Решение симметрических систем уравнений с двумя переменными. Симметрические системы уравнений. Используемые технологии обучения
Рациональные уравнения и неравенства
I. Рациональные уравнения.
Линейные уравнения.
Системы линейных уравнений.
Возвратные уравнения.
Формула Виета для многочленов высших степеней.
Системы уравнений второй степени.
Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.
Однородные уравнения.
Решение симметрических систем уравнений.
Уравнения и системы уравнений с параметрами.
Графический метод решения систем нелинейных уравнений.
Уравнения, содержащие знак модуля.
Основные методы решения рациональных уравнений
II. Рациональные неравенства.
Свойства равносильных неравенств.
Алгебраические неравенства.
Метод интервалов.
Дробно-рациональные неравенства.
Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.
Неравенства с параметрами.
Системы рациональных неравенств.
Графическое решение неравенств.
III. Проверочный тест.
Рациональные уравнения
Функция вида
P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n ,
где n - натуральное, a 0 , a 1 ,…, a n - некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.
Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) - целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.
Уравнение вида
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,
где P 1 (x), P 2 (x), … ,P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) - целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.
Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) - многочлены (Q (x) 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x) 0.
Линейные уравнения.
Уравнения вида ax+b=0, где a и b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением.
Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a.
Если a=0; b0, то линейное уравнение решений не имеет.
Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.
Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.
Если прямая проходит через точку с координатами X 0 и Y 0 , то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y 0 = aX 0 + b.
Пример 1.1 . Решить уравнение
2x – 3 + 4(x – 1) = 5.
Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
Пример 1.2. Решить уравнение
2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.
Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.
Ответ: .
Пример 1.3 . Решить уравнение.
2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.
Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
4x + 4x = 9 – 9,
Ответ: Любое число.
Системы линейных уравнений.
Уравнение вида
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,
где a 1 , b 1 , … ,a n , b -некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x 1 , x 2 , …, x n .
Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:
система не имеет решений;
система имеет ровно одно решение;
система имеет бесконечно много решений.
Пример 2.4. решить систему уравнений
Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.
Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений
X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.Ответ: (1; 2).Пример 2.5. Решить систему уравнений
Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).
Ответ: Решений нет.
Пример 2.6. решить систему уравнений
Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).
Ответ: Бесконечно много решений.
Пример 2.7. решить систему уравнений
x + y – z = 2,
2x – y + 4z = 1,
Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.
Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.
Таким образом, система приобрела треугольный вид
x + y – z = 2,
Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.Ответ: (1; 1; 0).Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений
2x + ay = a + 2,
(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
имеет бесконечно много решений? Решение. Из первого уравнения выражаем x:
x = – (a / 2)y + a / 2 +1.
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y. Ответ: 3.
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c - некоторые числа (a0);
x - переменная, называется квадратным уравнением.
Формула решения квадратного уравнения.
Сначала разделим обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 на a - от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
выделим в левой части полный квадрат
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2)).
Для краткости обозначим выражение (b 2 – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид
Возможны три случая:
если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (D) 2 . Тогда
D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , потому тождество принимает вид
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .
По формуле разности квадратов выводим отсюда:
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).
Теорема: Если выполняется тождество
ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),
то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 при X 1 X 2 имеет два корня X 1 и X 2 , а при X 1 = X 2 - лишь один корень X 1 .
В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
а тем самым и уравнение ax 2 + bx + c = 0, имеет два корня:
X 1 =(-b + D) / 2a; X 2 = (-b - D) / 2a.
Таким образом x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).
Обычно эти корни записывают одной формулой:
где b 2 – 4ac = D.
если число D равно нулю (D = 0), то тождество
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
принимает вид x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .
Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X 1 = – b / 2a
3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax 2 + bx + c = 0.
Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант
D = b 2 – 4ac.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:
X 1 =(-b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a).
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:
b = 0; c 0; c / a <0; X1,2 = (-c / a)
b 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.
Корни квадратного уравнения общего вида ax 2 + bx + c = 0 находятся по формуле
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:
x 2 + px + q = 0.
Теорема Виета.
Мы вывели тождество
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),
где X 1 и X 2 - корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0. Раскроем скобки в правой части этого тождества.
x 2 + (b / a)x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2)x +x 1 x 2 .
Отсюда следует, что X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a. Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603):
Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому c противоположным знаком и делённому на коэффициент при X 2 ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X 2 .
Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства
X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a,
то числа X 1 и X 2 являются корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.
Замечание. Формулы X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет один корень X 1 кратности 2, если положить в указанных формулах X 2 = X 1 . Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx +c = 0 имеет два совпадающих друг с другом корня.
При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения
(1 / X 1) + (1/ X 2)= (X 1 + X 2)/ X 1 X 2 ;
X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 – 2 X 1 X 2 ;
X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 – 2X 1 X 2) / X 1 X 2 ;
X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =
= (X 1 + X 2)((X 1 + X 2) 2 – 3X 1 X 2).
Пример 3.9. Решить уравнение 2x 2 + 5x – 1 = 0.
Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;
X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.
Ответ: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.
Пример 3.10. Решить уравнение x 3 – 5x 2 + 6x = 0
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x(x 2 – 5x + 6) = 0,
отсюда x = 0 или x 2 – 5x + 6 = 0.
Решая квадратное уравнение, получаем X 1 = 2 , X 2 = 3.
Ответ: 0; 2; 3.
Пример 3.11.
x 3 – 3x + 2 = 0. Решение. Перепишем уравнение, записав –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0, а теперь группируемx(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1.Ответ: x 1 = x 3 = 1, x 2 = – 2.Пример 3.12. Решить уравнение7
(x – 1)(x – 3)(x – 4)
(2x – 7)(x + 2)(x – 6)Решение. Найдём область допустимых значений x:X + 2 0; x – 6 0; 2x – 7 0 или x – 2; x 6; x 3,5.Приводим уравнение к виду (7x – 14)(x 2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x 2 – 4x – 12), раскрываем скобки.7x 3 – 49x 2 + 84x – 14x 2 + 98x – 168 + 4x 3 – 16x 2 – 48x – 14x 2 + 56x + 168 = 0,11x 3 – 93x 2 + 190x = 0,x(11x 2 – 93x + 190) = 0,x 1 = 011x2 – 93x + 190 = 0, 93(8649 – 8360) 93 17 x 2,3 = = ,
Т.е. x 1 = 5; x 2 = 38 / 11.
Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: x 1 = 0; x 2 = 5; x 3 = 38 / 11.
Пример 3.13. Решить уравнение x 6 – 5x 3 + 4 = 0
Решение. Обозначим y = x 3 , тогда исходное уравнение принимает вид
y 2 – 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y 1 = 1; Y 2 = 4.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности
уравнений: x 3 = 1 или x 3 = 4, т. е. X 1 = 1 или X 2 = 3 4
Ответ: 1; 3 4.
Пример 3.14. Решить уравнение (x 3 – 27) / (x – 3) = 27
Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):
ДокладНаучный руководитель: Кулабухов Сергей Юрьевич, кандидат физико-математических наук, педагог дополнительного образования МОУ ДОД ДТДиМ, г. Ростов-на-Дону.
1.
Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени
, если они имеют вид
ах 3 + bx 2 + bх + a = 0
.
Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства возвратных уравнений:
а) У любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.
Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е. (х + 1)(ах 2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах 2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.
б) У возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.
в) При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.
Пример .
х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.
Решение.
У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х 3 + 2x 2 + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:
. |
1 |
2 |
2 |
1 |
-1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = (х + 1)(x 2 + х + 1) = 0.
Квадратное уравнение x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.
Ответ: -1.
2.
Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени
, если они имеют вид
ах 4 + bx 3 + сх 2 + bх + a = 0.
Алгоритм решения подобных уравнений таков:
а) Разделить обе части исходного уравнения на х 2 . Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.
б) С помощью группировки привести уравнение к виду:
а(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).
Проделаем преобразования:t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Если теперь выразить x 2 + 1/x 2 , то t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2 .
г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение:
аt 2 + bt + c – 2a = 0.
д) Сделать обратную подстановку.
Пример.
6х 4 – 5х 3 – 38x 2 – 5х + 6 = 0.
Решение.
6х 2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х 2 = 0.
6(х 2 + 1/х 2) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.
Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, имеем:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 или t = 10/3.
Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:
1) x + 1/x = -5/2;
х 2 + 5/2 х +1 = 0;
х = -2 или х = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
х 2 – 10/3 х + 1 = 0;
х = 3 или х = 1/3.
Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.
Способы решения некоторых видов уравнений высших степеней
1. Уравнения, которые имеют вид (х + а) n + (х + b) n = c, решаются подстановкой t = x + (a + b)/2. Этот метод называется методом симметризации .
Примером такого уравнения может быть уравнение вида (х + а) 4 + (х + b) 4 = c.
Пример.
(х + 3) 4 + (х + 1) 4 = 272.
Решение.
Делаем подстановку, о которой говорилось выше:
t = x + (3 + 1)/2 = х + 2, после упрощения: х = t – 2.
(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.
Убрав скобки с помощью формул, получим:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.
t 4 + 6t 2 – 135 = 0.
t 2 = 9 или t 2 = -15.
Второе уравнение корней не дает, а вот из первого имеем t = ±3.
После обратной замены получим, что х = -5 или х = 1.
Ответ: -5; 1.
Для решения подобных уравнений часто оказывается эффективным и метод разложения на множители левой части уравнения.
2. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b.
Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной.
Пример.
(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
Решение.
Вычисляем: 1 + 4 = 2 + 3. Группируем скобки по парам:
((х + 1)(x + 4))((х + 2)(x + 3)) = 24,
(х 2 + 5х + 4)(х 2 + 5х + 6) = 24.
Сделав замену х 2 + 5х + 4 = t, имеем уравнение
t(t + 2) = 24, оно является квадратным:
t 2 + 2t – 24 = 0.
t = -6 или t = 4.
После выполнения обратной замены, легко находим корни исходного уравнения.
Ответ: -5; 0.
3. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ах 2 , где аd = cb.
Метод решения заключается в частичном раскрытии скобок, делении обеих частей на х 2 и решении совокупности квадратных уравнений.
Пример.
(х + 12)(х + 2)(x + 3)(x + 8) = 4х 2 .
Решение.
Перемножив в левой части первые две и последние две скобки получим:
(х 2 + 14х + 24)(х 2 + 11х + 24) = 4х 2 . Делим на х 2 ≠ 0.
(х + 14 + 24/х)(х + 11 + 24/х) = 4. Заменой (х + 24/х) = t приходим к квадратному уравнению:
(t + 14)(t + 11) = 4;
t 2 + 25х + 150 = 0.
t = 10 или t = 15.
Произведя обратную замену х + 24/х = 10 или х + 24/х = 15, находим корни.
Ответ: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4. Решить уравнение (3х + 5) 4 + (х + 6) 3 = 4х 2 + 1.
Решение.
Данное уравнение сразу трудно классифицировать и выбрать метод решения. Поэтому сначала преобразуем, используя разность квадратов и разность кубов:
((3х + 5) 2 – 4х 2) + ((х + 6) 3 – 1) = 0. Затем, после вынесения общего множителя, придем к простому уравнению:
(х + 5)(х 2 + 18х + 48) = 0.
Ответ: -5; -9 ± √33.
Задача.
Составить многочлен третьей степени, у которого один корень, равный 4, имеет кратность 2 и корень, равный -2.
Решение.
f(x)/((х – 4) 2 (х + 2)) = q(x) или f(x) = (х – 4) 2 (х + 2)q(x).
Умножив первые две скобки, и приведя подобные слагаемые, получим: f(x) = (х 3 – 6x 2 + 32)q(х).
х 3 – 6x 2 + 32 – многочлен третьей степени, следовательно, q(x) – некоторое число из R (т. е. действительное). Пусть q(x) есть единица, тогда f(x) = х 3 – 6x 2 + 32.
Ответ: f(x) = х 3 – 6x 2 + 32.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Введение
Проблема моего проекта заключается в том, что для успешной сдачи ЕГЭ требуется умение решать различные системы уравнений, а в курсе средней школы им отведено недостаточно времени, необходимого познать этот вопрос глубже.
Цель работы: подготовиться к успешной сдачи ЕГЭ.
Задачи работы:
Расширить свои знания в области математики, связанные с понятием «симметрия».
Повысить свою математическую культуру, используя понятие «симметрия» при решении систем уравнений, называемых симметрическими, а также других задач математики.
Понятие симметрии.
Симме́три́я - (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле - неизменность при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы. Двусторонняя симметрия означает, что право и лево относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.
Решение задач при помощи симметрии.
Задача №1
Двое по очереди кладут одинаковые монеты на круглый стол, причём монеты не должны накрывать друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Иначе говоря, у какого из игроков есть выигрышная стратегия?)
Способы решения симметрических систем.
Симметрические системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены. Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = х + у, v = ху.
Пример №2
3 х 2у – 2ху + 3ху 2 = 78,
2х – 3ху + 2у + 8 = 0
С помощью основных симметрических многочленов система может записана в следующем виде
3uv – 2v = 78,
2u – 3v = -8.
Выражая из второго уравнения u = и подставляя его в первое уравнение, получим 9v2– 28v – 156 = 0. Корни этого уравнения v 1 = 6 и v 2 = - позволяют найти соответствующие им значения u1 = 5, u2= - из
выражения u = .
Решим теперь следующую совокупность систем
Решим теперь следующую совокупность систем
х + у = 5, и х + у = - ,
ху = 6 ху = - .
х = 5 – у, и у = -х - ,
ху = 6 ху = - .
х = 5 – у, и у = -х - ,
у (5 – у) = 6 х (-х -) = - .
х = 5 – у, и у = -х - ,
у 1= 3, у 2 =2 х 1 = , х 2 = -
х 1 = 2, х 2 = 3, и х 1 = , х 2 = -
у 1= 3, у 2 =2 у 1 = - , у 2=
Ответ: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).
Теоремы, используемые при решении симметрических систем.
Теорема 1. (о симметрических многочленах)
Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в виде функции от двух основных симметрических многочленов
Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция двух переменных φ (u, v), что
Теорема 2. (о симметрических многочленах)
Теорема 2. (о симметрических многочленах)
Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов:
Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных θ (u, v, w), что
Более сложные симметрические системы – системы, содержащие модуль:
| x – y | + y2 = 3,
| x – 1 | + | y – 1 | = 2.
Рассмотрим данную систему отдельно при х < 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
б) при х ≤ у < 1 система принимает вид
б) при х ≤ у < 1 система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у > х) система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 + у – 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х – у = - 2,
откуда находим х 1 = - 3, у 1 = - 1, х 2 = - 1, у 2 = 1. Вторая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. е. является решением данной системы.
Если х ≥ 1, то:
Если х ≥ 1, то:
а) х > у и у < 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х > у и у ≥ 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 + у – 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 4,
откуда находим х = 1, у = 3. Эта пара чисел не принадлежит рассматриваемой области;
в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид
в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
х – 1 + у – 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 4,
откуда находим х 1 = 5 + √8, у 1 = - 1 - √8;
х 2 = 5 - √8, у 2 = - 1 + √8. Эти пары чисел не принадлежат рассматриваемой области.
Таким образом, х 1 = - 1, у 1 = 1; х 2 = 1, у 2 = - 1.
Ответ: (- 1; 1); (1; - 1).
Заключение
Математика развивает мышление человека, учит посредством логики находить разные пути решения. Так, научившись решать симметрические системы, я поняла, что использовать их можно не только для выполнения конкретных примеров, но я для решения разного рода задач.
Я думаю, что проект может принести пользу не только мне. Для тех, кто так же захочет ознакомиться с этой темой, моя работа будет являться хорошим помощником.
Список используемой литературы:
Башмаков М. И., «Алгебра и начала анализа», 2-е издание, Москва, «Просвещение», 1992, 350 стр.
Рудченко П. А., Яремчук Ф. П., «Алгебра и элементарные функции», справочник; издание третье, переработанное и дополненное; Киев, Наукова, Думка, 1987, 648 стр.
Шарыгин И. Ф., « Математика для школьников старших классов», Москва, издательский дом «Дрофа», 1995, 490 стр.
Интернет-ресурсы: http://www.college.ru/
Работа может использоваться для проведения уроков и докладов по предмету "Математика"
Готовые презентации по математике используют в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю или родителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания. В данном разделе сайта можно найти и скачать множество готовых презентаций по математике для учащихся 1,2,3,4,5,6 класса, а также презентации по высшей математике для студентов ВУЗов.
1.
Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени
, если они имеют вид
ах 3 + bx 2 + bх + a = 0
.
Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства возвратных уравнений:
а) У любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.
Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е. (х + 1)(ах 2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах 2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.
б) У возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.
в) При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.
Пример .
х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.
Решение.
У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х 3 + 2x 2 + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:
. |
1 |
2 |
2 |
1 |
-1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = (х + 1)(x 2 + х + 1) = 0.
Квадратное уравнение x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.
Ответ: -1.
2.
Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени
, если они имеют вид
ах 4 + bx 3 + сх 2 + bх + a = 0.
Алгоритм решения подобных уравнений таков:
а) Разделить обе части исходного уравнения на х 2 . Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.
б) С помощью группировки привести уравнение к виду:
а(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).
Проделаем преобразования:t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Если теперь выразить x 2 + 1/x 2 , то t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2 .
г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение:
аt 2 + bt + c – 2a = 0.
д) Сделать обратную подстановку.
Пример.
6х 4 – 5х 3 – 38x 2 – 5х + 6 = 0.
Решение.
6х 2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х 2 = 0.
6(х 2 + 1/х 2) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.
Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, имеем:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 или t = 10/3.
Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:
1) x + 1/x = -5/2;
х 2 + 5/2 х +1 = 0;
х = -2 или х = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
х 2 – 10/3 х + 1 = 0;
х = 3 или х = 1/3.
Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.
Способы решения некоторых видов уравнений высших степеней
1. Уравнения, которые имеют вид (х + а) n + (х + b) n = c, решаются подстановкой t = x + (a + b)/2. Этот метод называется методом симметризации .
Примером такого уравнения может быть уравнение вида (х + а) 4 + (х + b) 4 = c.
Пример.
(х + 3) 4 + (х + 1) 4 = 272.
Решение.
Делаем подстановку, о которой говорилось выше:
t = x + (3 + 1)/2 = х + 2, после упрощения: х = t – 2.
(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.
Убрав скобки с помощью формул, получим:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.
t 4 + 6t 2 – 135 = 0.
t 2 = 9 или t 2 = -15.
Второе уравнение корней не дает, а вот из первого имеем t = ±3.
После обратной замены получим, что х = -5 или х = 1.
Ответ: -5; 1.
Для решения подобных уравнений часто оказывается эффективным и метод разложения на множители левой части уравнения.
2. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b.
Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной.
Пример.
(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
Решение.
Вычисляем: 1 + 4 = 2 + 3. Группируем скобки по парам:
((х + 1)(x + 4))((х + 2)(x + 3)) = 24,
(х 2 + 5х + 4)(х 2 + 5х + 6) = 24.
Сделав замену х 2 + 5х + 4 = t, имеем уравнение
t(t + 2) = 24, оно является квадратным:
t 2 + 2t – 24 = 0.
t = -6 или t = 4.
После выполнения обратной замены, легко находим корни исходного уравнения.
Ответ: -5; 0.
3. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ах 2 , где аd = cb.
Метод решения заключается в частичном раскрытии скобок, делении обеих частей на х 2 и решении совокупности квадратных уравнений.
Пример.
(х + 12)(х + 2)(x + 3)(x + 8) = 4х 2 .
Решение.
Перемножив в левой части первые две и последние две скобки получим:
(х 2 + 14х + 24)(х 2 + 11х + 24) = 4х 2 . Делим на х 2 ≠ 0.
(х + 14 + 24/х)(х + 11 + 24/х) = 4. Заменой (х + 24/х) = t приходим к квадратному уравнению:
(t + 14)(t + 11) = 4;
t 2 + 25х + 150 = 0.
t = 10 или t = 15.
Произведя обратную замену х + 24/х = 10 или х + 24/х = 15, находим корни.
Ответ: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4. Решить уравнение (3х + 5) 4 + (х + 6) 3 = 4х 2 + 1.
Решение.
Данное уравнение сразу трудно классифицировать и выбрать метод решения. Поэтому сначала преобразуем, используя разность квадратов и разность кубов:
((3х + 5) 2 – 4х 2) + ((х + 6) 3 – 1) = 0. Затем, после вынесения общего множителя, придем к простому уравнению:
(х + 5)(х 2 + 18х + 48) = 0.
Ответ: -5; -9 ± √33.
Задача.
Составить многочлен третьей степени, у которого один корень, равный 4, имеет кратность 2 и корень, равный -2.
Решение.
f(x)/((х – 4) 2 (х + 2)) = q(x) или f(x) = (х – 4) 2 (х + 2)q(x).
Умножив первые две скобки, и приведя подобные слагаемые, получим: f(x) = (х 3 – 6x 2 + 32)q(х).
х 3 – 6x 2 + 32 – многочлен третьей степени, следовательно, q(x) – некоторое число из R (т. е. действительное). Пусть q(x) есть единица, тогда f(x) = х 3 – 6x 2 + 32.
Ответ: f(x) = х 3 – 6x 2 + 32.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Итак, для u получаем уравнение Вспомним теорему о рациональных корнях многочленов (§ 2.1.5). Рациональные корни нашего уравнения нужно искать среди делителей числа –4. Перебирая все делители, убеждаемся, что рациональных корней у уравнения нет. Однако эта теорема и не была теоремой существования корней. Указанная теорема констатировала лишь следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами существуют рациональные корни (но для них имеется ещё возможность НЕ существовать), то эти корни будут иметь некоторый специальный вид. Тот случай, когда рациональных корней нет, эта теорема и не описывала.
Попробуем найти корни уравнения исходной системы среди иррациональных чисел. Однако для этого придется проявить некоторую изобретательность: стандартная замена для симметрических систем здесь, очевидно не работает.
Возводя второе уравнение в куб, получим: Таким образом, по теореме Виета, и являются корнями квадратного уравнения Отсюда и Значит,