадает со счетом элементов тройками по вертикали. Рассмотрение нескольких вариантов подобных случаев дает учителю основание произвести индуктивное обобщение (т. е. обобщение нескольких частных случаев в обобщенном правиле) о том, что перестановка множителей не меняет значение произведения.

На основе этого правила, используемого как прием счета, составляется таблица умножения на 2.

Например:

Используя таблицу умножения числа 2, вычисли и запомни таблицу умножения на 2:

2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 =

На основе этого же приема составляется таблица умножения на 3:

3-4 = 12 3-7 = 21 4-3 = ... 7-3=...

3-5= 15 3-8 = 24 5-3 = ... 8-3 = ...

3-6 = 18 3-9 = 27 6-3=... 9-3 = ...

Составление двух первых таблиц распределяется на два урока, что соответственно увеличивает время, отведенное на их заучивание. Каждая из двух последних таблиц составляется на одном уроке, поскольку предполагается, что дети, зная исходную таблицу, не должны отдельно заучивать результаты таблиц, полученных с помощью перестановки множителей. На самом деле, многие дети учат каждую таблицу отдельно, поскольку недостаточный уровень развития гибкости мышления не позволяет им легко перестроить модель заученной схемы табличного случая в обратном порядке. При вычислении случаев вида 9 2 или 8 3 дети снова возвращаются к приему последовательного сложения, что естественно требует времени для получения результата. Такая ситуация порождается скорее всего тем, что для значительного числа детей такое разнесение во времени взаимосвязанных случаев умножения (тех, что связаны правилом перестановки множителей) не позволяет сформироваться ассоциативной цепочке, ориентированной именно на взаимосвязь. Та же ситуация прослеживалась у ряда детей при применении свойства перестановки слагаемых для составления таблиц сложения: запомнив случай 3 + 5, такой ребенок учит отдельно случай 5 + 3, поскольку требование выучить этот случай поступает от учителя через 16 уроков после требования заучить первый, и при этом в промежутке заучивалась таблица вида □ + 4, □ - 4. Иными словами, отсрочка в образовании ассоциативной связи, ориентированной на взаимосвязь этих случаев, оказалась для ребенка слишком большой, что помешало образованию такой связи. Поэтому каждый случай из фактически взаимосвязанной пары учится ребенком наизусть отдельно.

При составлении таблицы умножения числа 5 в 3 классе, только первое произведение получают путем сложения одинаковых слагаемых: 5-5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. Остальные случаи получают приемом прибавления пяти к предыдущему результату:

5-6 = 5- 5 + 5 = 30 5-7 = 5-6 + 5 = 35 5-8 = 5-7 + 5 = 40 5-9 = 5- 8 + 5 = 45

Одновременно с этой таблицей составляется и взаимосвязанная с ней таблица умножения на 5: 6 5; 7 5; 8 5; 9 5.

Таблица умножения числа 6 содержит четыре случая: 6 6; 6 7; 6-8; 6-9.

Таблица умножения на 6 содержит три случая: 7 6; 8 6; 9 6.

Таблица умножения числа 7 содержит три случая: 7 7; 7 8; 7 9.

Таблица умножения на 7 содержит два случая: 8 7; 9 7.

Таблица умножения числа 8 содержит два случая: 8 8; 8 9.

Таблица умножения на 8 содержит один случай: 9 8.

Таблица умножения числа 9 содержит, только один случай: 9 9.

Теоретический подход к подобному построению системы изучения табличного умножения предполагает, что именно в таком соответствии ребенок и будет запоминать случаи табличного умножения.

Наибольшее количество случаев содержит наиболее легкая для запоминания таблица умножения числа 2, а наиболее трудная для запоминания таблица умножения числа 9 содержит всего один случай. Реально, рассматривая каждую новую «порцию» таблицы умножения, учитель обычно восстанавливает весь объем каждой таблицы (все случаи). Даже при условии, что учитель обращает внимание детей на то, что новым случаем на данном уроке является, например, только случай 9 9 , а 9 8 , 9 7 и т. п. изучались на предыдущих уроках, большая часть детей воспринимает весь предложенный объем как материал для нового заучивания. Таким образом, фактически, для многих детей таблица умножения числа 9 является самой большой и сложной (а это действительно так, если иметь в виду перечень всех случаев, который к ней относится).

Большой объем материала, требующего заучивания наизусть, сложность в образовании ассоциативных связей при запоминании взаимосвязанных случаев, необходимость достижения всеми детьми прочного запоминания всех табличных случаев наизусть в установленные программой сроки - все это делает тему изучения табличного умножения в начальных классах одной из наиболее методически сложных. В связи с этим важными являются вопросы, связанные с приемами запоминания ребенком таблицы умножения.

Литература: Б.Б. с.132-134

При изучении темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» основными задачами учителя являются:

· обобщить и систематизировать знания учащихся о действиях сложения и вычитания,

· выработать осознанные и прочные навыки письменных вычислений.

Сложение и вычитание многозначных чисел изучаются одновременно. Это создаёт лучшие условия для овладения знаниями, умениями и навыками, так как вопросы теории этих действий взаимосвязаны, а приёмы вычислений сходны.

С арифметическими действиями сложения, вычитания, а также с некоторыми устными и письменными приемами их выполнения в концентре «Тысяча», учащиеся уже хорошо знакомы. Поэтому при изучении темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» целесообразно активно опираться на знания детей, увеличив объём и усилив самостоятельное выполнение заданий.

Подготовительную работу к изучению темы начинают ещё при изучении нумерации многозначных чисел. С этой целью, прежде всего, повторяют устные приёмы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются, например: 8400+600, 9800-700, 2000-1700, 740 000+160 000 т.п. Повторяют также письменные приёмы сложения и вычитания трёхзначных чисел. Полезно в устные упражнения на сложение и вычитание разрядных чисел включить примеры с пояснением вида:

6 сот.+8 сот.=14 сот.=1 тыс. 4 сот.;

1 сот. тыс. 5 дес. тыс. – 7 дес. тыс.=15 дес. тыс. -7 дес. тыс.= 8 дес. тыс.

Также полезно повторить и обобщить ранее свойства сложения (переместительное и сочетательное) с иллюстрацией различных случаев их практического применения для рационализации вычислений. Интересно в этом отношении упражнение, в котором предлагается вычислить сумму нескольких слагаемых разными способами и сравнить эти способы вычислений: 11+2+8+9+10, 11+2+(8+9)+10, 11+(2+8)+9+10, (11+9)+(2+8)+10. Это задание направлено на отработку умений практически применять изученные свойства сложения, распространенные на два и более слагаемых. При выполнении этого упражнения учитель обращает внимание учащихся на то, что использование свойств сложения помогает заметно упростить вычисления, просит детей провести сравнение предложенных способов вычислений, выбрать самый рациональный и обосновать свой выбор. Чтобы выработать у учащихся навык практического использования этих свойств сложения, в дальнейшем в устный счёт целесообразно включить аналогичные примеры с тем, чтобы дети чаще тренировались в их использовании для упрощения вычислений с учётом конкретных особенностей примера. Если пример содержит более трёх слагаемых, его нужно записать на доске.

Такая подготовительная работа создаёт возможность учащимся самостоятельно объяснить письменные приёмы сложение и вычитание многозначных чисел.

При ознакомлении с письменным сложением и вычитанием многозначных чисел учащиеся решают такие примеры, где каждый последующий включает в себя предыдущий, например:

752 4752 54752 _837 _6837 _76837 _376837

+246 +3246+43246425242552425152425

После решения таких примеров учащиеся сами сделают вывод о том, что письменное сложение и вычитание многозначных чисел выполняется так же как и трёхзначных чисел.

Далее случаи сложения и вычитания вводятся с нарастающей трудностью: постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержаться нули; изучается сложение нескольких слагаемых, а также сложение и вычитание величин.

При изучении темы «Сложение и вычитание» проводиться повторение уже известных учащимся случаев сложения и вычитания с нулём: b+0=b, d – 0 = d, 0+с = с, b – b =0, которые включаются сразу же в примеры на письменные вычисления с многозначным числами.

При изучении названной темы перед учителем стоит задача распространить уже знакомые алгоритмы письменного сложения и вычитания на действия с числами больше тысячи, но в пределах миллиона. Эта задача не так сложна при изучении сложения. Уже на первом уроке можно рассмотреть сложение многозначных чисел, как без перехода, так и с переходом через разряд, предварительно повторив алгоритм письменного сложения чисел в пределах 1000, таблицу сложения и вычитания чисел в пределах 20.

Значительно усложняется задача рассмотрения письменных алгоритмов при переходе к вычитанию. Особое внимание следует обратить на новые для учащихся случаи вычитания, чтобы суметь предупредить часто возникающие ошибки. Как показывают наблюдения на уроках и анализ проверочных работ, общий алгоритм вычитания учащиеся усваивают неплохо, а вот его частные случаи, когда в записи уменьшаемого содержаться нули, усваиваются плохо и впоследствии допускают большое число ошибок. Причина таких ошибок в неумении заменять единицу высшего разряда единицами более низшего разряда. Именно на этом необходимо обратить внимание при переходе к рассмотрению этого случая вычитания.

Прежде чем приступить к разъяснению алгоритма вычитания, когда в записи уменьшаемого имеется несколько нулей подряд, целесообразно вспомнить особенности десятичной системы счисления, соотношение между разрядными единицами, предложив учащимся, например, заполнить пропуски в следующих предложениях:

в 1 миллионе 10 сот. тыс.

в 1 миллионе … сот. тыс. и 10 дес.тыс.

в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. и 10 тыс.

в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. и 10 сот.

в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. … сот. 10 дес.

в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. … сот. … дес. и 10 ед.

Очень полезны в качестве подготовительных и примеры такого вида:

400 _ 300 _6000 _5000

8237 36

при решении которых необходимо подробно рассмотреть процесс занимания и замены взятой единицы высшего разряда 10 единицами среднего низшего разряда.

Объяснение нового для учащихся случая можно провести так:

Начинаем вычитание с единиц, но из 0 нельзя вычесть 2. в разряде десятков числа 4700 стоит нуль. Значит, придётся взять («развязать» - можно показать на счётных палочках, которые завязаны в пучки по 10 и 10 таких пучков завязаны в сотню) 1 сотню. Учитель показывает одну сотню палочек: «Сколько это десятков? (10 десятков.) Берём 1 десяток. Сколько же десятков из взятой нами сотни останется в разделе десятков? (9 десятков.) Запомним. Мы взяли одну сотню из 7. Чтобы не забыть об этом, поставим точку над цифрой 7 точку. Взятую сотню мы заменили десятками. В 1 сотне 10 десятков. Из этих 10 десятков (9+1) мы взяли один десяток и перенесли в разряд единиц. 1 десяток содержит 10 единиц. Тогда в разряде десятков останется 9 десятков. (При первом объяснении над нулём в разряде десятков можно записать цифру 9, а в дальнейшем делать это лишь тогда, когда ученик обнаружит непонимание этого момента.) Теперь из десятка, который мы взяли (10 единиц), вычтем число 2 (10-2 = 8), запишем 8 единиц под единицами; из 9 десятков вычтем 3 десятка, получим 6 десятков, записываем в разряде десятков. Точка над цифрой 7 показывает, что 1 сотня была взята, следовательно, осталось 6 сотен. Запишем 6 в разряд сотен и 4 в разряде тысяч ».

Дальнейшее расширение знаний письменных вычислений связано с рассмотрением приёмов письменного сложения трёх и большего числа слагаемых. Перед введением этих приёмов полезно вспомнить, что при сложении нескольких чисел их можно переставлять и объединять в группы любым способом.

Учитель объясняет, что при письменном сложении нескольких слагаемых, подписывают каждое слагаемое одно под другим: единицы под единицами, десятке под десятками и т.д. и складывают числа поразрядно. Как можно использовать этот способ при письменном сложении нескольких слагаемых, например: 3408+237.569+18.440 ? Пример записывается на доске. Учащиеся могут предложить сначала вычислить сумму двух первых слагаемых:

и затем к полученной сумме прибавить третье слагаемое:

+ 18440

На вопрос учителя: «Как находили сумму двух слагаемых?» - дети объясняют: «Мы подписали их одно под другим так, чтобы единицы одного числа стояли под единицами другого, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д., и складывали сначала единицы, потом десятки, потом сотни и т.д. по разрядам». Здесь следует задать вопрос, почему этот способ можно использовать при сложении трёх и более слагаемых. Далее учитель спрашивает: «Какое из трёх слагаемых удобно записать первым? Вторым? Третьим?» На доске появляется запись:

Учитель обращает внимание детей на то, что при такой записи знак «+» пишется только один раз. Вызванный к доске ученик с подробным объяснением выполняет сложение. Полученный ответ полезно сравнить с результатом вычислений при решении примера первым способом и сделать вывод.

Чтобы убедиться, овладели учащиеся умениями письменно овладевать несколько слагаемых, можно предложить им самостоятельно сложить четыре слагаемых.

В процессе изучения темы повторяются и обобщаются знание детей о взаимности между компонентами и результатом каждого из действий: сложения и вычитания. Желательно, чтобы дети сами вспомнили, что если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получиться другое слагаемое, и т.п.

Для закрепления, как и в других случаях, для выработки навыков вычислений необходимо включать разнообразные упражнения. Следует, как можно чаще предлагать задания: решить и выполнить проверку решения примеров одним из способов или реже двумя способами. Это помогает не только закрепить знания связей между результатами и компонентами действий, но и способствует выработке вычислительных навыков и воспитывает привычку контролировать себя.

Домашнее задание:

Составить тематическую проверочную работу по теме «Сложение и вычитание многозначных чисел», подобрать (составить) задания на все приемы.

Похожая информация.