1. В области 1 (так же, как и в области 5) функция

При вычислении интеграла всегда удобно представить себе характеристический треугольник с вершиной в точке, лежащей в соответствующей области (см. рис 12). Тогда значение U(x,t) будет определяться значениями начальной функции ψ(x) в основании характеристического треугольника.

2. В области 2 функция

3. В области 3 функция

4. В области 4 функция

5. В области 6 функция

Это решение в различные моменты времени можно изобразить на плоскости x0U (см. рис 13). Здесь для простоты положим a=1.

Рис. 13

Графики функции U(x,t) , изображенные на рис. 13, задают форму струны в различные моменты времени.

Р/м колебания струны во всем пр-ве. Такие колебания описываются задачей Коши:

/ ∂ 2 u/∂x 2 -1/a 2 ∂ 2 u/∂t 2 =0

| u(x,0)=ψ 0 (x) (*)

\ ∂u/∂t (x,0)=ψ 1 (x)

Решение этой задачи можно записать в виде: u(x,t)=φ 1 (x-at)+φ 2 (x+at) (**), φ 1 и φ 2 -диф-мые поxи поtф-ции. φ 1 описывает движение против осиx, а φ 2 – вдоль.Построим решение поставленной задачи Коши (*) для волнового ур-я. Вид φ 1 и φ 2 определим из начальных условий задачи:

ψ 0 =φ 1 (x)+φ 2 (x),ψ 1 =-aφ ’ 1 (x)+aφ ’ 2 (x). Проинтегрировав второе уравнение, получим:φ 1 +φ 2 =1/a x 0 ∫ x ψ 1 (x)dx+c,c-константаСкладывая и вычитая первое и третье ур-я, получим:φ 1 =-1/2a x 0 ∫ x ψ 1 (x)dx-c/2+ψ 0 (x)/2, φ 2 =1/2a x 0 ∫ x ψ 1 (x)dx+c/2+ψ 0 (x)/2Подставляя эти уравнения в (**), получим решение задачи коши для волн ур-я:u(x,t)=(ψ 0 (x-at)+ψ 0 (x+at))/2+1/2a x - at ∫ x + at ψ 1 (x)dx–ф-ла Даламбера

17. Сферические волны. Формула Пуассона. Найдем общий вид сферич симметр решения 3-х мерн волн уравн. Запишем в сферич коорд.(1)или
(2) или
(3) дляu(r,t)=rφ(r,t) (4)

общее решение в виде (5)
(6)cферич симметр решение волнового ур-я. 1-е слогаемое справа опис падающую волну распростр от т.r=0 в ∞ с затуханием 1/r. 2-е слогаемое опис. Отражённую сферич волну движ к т.r=0 с возрастанием амплитуды: 1/r. Построим решение след задачи Коши

будем искать огранич в т.r=0 решение
<∞ переходя к вспомогат зад дляuполучим зад Коши для полуогранич. струны с закреплён концами
,
0

14.Численная схема для волнового ур-я. Схема- крест.

: (1)аппроксимируем:
=
схему явную и неявную пока рассматривать не будемэто справедливо если скорость постоянна Еслиc=c(x) то волновое ур-е будет
(3) если τ=constиh≠const,то

(4) порядок аппроксимации для схемы (2): раскладываемв ряд тейлора в окрестности точки

подставляем эти разложения в схему (2)

схема (2) аппроксимирует ур-е (1) с точностьюи
устойчивость и дискретные свойства схемы Крест .
(1) решение ищем в виде плоских волн

=>
получим дисперсионное ур-е для схемы (2)подставляем решение в виде

,


,


,

подставляем в схему

после несложных преобразований

когда
схема устойчива; если
то ωτ=khрассм случай когда
,arcsin(z)=π/2+iln(z)(z>1)

19 Определение диссипативных структур. Примеры. Многообразие форм и путей эволюции материи чрезвычайно велико, основные качественные закономерности процесса самоорганизации зачастую схожи вне зависимости от его конкретной реализации: будь то физика, химия или биология. И могут быть описаны в рамках единых и относительно простых математических моделей. Исследованием таких моделей занимаетсясинергетика – наука о самоорганизации в средах самой различной природы.Самопроизвольный переход от простого к сложному сопровождается повышением упорядоченности и согласованности. К примеру, при определённых условиях в системе, не подверженной внешним пространственно неоднородным воздействиям, из первоначально однородного состояния возникает структура. На языке математики это означает, что пространственно однородное решение некоторой системы нелинейных уравнений теряет устойчивость, а в замен возникает устойчивое пространственно неоднородное решение.Исторически сложилось так, что зарождение структур было впервые описано на примере нелинейной системы диффузионного типа:
i= 1,…,N. (1)здесь Δ-оператор Лапласа,D i - коэффициент диффузииi-й компоненты,F i -нелинейный источник – функция, характеризующая, например, темп химической реакции, локальный рост биологических популяций или скорость нагрева вещества в теории горения. Стационарные, устойчивые пространственно неоднородные решения системы (1) принято называтьдиссипативными структурами . Считается, что на языке диссипативных структур могут быть объяснены такие разнообразные явления, как морфогенез, т.е. дифференциация клеток и процесс образования многоклеточного организма, пятнистая окраска животных, кочковатая поверхность болот, возникновение сотовой структуры при конвекции. Условия формирования и наиболее типичные формы диссипативных структур – вот некоторые из вопросов, находящихся в центре внимания синергетики.

20 Модель «Подвижный хищник – подвижная жертва». Основные уравнения. Пространственно однородные решения. Рассмотрим возникновение диссипативной структуры на примере двухкомпонентной диффузионной модели типа «Подвижный хищник – подвижная жертва». Динамика изменения численности жертвы (n 1) и хищника (n 2) задаётся уравнениями:

(1),
(2)Здесь предполагается, что блуждание как хищников, так и жертв по одномерному ареалу происходят случайным образом и описываются диффузионными слагаемыми (крайние правые слагаемые). Хищники питаются жертвами (±n 1 n 2), в то время как жертвы – вегетарианцы. Первое слагаемое правой части (1) описывает прирост жертв (в отсутствии хищников жертвы размножаются). Напротив, в отсутствие жертв хищники вымирают, на что указывает -d(n 2)n 2 в (2).Функция ростаb(n) и смертиd(n) в экологических моделях часто аппроксимируют линейным или квадратичным способом.Для конкретности возьмём:

b(n 1) = a + bn 1 – cn 1 2 ,(3)

d(n 2) =d 0 +d 1 n 2 ,(4)Предположим, что обе популяции изолированы на некотором конечном ареале, скажем на интервале , тогда граничные условия запишем в виде:
(5)Уравнения (2) с учётом (3), (4) допускают стационарные пространственно однородные решения:

(6)
(7)Состояния (6), (7) могут стать неустойчивыми, если подвижность особей разных популяций различна:D 1 ≠D 2 . Тогда возникает либо новое устойчивое стационарное, но пространственно неоднородное состояние, либо не стационарное состояние до периодических осцилляций. Описанная модель используется в экологии для объяснения проявления пятнистости распределения животных на однородном ареале.

22. Элементы газовой динамики. Понятие сплошной среды Любое тело можно представить в виде совокупности тел, которые можно считать материальными точками. Такая система описывается 6NДУ с заданными 6Nнач. усл.Р/м систему, в которой число частиц конечно; будем характеризовать её 2 параметрами:- длина свободного пробега- характерное время м/у столкновениями.Это микроскопические параметры. К макроскопическим относятся:L– пространственный масштаб задачи,T– характерное время измерения.Введём некоторый объёмV, причём будем считать, что в нём находится достаточно много частиц.
- характерный размер объёма.(1) – основное условие применимости модели сплошной средыР/м движение произвольной жидкой частицыV(t). Введём основные параметры, характеризующие жидкую частицу:

m– масса,
- средняя объёмная плотность в этой частице,- суммарный импульс жидкой частицы,
- средняя скорость движения жидкой частицы,
- средняя энергия жидкой частицы,
- внутренняя энергия (внутримолекулярное движение, энергия взаимодействия м/у атомами и молекулами),Если

, то существуют функции, зависящие от (r,t):
,
,

23. Интегральные законы сохранения 1. закон сохранения массы Будем считать, что для жидкой частицы в отдельности справедлив закон сохранения массы:
,
(1) – закон сохранения массы для модели сплошной среды

2. закон изменения импульса ,(2)

1-е слагаемое – изменение количества жидкости,2-е слагаемое – результат действия объёмных массовых сил,3-е слагаемое – действие поверхностных сил давления,f– удельная внешняя сила, действующая на жидкой частицы,Замечания: а) жидкость – сплошная средаб) идеальная среда – среда является бездиссипативной, т.е. не учитываем внутреннее трение, теплопроводность, излучение.3. закон сохранения энергии

Если нет ни внешних, ни внутренних сил, тогда полная энергия сохраняется.

(3) – интегральный закон сохранения энергии для модели сплошной среды

Система уравнений (1-3) определяет движение жидкости. Т.к все т/д величины определяются по значениям каких либо 2-х из них с помощью уравнения состояния вещества:
поэтому задание 5-и величин: 3-х компонент скорости и напр., давления и плотности полностью определяет состояние движущейся частицы.

25. Разностные схемы в газовой динамике. Метод крупных частиц. В газовой динамике различают 3 типа задач:Внешние:связанные с исследованием обтекания тел потоеом газа,Внутренние:изучение движения газа в каналах и соплах, Струйные- движение газа в струях.Важными задачами в газовой динамике являются задачи о взрыве, связанные с движением детонационных или ударных волн в различных средах.1.Уравнения газовой динамики (УГД). УГД являются выражением общих законов сохранения массы, импульса и энергии.ПустьV– некоторый объем, ограниченный гладкой поверхностью. Масса газа, заключенная в этом объеме в некоторый момент времени выражается интегралом:
Количество газа, покидающего объемVза единицу времени, составляет величину:
, где
- скалярное произведение.Таким образом, баланс вещества за промежуток времениt=t 2 –t 1 , будет иметь вид:

(1) – закон сохранения массы в объемеVилиуравнение непрерывности. Или в дифференциальной форме:
(2) Предположим, что в среде действует некоторая внешняя сила с объемной плотностьюF. Газ, находящийся в объемеV, обладает количеством движения:
2 – ое УГД – уравнение движения имеет вид:

(3) , гдеP- газокинетическое давление.(3) – уравнение движения среды, в отличие от (1), является векторным.
(4) –закон сохранения импульса , дифференциальная форма (3).Чтобы получать 3-е уравнение, необходимо записать для объемаVзакон сохранения энергии. Полная энергия газа (внутренняя + кинетическая) в объемеVвычисляется по формуле:
, где - удельная внутренняя энергия газа.Уравнение энергии в газовой динамике:

(5) ЗдесьQ– мощность объемных источников энергии, распределенных в пространстве. Например, интенсивность джоулева нагрева эл. токами в проводящем газе.
- описывает приток энергии через поверхностьза счет процессов теплопроводности.Закон Фурье:
, T– температура,коэффициент теплопроводности.

(6) закон сохранения энергии , дифф форма в газовой динамике.Уравнения газовой динамики в переменных Лагранжа (дифф. Форма)

Уравнение непрерывности: Закон сохранения импульса:

Закон сохранения энергии:

Пример построения разностной схемы (РС) в газовой динамике. Выберем, например, следующий вид ДУ газовой динамики в переменных Лагранжа:
(1)
(2) ,
(3) ,
(4)
(5)

В данном случае ур-ния состояния (5) описывают ид. газ, однако с точки зрения построения РС это не является принципиальным. Поэтому, в дальнейшем, при записи РС уравнения состояния будут часто опускаться. Система (1) – (5) решается в области ={0 < s < M, t > 0}. Граничные условия мы опускаем.В области  введем равномерную сетку:s i t j), (s i +1/2 , t j), s i +1 = s i + h, s i +1/2 = s i + 0.5h, i = 0, 1, …, N – 1, s 0 = 0, s N = M, hN = M, t i +1 = t i + , j = 0, 1, …}

К
узлам сетки (s i t j) будем относить сеточные ф-ции скоростиv i j и эйлеровой переменнойx i j , к полуцелым точкам (s i +1/2 ,t j) – сеточные функции давления, плотности, внутр. энергии и температуры. Аппроксимируя УГД (1) – (5), можно получить следующую разностную схему:

М



етод крупных частиц. Метод крупных частиц (метод Белоцерковского - Давыдова) предназначен для расчета сжимаемых и слабосжимаемых течений сплошной среды. Под методом крупных частиц понимают совокупность методик расчета ур – ний Эйлера, Навье - Стокса, МГД – течений и т. д. Метод крупных частиц основан на разделении исходной системы ДУ по физическим процессам. Можно использовать произвольные системы координат (криволинейные, неортогональныеи др). Для наглядности мы проделаем выкладки в ДСК. Рассмотрим уравнения Эйлера в дивергентном виде:

(
1)

Процесс решения данной системы разбивают на три этапа:

ЭЙЕЛЕРОВ ЭТАП. Здесь пренебрегают всеми эффектами, связанными с движением жидкости (потока массы через границы ячеек нет) и на фиксированной эйлеровой сетке определяют промежуточные значения искомых параметров потока.

ЛАГРАНЖЕВ ЭТАП . На этом этапе вычисляют плотности потоков при движении жидкости через границы ячеек.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП . Здесь определяются окончательные значения параметров потока на основе ЗСМ, ЗСИ, ЗСЭ для каждой ячейки.

Рассмотрим прямоугольную сетку, разбивающую расчетную область на ячейки со сторонами x,y,z. Координаты центра ячейки {i,j,k} равны

x = (i – 1/2)x, y = (j – 1/2) y, z = (k – 1/2) z.

Эйлеров этап. На этом этапе расчета изменяются лишь величины, относящиеся к ячейке в целом, а жидкость считается замороженной. Поэтому конвективные члены вида div(W),


= {1, u, v, w, E}, - соответствующие эффектам перемещения из уравнений (1) исключают. Из уравнения неразрывности, в частности, следует, что поле плотности будет заморожены, поэтому в оставшихся уравнениях (1) можно вынести под дифференциал и разрешить (1) относительно временных производных от u, v, w, E. Тогда

Р



ассмотрим простейшую К-Р аппроксимацию, используя центральные разности:

Здесь величины с дробными индексами относятся к границам ячеек.

-
промежуточные значения параметров потока, полученные в предположении замороженности поляна слоеt n +t. Устойчивости этого этапа можно достигнуть, изменяя его диссипативные свойства, вводя элементы метода интегральных соотношений.

Лагранжев этап . На этом этапе находят приt n +tпотоки массы через границы ячеек. При этом полагают, что масса крупной частицы переносится только за счет нормальной к границе составляющей скорости. Так, например,

З
нак < > означает значениеиuна границе ячейки. Выбор этих величин имеет важное значение, т.к. влияет на устойчивость и точность счета. Используя формулы 1-го порядка точности, учитывая направление потока, имеем:

Потоки импульса (энергии) равны произведению M n на соответствующие значения скорости (полной энергии). Такое описание метода крупных частиц иногда называют методом потоков.

Заключительный этап. На этом этапе находят окончательные поля эйлеровых параметров потока в моментt n +1 =t n +t. Как уже отмечалось, уравнения этого этапа представляют собой законы сохранения массыM, импульсаPи полной энергииE, записанные для данной ячейки (крупной частицы) в разностной форме:

M
n +1 =M n P n +1 =P n PE n +1 =E n Окончательные значения параметров потокаX={u,v,w,E} на следующем временном слое вычисляют по формулам

D n =1 – если жидкость вытекает через границы ячеекD n =0 – если жидкость втекает через границы ячеекРассмотренный вариант схемы имеет 1-ый порядок точности.

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, мы рассмотрим более простую задачу - о колебаниях бесконечной струны. Если представить себе очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникшие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния. Так, если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны. Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов веревки и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов струны, мы тем самым не будем учитывать влияния отраженных волн.

Рассматривая свободные колебания, мы должны, таким образом, решить однородное уравнение

при начальных условиях

где функции заданы на всей числовой оси. Никакие краевые условия на искомую функцию не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. Метод решения ее, который мы сейчас изложим, называется методом Даламбера или методом бегущих волн.

Прежде всего покажем, что общее решение уравнения (2.1), т. е. решение, зависящее от двух произвольных функций (см. введение), имеет вид

где функции предполагаются дважды дифференцируемыми.

Действительно, последовательно дифференцируя, находим:

Отсюда ясно, что

т. е. что равенство (2.1) соблюдается.

Наша задача состоит теперь в том, чтобы, пользуясь начальными условиями (2.2), определить неизвестные функции . Полагая в (2.3) и подсгавляя выражение для в первое из условий (2.2), получим

Полагая теперь в выражении для и пользуясь вторым условием (2.2), придем к уравнению

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до получим соотношение

которое приведем к виду

где - некоторая постоянная величина.

Из системы уравнений (2.4) и (2.6) находим искомые функции

Заменяя в формулах (2.7) аргумент соответственно на и подставляя полученные выражения в формулу (2.3), найдем функцию

Замечая, что

придадим решению следующий вид:

Формула (2.8) называется решением Даламбера задачи Коши для уравнения колебаний струны.

Предоставляем читателю самостоятельно проверить, что найденная функция действительно удовлетворяет как уравнению (2.1), так и условиям (2.2).

Для того чтобы выяснить физический смысл полученного решения, рассмотрим прежде всего в отдельности функции, входящие в общее выражение (2.3) для . Начнем с функции и построим графики этой функции при возрастающих значениях и т. д. (на рис. 5 они расположены сверху вниз).

Второй график будет сдвинут относительно первого на величину третий - на величину и т. д. Если по очереди проектировать эти рисунки на неподвижный экран, то зритель увидит, что график, изображенный на верхнем рисунке, «побежит» вправо. (Этот способ изображения движения положен, между прочим, в основу съемки мультипликационных фильмов.) При этом, если мысленно перемещаться вправо вдоль струны с постоянной скоростью а, то отклонение струны будет казаться все время постоянным.

Действительно, начав движение, скажем, в точке и переместившись за время t в точку х, будем иметь