Расстояние как интеграл. А что по поводу начала и конца? Что это нам дало

Интеграл является одним из важнейших понятий математики. Понятие «интеграл» возникло в связи со следующими потребностями:

• отыскание функции по ее производной (например, нахождение функции пути по известной функции скорости);
• измерение различных характеристик объектов (например, площади плоской фигуры и т.д.).

Различают несколько видов интегралов: неопределенный, определенный и несобственный интегралы.

Интеграл: как вычислить?

Для вычисления большинства интегралов достаточно помнить таблицу интегралов, а также знать основные правила интегрирования. Основная часть таблицы, которая используется наиболее часто, содержит порядка 15 формул, правил интегрирования тоже не так много. Но если уж совсем плохо запоминается, то найти таблицу и правила можно в любом учебнике, в котором рассматривается данная тема.

Вычисление интеграла состоит из нескольких этапов:

1. приведение подынтегральной функции к сумме табличных функций;
2. разложение интеграла на сумму табличных интегралов;
3. вычисление каждого интеграла по отдельности;
4. формирование окончательного решения.

Это только поначалу кажется сложным, однако при наличии некоторого опыта по вычислению интегралов каждая пара этапов (1 и 2; 3 и 4) интуитивно объединяются в один этап.

При вычислении определенных интегралов основной является формула Ньютона-Лейбница, которую обязательно (!) нужно запомнить:

Между производной и неопределенным интегралом существует взаимосвязь, которую можно выразить следующими равенствами:

Следовательно, при умении находить производную функции всегда можно проверить правильность вычисления интеграла.

Приложение интеграла к решению задач

Область применения интегралов достаточно широка. Очень часто интегралы используются при решении задач по геометрии , биологии, механике , экономике и т.д.
В зависимости от того, какая задача решается, требуется вычислить либо определенный, либо неопределенный интеграл.
Самая простейшая задача на интегралы формулируется следующим образом: вычислить неопределенный (определенный) интеграл.

Пример . Вычислить определенный интеграл

Как правило, решение задач с интегралами выполняется с использованием некоторой формулы, будь то формула вычисления площади плоской фигуры, длины дуги или какая-то другая формула. Поэтому решение любой задачи с интегралами можно выполнить в три этапа:

• выбор формулы;
• определение пределов интегрирования (если используется определенный интеграл);
• непосредственное вычисление интеграла.

Приложение интеграла к решению задач в геометрии

Основными формулами при решении задач с интегралами по геометрии являются:

Пример . Вычислить объем тела вращения, образованного вращением кривой y = x 2 вокруг оси ОХ, x ∈ .

Решение . На первом этапе определяется используемая для решения задачи формула. В рассматриваемой задаче все сказано в условии «вычислить объем тела вращения». Следовательно, используем формулу .

Переходим ко второму этапу решения задачи. Пределы интегрирования также заданы условием задачи (x ∈ ), следовательно, остается только подставить все необходимое в формулу.

На третьем этапе необходимо вычислить полученный интеграл, который, кстати, является табличным интегралом.

Приложение интеграла к решению задач в механике

Основными формулами при решении задач с интегралами по механике являются:

— путь, пройденный телом

Пример . Тело движется со скоростью v(t) = t + 2 (м/с). Найти путь, который пройдет тело за 2 секунды после начала движения.

Решение . На первом этапе определяется необходимая для решения задачи формула. Из условия задачи видно, что используется формула

Пределы интегрирования также заданы условием задачи (t 1 = 0 — время начала движения; t 2 = 2 — время завершения движения), следовательно, остается только подставить все необходимое в формулу и вычислить полученный интеграл.

Примечание: при вычислении интеграл был приведен к сумме табличных интегралов.

Пример . Тело движется с ускорением 2 м/с 2 . Найти в общем виде функции, задающие изменение скорости и пройденный путь.

Решение . На первом этапе определяется используемая для решения задачи формула. Взаимосвязь между ускорением и скоростью аналогична взаимосвязи между скоростью и путем. Для определения зависимости пути от времени используется формула Для определения же зависимости скорости от времени формула .

В рассматриваемой задаче нет дополнительных условий, поэтому применяется неопределенный интеграл и пределы интегрирования не нужны.
Следовательно, решение задачи сводится к последовательному вычислению двух неопределенных интегралов:

Заключение

Как правило, задачи с интегралами в школьном курсе математики и даже в университете имеют вполне стандартную формулировку, а их решение сводится к выбору формулы, определению пределов интегрирования и вычислению составленного интеграла.

Учите теорию и решайте задачи! И помните, что мы всегда готовы помочь Вам.

Движения представляют собой пересечение изоповерхностей соответствующих интегралов движения. Например, построение Пуансо показывает, что без крутящего момента вращение твердого тела представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии), траекторию, которую трудно вывести и визуализировать. Поэтому, нахождение интегралов движения - важная цель в механике .

Методы нахождения интегралов движения

Существует несколько методов нахождения интегралов движения:

• Наиболее простой, но и наименее строгий метод заключается в интуитивном подходе, часто основанном на экспериментальных данных и последующего математического доказательства сохранения величины.

• Уравнение Гамильтона - Якоби предлагает строгий и прямой метод нахождения интегралов движения, особенно если гамильтониан принимает знакомую функциональную форму в ортогональных координатах .

• Другой подход заключается в сопоставлении сохраняющейся величины и какой-либо симметрии Лагранжиана . Теорема Нётер даёт систематический способ вывода таких величин из симметрий. Например, закон сохранения энергии является результатом того, что лагранжиан не изменяется относительно сдвига по времени, закон сохранения импульса эквивалентен инвариантности лагранжиана относительно сдвига начала координат в пространстве (трансляционная симметрия ) и закон сохранения момента импульса следует из изотропности пространства (лагранжиан не меняется при поворотах системы координат). Обратное тоже верно: каждая симметрия лагранжиана соответствует интегралу движения.

• Величина A сохраняется если она не зависит явным образом от времени и её скобки Пуассона с гамильтонианом системы равны нулю

Другой полезный результат известен как теорема Пуассона , в которой утверждается, что если есть два интеграла движения A и B то скобки Пуассона {A ,B } этих двух величин тоже является интегралом движения.

Система с n степенями свободы и n интегралами движения, такими, что скобки Пуассона любой пары интегралов равны нулю известна как полностью интегрируемая система. Такой набор интегралов движения, как говорят, находится в инволюции друг с другом.

В квантовой механике

Наблюдаемая величина Q сохраняется, если она коммутирует с гамильтонианом H , который не зависит явным образом от времени. Поэтому

где используется коммутационное соотношение

.

Вывод

Пусть имеется некоторая наблюдаемая Q , которая зависит от координаты, импульса и времени

Для вычисления производной по времени от среднего значения наблюдаемой Q используется правило дифференцирования произведения , и результат после некоторых манипуляций приведён ниже

В итоге получим

Отношение к квантовому хаосу и квантовой интегрируемости

В классической механике имеется теорема Лиувилля , согласно которой система, в которой число интегралов движения в инволюции совпадает с числом степеней свободы n , может быть полностью проинтегрирована (решена) методом разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Такая система является интегрируемой системой. Траектория такой системы в 2n -мерном фазовом пространстве может быть представлена в подходящих переменных (переменных действие-угол) как намотка на n -мерном торе. Системы, число интегралов в которой меньше числа степеней свободы, проявляет хаотическое поведение, то есть траектории в фазовом пространстве с близкими начальными условиями могут экспоненциально расходиться. При небольшой деформации интегрируемой системы в неинтегрируемую n -мерный тор в 2n -мерном фазовом пространстве разрушается («размывается»), превращаясь, например в странный аттрактор .

Квантовый аналог теоремы Лиувилля неизвестен, однако и в квантовом случае системы можно разделить на интегрируемые и неинтегрируемые. Под интегрируемыми в этом случае подразумевают системы, которые допускают точное решение, в смысле возможности найти все собственные значения и собственные функции гамильтониана в разумном виде. Известен квантовый аналог метода разделения переменных, однако его применение не столь универсально в классических случаях. Изветсные примеры показывают, что в квантовых интегрируемых системах, также как и в классических, имеется n интегралов движения, коммутирующих между собой. Однако наличие n интегралов движения, по-видимому, ещё не гарантирует квантовой интегрируемости. Задача квантования интегрируемых систем представляет собой поиск такой квантовой системы, которая допускала бы точное решение и давала бы данную классическую систему в классическом пределе. Имеются также примеры интегрируемых квантовых систем, не имеющих интегрируемых классических аналогов. Это происходит в том случае, если система может быть решена при специальных значениях параметров квантового гамильтониана , либо когда система не допускает классического описания (как, например, система спинов).

Все остальные квантовые системы проявляют в той или иной степени признаки квантового хаоса. Классические хаотические системы допускают квантование в том смысле, что может быть корректно определено их пространство состояний и гамильтониан, однако как и классические хаотические системы, так и квантовые, по-видимому, не допускают точного решения. Их можно исследовать приближёнными методами, такими как теория возмущений и вариационный метод, а также исследованы численно методами молекулярной динамики в классическом случае или численной диагонализации гамильтониана в квантовом случае.

См. также

Литература

• Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). - Prentice Hall, 2004. - ISBN ISBN 0-13-805326-X
• Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. Механика. - Издание 4-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 215 с. - («Теоретическая физика» , том I). - ISBN 5-02-013850-9
• Арнольд В. И. «Математические методы классической механики», из. 5-ое, М.:Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Интеграл движения" в других словарях:

интеграл движения - judėjimo integralas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. integral of motion vok. Bewegungsintegral, n rus. интеграл движения, m pranc. intégrale de mouvement, f … Fizikos terminų žodynas

Интеграл (см. также Первообразная, Численное интегрирование, Интегрирование по частям) математический оператор: Определённый интеграл Неопределённый интеграл различные определения интегралов: Интеграл расширение понятия суммы Интеграл Ито… … Википедия

Интеграл Коши Лагранжа интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений. Содержание 1 Варианты названия 2 Историческая справка … Википедия

Член в кинетическом уравнении Болъцмана, равный изменению ф ции распределения частиц (или квазичастиц) за единицу времени в элементе фазового объёма вследствие столкновений между ними; его наз. также оператором столкновений. И. с. равен (с… … Физическая энциклопедия

Одно из центральных понятий математич. анализа и всей математики, возникновение к рого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (напр., с задачей об отыскании закона движения материальной точки вдоль прямой по… … Математическая энциклопедия

Импульс (количество движения) аддитивный интеграл движения механической системы; соответствующий закон сохранения связан с фундаментальной симметрией однородностью пространства. Содержание 1 История появления термина 2 «Школьное» определение… … Википедия

Формулировка через интеграл по траеториям квантовой механики это описание квантовой теории, которое обобщает принцип действия классической механики. Оно замещает классическое обозначение одиночной, уникальной траектории для системы суммой, или… … Википедия

- (континуальный интеграл, интеграл по траекториям, фейнмановский интеграл по траекториям) запись или результат функционального интегрирования (интегрирования по траекториям). Находит наибольшее применение в квантовой физике (квантовой теории … Википедия

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

• обобщить и закрепить ключевые задачи по теме;
• научиться работать с теоретическими вопросами темы;
• научиться применять интеграл к решению физических задач.

План урока:

1. Схема решения задач на приложения определенного интеграла
2. Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении
3. Вычисление работы силы, произведенной при прямолинейном движении тела
4. Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины
5. Определение силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку

Тип урока: интегрированный.

Воспитательная работа: расширение кругозора и познавательной деятельности учащихся, развитие логического мышления и умения применять свои знания.

Техническое обеспечение: интерактивная доска. Компьютер и диск.

Приложение : «Рапсодия природы».

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Постановка цели урока

– Урок хотелось бы провести под девизом Готфрида Вильгельма Лейбница – немецкого философ а, логик а, математик а, физик а: «Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли».

III. Повторим основные понятия и ответим на вопросы:

– Скажите основное определение интеграла?
– Что вы знаете о интеграле (свойства, теоремы)?
– Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач с применением интеграла?

IV. Объяснение нового материала (рассмотрение теории):

1. Схема решения задач на приложения определенного интеграла

С помощью определенного интеграла можно решать различные задачи физики, механики и т. д., которые трудно или невозможно решить методами элементарной математики.

Так, понятие определенного интеграла применяется при решении задач на вычисление работы переменной силы, давления жидкости на вертикальную поверхность, пути, пройденного телом, имеющим переменную скорость, и ряд других.

Несмотря на разнообразие этих задач, они объединяются одной и той же схемой рассуждений при их решении. Искомая величина (путь, работа, давление и т. д.) соответствует некоторому промежутку изменения переменной величины, которая является переменной интегрирования. Эту переменную величину обозначают через Х, а промежуток ее изменения – через [а, b].

Отрезок разбивают на n равных частей, в каждой из которых можно пренебречь изменением переменной величины. Этого можно добиться при увеличении числа разбиений отрезка. На каждой такой части задачу решают по формулам для постоянных величин.

I = , где f(x) – данная по условиям задачи функция (сила, скорость и т. д.).

2. Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении

Как известно, путь, пройденный телом при равномерном движении за время t, вычисляется по формуле S = vt.

Если тело движется неравномерно в одном направлении и скорость его меняется в зависимости от времени t, т. е. v = f(t), то для нахождения пути, пройденного телом за время от до , разделим этот промежуток времени на n равных частей Δt. В каждой из таких частей скорость можно считать постоянной и равной значению скорости в конце этого промежутка. Тогда пройденный телом путь будет приблизительно равен сумме , т.е.

Если функция v(t) непрерывна, то

Итак,

3. Вычисление работы силы, произведенной при прямолинейном движении тела

Пусть тело под действием силы F движется по прямой s, а направление силы совпадает с направлением движения. Необходимо найти работу, произведенную силой F при перемещении тела из положения a в положение b .

Если сила F постоянна, то работа находится по формуле (произведение силы на длину пути).

Пусть на тело, движущееся по прямой Ох, действует сила F, которая изменяется в зависимости от пройденного пути, т. е. . Для того чтобы найти работу, совершаемую силой F на отрезке пути от а до b , разделим этот отрезок на n равных частей . Предположим, что на каждой части сила сохраняет постоянное значение

Составим интегральную сумму, которая приближенно равна значению произведенной работы:

т.е. работа, совершенная этой силой на участке от а до b, приближенно мала сумме:

Итак, работа переменной силы вычисляется по формуле:

4. Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины

Согласно закону Гука, сила F, необходимая для растяжения или сжатия пружины, пропорциональна величине растяжения или сжатия.

Пусть х – величина растяжения или сжатия пружины. Тогда , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойства пружины.

Работа на участке выразится формулой , а вся затраченная работа или . Если то погрешность величины работы стремится к нулю.

Для нахождения истинной величины работы следует перейти к пределу

5. Определение силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку

Из физики известно, что сила Р давления жидкости на горизонтально расположенную площадку S, глубина погружения которой равна h, определяется по формуле:

, где – плотность жидкости.

Выведем формулу для вычисления силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку произвольной формы, если ее верхний край погружен на глубину a, а нижний – на глубину b.

Так как различные части вертикальной пластинки находятся на разной глубине, то сила давления жидкости на них неодинаковa. Для вывода формулы нужно разделить пластинку на горизонтальных полос одинаковой высоты . Каждую полосу приближенно можно считать прямоугольником (рис.199).

По закону Паскаля сила давления жидкости на такую полосу равна силе движения жидкости на горизонтально расположенную пластинку той же площади, погруженной на ту же глубину.

Тогда согласно формуле (4) сила давления на полосу, находящуюся на расстоянии х от поверхности, составит , где – площадь полосы.

Составим интегральную сумму и найдем ее предел, равный силе давления жидкости на всю пластинку:

Если верхний край пластинки совпадает с поверхностью жидкости, то а=0 и формула (5) примет вид

Ширина каждой полосы зависит от формы пластинки и является функцией глубины х погружения данной полосы.

Для пластинки постоянной ширины формула (5) упрощается, т.к. эту постоянную можно вынести за знак интеграла:

V. Разбор задач по теме

1) Скорость движения материальной точки задается формулой = (4 м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4с от начала движения.

2) Скорость движения изменяется по закону м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.

3) Скорость движения тела задана уравнением м/с. Определить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Скорость движение тела равна нулю в момент начала его движения и остановки. Найдем момент остановки тела, для чего приравняем скорость нулю и решим уравнение относительно t; получим

Следовательно,

4) Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону м/с. Найти наибольшую высоту подъема.

Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх: 29,4–9,8t=0 (в момент наибольшего подъема скорость равна нулю); t = 3 с. Поэтому

5) Какую работу совершает сила в 10Н при растяжении пружины на 2 см?

По закону Гука сила F, растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины, т.е. F = kx. Используя условие, находим (Н/м), т.е. F = 500x. Получаем

6) Сила в 60Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20 см?

В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено? Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км/час, то замедляется, затем где-то останавливается у светофора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет vi, тогда по формуле Δs= v 1 \Δt можно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В результате мы получим много маленьких отрезков, которые в сумме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой скоростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или s - ∑vΔt, где греческая буква ∑ (сигма) означает суммирование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые моменты времени, скажем t i , умноженные на Δt:

причем каждый последующий момент t i+1 находится по правилу t i+1 =t + Δt. Но расстояние, полученное этим методом, не будет точным, поскольку скорость за время Δt все же изменяется. Выход из этого положения заключается в том, чтобы брать все меньшие и меньшие интервалы Δt, т. е. разбивать время движения на все большее число все меньших отрезков. В конце концов мы придем к следующему, теперь уже точному выражению для пройденного пути:

Математики придумали для этого предела, как и для дифференциала, специальный символ. Значок Δ превращается в d, напоминая о том, что интервал времени сколь угодно мал, а знак суммирования превращается в ∫ - искаженное большое S, первая буква латинского слова «Sumrna». Этот значок назван интегралом. Таким образом, мы пишем

где v(t) - скорость в момент t. Сама же операция суммирования этих членов называется интегрированием. Она противоположна операции дифференцирования в том смысле, что производная этого интеграла равна v(t), так что один оператор (d/dt) «уничтожает» другой (∫). Это дает возможность получать формулы для интегралов путем обращения формул для дифференциалов: интеграл от функции, стоящей в правой колонке табл.8.3, будет равен функции, стоящей в левой колонке. Дифференцируя все виды функций, вы сами можете составить таблицу интегралов.

Любая функция, заданная в аналитическом виде, т. е. выражающаяся через комбинацию известных нам функций, дифференцируется очень просто - вся операция выполняется чисто алгебраически, и в результате мы всегда получаем какую-то известную функцию. Однако интеграл не от всякой функции можно записать в аналитическом виде. Разумеется, для каждого частного интеграла всегда сначала пытаются найти такую функцию, которая, будучи продифференцирована, давала бы функцию, стоящую после знака интеграла (она называется подынтегральной). Однако это не всегда удается сделать. В таких случаях интеграл вычисляют просто суммированием, т. е. вычисляют суммы типа (8.6) со все меньшими и меньшими интервалами, пока не получат результат с достаточной точностью.