Раздел III. Интегральное исчисление

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, в котором изучаются интегралы различного вида, такие, как определенный интеграл, неопределенный интеграл, криволинейный интеграл, поверхностный интеграл, двойной интеграл, тройной интеграл и т.д., их свойства, способы вычисления, а также приложения этих интегралов к различным задачам естествознания.

Центральной формулой И. и. является формула Ньютона-Лейбница (см. Ньютона-Лейбница формула), связывающая определенный и неопределенный интегралы (см. Определенный интеграл , Неопределенный интеграл) функции - величины, определяемые в совершенно непохожих друг на друга терминах.

Именно эта формула утверждает, что

при следующих условиях и обозначениях:

Отрезок числовой оси, - непрерывная на функция, - разбиение отрезка точками , - отрезок , - точка отрезка , , т. е. максимальная из длин отрезков , - первообразная функция для , т. е. такая, что . Предел в левой части существует в случае непрерывной функции , любого способа измельчения разбиения , при котором , и любого выбора точек .

Пределы вида возникают при вычислении многих величин, связанных с физическими, геометрическими и т. п. понятиями. В то же время вычисление первообразной для простых функций достаточно эффективно выполняется по правилам И. и. В основе этих правил лежат свойства дифференцируемых функций, изучаемых в дифференциальном исчислении, так что И. и. и дифференциальное исчисление составляют неразрывное целее.

При переходе от функций одного переменного к функциям нескольких переменных содержание И. и. становится значительно богаче. Возникают понятия двойного, тройного (и вообще-n-кратного), поверхностного и криволинейного интегралов. И. и. устанавливает правила вычисления этих интегралов путем сведения их к несколько раз повторяемым вычислениям определенных интегралов.

Отдельным разделом И. и. функций нескольких переменных является теория поля (см. Поля теория), существенную часть которой составляют теоремы, устанавливающие связь между интегралами по области и интегралами по границе области (см. Остроградского формула , Грина формулы , Стокса формула).

В дальнейшем своем развитии И. и. привело к изучению интегралов Стилтьеса, Лебега, Данжуа, основанных на более общих идеях, чем рассмотренные выше интегралы.

Возникновение И. и. связано с задачами вычисления площадей и объемов различных тел. Некоторые достижения в этом направлении имели место еще в Древней Греции (Евдокс Киндский, Архимед и др.). Возрождение интереса к задачам подобного рода имело место в Европе в XVI-XVII вв. К этому времени европейские математики имели возможность ознакомиться с трудами Архимеда, переведенными на латинский язык. Но основной причиной такого внимания к И. и. явилось промышленное развитие ряда стран Европы, поставившее перед математикой новые задачи. В это время большой вклад в И. и. внесли И. Кеплер, Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлис, Б. Паскаль, П. Ферма, X. Гюйгенс.

Качественным сдвигом в И. и. явились труды И. Ньютона и Г. Лейбница, создавших ряд общих методов нахождения пределов интегральных сумм. Важное значение имела удобная символика И. и. (применяемая до сих пор), введенная Г. Лейбницем. После трудов И. Ньютона и Г. Лейбница многие задачи И. и., ранее требовавшие значительного искусства для своего решения, были сведены до уровня чисто технического. При этом особенно большое значение имели формулы дифференцирования сложной функции, правило замены переменной в определенном и неопределенном интегралах и (более всего) формула Ньютона-Лейбница, упомянутая выше.

Дальнейшее историческое развитие И. и. связано с именами И. Бернулли, Л. Эйлера, О. Коши и русских математиков М. В. Остроградского, В. Я. Буняковского, П. Л. Чебышева.

И. и. вместе с дифференциальным исчислением до настоящего времени является одним из основных математических инструментов многих физических и технических наук.

(287 г. до н. э. - 212 г. до н. э.): в сочинении «Об измерении длины окружности» рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» - о поверхностях и объёмах некоторых тел. Для решения этих задач Архимед использовал метод исчерпывания Евдокса Книдского (ок. 408 г. до н. э. - ок. 355 г. до н. э.).

Таким образом, интегральное исчисление возникло из потребности создания общего метода нахождения площадей, объёмов и центров тяжести.

Систематическое развитие эти методы получают в XVII веке в работах Кавальери (1598-1647), Торричелли (1608-1647), П. Ферма (1601-1665), Б. Паскаля (1623-1662) и других учёных. Но их изыскания в основном имели разрозненный и утилитарный характер - решались конкретные самостоятельные задачи. В 1659 году И. Барроу (1630-1677) установил взаимосвязь между задачей о нахождении площади и задачей о нахождении касательной.

Основы классического интегрального исчисления были заложены в работах И. Ньютона (1643-1727) и Г. Лейбница (1646-1716), которые в 70-х годах XVII века отвлеклись от упомянутых частных прикладных задач и установили связь между интегральным и дифференциальным исчислением. Это позволило Ньютону, Лейбницу и их ученикам развить технику интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера (1707-1783). Развитие методов завершили труды М. В. Остроградского (1801-1861) и П. Л. Чебышёва (1821-1894).

Рисунок 1.1. Геометрическая интерпретация интеграла Римана.

Исторически под интегралом понимали площадь криволинейной трапеции, образованной заданной кривой и осью координат. Для нахождения этой площади отрезок a b {\displaystyle ab} разбивали на n {\displaystyle n} необязательно равных частей и строили ступенчатую фигуру (на она заштрихована). Её площадь равна

F n = y 0 d x 0 + y 1 d x 1 + … + y n − 1 d x n − 1 , {\displaystyle F_{n}=y_{0}\,dx_{0}+y_{1}\,dx_{1}+\ldots +y_{n-1}\,dx_{n-1},} (1.1)

где y i {\displaystyle y_{i}} - значение функции f (x) {\displaystyle f(x)} в i {\displaystyle i} -той точке ( i = 0 , 1 , … , n − 1 {\displaystyle i=0,\;1,\;\ldots ,\;n-1} ), а d x i = x i + 1 − x i {\displaystyle dx_{i}=x_{i+1}-x_{i}} .

Г. Лейбниц в конце XVII века обозначил предел этой суммы как

∫ y d x . {\displaystyle \int y\,dx.} (1.2)

На тот момент понятие предела ещё не сформировалось, поэтому Лейбниц ввёл новый символ для суммы бесконечного числа слагаемых ∫ {\displaystyle \int } - видоизменённую курсивную латинскую « » - первую букву лат. summa (сумма).

Слово «интеграл» происходит от лат. integralis - целостный. Это название было предложено учеником Лейбница Иоганном Бернулли (1667-1748), чтобы отличить «сумму бесконечного числа слагаемых» от обычной суммы.

В дальнейшем обозначение Лейбница усовершенствовал Ж. Фурье (1768-1830). Он явно стал указывать начальное и конечное значение x {\displaystyle x} :

∫ a b y d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}y\,dx} (1.3)

введя тем самым современное обозначение определённого интеграла .

В теории определённых интегралов интегрирование рассматривается как процесс обобщения суммирования на случай бесконечно большего числа бесконечно малых выражений. Таким образом, результатом определённого интегрирования (в случае его возможности) является некое число (в обобщениях, бесконечность).

Неопределённый интеграл суть функция (точнее, семейство функций).

Интегрирование, в противоположность дифференцированию, рассматривается как искусство, что связано в первую очередь с малым количеством закономерностей, которым бы удовлетворяли все интегралы. При этом для существования интеграла, по основной теореме интегрального исчисления, необходима лишь непрерывность интегрируемой функции. Факт существования интеграла не даёт хоть какого-нибудь способа его нахождения в замкнутой форме, то есть в виде конечного числа операций над элементарными функциями . Многое в вопросе о нахождении интегралов в замкнутой форме было решено в работах Ж. Лиувилля (1809-1882). Дальнейшее развитие эта тема получила в работах, посвящённых разработке алгоритмов символьного интегрирования с использованием ЭВМ. В качестве примера можно привести алгоритм Риша .

Желая подчеркнуть обратность интегрирования по отношению к дифференцированию, некоторые авторы, используют термин «антидифференциал» и обозначают неопределённый интеграл символом D − 1 {\displaystyle D^{-1}} .

Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Даты возникновения некоторых математических знаков

	Значение		Когда знак введен, год
Знаки объектов
	бесконечность	Дж. Валлис
	отношение длины окружности к диаметру
	корень квадратный из
	неизвестные или переменные величины	Р. Декарт

Знаки операций
	сложение	немецкие математики	конец XV в.
	вычитание
	умножение	У. Оутред
	умножение	Г. Лейбниц
		Г. Лейбниц
		Р. Декарт
		X. Рудольф
	логарифм	И. Кеплер
		Б. Кавальери


	арксинус	Ж. Лагранж
	дифференциал	Г. Лейбниц
	интеграл	Г. Лейбниц
	производная	Г. Лейбниц
	определенный интеграл

	факториал
		У. Гамильтон многие математики
		И. Бернулли
Знаки отношений
	равенство	Р. Рекорд
		Т. Гарриот
	сравнимость
	параллельность	У. Оутред
	перпендикулярность	П. Эригон

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции ее производную . Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции , найти такую функцию , производной которой является функция , т. е. . Такая функция называется первообразной функции .

Значит, обратная дифференцированию операция – неопределенное интегрирование – состоит в отыскании первообразной данной функции.

Заметим, что, наряду с функцией , первообразной для функции , очевидно, будет также любая функция , отличающаяся от постоянным слагаемым : ведь .

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию – производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если на каком-то промежутке , то функция постоянна на этом промежутке, поскольку ее производная равна нулю во всех точках промежутка.

Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

Первообразные функции обозначают символом

где знак читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида

, (1)

где - какая-то первообразная функции на данном промежутке, а - произвольная постоянная.

Например, на всей числовой оси

; ; .

Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: , чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.

Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции , , соответственно.

Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения (1) для неопределенного интеграла:

, , , .

Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла:

(вынесение постоянного множителя);

(интегрирование суммы); если

(замена переменной).

Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

Найдем закон движения свободно падающего в пустоте тела, исходя из единственного факта, что при отсутствии воздуха ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно и не зависит от особенностей падающего тела. Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Пусть - координата нашего тела в момент . Нам известно, таким образом, что и - постоянная. Требуется найти функцию - закон движения.

Поскольку , где , то, последовательно интегрируя, находим

Итак, мы нашли, что

, (3)

где и - какие-то постоянные. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Значит, есть еще какие-то условия, которые мы пока не использовали; они позволяют среди всех «конкурирующих» законов (3) выбрать тот, который соответствует конкретному движению. Эти условия легко указать, если разобраться в физическом смысле постоянных и . Если сравнить крайние члены соотношения (2) при , то выяснится, что , а из (3) при получается, что . Таким образом, математика сама напомнила нам, что искомый закон движения

вполне определится, если указать начальное положение и начальную скорость тела. В частности, если и , получаем .

Отметим теперь, что между операцией нахождения производной (дифференцированием) и операцией отыскания первообразной (неопределенным интегрированием) имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, т.е. является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной. Например, первообразная

элементарной функции (называемая интегральным синусом и обозначаемая специальным символом ), как можно доказать, не выражается в элементарных функциях. Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций. Интегрирование часто является источником введения важных и широко используемых специальных функций, которые изучены ничуть не хуже таких «школьных» функций, как или , хотя и не входят в список элементарных функций.

Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования. По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций:

Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.

Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интегрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова. Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книдского (примерно 408-355 до н.э.) и Архимеда, т.е. он возник задолго до появления дифференциального исчисления и операции дифференцирования.

Вопрос, который рассматривали Евдокс и Архимед, создав при его решении «метод исчерпывания», предвосхитивший понятие интеграла – это вопрос о вычислении площади криволинейной фигуры. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Ньютоном, следующую задачу: по известной в любой момент из промежутка времени скорости тела найти величину перемещения тела за этот промежуток времени.

Если бы был известен закон движения, т.е. зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью . Более того, если бы мы знали какую-либо первообразную функции на промежутке , то, поскольку , где - постоянная, можно было бы найти искомую величину перемещения в виде разности , которая совпадает с разностью . Это очень полезное наблюдение, однако если первообразную данной функции указать не удается, то действовать приходится совсем иначе.

Будем рассуждать следующим образом.

Если промежуток отдельными моментами , такими, что , разбить на очень мелкие временные промежутки , , то на каждом из этих коротких промежутков скорость тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью . В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени , получаем приближенное значение , где . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

для всего перемещения на промежутке .

Найденное приближенное значение тем точнее, чем более мелкое разбиение промежутка мы произведем, т.е. чем меньше будет величина наибольшего из промежутков , на которые разбит промежуток .

Значит, искомая нами величина перемещения есть предел

(5)

сумм вида (4), когда величина стремится к нулю.

Суммы специального вида (4) называются интегральными суммами для функции на промежутке , а их предел (5), получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом (или определенным интегралом) от функции на промежутке . Интеграл обозначается символом

в котором числа называются пределами интегрирования, причем - нижним, a - верхним пределом интегрирования; функция , стоящая под знаком интеграла, называется подынтегральной функцией; - подынтегральным выражением; - переменной интегрирования.

Итак, по определению,

. (6)

Значит, искомая величина перемещения тела за временной промежуток при известной скорости движения выражается интегралом (6) от функции по промежутку .

Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению:

, (7)

если . Равенство (7) называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел (6) интеграл, а в правой – разность значений (в концах и промежутка интегрирования) функции , первообразной подынтегральной функции . Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл (6) и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: вычислять интеграл, найдя первообразную, или получать приращение первообразной, найдя из соотношения (6) интеграл. Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

Интеграл (6) и формула (7) в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Так, если (как это имеет место в случае свободного падения, начинающегося из состояния покоя, т.е. с ), то, найдя первообразную функции по формуле (7), получаем величину

перемещения за время, прошедшее от момента до момента .

На основе разобранной только что физической задачи, приведшей нас к интегралу и формуле Ньютона-Лейбница, обобщая сделанные наблюдения, можно теперь сказать, что если на некотором промежутке задана функция , то, разбивая промежуток точками , составляя интегральные суммы

где , , и переходя к пределу при , где , мы получаем по определению интеграл

(6")

от функции по промежутку . Если при этом на , т.е. - первообразная функции на промежутке , то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

. (7)

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
(1707-1783)

Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ – первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.

В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4 (см. Ферма великая теорема). Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия.

Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих , и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики П. Л. Чебышев и Ж. Адамар.

Эйлер много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно пользуется комплексными числами. Его имя носит формула , устанавливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел.

Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.

В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку – топологию.

Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: .

Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердой точки или твердой пластины.

Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.

Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.

Итак, определены важнейшие понятия интегрального исчисления и получена формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегрирование и дифференцирование.

Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.

Пусть требуется найти площадь изображенной на рис. 1 фигуры (называемой криволинейной трапецией), верхняя «сторона» которой есть график заданной на отрезке функции . Точками разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку . Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком , заменим приближенно площадью соответствующего прямоугольника с основанием и высотой . В таком случае приближенное значение площади всей фигуры даст знакомая нам интегральная сумма , а точное значение искомой площади получится как предел таких сумм, когда длина наибольшего из отрезков разбиения стремится к нулю. Таким образом, получаем:

Попробуем теперь вслед за Архимедом выяснить, в каком отношении парабола делит площадь изображенного на рис. 2 единичного квадрата. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы (8), площадь нижнего параболического треугольника. В нашем случае и . Нам известна первообразная функции , значит, можно воспользоваться формулой (7") Ньютона-Лейбница и без труда получить

Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2:1.

При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что , , с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что

и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:

. (9)

С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде (произведение площади основания на высоту ). Сумма дает приближенное значение объема рассматриваемого тела вращения. Точное значение получится как предел таких сумм при . Значит,

. (10)

В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) , и , где - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную функции и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем

где площадь круга, лежащего в основании конуса.

В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.

«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям». И. Кеплер

Смысл – там, где змеи интеграла. Меж цифр и букв, меж и ! В. Я. Брюсов

В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.

Мы хотим вычислить скорость , до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.

Пусть - масса тела, - масса планеты. Кинетической энергии , которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна точками. Величины постоянны, а функция имеет первообразную , зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ
(1801-1862)

М. В. Остроградский – русский математик, один из основателей петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (1830).

Остроградский учился в Харьковском университете, но не получил свидетельства об его окончании из-за своих антирелигиозных взглядов. Для совершенствования математических знаний ему пришлось уехать во Францию, где под влиянием П. Лапласа, Ж. Фурье, О. Коши и других видных французских математиков он начал исследования в области математической физики.

Основополагающие работы И. Ньютона и Г. В. Лейбница дали математический аппарат для исследования тех проблем механики и астрономии, которые сводились к функциям одного аргумента (времени). Но целый ряд вопросов физики приводил к рассмотрению функций, зависящих от многих переменных. Необходимость решать задачи, касающиеся функций многих переменных, привела к созданию новой области математики, получившей название теории уравнений математической физики. Развивая методы решения таких уравнений, предложенные в частном случае еще в XVIII в., Ж. Фурье свел их решение к разложению функций в ряды по тригонометрическим функциям. Остроградский рассмотрел подобные задачи для тел, имевших более сложную форму, чем изученные Фурье. Еще в своей первой работе, посвященной распространению волн в сосуде цилиндрической формы, он решил задачу, на которую объявила конкурс Парижская академия наук. А в 1828г. ученый дал общую формулировку метода Фурье и изучил с его помощью колебания газа, упругих пластинок и т.д. М. В. Остроградскому удалось обобщить формулу интегрального исчисления, выведенную в одном частном случае К. Ф. Гауссом.

Физический смысл формулы Гаусса-Остроградского состоит в том, что поток жидкости через замкнутую поверхность тела равен суммарной производительности находящихся внутри нее источников и стоков.

Плодотворно занимался Остроградский теоретической механикой, математическим анализом и т.д. Многие его работы имели прикладную направленность: ученый занимался внешней баллистикой, статистическими методами браковки изделий, участвовал в комиссиях по реформе календаря, по водоснабжению Петербурга. Он был основателем научной школы русских ученых, работавших в области механики и прикладной математики и воспринявших от своего учителя принцип сознательного сочетания теории с практикой.

Много внимания М. В. Остроградский уделял проблемам преподавания математики. Он считал, что главная задача обучения – заинтересовать ребенка, а элементы наук должны излагаться в наиболее доступной и приспособленной к уму ученика форме. Абстрактное же изложение математики отвращает учеников от изучаемой науки. Эти идеи Остроградского легли в основу движения за реформу математического образования в России, начавшегося во второй половине XIX в.

Связывающий силу, при которой кинетическая энергия эта первообразная выделяется очевидным условием . Поскольку интеграл, согласно его определению (6"), можно вычислить с любой наперед заданной точностью, то и значение первообразной (11) функции в любой точке можно найти сколь угодно точно, даже не интересуясь при этом аналитической записью или вопросом о том, является ли элементарной функцией.

Существуют простые и очень эффективные численные методы интегрирования – это так называемые квадратурные формулы. Они позволяют на электронных вычислительных машинах за доли секунды получать значения определенных интегралов. Это обстоятельство делает формулу (11) средством отыскания первообразной. Например, современные подводные лодки порой месяцами находятся на большой глубине и перемещаются на огромные расстояния; не имея никакой связи с внешним миром, они тем не менее выходят в точно заданный квадрат. Навигационное оборудование, которое позволяет определять координаты лодки в любой момент, является технической реализацией формулы (11) и основано на таком физическом принципе. Находясь в закрытом движущемся помещении (хорошо звукоизолированном мягком вагоне, самолете и т.д.), мы не ощущаем скорости движения, но зато определенно чувствуем изменение скорости – ускорение. Оно положительно при увеличении скорости, когда масса вдавливает вас в самолетное кресло, и отрицательно при торможении, когда вам могут пригодиться даже пристяжные ремни. Поскольку между ускорением массы.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Первообразная фу нкция и неопределенный интеграл

Интегральное исчисление является второй частью курса математического анализа, непосредственно следующей за дифференциальным исчислением. Само понятие интеграла наряду с понятием производной и дифференциала является фундаментальным понятием математического анализа. Это понятие возникло, с одной стороны из потребности решать задачи на вычисление площади, длины окружности, объёма, работы переменной силы, центра тяжести и т.д., с другой - из необходимости находить функции по их производным.

В соответствии с этим возникли понятия определённого и неопределённого интегралов.

Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в отыскании производной или дифференциала заданной функции.

Можно поставить обратную задачу: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x) , которая удовлетворяла условию F?(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx. Отыскание функции по заданной её производной или дифференциалу и является одной из основных задач интегрального исчисления.

К задаче восстановления функции по ее производной или дифференциалу приводят самые разнообразные вопросы математического анализа с его многочисленными приложениями в области геометрии, механики, физики, техники.

Приведём пример, с такого рода задачей мы встречаемся, когда по заданной скорости движения материальной точки v=f(t) требуется найти закон движения этой точки, то есть зависимость пройденного точкой пути s от времени t . В дифференциальном исчислении мы имели дело с обратной задачей. Там по заданному закону движения s=s(t) путем дифференцирования функции s(t) мы находили скорость v этого движения, то есть v(t)=s?(t). Следовательно, в поставленной выше задаче мы должны по данной функции v=f(t) восстановить функцию s=s(t), для которой f(t) является производной.

Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка F"(x)=f(x).

Таким образом, функция s(t)- переменный путь - есть первообразная для скорости v=f(t).

Функция sin x является первообразной для функции cos x на всей оси Ох, так как при любом значении х мы будем иметь: (sin x)?=cos x.

является первообразной для функции, так как.

По геометрическому смыслу производной F"(x) есть угловой коэффициент касательной к кривой у=F(х) в точке с абсциссой х. Геометрически найти первообразную для f(х) -- значит найти такую кривую у=F(х), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(х) заданной функции в этой точке (см. рис. 1.1).

Для заданной функции f(х) ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции, и вообще, где С --некоторое число, являются первообразными для функции f(х)=х2. Аналогично в общем случае, если F(х) -- некоторая первообразная для f(х), то, поскольку (Fх)+ С)"= F"(x)=f(x), функции вида F(х)+ С, где С -- произвольное число, также являются первообразными для f(х).

Геометрически это означает, что если найдена одна кривая у=F(х), удовлетворяющая условию F"(x)=tg б=f(х), то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой х) (см. рис. 1.1).

Остается вопрос, описывает ли выражение вида F(х)+С все первообразные для функции f(х). Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если F1 (х) и F2 (х) -- первообразные для функции f(х) на некотором промежутке X, то найдется такое число С, что будет справедливо равенство

F2 (х)= F1 (x)+ С.

Поскольку (F2(x)-F1(x))"=F"2 (x)-F" 1 (х)=f(х)-f(х)=0, то, по следствию из теоремы Лагранжа (см. § 8.1), найдется такое число С, что F2 (х)- F1 (х)= С или F2 (х)=F1 (х)+ С

Из данной теоремы следует, что, если F(х) -- первообразная для функции f(х), то выражение вида F(х)+С, где С -- произвольное число, задает все возможные первообразные для f(х).

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(х) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается f(x) dx, где -знак интеграла, f(х) -- подынтегральная функция, f(x)dx -- подынтегральное выражение, а переменная х - переменной интегрирования.

Итак по определению,

f(x) dx=F(x)+C (1.1)

где F(х) -- некоторая первообразная для f(х), С -- произвольная постоянная.

Таким образом, неопределённый интеграл от какой-нибудь функции представляет собой общий вид всех первообразных для этой функции.

Формула (1.1) показывает, что если известна какая-нибудь первообразная функция для f(x), то тем самым известен ее неопределенный интеграл, и, следовательно, задача отыскания какой-нибудь определенной первообразной для f(x) равносильна задаче отыскания ее неопределенного интеграла.

В этой связи естественно возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) , заданной на некотором промежутке, существует первообразная F(x) (а значит и неопределённый интеграл)? Оказывается, что не для всякой. Однако если f(x) непрерывна на каком-нибудь промежутке, то она имеет на нём первообразную (а следовательно, и неопределенный интеграл). В случае разрывной функции речь будет идти лишь об интегрировании ее в одном из промежутков непрерывности.

Например, функция имеет разрыв только при х=0. Поэтому промежутками непрерывности для неё будут (0, +?) и (-?, 0). В первом из них одной из первообразных для является ln(x). Следовательно,

Однако для х из промежутка (-?, 0) эта формула уже лишена смысла (так как ln(x) при х<0 не определён) . В этом случае одной из первообразных для будет уже не ln(x), а ln(-x), ибо

И, стало, быть,

Объединяя оба случая, мы приходим к формуле:

Восстановление функции по ее производной, или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называют интегрированием.

Поскольку интегрирование - обратное действие по отношению к дифференцированию, то благодаря этому проверка правильности результата интегрирования осуществляется дифференцированием последовательного: дифференцирование должно дать подынтегральную функцию.

Проверить, что

Действительно, Следовательно, интеграл взят верно.

Вернёмся теперь к поставленной в начале механической задаче: к определению пройденного пути s по заданной скорости движения v=f(t). Так как скорость движущейся точки есть производная от пути по времени, то задача сводится к отысканию первообразной для функции v=f(t) . Следовательно,

Пусть для определенности нам дано, что скорость движения точки пропорционально времени t , то есть и v=at, где а - коэффициент пропорциональности. Тогда согласно формуле мы имеем:

Где С - произвольная постоянная. Мы получили бесчисленное множество решений, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Эта неопределенность объясняется тем, что мы не фиксировали того момента времени t , от которого отсчитывается пройденный путь s . Чтобы получить вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину s= в какой-нибудь начальный момент времени t= - это так называемые начальные значения. Пусть, например, нам известно, что в начальный момент времени t=0 путь s=0. Тогда, полагая в равенстве t=0, s=0, находим 0=0+С, откуда С=0. Следовательно, искомый закон движения точки выражается формулой.

Интеграл и задача об определении площади. Гораздо важнее истолкование первообразной функции как площади криволинейной фигуры. Так как исторически понятие первообразной функции было теснейшим образом связано с задачей об определении площади, то мы остановимся на этой задаче уже здесь.

Пусть дана в промежутке [а, b] непрерывная функция у=f(х), принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения. Рассмотрим фигуру ABCD ,

ограниченную кривой у = f(x), двумя ординатами х = а и х = b и отрезком оси х; подобную фигуру будем называть криволинейной трапецией. Желая определить величину площади Р этой фигуры, мы изучим поведение площади переменной фигуры AMND, заключенной между начальной ординатой х = а и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в промежутке значению х. При изменении х эта последняя площадь будет соответственно изменяться, причем каждому x отвечает вполне определенное ее значение, так что площадь криволинейной трапеций AMND является некоторой функцией от х; обозначим ее через Р(х).

Поставим себе сначала задачей найти производную этой функции. С этой целью придадим х некоторое (скажем, положительное) приращение Дх; тогда площадь Р(х) получит приращение ДР.

Обозначим через m и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции f(x) в промежутке [х,х + Дх] и сравним площадь ДР с площадями прямоугольников, построенных на основании Дх и имеющих высоты т и М. Очевидно, Дх<ДР<М Дх, откуда

Если Дх>0, то, вследствие непрерывности, т и М будут стремиться к f(x), а тогда и

Таким образом, мы приходим к теореме (обычно называемой теоремой Ньютона и Лейбниц а): производная от переменной площади P(x) по конечной абсциссе х равна конечной ординате у = f(x). Иными словами, переменная площадь Р(х) представляет собой первообразную функцию для данной функции у = f(x). В ряду других первообразных эта первообразная выделяется по тому признаку, что она обращается в 0 при х = а. Поэтому, если известна какая-либо первообразная F(x) для функции f(x),

P(x) = F(x) + C,

то постоянную С легко определить, положив здесь х = а

так что C=-F(a).

Окончательно

В частности, для получения площади Р всей криволинейной трапеции ABCD нужно взять х =b:

Р = F(b) - F(a).

В виде примера, найдем площадь Р(х) фигуры, ограниченной параболой у = ах2, ординатой, отвечающей данной абсциссе х, и отрезком оси х;

так как парабола пересекает ось х в начале координат, то начальное значение х здесь 0. Для функции f(x) = ax2 легко найти первообразную: F(x) = Эта функция как раз и обращается в 0 при х=0, так что

Ввиду той связи, которая существует между вычислением интегралов и нахождением площадей плоских фигур, т. е. квадратурой их, стало обычным и самое вычисление интегралов называть квадратурой.

Для распространения всего сказанного выше на случай функции, принимающей и отрицательные значения, достаточно условиться считать отрицательными площади частей фигуры, расположенных под осью х.

Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежутке [а, b] функция f(x), всегда можно представить себе первообразную для нее функцию в виде переменной площади фигуры, ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту геометрическую иллюстрацию доказательством существования первообразной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие площади еще не обосновано.

2. Свойства неопределенного интегра ла

1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Дифференцируя левую и правую часть равенства (2.1) , получаем:

интеграл первообразная функция производная

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: т.е. (2.2)

По определению дифференциала и свойству 1 имеем

3.Неопределенного интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

где С - произвольное число

Рассматривая функцию F(х) как первообразную для некоторой функции f(х), можно записать

и на основании (2.2) дифференциал неопределенного интеграла f(x)dx=dF(x), откуда

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нах ождения неопределённого интеграла и дифференциала взаимнообратны (знаки d и взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если б=const?0 , то

где б-- некоторое число.

Найдем производную функции:

(см. свойство 1). По следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что g(x)=С и значит. Так как сам неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то в окончательной записи свойства 4 постоянную С можно опустить.

5.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Действительно, пусть F(x) и G(x) - первообразные для функции f(x) и g(x):

Тогда функции F(x)±G(x) являются первообразными для функции f(x)±g(x). Следовательно,

Свойство 5 справедливо для любого конечного числа слагаемых функций.

3. Таблица основных интегралов

Приведём таблицу основных интегралов. Таблица интегралов вытекает непосредственно из определения неопределённого интеграла и таблицы производных.








	А<х<а, а>0

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора переменной интегрирования, то все табличные интегралы имеют место для любой переменной.

Процесс нахождения первообразной сводится к преобразованию подынтегральной функции к табличному виду.

Простейшие интегралы могут быть найдены путем разложения подынтегральной функции на слагаемые. В состав каждого интеграла входит постоянная интегрирования, но все они могут быть объединены в одну, поэтому обычно при интегрировании алгебраической суммы функций пишут только одну постоянную интегрирования.

4 . Примеры нахождения интегралов

Существуют целые классы интегралов, которые в зависимости от постоянных сомножителей или показателей степеней могут быть найдены по обобщенным формулам интегрирования. Приведем некоторые из них.

где P(х) -- целый относительно х многочлен.

где n -- любое вещественное число п?- 1; т = 1,2,3,...

9. Если обозначить

(n = 1,2, 3,...), то

12. (n=1,2,…);

13. (п=1,2,…);

1.1. Найти интегралы:

а) Представим интеграл как сумму интегралов и воспользуемся табличными интегралами

Проверка:

т. е. производная равна подынтегральной функции.

б) Внесем первый множитель в скобки и представим интеграл в виде разности двух интегралов

в) Сделаем следующие преобразования

г) Вычтем и прибавим в числителе единицу

д) Заменим корни отрицательными степенями и представим интеграл в виде разности двух интегралов

е) Считаем, что в числителе множителем стоит тригонометрическая единица

1 = sin2 х + cos2 х, тогда

1.2. Найти интегралы:

а) Представим 9 как 32 и воспользуемся табличным интегралом (14), где а =3

б) Приведем подынтегральную функцию к виду и воспользуемся табличным интегралом (8)

в) Воспользуемся табличным интегралом (10)

г) Объединим множители в подынтегральной функции и воспользуемся табличным интегралом (4)

д) Преобразуем следующим образом

Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5, называется методом разложения. 1.3. Используя метод разложения, найти интегралы:

Решение. Нахождение каждого из интегралов начинается с преобразования подынтегральной функции. В задачах а) и б) воспользуемся соответствующими формулами сокращенного умножения и последующим почленным делением числителя на знаменатель:

(см. табличные интегралы (2) и (3)). Обращаем внимание на то, что в конце решения записываем одну общую постоянную С, не выписывая постоянных от интегрирования отдельных слагаемых. В дальнейшем мы будем опускать при записи постоянные от интегрирования отдельных слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один неопределенный интеграл. В окончательном ответе тогда будет одна постоянная.

в) Преобразуя подынтегральную функцию, получим

(см. табличный интеграл (6)).

г) Выделяя из дроби целую часть, получим

(см. табличный интеграл (9)).

Литература

1. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: В 3 т.: Т. 1..-- СПб.: Политехника, 2003.-- 703 е.: ил.

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов-М.: ЮНИТИ, 2004-471с.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов.-4-е изд. Стер.-М.: Высшая школа. 1998.-479с.: ил.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3т.: Т. 2..-810с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Геометрический смысл производной. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х. Понятие подынтегрального выражения. Проверка правильности результата интегрирования, примеры задач.

презентация , добавлен 18.09.2013

Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.

шпаргалка , добавлен 21.08.2009

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Некоторые свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки. Интегрирование по частям. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби.

реферат , добавлен 16.01.2006

Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.

курсовая работа , добавлен 21.10.2011

Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.

задача , добавлен 02.10.2009

Методы интегрирования в древности. Понятие первообразной функции. Основная теорема интегрального исчисления. Свойства неопределенных и определенных интегралов и методы их вычисления, произвольные постоянные. Таблица интегралов элементарных функций.

презентация , добавлен 11.09.2011

Условия существования определенного интеграла. Приложение интегрального исчисления. Интегральное исчисление в геометрии. Механические приложение определенного интеграла. Интегральное исчисление в биологии. Интегральное исчисление в экономике.

курсовая работа , добавлен 21.01.2008

Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.

контрольная работа , добавлен 28.03.2014

Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.

презентация , добавлен 15.01.2014

Особенности неопределенного интеграла. Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям). Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского. Интегрирование тригонометрических функций.

Код для блога:

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением; интегрирование (нахождение интеграла) есть действие, обратное дифференцированию: по данной непрерывной функции f(x) ищется функция F(x) (первообразная), для которой f(x) является производной.

Вместе с F(x) первообразной функцией для f(x) является и F(x) + C, где С - любая постоянная. Общее выражение F(x) + C первообразных непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом; он обозначается.Определенным интегралом непрерывной функции f(x) на отрезке , разделенном точками (рис.), называется предел интегральных сумм, где, при условии, что наибольшая разность стремится к нулю и число точек деления неограниченно увеличивается; его обозначают (самый знак возник из первой буквы S латинского слова Summa).

Через определенные интегралы выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел, координаты центров тяжести, моменты инерции, работа, производимая данной силой, и т. д. О связи между определенным интегралом и первообразной см. Ньютона - Лейбница формула. Понятие интеграла распространяется на функции многих переменных (см. Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл)

Как это будет выглядеть: