Разбиение множеств на подмножества. Разбиение множества

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Определение . Множество А разбито на классы А 1 , А 2 , ..., А п , если:

1) подмножества А 1 , А 2 , ..., А п не пусты;

2) подмножества А 1 , А 2 , ..., А п попарно не пересекаются;

3) объединение подмножеств совпадает с множеством А .

Если не выполнено хотя бы одно свойство, то классификацию считают неправильной.

Например, если множество треугольников разбить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, то разбиение будет выполнено верно, т.к. выполнены все условия, данные в определении.

Если из множества треугольников выделить подмножества равносторонних, равнобедренных и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, т.к. множество равносторонних треугольников является подмножеством равнобедренных треугольников, т.е. не выполняется второе условие разбиения множества на классы.

Пример 1 . Пусть А – множество двузначных чисел. Рассмотрим на этом множестве свойство «быть четным».

А 2

А 1

Множество А разбилось на два подмножества:

А 1 – множество четных чисел,

А 2 – множество нечетных чисел, при этом

А 1 È А 2 = А и А 1 Ç А 2 = Æ.

Т.о. задание одного свойства приводит к разбиению этого множества на 2 класса.

Пример 2. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть равнобедренным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В С – множество равнобедренных треугольников. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.

По рисунку видно, что получилось 4 класса:

I – В Ç С – множество равнобедренных прямоугольных треугольников;

II – В Ç – множество прямоугольных, но не равнобедренных треугольников;

III – Ç С – множество равнобедренных, но не прямоугольных треугольников;

IV – Ç – множество не равнобедренных и не прямоугольных треугольников.

Т.о. с помощью двух свойств множество разбилось на 4 класса, таких, что их пересечение пусто, а их объединение составляет множество А .

Следует отметить, что задание двух свойств приводит к разбиению множества на 4 класса не всегда.

Пример 3 . Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть остроугольным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество остроугольных треугольников. Эти множества не пересекаются. По рисунку видно, что при помощи этих свойств множество треугольников разбивается на три класса:

I – множество прямоугольных треугольников;

II – множество остроугольных треугольников;

III – множество не прямоугольных, не остроугольных треугольников.

Контрольные вопросы

1. При каких условиях считают, что множество разбито на классы?

2. Как определить число элементов в объединении двух или трех конечных множеств?

1. Множества множеств. Мы можем рассматривать множества, состоящие из самых различных элементов. В частности, можем рассматривать множества множеств, т. е. множества, элементы которых сами суть множества. Таково, например, множество всех пар весел, имеющихся на данной лодочной станции. Множеством множеств является также множество всех спортивных команд Москвы (каждая спортивная команда есть множество составляющих ее спортсменов).

Множество всех профессиональных союзов, а также множество всех воинских частей (дивизий, полков, батальонов, рот, взводов и т. д.) данной армии являются множествами множеств. Эти примеры показывают, что множества, являющиеся элементами данного множества множеств, могут в одних случаях пересекаться, в других случаях, наоборот, не иметь общих элементов.

Так, например, множество всех профессиональных союзов СССР есть множество попарно не пересекающихся множеств, так как гражданин СССР не может быть одновременно членом двух профессиональных союзов. С другой стороны, множество всех воинских частей какой-либо армии есть пример множества множеств, некоторые элементы которого являются подмножествами других элементов: так, каждый взвод есть подмножество некоторого полка, полк есть подмножество дивизии и т. д.

Множество спортивных команд данного города состоит, вообще говоря, из пересекающихся множеств, так как одно и то же лицо может входить в несколько спортивных команд (например, в команду пловцов и в команду волейболистов или лыжников).

Замечание. Для облегчения речи иногда вместо выражения «множество множеств» употребляются как совершенно равнозначащие выражения «система множеств» или «совокупность множеств».

2. Разбиение на классы. Очень важный класс систем множеств получаем, если рассматриваем всевозможные разбиения какого-нибудь множества на попарно не пересекающиеся множества. Дано множество X, представленное в виде суммы попарно не пересекающихся подмножеств; множества, слагаемые нашей суммы, и являются элементами данного разбиения множества X.

Пример 1. М есть множество всех учащихся в средних школах Москвы. Множество М можно разбить на попарно не пересекающиеся подмножества, например, следующими двумя способами:

1) мы объединяем в одно слагаемое всех учащихся одной и той же школы (т. е. разбиваем множество всех учащихся по школам);

2) мы объединяем в одно слагаемое всех учащихся одного и того же класса (хотя бы и разных школ).

Пример 2. Пусть X есть множество всех точек плоскости; возьмем на этой плоскости какую-нибудь прямую g и разобьем всю плоскость на прямые, параллельные прямой g. Множества точек каждой такой прямой и являются теми подмножествами, на которые мы разбиваем множество X.

Если данное множество X разбито на попарно не пересекающиеся подмножества, дающие в сумме множество М, то для краткости говорят просто о разбиении множества М на классы.

Теорема 3. Пусть дано отображение f множества А на множество В. Полные прообразы всевозможных точек b множества В образуют разбиение множества А на классы. Множество этих классов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством В.

Эта теорема, в сущности, очевидна: каждому элементу а множества А соответствует, в силу отображения, один и только один элемент множества В, так что а входит в один полный прообраз . А это и значит, что полные прообразы точек во-первых, дают в сумме все множество А, во-вторых, попарно пересекаются.

Множество классов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством В: каждому элементу b множества В соответствует класс и каждому классу соответствует элемент b множества В.

Теорема 4. Пусть дано разбиение множества А на классы. Это разбиение порождает отображение множества А на некоторое множество В, а именно на множество В всех классов данного разбиения. Это отображение получается, если заставить соответствовать каждому элементу множества А тот класс, к которому он принадлежит.

Доказательство теоремы уже заключено в самой ее формулировке.

Пример. Тем самым, что учащиеся Москвы распределены но школам, уже установлено отображение множества А всех учащихся на множество В всех школ: каждому учащемуся соответствует та школа, в которой он учится.

При всей самоочевидности наших двух теорем факты, устанавливаемые ими, не сразу получили в математике отчетливую формулировку; получив же эту формулировку, они приобрели очень важное значение в логическом построении различных математических дисциплин и прежде всего алгебры.

3. Отношение эквивалентности. Пусть дано разбиение множества X на классы. Введем следующее определение: назовем два элемента множества X эквивалентными по отношению к данному разбиению множества X на классы, если они принадлежат к одному и тому же классу.

Таким образом, если мы разобьем учащихся Москвы по школам, то двое учащихся будут «эквивалентны», если они учатся в одной и той же школе (хотя бы и в разных классах). Если же мы разобьем учащихся по классам, то двое учащихся будут «эквивалентны», если они учатся в одном и том же классе (хотя бы и различных школ).

Отношение эквивалентности, только что определенное нами, очевидно, обладает следующими свойствами.

Свойство симметрии (или взаимности). Если а и b эквивалентны, то эквивалентны также и а.

Свойство транзитивности (или переходности). Если эквивалентны элементы а и а также b и с, то а и с эквивалентны («два элемента а и с, эквивалентные третьему эквивалентны между собою»).

Наконец, мы считаем каждый элемент эквивалентным самому себе; это свойство отношения эквивалентности называется свойством рефлексивности.

Три условия; рефлексивности, симметрии и транзитивности, которым подчинено отношение эквивалентности, называются условиями или аксиомами эквивалентности (а также аксиомами равенства).

Итак, всякое разбиение данного множества на классы определяет между элементами этого множества некоторое отношение эквивалентности, обладающее свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности.

Предположим теперь, что нам удалось, каким бы то ни было способом, установить некоторый признак, дающий нам возможность о некоторых парах элементов множества X говорить как о парах эквивалентных элементов. При этом мы требуем от этой эквивалентности, только чтобы она обладала свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности.

Докажем, что это отношение эквивалентности определяет разбиение множества X на классы.

В самом деле, обозначим классом данного элемента а множестиа X множество всех элементов, эквивалентных элементу а.

В силу того, что наше отношение эквивалентности по предположению обладает свойством рефлексивности, каждый элемент а содержится в своем классе.

Докажем: если два класса пересекаются (т. а. имеют хоть один общий элемент), то они непременно совпадают (т. е. каждый элемент одного класса является в то же время элементом другого).

В самом деле, пусть классы имеют общий элемент с. Записывая эквивалентность двух каких-нибудь элементов х и у так: имеем по определению классов:

Следовательно, в силу симметрии с силу транзитивности

Введение

В данной статье продолжается рассмотрение различных аспектов комбинаторики, т. е. она является логическим продолжением этой статьи . Далее мы разберем такие разделы, как разбиения множеств и чисел, производящие функции, принцип включения и исключения и др.

Разбиения множества

Разбиение n -элементного множества X на k блоков — это семейство Q = { B 1 , …, B k }, в котором B 1 ∪ … ∪ B k = X , B i ∩ B j = Ø, B i ≠ Ø, для 1 ≤ i < j ≤ k . Обозначим множество всех разбиений множества X на k блоков через Π k (X), а через Π (X) — множество всех разбиений.

Довольно интересным является вопрос генерирования разбиений множества. Рассмотрим идею алгоритма, отвечающего на этот вопрос, описав ее в рекуррентной форме. Сначала сделаем ряд полезных замечаний. Можно показать, что разбиение Q множества {1, …, n } однозначно определяет разбиение Q n −1 множества {1, …, n −1}, которое получается из Q после удаления элемента n (или пустого блока) из соответствующего блока. Также, если имеется разбиение W = { B 1 , …, B k } множества {1, …, n −1}, то можно отыскать все разбиения Q множества {1, …, n }, для которых Q n −1 = W , т. е. такие разбиения:

B 1 ∪ { n }, …, B k ,
…
B 1 , …, B k ∪ { n },
B 1 , …, B k , { n }.

Обозначим такую последовательность через E . Тогда сформулируем несложный метод генерирования разбиений: если у нас есть список L n −1 всех разбиений множества {1, …, n −1}, то список L n разбиений множества {1, …, n } будем создавать, заменяя каждое разбиение Q в списке L n −1 на соответствующую ему последовательность E . Проиллюстрируем построение списка L n для n = 1, 2, 3.

Существует нерекуррентная реализация данного алгоритма (см. визуализатор ).

Числа Стирлинга второго и первого рода

Число Стирлинга второго рода S (n , k) — это число разбиений n -элементного множества на k блоков, т. е.

S (n , k) = | Π k (X)|,

где множество X состоит из n элементов. Например, S (4, 2) = 7.

Любопытны некоторые тождества, связанные с числами Стирлинга второго рода:

S (n , n) = 1, для n ≥ 0,
S (n , 0) = 0, для n > 0,
S (n , k) = S (n −1, k −1) + k S (n −1, k), для 0 < k < n
x n = ∑ k =0: n S (n , k)[ x ] k , для n ≥ 0, где [ x ] k = x (x −1)…(x − k +1).

Первые две формулы очевидны. Доказательство последних формул предлагается читателю в качестве несложного упражнения.

Число Белла B n — это число всех разбиений n -элементного множества:

B n = | Π (X)|, где | X | = n .

Рассмотрим несложное рекуррентное соотношение:

B n +1 = ∑ i =0: n C i , n B i

Для доказательства достаточно заметить, что множество всех разбиений множества X = {1, …, n +1} можно разделить на различные классы в зависимости от блока B , который содержит элемент n +1, или в зависимости от множества X \ B . Далее для каждого множества X \ B из {1, …, n } имеется | Π (X \ B)| = B | X \ B | разбиений множества X , которое содержит B в качестве блока. Группируя классы в зависимости от мощности множества X \ B , приходим к требуемому.

Числа Стирлинга первого рода s (n , k) — это коэффициенты при последовательных степенях переменной x в многочлене [ x ] k:

[ x ] n = ∑ k =0: n s (n , k) x k .

Для них определяются аналогичные рекуррентные соотношения, что и для чисел второго рода:

s (n , n) = 1, для n ≥ 0,
s (n , 0) = 0, для n > 0,
s (n , k) = s (n −1, k −1) + (n −1) s (n −1, k), для 0 < k < n .

Разбиения чисел

Разбиение числа (натурального) n на k слагаемых — это последовательность a 1 , …, a k , такая что

N = a 1 + … + a k , a 1 ≥ … ≥ a k > 0.

Существует довольно простой способ представления разбиения числа — диаграмма Феррерса. Для разбиения a 1 , …, a k она состоит из k строк, которые соответствуют слагаемым разбиения, где i -я строка состоит из a i точек. Сопряженное разбиение — это разбиение, получающееся при перемене ролями строк и столбцов в диаграмме Феррерса.

Заметим, что с помощью диаграммы Феррерса можно доказать много интересных свойств числа всех разбиений рассматриваемого числа. Подробнее об этом можно почитать в .

Рассмотрим теперь несложный алгоритм генерирования всех разбиений числа. Обозначим через S , …, S [ d ] само разбиение числа, а через R , …, R [ d ] — информацию о том, сколько раз слагаемое S [ i ] появляется в разбиении.

1 begin 2 S := n ; R := 1; d:= 1; 3 write() ; 4 while S > 1 do 5 begin sum:= 0; 6 if S [ d ] = 1 then 7 begin sum:= sum + R [ d ]; d:= d − 1; 8 end ; 9 sum:= sum + S [ d ]; R [ d ] := R [ d ] − 1; l:= S [ d ] − 1; 10 if R [ d ] > 0 then d:= d + 1; 11 S [ d ] := l ; R [d] := sum div l ; 12 l:= sum mod l ; 13 if l ≠ 0 then 14 begin d:= d + 1; S [ d ] := l ; R [ d ] := 1 15 end ; 16 write() ; 17 end 18 end

Производящие функции

Производящая функция — это функция, которая позволяет определить явный вид общего члена рассматриваемой числовой последовательности. Так, пусть имеется последовательность { a n }, для главного члена a которой нужно найти общую формулу. Тогда введем функцию A (x) = ∑ n a n x n . Если, используя свойства рассматриваемой последовательности, удастся решить составленные для A (x) уравнения, то можно будет получить искомые элементы последовательности.

Один из примеров применения производящих функций относится к числам Фибоначчи. Они являются решением рекуррентного уравнения F n +1 = F n + F n −1 , где F 0 = F 1 = 1.

Рассмотрим производящую функцию F (x) = ∑ n f n x n . Она удовлетворяет уравнению F (x) = 1 + x + ∑ k =2:∞ (F k −2 + F k −1) x k = … = 1 + (x + x 2) F (x). Отсюда получаем, что F (x) = (1 − x − x 2) −1 . Далее находим разложение 1 − x − x 2 = (1 − a x)(1 − b x), где a = (1 + √5) ⁄ 2, b = (1 − √5) ⁄ 2. Далее, используя метод неопределенных коэффициентов, получаем F (x) = ∑ k =0:∞ (a k +1 − b k +1) x k ⁄ (a − b).

Интересно, что предел отношения f n +1 ⁄ f n равен a , т. е. «золотому сечению». Также существует связь между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля: можно выбрать линии, пересекающие узлы треугольника, так, чтобы сумма всех чисел на одной линии соответствовала числу Фибоначчи.

Другим примером являются числа Каталана. Они появляются в контексте следующей задачи: нужно найти число различных последовательных действий, чтобы вычислить сумму S 0 , …, S n , складывая любые два рядом стоящих числа и результат помещая на их место. Тогда если обозначить искомое число через с n , то производящая функция будет выглядеть, как С (x) = ∑ n =0:∞ c n x n . Следуя аналогичным рассуждениям, как и в случае с числами Фибоначчи, получим, что С (x) = ∑ n =0:∞ C 2 n , n x n ⁄ (n +1).

Для общего представления приведем иллюстрацию для трех множеств A , B и C:

Теорема

|∪ i =1: n A i | = ∑ i =1: n | A i | − ∑ 1≤ i < j ≤ n | A i ∩ A j | + ∑ 1≤ i < j < k ≤ n | A i ∩ A j ∩ A k | − … + (−1) n −1 | A 1 ∩ … ∩ A n |.

Доказательство. Будем доказывать теорему по индукции. База индукции очевидно верна. Тогда пусть для A 1 , …, A n −1 выполняется |∪ i =1: n −1 A i | = ∑ i =1: n −1 | A i | − ∑ 1≤ i < j ≤ n −1 | A i ∪ A j | + ∑ 1≤ i < j < k ≤ n −1 | A i ∩ A j ∩ A k | − … + (−1) n −2 | A 1 ∩ … ∩ A n −1 |. Если мы применим эту формулу к сумме (A 1 ∪ … ∪ A n −1) ∩ A n = ∪ i =1: n −1 (A i ∩ A n), то получим |∪ i =1: n −1 A i ∩ A n | = ∑ i =1: n −1 | A i ∩ A n | − ∑ 1≤ i < j ≤ n −1 | A i ∩ A j ∩ A n | + ∑ 1≤ i < j < k ≤ n −1 | A i ∩ A j ∩ A k ∩ A n | − … + (−1) n −2 | A 1 ∩ … ∩ A n −1 ∩ A n |. Отсюда уже получаем |∪ i =1: n A i | = |(∪ i =1: n −1 A i) ∪ A n | = |∪ i =1: n −1 A i | + | A n | − |∪ i =1: n −1 A i ∩ A n | = ∑ i =1: n | A i | − ∑ 1≤ i < j ≤ n | A i ∩ A j | + ∑ 1≤ i < j < k ≤ n | A i ∩ A j ∩ A k | − … + (−1) n −1 | A 1 ∩ … ∩ A n |.

Литература

Липский В. Комбинаторика для программистов. — М.: Мир, 1988.

Визуализаторы

Белешко Д. Перебор разбиений (2003)

Множеств , где - некоторое множество индексов (конечное или бесконечное), называется разбиением , если:

При этом множества называются блоками или частями разбиения данного множества .

Разбиения конечных множеств

Разбиения конечных множеств, а также подсчет количества различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике . В частности, некоторые комбинаторные функции естественно возникают как количества разбиений того или иного вида.

Например, число Стирлинга второго рода представляет собой количество неупорядоченных разбиений n -элементного множества на m частей, в то время как мультиномиальный коэффициент выражает количество упорядоченных разбиений n -элементного множества на m частей фиксированного размера . Количество всех неупорядоченных разбиений n -элементного множества задается числом Белла .

Примеры

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Разбиение множества" в других словарях:

В математике Разбиение единицы Разбиение множества Разбиение интервала Разбиение числа … Википедия

Пример разбиения параллельной граф схемы алгоритма логического управления. В составе блоков, отмеченных разными цветами, нет параллельных вершин Разбиение графа на подграфы (англ. Graph partition) (иногда в литературе также употребляется… … Википедия

Диаграмма Вороного случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором каждая область этого разбиения образует множество точек, более близких к… … Википедия

1) Р. представление заданного множества в виде объединения системы множеств, не имеющих попарно общих точек. В дискретной геометрии часто рассматривают Р. нек рого пространства на замкнутые области, к рые покрывают все пространство и попарно не… … Математическая энциклопедия

N это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. В… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… … Википедия

BSP дерево это структура данных, используемая в трехмерной графике. Аббревиатура BSP означает Binary Space Partition двоичное разбиение пространства. BSP дерево используется для эффективного выполнения следующих операций: Сортировки… … Википедия

Пространства с мерой (М,m) разбиение x. этого пространства на непересекающиеся подмножества (именуемые элементами разбиения), к рое можно получить как разбиение на множества уровня нек рой измеримой функции (с числовыми значениями) на М. Это… … Математическая энциклопедия

Топологического пространствах покрытие пространства Xпопарно непересекающимися непустыми множествами, удовлетворяющее условию: каковы бы ни были и окрестность Uмножества Fв X, найдется окрестность Vмножества Fв X, содержащаяся в Uи являющаяся… … Математическая энциклопедия

Книги

Windows IT Pro/RE№ 06/2018 , Открытые системы. Windows IT Pro/RE– профессиональное издание на русском языке, целиком и полностью посвященное вопросам работы с продуктами семейства Windows и технологиям компании Microsoft. Журнал… электронная книга
Минимакс и восстановление по вектору в графах , Мокряков Алексей Викторович, Селин Павел Сергеевич, Цурков Владимир Иванович. В предлагаемой книге развивается теория минимакса при транспортных ограничениях. Представлена основная постановка о поиске минимума максимального элемента матрицы с неотрицательными…

Понятие разбиение множества на классы. Примеры разбиения множеств на два (три, четыре, и т.д.) подмножеств. Примеры заданий на классификацию из начального курса математики.

Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

Как правило, целью классификации является систематизация наших знаний. Например, в биологии имеется классификация животных, охватывающая до 1,5 млн. различных видов животных, в ботанике – классификация растений, включающая 500 тыс. видов растений. Классификация дает возможность рассмотреть это многообразие в определенной системе, выделить интересующие нас виды растений и животных.

Широко применяется классификация в математике. Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы (меньше развернутого) бывают острые, прямые и тупые.

Выясним условия, которым должны удовлетворять правильно выполненная классификация.

Любая классификация связана с расчленением некоторого множества объектов на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множества попадает в одно и только одно подмножество, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы.

Определение. Считают, что множество Х разбито на классы Х 1 , Х 2 ,…,Х п, если:

1. подмножества Х 1 , Х 2 ,…,Х п попарно не пересекаются;

2. объединение подмножеств Х 1 , Х 2 ,…,Х п совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают не правильной.

Так, множество Х треугольников можно разбить на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются (среди остроугольных нет прямоугольных и тупоугольных, среди прямоугольных – тупоугольных) и их объединение совпадает с множеством Х.

О днако не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества. Например, если из множества Х треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонний, то разбиения множества Х на классы не мы не получим, поскольку множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными).

Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Но чтобы выделить подмножество, достаточно указать характеристическое свойство его элементов.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Среди натуральных чисел есть четные, нечетные, кратные 3, кратные 5 и т.д. Предположим, что нас интересуют натуральные числа, обладающие свойством делиться на 3. Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел. Выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N натуральных чисел.

Таким образом, задание одного свойства элементов множества натуральных чисел привело к разбиению этого множества на два класса: класс чисел, кратных 3 и класс чисел, не кратных 3.

Рассмотрим разбиение множества на классы, если для его элементов указать два свойства, т.е. выделить из множества два различных подмножества.

Р ассмотрим два свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5».При помощи этих свойств из множества натуральных чисел можно выделить два подмножества: А- подмножество чисел, кратных 3, и В – подмножество чисел, кратных 5. Эти подмножества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.

Проанализируем получившуюся картину. Круг, изображающий множество N натуральных чисел, разбился на 4 непересекающиеся области – они пронумерованы римскими цифрами. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N. Определим, какие числа оказались в каждом из этих непересекающихся подмножеств. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II – из чисел, кратных 3 и не кратным 5; подмножество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IY – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.