Равновесие твердых тел при отсутствии вращения. Равновесие тел, имеющих ось вращения

Начните вводить часть условия (например, могут ли , чему равен или найти ):

17. Равновесие тел при отсутствии вращения

• №325. Найдите равнодействующую трех сил по 100 Н каждая, если угол между первой и второй силами равен 60°, а между второй и третьей - 90°.
• №326. При каком способе подвешивания качелей (рис. 60) веревки будут испытывать меньшее натяжение?
• β, следовательно, cosβ > cosα и Т1 > Т2. "> №327. Почему туго натянутая бельевая веревка часто обрывается под тяжестью повешенного на нее платья, в то время как слабо натянутая выдерживает тот же груз?
• №328. Одинаковы ли показания обоих динамометров (рис. 61), одинаковую ли силу давления испытывает ось блока в обоих случаях?
• №329. Система подвижного и неподвижного блоков находится в равновесии (рис. 62). Что произойдет, если точку А крепления нити передвинуть вправо?
• №330. Тело массой 2 кг подвешено на нити. К телу привязали другую нить и оттянули ее в горизонтальном направлении. Найдите силу натяжения нити в новом положении равновесия, если сила натяжения горизонтальной нити равна 12 Н.
• №331. Можно равномерно прямолинейно перемещать тело по горизонтальной поверхности, прикладывая к нему силы, как показано на рисунке 63. Одинаковы ли эти силы, если коэффициент трения одинаков в обоих случаях?
• №332. На бельевой веревке длиной 10 м висит только один костюм, весящий 20 Н. Вешалка расположена посередине веревки, и эта точка провисает на 10 см ниже горизонтали, проведенной через точки закрепления веревки. Чему равна сила натяжения веревки?
• №333. Найдите силы, действующие на стержни АВ и ВС (рис. 64), если α = 60°, а масса лампы 3 кг.
• №334. К концу стержня АС (рис. 65) длиной 2 м, укрепленного шарнирно одним концом к стене, а с другого конца поддерживаемого тросом ВС длиной 2,5 м, подвешен груз массой 120 кг. Найдите силы, действующие па трос и стержень.
• №335. Электрическая лампа (рис. 66) подвешена на шнуре и оттянута горизонтальной оттяжкой. Найдите силу натяжения шнура и оттяжки, если масса лампы равна 1 кг, а угол α = 60°.
• №336. Тяжелый однородный шар подвешен на нити, конец которой закреплен на вертикальной стене. Точка прикрепления шара к нити находится на одной вертикали с центром шара. Каков должен быть коэффициент трения между шаром и стенкой, чтобы шар находился в рав
• №337. Шарик радиусом г и массой m удерживается на неподвижном шаре радиусом R невесомой нерастяжимой нитью длиной l, закрепленной в верхней точке С шара (рис. 67). Других точек соприкосновения между шаром и нитью нет. Найдите силу натяжения нити. Трением

Пусть тело закреплено на неподвижной оси (п.1.4) и к нему приложена сила одним из двух способов:

1) линия действия проходит через ось вращения. будет уравновешена реакцией и тело находится в равновесии;

2) линия действия не проходит через ось вращения, что приводит к вращению тела.

Приложим к телу силу , вызывающую его вращение в противоположную сторону. При определённых условиях вращение может стать равномерным либо прекратится совсем. Из опытов известно, что это произойдет, если , где d 1 и d 2 – плечи сил и .

Плечо силы (d )относительно оси – кратчайшее расстояние от линии действия силы до этой оси.

Момент силы (М ) – произведение модуля силы на её плечо.

[М ] = 1 Нм

· В данном параграфе момент рассматривается как скалярная величина, а силы и их плечи лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

· Момент силы, вращающий тело по часовой стрелке, считают отрицательным, против – положительным.

Условие равновесия известно как правило моментов : тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к нему сил равна нулю.

Полное условие равновесия (для любых тел)

Тело находится в равновесии, если равнодействующая всех приложенных к нему сил равна нулю и сумма моментов этих сил относительно оси вращения также равна нулю.

Виды равновесия

1. Устойчивое равновесие – равновесие, при выходе из которого возникает сила , возвращающая тело в исходное положение.

2. Неустойчивое равновесие – равновесие, при выходе из которого возникает сила , ещё больше отклоняющая тело от исходного положения.

3. Безразличное равновесие – равновесие, при выходе из которого не возникает ни возвращающая, ни отклоняющая сила.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Молекулярная физика – раздел физики, в котором явления изменения состояния тел и веществ объясняют с точки зрения внутреннего строения вещества.

Истоки молекулярной физики

Представления древних

Древние философские школы по-разному объясняли строение тел и веществ. Например, в Китае учёные полагали, что тела состоят из воды, огня, эфира, воздуха и др. Левкипп (V в. до н.э., Греция) и Демокрит (V в. до н.э., Греция) высказали идею о том, что:

1) все тела состоят из мельчайших частиц – атомов;

2) различия между телами определяются либо различием их атомов, либо различием в расположении атомов.

Развитие молекулярной физики

Большой вклад в науку внёс Михаил Васильевич Ломоносов (1711–1765, Россия). Он развил идею молекулярного (атомного) строения вещества и предположил, что:

1) частицы (молекулы) хаотически движутся;

2) скорость движения молекул связана с температурой вещества (чем выше температура, тем выше скорость);

3) должна существовать температура, при которой движение молекул прекращается.

Опыты, проведённые в XIX в., подтвердили правильность его идей.

Опыт Броуна

В 1827 г. ботаник Роберт Броун (1773–1858, Англия) поместил под микроскоп жидкость с мелкими твёрдыми частицами в ней и обнаружил, что:

1) частицы хаотически движутся;

2) чем меньше частица, тем сильнее заметно её движение;

Он пришёл к выводу, что толчки твёрдым частицам дают частицы жидкости при столкновениях. Работами многих учёных складывалось учение о строении и свойствах вещества – молекулярно-кинетическая теория (МКТ), основанное на представлениях о существовании молекул (атомов).

Основные положения МКТ

1) Вещества состоят из частиц: атомов и молекул;

2) частицы хаотически движутся;

3) частицы взаимодействуют друг с другом.

На основе этих положений были объяснены явления: упругость газов, жидкостей и твёрдых тел; переход вещества из одного агрегатного состояния в другое; расширение газов; диффузия и др.

Агрегатное состояние (термодинамическая фаза) – одно из трёх состояний вещества (твёрдое, жидкое, газообразное).

Диффузия – самопроизвольное смешивание веществ.

1. Что изучают в статике.

2. Равновесие тел при отсутствии вращения.

3. Равновесие тел с закрепленной осью вращения. Момент силы. Правило моментов. Правило рычага.

4. Виды равновесия тел (устойчивое и неустойчивое). Центр тяжести.

1. Мы уже знаем, что законы Ньютона позволяют узнать, какие ускорения получают тела под действием приложенных к ним сил. Но очень часто бывает важно знать, при каких условиях тела, на которые могут действовать различные силы, не получают ускорений. О таких телах говорят, что они находятся в состоянии равновесия. В таком состоянии, в частности, находятся покоящиеся тела. Знать условия, при которых тела находятся в покое, очень важно для практики, например при постройке зданий, мостов, всевозможных опор, подвесов, при изготовлении машин, приборов и т.д. Для Вас этот вопрос, также не менее важен! Но основами равновесия в спорте более подробно занимается такая наука, как биомеханика, изучением которой вы займетесь на третьем курсе.

А механика занимается более общими вопросами. Та часть механики, в которой изучается равновесие твердых тел, называется статикой. Известно, что всякое тело может двигаться поступательно и, кроме того, вращаться или поворачиваться вокруг какой-нибудь оси. Чтобы тело находилось в покое, оно не должно ни двигаться поступательно, ни вращаться или поворачиваться вокруг какой-нибудь оси. Рассмотрим условия равновесия тел для этих двух видов возможного движения по отдельности. А выяснить, какие именно условия обеспечивают равновесие тел, помогут нам законы Ньютона.

2. Равновесие тел при отсутствии вращения. При поступательном движении тела можно рассматривать движение только одной точки тела -его центра масс. При этом мы должны считать, что в центре масс сосредоточена вся масса тела и к нему приложена равнодействующая всех сил, действующих на тело. (Сила, которая одна может сообщить телу такое же ускорение, как и все одновременно действующие на него силы, вместе взятые, называется равнодействующей этих сил).

Из второго закона Ньютона следует, что ускорение этой точки равно нулю, если геометрическая сумма всех приложенных к ней сил -равнодействующая этих сил - равна нулю. Это и есть условие равновесия тела при отсутствии его вращения.

Чтобы тело, которое может двигаться поступательно (без вращения), находилось в равновесии, необходимо, чтобы геометрическая сумма сил, приложенных к телу, была равна нулю. Но если геометрическая сумма сил равна нулю, то и сумма проекций векторов этих сил на любую ось тоже равна нулю. Поэтому условие равновесия тела можно сформулировать и так: чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма приложенных к телу сил на любую ось была равна нулю.

В равновесии, например, находится тело, к которому приложены две равные силы, действующие вдоль одной прямой, но направленные в противоположные стороны (рис.1).

Состояние равновесия – это не обязательно состояние покоя. Из второго закона Ньютона следует, что, когда равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю, тело может двигаться прямолинейно и равномерно. При таком движении тело тоже находится в состоянии равновесия.

Например, парашютист, после того как он начал падать с постоянной скоростью, находится в состоянии равновесия. На рисунке 1 силы приложены к телу не в одной точке. Но важна не точка приложения силы, а прямая вдоль которой она действует. Перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия ничего не изменяет ни в движении тела, ни в состоянии равновесия. Ясно, например, что ничего не изменится, если вместо того чтобы тянуть вагонетку, ее станут толкать. Если равнодействующая сил, приложенных к телу, не равна нулю, то, для того чтобы тело находилось в состоянии равновесия, к нему должна быть приложена добавочная сила, равная по модулю равнодействующей, но противоположная ей по направлению.

Эта сила называется уравновешивающей.

3. Равновесие тел с закрепленной осью вращения. Момент силы. Правило моментов. Правило рычага. Пара сил.

Итак, условия равновесия тела при отсутствии вращения выяснены. Но как обеспечивается отсутствие вращения тела. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим тело, которое не может совершать поступательного движения, но может поворачиваться или вращаться. Чтобы сделать невозможным поступательное движение тела, его достаточно закрепить в одной точке так, как можно, например, закрепить доску на стене, прибив её одним гвоздем; поступательное движение такой доски становится невозможным, но доска может поворачиваться вокруг гвоздя, который служит ей осью вращения.

Теперь выясним, какие силы не могут и какие могут вызвать поворот (вращение) тела с закрепленной осью вращения. Рассмотрим, некоторое тело (см.рис.2), которое может поворачиваться, вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Из этого рисунка видно, что силыF 1 ,F 2 иF 3 не вызовут поворота тела. Линии их

действия проходят через ось вращения. Любая такая сила будет уравновешена силой реакции закрепленной оси. Поворот (или вращение) могут вызвать лишь такие силы, линии, действия которых не проходят через ось вращения. Сила F 1 , например, приложенная к телу так, как показано на рисунке 3, заставит тело повернуться по часовой стрелке, сила F 2 вызовет поворот тела против часовой стрелки.

Чтобы сделать поворот иди вращение невозможным, нужно, очевидно, приложить к телу по крайней мере две силы: одну, вызывающую поворот по часовой стрелке, другую - против часовой стрелки. Но эти две силы могут быть и неравны друг другу (по модулю). Например, сила F 2 (см. рис.4) вызывает поворот тела против часовой стрелки.

Как показывает опыт, ее можно уравновесить силой F 1 , вызывающей поворот тела по часовой стрелке, но по модулю меньшей чем сила F 2 . Значит, у этих двух неодинаковых по модулю сил одинаковое, так сказать "вращающее действие". Что же у них общего, что для них одинаково? Опыт показывает,

что в этом случае одинаково произведение модуля силы на расстояние от оси вращения до линии действия силы (слово "расстояние" здесь означает длину перпендикуляра, опущенного из центра вращения на направление действия силы). Это расстояние называется плечом силы. Плечо силы F 1 - это d 1 , плечо силы f 2 - это d 2 .  F 1  d 1 = F 2 d 2 ;

M = |f | d Итак, "вращающее действие" силы характеризуется произведением модуля силы на её плечо. Величина, равная произведению модуля силыF на её плечо d, называетсямоментом силы относительно оси вращения. Слова "относительно оси" в определении момента необходимы потому что, если, не изменяя ни модуля силы, ни её направления, перенести ось вращения, из точки О в другую точку, то изменится плечо силы, а значит и момент силы. Момент силы характеризует вращательное действие этой силы и во вращательном движении играет ту же роль, что и сила в поступательном движении.

Момент силы зависит от двух величин: от модуля самой силы и от ее плеча. Один и тот же момент силы может быть создан малой силой, плечо которой велико, и большой силой с малым плечом. Если, например, пытаться закрыть дверь, толкая ее поблизости от петель, то этому с успехом сможет противодействовать ребёнок, который догадается толкать ее в другую сторону, приложив силу поближе к краю, и дверь останется в покое. Для новой величины - момента силы – нужно найти единицу. За единицу момента силы в СИ принят момент силы в 1Н, линия действия которой отстоит от оси вращения на 1м. Эту единицу называют ньютон-метром (Н м).

Моментам сил, вращающих тело по часовой стрелке, принято приписывать положительный знак, а против часовой стрелки -отрицательный.

Тогда моменты сил F 1 иF 2 относительно оси О имеют противоположные знаки и их алгебраическая сумма равна нулю. Таким образом, мы можем написать условие равновесия тела с закрепленной осью: F 1 d 1 =F 2 d 2 или – F 1 d 1 +F 2 d 2 =0, М 1 +М 2 =0.

Следовательно, тело имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил относительно данной оси равна нулю, т.е. если сумма моментов сил, действующих на тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил действующих на тело против часовой стрелки.

Это условие равновесия тел с неподвижной осью вращения называют правилом моментов .

Рычаги. Правило рычага

Нетрудно понять, что из правила моментов следует знаменитое правило рычага.

Рычагом называют имеющее неподвижную ось вращения твердое тело, на которое действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг этой оси. Различают рычаги первого и второго года. Рычагом первого рода называют такой рычаг, ось вращения которого расположена между точками приложения сил, а сами силы направлены в одну и ту же сторону (см.рис. 5). Примерами рычагов первого рода могут служить коромысло равноплечих весов, железнодорожный шлагбаум, колодезный журавль, ножницы и т.д.

Рычагом второго рода называют такой рычаг, ось вращения которого расположена по одну сторону от точек приложения сил, а сами силы направлены противоположно друг другу (см. рис. 6) Примерами рычагов второго рода являются гаечные ключи, различные педали, щипцы для раскалывания орехов, двери и т.д. Согласно правилу моментов, рычаг (любого рода), урав-новешен только тогда, когда М 1 =М 2 . Поскольку М 1 =F 1 d 1 и М 2 =F 2 d 2 , получаем F 1 d 1 =F 2 d 2 . Из последней

формулы следует, что F 1 /F 2 =d 1 /d 2 . Рычаг находится в равновесии, когда действующие на него силы обратно пропорциональны их плечам. Но это не что иное, как другое выражение правила моментов: F 1 /F 2 =d 1 /d 2 . Из последней формулы видно, чтоcпомощью рычага можно получить выигрыш силе тем больший, чем больше соотношение плеч. Это широко используют на практике.

Пара сил. Две равные по модулю антипараллельные силы, приложенные к телу в разных точках, называют парой сил. Примерами пары сил могут служить силы, которые приложены к рулевому колесу автомобиля, электрические силы, действующие на диполь магнитные силы, действующие на магнитную стрелку и т.д. (см.рис 7).

Пара сил не имеет равнодействующей, т.е. совместное действие этих сил нельзя заменить действием одной силы. Поэтому пара сил не может вызвать поступательное движение тела, а вызывает только его вращение. Если при повороте тела под действием пары сил направления этих сил не изменяются, то поворот тела происходит до тех пор, пока обе силы не окажутся действующими противоположно друг другу вдоль прямой, проходящей через ось вращения тела.

Пусть на тело, имеющее закрепленную ось вращения О, действует пара сил f иf (см. рис.8). Моменты этих сил M 1 =|f |d 1 <0 и M 2 =|f | d 2 <0. Сумма моментов M 1 +M 2 =|f|(d 1 +d 2)= =|f|d0, следовательно, тело не находится в равновесии. Кратчайшее расстояние d=d 1 +d 2 между параллельными прямыми,

вдоль которых действуют силы, образующие пару сил, называют пле­чом пары сил; M=|f|d- это момент пары сил. Следовательно, момент пары сил равен произведению мо­дуля одной из сил этой пары на плечо пары независимо от положения оси вращения тела при условии, что эта ось перпендикулярна плоскости, в которой находится пара сил.

Если пара сил действует на тело, не имеющее закрепленную ось вращения, она вызывает вращение этого тела вокруг оси, отходящей через центр масс данного тела.

4. Виды равновесия тел.

Если тело находится в равновесии, то это значит, что сумма приложенных к нему сил равна нулю и сумма моментов этих сил относительно оси вращения также равна нулю. Но возникает вопрос: а устойчиво ли равновесие? (F = 0,M = 0).

С первого взгляда видно, например, что положение равновесия шарика на вершине выпуклой подставки неустойчиво: малейшее отклонение шарика от его равновесного положения приведёт к тому, что он скатится вниз. Поместим тот же шарик на вогнутой подставке. Его не так-то просто заставить покинуть свое место. Равновесие шарика можно считать устойчивым.

В чём же секрет устойчивости? В рассмотренных нами случаях шарик находится в равновесии: сила тяжестиf т, равна по модулю противоположно направленной силе упругости (силе реакции)N со стороны опоры. Всё дело, оказывается, именно в том малейшем отклонении, о котором мы упоминали. На рисунке 9 видно, что как только шарик на выпуклой подставке покинул свое место, сила тяжести f т перестаёт уравновешиваться силойN со стороны опоры (силаN всегда направлена

перпендикулярно поверхности соприкосновения шарика и подставки). Равнодействующая силы тяжести f т и силы реакции опорыN , т.е. сила F, направлена так, что шарик ещё больше удалится от положения равновесия. Иное дело на вогнутой подставке (рис.10). При малом отклонении от первоначального положения здесь тоже нарушается равновесие. Сила упругости со стороны опоры и здесь уже не будет уравновешивать силу тяжести. Но теперь равнодействующая этих силF T направлена так, что тело вернётся в прежнее положение. В этом и состоит условие устойчивости равновесия.

Равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении равновесного положения равнодействующая сил, приложенных к телу, возвращает его к положению равновесия.

Равновесие неустойчиво, если при малом отклонении тела от положения равновесия равнодействующая сил, приложенных к телу, удаляет его от этого положения.

Это справедливо и для тела, имеющего ось вращения. В качестве примера такого тела рассмотрим обыкновенную линейку, укрепленную на стержне, проходящем через отверстие вблизи ее конца. Из рисунка 11а видно, что положение линейки устойчиво. Если же подвесить ту же линейку так, как показано на другом рисунке 11б, то равновесие линейки будет неустойчивым.

Устойчивое и неустойчивое положения равновесия друг от друга ещё и положением центра тяжести тела.

Центром тяжести твёрдого тела, называют точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на каждую частицу этого тела. Центр тяжести твёрдого тела совпадает с его центром масс. Поэтому центр масс часто называют центром тяжести. Однако между этими понятиями есть отличие. Понятие центра тяжести справедливо только для твёрдого тела, находящегося в однородном поле сил тяжести, а понятие центра масс не связано ни cкаким силовым полем и справедливо для любого тела (механической системы).

Итак, для устойчивого равновесия центр тяжести тела должен находиться в самом низком из возможных для него положений.

Равновесие же тела, имеющего ось вращения, устойчиво при условии, что его центр тяжести расположен ниже оси вращения.

Возможно и такое положение равновесия, когда отклонения от него не приводит к каким-либо изменениям в состоянии тела. Таково, например, положение шарика на плоской опоре или линейки, подвешенной на стержне, проходящем через её центр тяжести. Такое равновесие называется безразличным.

Мы рассмотрели условие равновесия тел, имеющих точку опоры или ось опоры. Не менее важен случай, когда опора приходится не на точку (ось), а на некоторую поверхность.

Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии; когда вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, не выходит за пределы площади опоры этого тела. Различают те же случаи равновесия тела, что упоминались выше. Однако равновесие тела, имеющего площадь опоры, зависит не только от расстояния его центра тяжести от Земли, но и от расположения и размеров площади опоры этого тела. Для того, чтобы можно было одновременно учитывать и высоту центра тяжести тела над Землёй, и значение его площади опоры, было введено понятие угол устойчивости тела.

Углом устойчивости называют угол, образованный горизонтальной плоскостью и прямой, соединяющей центр тяжести тела с краем площади опоры. Как видно из рисунка 12, угол устойчивости уменьшается, если каким-либо способом центр тяжести тела понижают (например, делают нижнюю часть тела более массивной или часть тела зарывают в Землю, т.е. создают фундамент, а также увеличивают площадь опоры тела). Чем меньше угол устойчивости, тем устойчивее равновесие тела.

Вывод: для того чтобы какое-либо тело находилось в равновесии, необходимо одновременное выполнение двух условий: во-первых, векторная сумма всех приложенных к телу сил должна быть равна нулю и, во-вторых, нулю должна быть равна и алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил относительно произвольной неподвижной оси.

Определение

Равновесием тела называют такое состояние, когда любое ускорение тела равняется нулю, то есть все действия на тело сил и моментов сил уравновешены. При этом тело может:

• находиться в состоянии спокойствия;
• двигаться равномерно и прямолинейно;
• равномерно вращаться вокруг оси, которая проходит через центр его тяжести.

Условия равновесия тела

Если тело находится в равновесии, то одновременно выполняются два условия.

1. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулевому вектору : $\sum_n{{\overrightarrow{F}}_n}=\overrightarrow{0}$
2. Алгебраическая сумма всех моментов сил, действующих на тело, равна нулю: $\sum_n{M_n}=0$

Два условия равновесия являются необходимыми, но не являются достаточными. Приведем пример. Рассмотрим равномерно катящееся без проскальзывания колесо по горизонтальной поверхности. Оба условия равновесия выполняются, однако тело движется.

Рассмотрим случай, когда тело не вращается. Для того, чтобы тело не вращалось и находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на произвольную ось равнялась нулю, то есть равнодействующая сил. Тогда тело или находится в спокойствии, или двигается равномерно и прямолинейно.

Тело, которое имеет ось вращения, будет находиться в равновесном состоянии, если выполняется правило моментов сил: сумма моментов сил, которые вращают тело по часовой стрелке, должна равняться сумме моментов сил, которые вращают его против часовой стрелки.

Чтобы получить нужный момент при наименьшем усилии, нужно прикладывать силу как можно дальше от оси вращения, увеличивая тем же плечо силы и соответственно уменьшая значение силы. Примеры тел, которые имеют ось вращения, : рычаг, двери, блоки, коловорот и тому подобное.

Три вида равновесия тел, которые имеют точку опоры

1. стойкое равновесие, если тело, будучи выведенным из положения равновесия в соседнее ближайшее положение и оставлено в спокойствии, вернется в это положение;
2. неустойчивое равновесие, если тело, будучи выведенным из положения равновесия в соседнее положение и оставлено в спокойствии, будет еще больше отклоняться от этого положения;
3. безразличное равновесие - если тело, будучи выведенным в соседнее положение и оставлено в спокойствии, останется в новом своем положении.

Равновесие тела с закрепленной осью вращения

1. стойким, если в положении равновесия центр тяжести С занимает самое низкое положение из всех возможных ближних положений, а его потенциальная энергия будет иметь наименьшее значение из всех возможных значений в соседних положениях;
2. неустойчивым, если центр тяжести С занимает наивысший из всех ближних положений, а потенциальная энергия имеет наибольшее значение;
3. безразличным, если центр тяжести тела С во всех ближних возможных положениях находится на одном уровне, а потенциальная энергия при переходе тела, не изменяется.

Задача 1

Тело A массой m = 8 кг поставлено на шероховатую горизонтальную поверхность стола. К телу привязана нить, перекинутая через блок B (рисунок 1, а). Какой груз F можно подвязать к концу нити, свешивающейся с блока, чтобы не нарушить равновесия тела A? Коэффициент трения f = 0,4; трением на блоке пренебречь.

Определим вес тела ~A: ~G = mg = 8$\cdot $9,81 = 78,5 Н.

Считаем, что все силы приложены к телу A. Когда тело поставлено на горизонтальную поверхность, то на него действуют только две силы: вес G и противоположно направленная реакция опоры RA (рис. 1, б).

Если же приложить некоторую силу F, действующую вдоль горизонтальной поверхности, то реакция RA, уравновешивающая силы G и F, начнет отклоняться от вертикали, но тело A будет находиться в равновесии до тех пор, пока модуль силы F не превысит максимального значения силы трения Rf max, соответствующей предельному значению угла ${\mathbf \varphi }$o(рис. 1, в).

Разложив реакцию RA на две составляющие Rf max и Rn, получаем систему четырех сил, приложенных к одной точке (рис. 1, г). Спроецировав эту систему сил на оси x и y, получим два уравнения равновесия:

${\mathbf \Sigma }Fkx = 0, F - Rf max = 0$;

${\mathbf \Sigma }Fky = 0, Rn - G = 0$.

Решаем полученную систему уравнений: F = Rf max, но Rf max = f$\cdot $ Rn, а Rn = G, поэтому F = f$\cdot $ G = 0,4$\cdot $ 78,5 = 31,4 Н; m = F/g = 31,4/9,81 = 3,2 кг.

Ответ: Масса груза т = 3,2 кг

Задача 2

Система тел, изображённая на рис.2, находится в состоянии равновесия. Масса груза тг=6 кг. Угол между векторами $\widehat{{\overrightarrow{F}}_1{\overrightarrow{F}}_2}=60{}^\circ $. $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=F$. Найти массу гирь.

Равнодействующая сил ${\overrightarrow{F}}_1и\ {\overrightarrow{F}}_2$ равна по модулю весу груза и противоположна ему по направлению: $\overrightarrow{R}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2=\ -m\overrightarrow{g}$. По теореме косинусов, ${\left|\overrightarrow{R}\right|}^2={\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}^2+{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}^2+2\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|{cos \widehat{{\overrightarrow{F}}_1{\overrightarrow{F}}_2}\ }$.

Отсюда ${\left(mg\right)}^2=$; $F=\frac{mg}{\sqrt{2\left(1+{cos 60{}^\circ \ }\right)}}$;

Поскольку блоки подвижные, то $m_г=\frac{2F}{g}=\frac{2m}{\sqrt{2\left(1+\frac{1}{2}\right)}}=\frac{2\cdot 6}{\sqrt{3}}=6,93\ кг\ $

Ответ: масса каждой из гирь равна 6,93 кг