Регулятивные действия учащихся

Окружность можно построить с помощью циркуля (рис. 1). Ножку с иголкой устанавливают в точку, а ножка с грифелем опишет замкнутую линию, которую называют окружностью.

Рис. 1. Циркуль

Окружность - это множество точек, равноудаленных от заданной точки (точки О), которую называют центром окружности. Окружность разделит плоскость на 2 части. Ту часть плоскости, которая лежит внутри окружности вместе с самой окружностью, называют кругом. Точка О является как центром окружности, так и центром круга (рис. 2).

Рис. 2. Окружность и круг

Точки могут лежать на окружности, т. е. принадлежать окружности. Точки А и В принадлежат окружности с центром в точке О (Рис. 3); точки О, Е и D не принадлежат окружности с центром в точке О; точки О, Е, А, В принадлежат кругу с центром в точке О, а точка D не принадлежит этому кругу.

Рис. 3. Окружность и круг с центром в точке О

Точки А и В делят окружность на две части (рис. 4), каждую из которых называют дугой окружности; точки А и В - концами дуг.

Рис. 4. Окружность

Дуга окружности - это часть окружности, ограниченная двумя точками. Пример. На окружности с центром в точке О отмечены точки А, В и С. Назовите дуги, на которые эти дуги делят окружность. Дуги с концами в точках А и В: дуга АВ, дуга АСВ. Дуги с концами в точках В и С: дуга ВС, дуга ВАС. Дуги с концами в точках А и С: дуга АС, дуга АВС. Отрезки ОА, ОВ соединяют центр окружности с точками, лежащими на окружности. Их называют радиусами (рис. 5).

Рис. 5. Радиусы окружности

Радиус - это расстояние от центра окружности до любой точки окружности. Радиусы одной окружности равны. Обозначают радиусы R или r. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. Обозначают: d или D. Свойства диаметра: 1. диаметр - самая большая хорда. 2. d = 2R. Диаметр делит круг на два полукруга, а окружность - на две полуокружности

Постройте окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Постройте прямую а так, чтобы она пересекла окружность в двух точках А и В (рис. 6). На каком расстоянии от центра окружности находятся точки А и В?

Рис. 6. Окружность с центром в точке О и радиусом 4 см

Так как расстояние между двумя точками - это длина отрезка с концами в этих точках, то нам необходимо найти длины отрезков ОА и ОВ. По определению отрезки ОА и ОВ - радиусы одной и той же окружности. Тогда ОА = ОВ = R= 4 см. Значит, на расстоянии 4 см находятся точки А и В от центра окружности.

Постройте отрезок АВ, равный 4 см. Постройте первую окружность с центром в точке А радиусом 3 см, и другую окружность с центром в точке В радиусом 2 см. Назовите точки пересечения окружностей точками Е и С (рис. 7). Чему равны длины отрезков АЕ, АС, ЕВ и ВС?

Рис. 7. Отрезок АВ

По определению, отрезок АЕ, АС - это радиусы первой окружности. АЕ = АС = = 3 см. Отрезки ЕВ, СВ по определению - радиусы второй окружности. ЕВ = ВС = = 2 см.

Начертите отрезок СМ, равный 5 см. Постройте точку, удаленную от концов отрезка на 3 см. Сколько таких точек можно построить? Таких точек можно построить 2. Они будут лежать на пересечении двух окружностей с центром в точке С и с центром в точке М радиусом 3 см (рис. 8).

Лекция: Окружность и круг

Окружность – это замкнутая кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.

В повседневной жизни Вы не раз встречали окружность. Именно её описывает часовая и секундная стрелка, именно форму окружности имеет гимнастический обруч.

А теперь представьте, что Вы нарисовали окружность на листке бумаги и захотели её разукрасить.

Так вот все разукрашенное пространство, ограниченное окружностью – это и есть круг.

И круг, и окружность имеют некоторые параметры:

Центр – это точка, которая равноудалена от всех точек окружности. Центр круга и окружности обозначается буквой О.

Радиус – это расстояние от центра до окружности (R).

Диаметр – это отрезок, проходящий через центр, который соединяет все точки окружности (d). Более того, диаметр равен двум радиусам: d = 2R.

Хорда – отрезок, который соединяет любые две точки на окружности. Диаметр является частным случаем хорды.

Чтобы найти длину окружности, необходимо воспользоваться формулой:

l =2 πR

Обратите внимание, длина окружности, площадь зависят только от радиуса данной окружности.

Площадь круга можно найти по следующей формуле:

S =πR 2 .

Хотелось бы обратить Ваше внимание на число «Пи». Данное значение было найдено как раз с помощью окружности. Для этого её длину разделили на два радиуса, и таким образом получилось число «Пи».

Если круг разбить на некоторые части двумя радиусами, то такие части будут называться секторами. Каждый сектор имеет свою градусную меру – градусную меру той дуги, на которую опирается.

Чтобы найти длину дуги, необходимо воспользоваться формулой:

1. Используя градусную меру:

2. Используя радианную меру:

Если вершина некоторого угла опирается на центр окружности, а его лучи пересекают окружность, то такой угол называется центральным.

Если некоторые две хорды пересекаются в некоторой точке, то их отрезки пропорциональны:

Урок математики в 5 классе

по теме «Окружность и круг».

• ©ГБОУ школа-интернат №1
• Учитель математики: Макарова Н.А.
• Санкт – Петербург, 2015 год.

Цели и задачи урока:

Обучающие:

• Обеспечить усвоение понятий окружности, круга и их элементов (радиуса, диаметра, хорды, дуги).
• Рассмотреть соотношение между диаметром и радиусом окружности.
• Познакомить с инструментом “циркуль”, научить чертить окружность с помощью циркуля.
• Учить находить общее и различное между окружностью и кругом; расширить кругозор учащихся.

Развивающие:

• Развитие логического мышления, внимания, творческих и познавательных способностей, воображения, умения анализировать, делать выводы.
• Формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.
• Применение информационных технологий при изучении математики.

Воспитательные:

• Развитие трудолюбия, дисциплинированности, уважения к одноклассникам.
• Формирование интереса к математике.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, чертёжные инструменты.

Циркуль – это чертёжный инструмент. На одном конце у него - игла, на другом - карандаш.

С циркулем нужно работать осторожно!!!

1. Отметьте в тетради точку и назовите её буквой О.

2. Возьмите циркуль, раздвиньте «ножки» циркуля на расстояние 3 см.

3. Поставьте иголку циркуля в точку О, а другой «ножкой» циркуля проведите замкнутую линию.

Окружность – это замкнутая линия, состоящая из точек, которые одинаково удалены от центра.

Точка О –называется центром окружности

Отметим на окружности две точки А и М.

Отрезки ОА и ОМ – называются радиусами окружности.

Радиус окружности – это отрезок, который соединяет центр окружности и точку на окружности.

Соединим точки О и М, О и А.

Радиус обозначается

латинской буквой r.

Постройте в тетради две окружности с радиусом 2 см. Закрасьте внутреннюю область одной окружности.

ОКРУЖНОСТЬ – геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на одинаковом расстоянии центра окружности.

КРУГ – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся внутри окружности (включая саму окружность).

Окружность

Какие предметы имеют форму круга, а какие имеют форму окружности?

Продлите отрезок АО до пересечения с окружностью.

Обозначьте точку пересечения буквой К.

Отрезок АК – называется диаметром окружности.

Диаметр окружности – это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр.

Диаметр обозначается латинской буквой d.

Соедините точки

М и К, А и М.

Отрезки МК и АМ называются хордами окружности.

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Назовите все радиусы, диаметры и хорды окружности.

Нарисуйте окружность с центром в точке О.

Отметьте на окружности две точки А и В.

Точки А и В разделили окружность на две части, которые называются дугами окружности.

Дуга окружности – это часть окружности

между точками А и В.

Назовите все дуги на окружности:

Назовите точки,

лежащие на окружности.

Назовите точки,

не лежащие на окружности.

Назовите точки,

лежащие на круге.

Вариант 1

А1. Как называется отрезок АВ на чертеже №1?

1) диаметр окружности

2) радиус окружности

3) хорда окружности

А2. Выберите верное продолжение высказывания:

Радиус окружности – это отрезок, который…

А3. Может ли окружность имеет два диаметра разной длины?

2) не может

3) затрудняют ответить

Вариант 2

А1. Как называется отрезок АВ на чертеже №2?

1) хорда окружности

2) диаметр окружности

3) радиус окружности

А2. Выберите верное предложение высказывания:

Диаметр окружности – это отрезок, который…

1) соединяет две любые точки окружности

2) соединяет центр окружности с любой точкой окружности

3) соединяет две точки окружности и проходит через центр окружности

А3. Может ли окружность иметь два радиуса разной длины?

2) не может

3) затрудняюсь ответить