Разные действия с рациональными числами. Умножение рациональных чисел с разными знаками. положительные нуль отрицательные

Рисунок. Арифметические действия над рациональными числами.

Текст:

Правила при действиях с рациональными числами:
. при сложении чисел с одинаковыми знаками необходимо сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак;
. при сложении двух чисел с разными знаками из числа с большим модулем вычитают число с меньшим модулем и перед полученной разностью ставят знак числа, имеющего больший модуль;
. при вычитании одного числа из другого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - b = а + (-b)
. при умножении двух чисел с одинаковыми знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак плюс;
. при умножении двух чисел с разными знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак минус;
. при делении чисел с одинаковыми знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак плюс;
. при делении чисел с разными знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак минус;
. при делении и умножении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль:
. на нуль делить нельзя.

Действия с десятичными дробями.
 Сложение и вычитание десятичных дробей.
1. Уравнять количество цифр после запятой.
2. Сложить или вычесть десятичные дроби запятая под запятой по разрядам.
 Умножение десятичных дробей.
1. Умножить, не обращая внимания на запятые.
2. В произведении запятой отделить справа столько цифр, сколько их во всех множителях
вместе после запятой.
 Деление десятичных дробей.
1. В делимом и делителе перенести запятые вправо на столько цифр, сколько их после запятой
в делителе.
2. Разделить целую часть, поставить в частном запятую. (Если целая часть меньше делителя, то
частное начинается с нуля целых)
3. Продолжить деление.
Действия с положительными и отрицательными числами.
Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.
а – (– в) = а + в
Все остальные случаи рассматриваются как сложение чисел.
 Сложение двух отрицательных чисел:
1. результат записываем со знаком «–»;
2. модули складываем.
 Сложение чисел с разными знаками:
1. ставим знак большего модуля;
2. вычитаем из большего модуля меньший.
 Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.
1. При умножении и делении чисел с разными знаками результат записывается со знаком
минус.
2. При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками результат записывается со знаком
плюс.
Действия с обыкновенными дробями.
Сложение и вычитание.
1. Привести дроби к общему знаменателю.
2. Сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить без изменения.
Умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель (по возможности – сократить).
Делитель (вторую дробь) «перевернуть» и выполнить умножение.
Деление.
Умножение.
Выделение целой части из неправильной дроби.
38
5 = 38: 5 = 7(ост.3) = 7
3
5
Перевод смешанного числа в неправильную дробь.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=

1
.
+
Сокращение дроби.
Сократить дробь – разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
6
7
6
7 . Можно короче:
30:5
35:5 =
30
35 =
Например:
30
35 =
.
1.
Разложить знаменатели дробей на простые
множители.
Приведение дробей к общему знаменателю.
5 4
7
16 +

36
80 =
71
80
2. Вычеркнуть одинаковые множители.
3. Оставшиеся множители от знаменателя первой
дроби перемножить и записать как
дополнительный множитель для второй дроби, а
от второй дроби – к первой дроби.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби
на её дополнительный множитель.
9
20 =
35
80 +
Сложение и вычитание смешанных чисел.
Сложить или вычесть отдельно целые части, отдельно дробные.
«Особые» случаи:
«Превратить» 1 в дробь, у которой числитель и

2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Занять 1 и «превратить» её в дробь, у которой числитель и
знаменатель равны знаменателю данной дроби.
Занять 1 и прибавить знаменатель к числителю.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Перевести смешанные числа в неправильные дроби и выполнить умножение или деление.
Умножение и деление смешанных чисел.

2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1·1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7

В этой статье дан обзор свойств действий с рациональными числами . Сначала озвучены основные свойства, на которых базируются все остальные свойства. После этого даны некоторые другие часто используемые свойства действий с рациональными числами.

Навигация по странице.

Перечислим основные свойства действий с рациональными числами (a , b и c – произвольные рациональные числа):

Переместительное свойство сложения a+b=b+a .
Сочетательное свойство сложения (a+b)+c=a+(b+c) .
Существование нейтрального элемента по сложению – нуля, сложение которого с любым числом не изменяет это число, то есть, a+0=a .
Для каждого рационального числа a существует противоположное число −a такое, что a+(−a)=0 .
Переместительное свойство умножения рациональных чисел a·b=b·a .
Сочетательное свойство умножения (a·b)·c=a·(b·c) .
Существование нейтрального элемента по умножению – единицы, умножение на которую любого числа не изменяет это число, то есть, a·1=a.
Для каждого отличного от нуля рационального числа a существует обратное число a −1 такое, что a·a −1 =1 .
Наконец, сложение и умножение рациональных чисел связаны распределительным свойством умножения относительно сложения: a·(b+c)=a·b+a·c .

Перечисленные свойства действий с рациональными числами являются основными, так как все остальные свойства могут быть получены из них.

Другие важные свойства

Помимо девяти перечисленных основных свойств действий с рациональными числами существует еще ряд очень широко используемых свойств. Дадим их краткий обзор.

Начнем со свойства, которое с помощью букв записывается как a·(−b)=−(a·b) или в силу переместительного свойства умножения как (−a)·b=−(a·b) . Из этого свойства напрямую следует правило умножения рациональных чисел с разными знаками , в указанной статье приведено и его доказательство. Указанное свойство объясняет правило «плюс умножить на минус есть минус, и минус умножить на плюс есть минус».

Вот следующее свойство: (−a)·(−b)=a·b . Из него следует правило умножения отрицательных рациональных чисел , в этой статье Вы найдете и доказательство приведенного равенства. Этому свойству отвечает правило умножения «минус умножить на минус есть плюс».

Несомненно, стоит остановиться на умножении произвольного рационального числа a на нуль: a·0=0 или 0·a=0 . Докажем это свойство. Мы знаем, что 0=d+(−d) для любого рационального d , тогда a·0=a·(d+(−d)) . Распределительное свойство позволяет полученное выражение переписать как a·d+a·(−d) , а так как a·(−d)=−(a·d) , то a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)) . Так мы пришли к сумме двух противоположных чисел, равных a·d и −(a·d) , их сумма дает нуль, что и доказывает равенство a·0=0 .

Легко заметить, что выше мы перечислили только свойства сложения и умножения, при этом ни слова не сказали о свойствах вычитания и деления. Это связано с тем, что на множестве рациональных чисел действия вычитание и деление задаются как обратные к сложению и умножению соответственно. То есть, разность a−b – это есть сумма a+(−b) , а частное a:b – это есть произведение a·b −1 (b≠0 ).

Учитывая эти определения вычитания и деления, а также основные свойства сложения и умножения, можно доказать любые свойства действий с рациональными числами.

Для примера докажем распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c . Имеет место следующая цепочка равенств a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c , которая и является доказательством.

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Открытый урок по математике в 6 «ф» классе.

Тема: Действия с рациональными числами. (Урок одного числа)

Цель: закрепить умения и навыки в действиях с положительными и отрицательными числами. Подготовка к контрольной работе.

Задачи:

Повторить понятия положительных и отрицательных чисел; закрепить навыки выполнения действий с положительными и отрицательными числами.

Способствовать воспитанию интереса к предмету через нетрадиционную форму проведения урока.
Развивать логическую смекалку, творческое мышление.

Тип урока: урок повторения и закрепления знаний учащихся с использованием ИТ.

Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная, парная, мозговой штурм.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация PowerPoint (прилагается), набор индивидуальных карточек.

Ход урока

Организационный момент.

Тему урока и число записываем в тетрадь. Почему тема записана так необычно? (Действия с рацион альными числа-ми.)

Разминка: на улице темно, кажется ночь, а пора просыпаться и собираться в школу. Чтоб не получилось как в поговорке: Поднять подняли, а разбудить забыли. Я на всякий случай решила вас разбудить…

Зарядка: Доброе утро: Я задаю вопрос ученику, если отвечает-сидится, нет может переадресовать другому, тому кто еще не сидит. Ответил правильно, называет кому следующий вопрос. (Мозговой штурм)

1) наименьшее натуральное число (1)

2) результат умножения (Произведение)

3) Число, противоположное 4?

4) Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром (Радиус)

5) Сотая часть числа (Процент)

6) инструмент для измерения углов (Транспортир)

7) Можно ли при делении чисел получить 0 (да)

8) что есть у растений и уравнения? (Корень)

9) чему равно 10² ? (100)

10) числа, которые применяют при счете предметов?

12) что тяжелее 1 кг ваты или 1кг железа?

13) расстояние от начала отсчета до числа на координатной прямой (модуль)

14) сумма двух противоположных чисел (0)

15) 2³ (8)

16) можно ли делить на нуль?

17) модуль – 9 (9)

18) результат деления (частное)

19) Какое число получается при умножении двух отрицательных чисел (положительное)

20) произведение взаимообратных чисел (1)

21) Числа со знаком «-» называют (отрицательные)

22) результат сложения (сумма)

23) Число, показывающее положение точки на координатной прямой (координата)

24) Числа со знаком «+» называют (положительные)

25) Натуральные числа, им противоположные и ноль- это (целые)

26) Какое число не является ни положительным, ни отрицательным. (ноль)

Сегодня на уроке мы с вами повторим, обобщим и систематизируем знания, полученные вами на предыдущих занятиях. Подготовимся к контрольной работе.

А поможет нам в этом одно очень интересное число. Попробуйте догадаться какое?

Подсказки:

Правильно – это число 30.

Как вы думаете, почему именно это число? (Наш класс -30 человек)

Я думаю, что в жизни каждого из вас с числом 30 связано какое-то событие. У меня например - это дата свадьбы. А у вас? (ответы учащихся)

Устная работа.

Ответим на несколько вопросов.

Скажите пожалуйста что мы знаем о числе 30?

{положительное, целое, четное, составное}

А где расположено это число на координатной прямой?

{Это число на координатной прямой расположено слева от нуля}

Назовите два целых соседних с данным числа.

{29 и 31}

А какое число будет противоположно данному?

{Число -30}

Чему равен модуль данного числа?

{Модуль данного числа равен 30}

Число, обратное данному?

{ }

Число, симметрично числу 30, относительно 0?

{ }

Кроме этого в математике с числом 30 связано еще несколько интересных фактов:

Ну а мы с вами продолжим

Задания на повторение пройденного материала.

Изобразим фигуру на координатной плоскости:

(-5;3); (-4;4); (-2;4);(-1;3);(-1;1);(-3;0)(-1;-1);(-1;-4);(-2;-5);(-4;-5);(-5;-4)
(1;3);(2;4);(4;4);(5;3);(5;-4);(4;-5);(2;-5);(1;-4);(1;3).

Что же означает это число в мире чисел или духовной нумерологии:

Число 30 состоит из двух цифр 3 и 0. Поэтому чтобы по-настоящему понять значение числа 30 необходимо знать главный смысл этих чисел. Основной смысл тройки - это Любовь во всех её проявлениях, начиная от самых "низменных", физиологических, и заканчивая самыми "высокими", духовно-интуитивными.

Значение нуля в духовной нумерологии - покой, успокоенность, умиротворённость. Поэтому тридцать с языка чисел переводится как "успокоенность в любви" или "успокоение в любви", или "любовь, исчерпавшая себя". Выбор формулировки зависит от целого ряда субъективных и объективных факторов в жизни личности.

значение числа 30

Число 30 косвенно создаёт предпосылки для успешности во всём. Число 30 не связано напрямую с получением прибыли, с материальным процветанием и карьерой. Но(!) косвенно это число может способствовать и прибыли, и карьере, и вообще ВСЕМУ!

Всё же главное, чему способствует число 30 - это любви. Число 30 не любит резких движений, горячих слов и громких клятв. Число 30 просто наполняет всех, кто с ним соприкасается, ЛЮБОВЬЮ или ПОКОЕМ!

В качестве даты число 30 заканчивает собой значительную часть месяцев в году.

30-е число календаря идеально подходит для подведения итогов. Пусть даже, в крайнем случае, коммерческих итогов, если никаких других вы подводить в принципе не собираетесь. Главное 30-го числа ничего не начинать!

Люди, родившиеся 30-го числа, миролюбивы, но очень сильны. Они спокойны и основательны. Им нужен конкретный итог. Итог всего: итог любви, коммерции или, скажем, спектакля.

Люди числа 30 не любят туманных фраз. Им нужно чёткое и ясное "да" или "нет".

Практические задания. (физминутка + практическое применение)

У каждого на столе число. Ваша задача: найти в классе пару, так чтобы сумма ваших чисел была равна 30.

(Числа: -30 и 60;-5и 35; -2,72 и 32,72; 2 и 27 ; -0,25 и 30 ; и 29,5; -6 и 36; I-2,5I и 27,5; I- I и 21; - и 30,5; 5 и 24,25; 38,6 и -8 ; -120 и 150.)

Каждая пара как только нашли друг друга берут с доски задание (С самым наименьшим номером) и выполняют его: (цепочка вычислений). Цепочка проектируется на экран. Пара, закончившая раньше и правильно, получает «5».

Интересные факты о числе 30:

В библии

Возраст, в котором Иисус был крещен.
Иуда получил 30 серебряников за предательство Иисуса

В литературе

В сказках: в тридесятом царстве, в тридесятом государстве…
В сказке Пушкина «О золотой рыбке» старик со старухой прожили 30 лет и 3 года.
В романе Достоевского «Преступление и наказание» число 30 приурочено к повествованию о различных денежных проблемах героев. 30 рублей приносит Соня, 30 рублей обещает выслать мать Раскольникову, за 30 тысяч выкуплен Свидригайлов.
19 октября 1811 года Пушкин был принят в число 30 воспитанников Царскосельского лицея.

В естествознании

В таблице Менделеева под номером 30 расположен хрупкий металл – цинк.
Количество дней в апреле , июне , сентябре , ноябре
При температуре ниже тридцати градусов отменяются занятия для 1-9 классов.
30 февраля . Три раза в истории в некоторых странах в феврале было 30 дней.

Остальные в это время работают с таблицей чисел.

Связь чисел: синих и красных. По вариантам найти знак действия (один) благодаря которому результат вычислений равен 30. Первый вариант-синие, второй – красные. (синие произведение чисел равно 30; красные сумма чисел равна 30).


		0,25

Расставить числа в порядке возрастания.

А теперь проверим, что у вас получилось.

{Синие:-2/3; -1/3; 0,25; 5/7;21;36

Красные: }

Подведем итог.

Тест

Какому числовому промежутку принадлежит число 30.

А) C) (25,7;30)

2. Чему равна абсцисса точки, если сумма координат точки равна 30,

А ордината в 5 раз больше абсциссы.

5 B) 6 C) 4

Найти значение выражения: 2,7: (-0,3)+(-7,63+9,24) – 11,305*2

– 30 B) 30 C) 0,3

20 B) 75 C) 12

Ключ к тесту: BACAC. (Оценки за правильность решения теста). Слайд 2

Цели и задачи урока: закрепить умения и навыки в действиях с положительными и отрицательными числами. Отработать построение точек по ее координатам. Подготовка к контрольной работе. Закрепление мета предметных связей.

ЧИСЛО ЗАГАДКА Чему равна половина часа? Чему равны 2/3 урока? Сколько дней в сентябре?

Что мы знаем о числе 30 Что вы скажите о числе 30? положительное, целое, четное, составное А где расположено это число на координатной прямой? справа от нуля Назовите два целых соседних с данным числа. 29 и 31 А какое число будет противоположно данному? -30 Чему равен модуль данного числа? 30 Число, обратное данному? 1/30 Число, симметрично числу 30, относительно 0 ? -30

Факты из математики 10 30 называется нониллион. 2 30 = 1 073 741 824, двоичная приставка: гиби (Ги). Число рёбер икосаэдра и додекаэдра. Сумма квадратов первых четырёх чисел. (1²+2²+3²+4²). Минимальное число, являющееся произведением трёх различных простых чисел. (2*3*5) Три идущие подряд одинаковые цифры в римской системе счисления (XXX).

Координатная плоскость Изобразите фигуру на координатной плоскости: (-5;3); (-4;4); (-2;4); (- 1;3);(-1;1);(-3;0) (- 1;-1);(-1;-4);(-2;-5);(-4;-5);(-5;-4) (1;3);(2;4);(4;4);(5;3);(5;-4);(4;-5);(2;-5);(1;-4);(1;3).

Значение числа 30 (духовная нумерология) Число 30 состоит из двух цифр 3 и 0. Основной смысл 3 - это Любовь. 0 – это покой, успокоенность, умиротворённость. 30 - переводится как "успокоенность в любви" или "успокоение в любви", или "любовь, исчерпавшая себя ". Число 30 косвенно создаёт предпосылки для успешности во всём. . Число 30 наполняет всех, кто с ним соприкасается, ЛЮБОВЬЮ или ПОКОЕМ! 30-е число календаря идеально подходит для подведения итогов. Люди, родившиеся 30-го числа, миролюбивы, но очень сильны.

Найди пару -30 и 60 ; - 5и 35; - 2,72 и 32,72; 2 и 27 ; - 0,25 и 30 ; и 29,5 ; -6 и 36; I - I и 21 ; - и 30,5; 5 и 24,25; 38,6 и -8 ; - 120 и 150 . I -2,5 I и 27,5;

Цепочка вычислений -27,5 +(-7,24)= –(-35,96)= *2,3= +(- 3,906)= : = *(-5) = : (-0,25) = + 58,4 = * 3 = : 8 = *(- 8,6)= –(- 8,56)= + 11,12 =

Интересные факты о числе 30: В литературе В сказках: в тридесятом царстве, в тридесятом государстве… В сказке Пушкина «О золотой рыбке» старик со старухой прожили 30 лет и 3 года. В романе Достоевского «Преступление и наказание» число 30 приурочено к повествованию о различных денежных проблемах героев. 30 рублей приносит Соня, 30 рублей обещает выслать мать Раскольникову, за 30 тысяч выкуплен Свидригайлов. 19 октября 1811 года Пушкин был принят в число 30 воспитанников Царскосельского лицея. В библии Возраст, в котором Иисус был крещен. Иуда получил 30 серебряников за предательство Иисуса В естествознании В таблице Менделеева под номером 30 – цинк. Количество дней в апреле, июне, сентябре, ноябре При температуре ниже тридцати градусов отменяются занятия для 1-9 классов. 30 февраля. Три раза в истории в некоторых странах в феврале было 30 дней.

Связь чисел - 2,5 0,1 9,6 21 0,25 36 8,9 - 2,5 0,1 9,6 21 0,25 36 8,9 Синие:-2/3; -1/3; 0,25; 5/7;21;36 Красные:

Тест 1. Какому числовому промежутку принадлежит число 30. А) C) (25,7;30) 2 . Чему равна абсцисса точки, если сумма координат точки равна 30, а ордината в 5 раз больше абсциссы. А)5 B) 6 C) 4 3. На какое число надо разделить (-2 чтобы частное было равно 30. А) 13 B) - 66 C) – 13,5 4. Найти значение выражения: 2,7: (-0,3)+(-7,63+9,24) – 11,305*2 А)– 30 B) 30 C) 0 ,3 5.Сколько раз содержится в 30. А) 20 B) 75 C) 12