Понятие многочлена стандартный вид многочлена. Учимся приводить многочлены к стандартному виду

На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Приведение многочлена к стандартному виду. Типовые задачи

Напомним основное определение: многочлен - это сумма одночленов. Каждый одночлен, входящий в состав многочлена как слагаемое называется его членом. Например:

Двучлен;

Многочлен;

Двучлен;

Поскольку многочлен состоит из одночленов, то первое действие с многочленом следует отсюда - нужно привести все одночлены к стандартному виду. Напомним, что для этого нужно перемножить все численные множители - получить численный коэффициент, и перемножить соответствующие степени - получить буквенную часть. Кроме того, обратим внимание на теорему о произведении степеней: при умножении степеней показатели их складываются.

Рассмотрим важную операцию - приведение многочлена к стандартному виду. Пример:

Комментарий: чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести к стандартному виду все одночлены, входящие в его состав, после этого, если есть подобные одночлены - а это одночлены с одинаковой буквенной частью - выполнить действия с ними.

Итак, мы рассмотрели первую типовую задачу - приведение многочлена к стандартному виду.

Следующая типовая задача - вычисление конкретного значения многочлена при заданных численных значениях входящих в него переменных. Продолжим рассматривать предыдущий пример и зададим значения переменных:

Комментарий: напомним, что единица в любой натуральной степени равна единице, а ноль в любой натуральной степени равен нулю, кроме того, напомним, что при умножении любого числа на ноль получаем ноль.

Рассмотрим ряд примеров на типовые операции приведения многочлена к стандартному виду и вычисление его значения:

Пример 1 - привести к стандартному виду:

Комментарий: первое действие - приводим одночлены к стандартному виду, нужно привести первый, второй и шестой; второе действие - приводим подобные члены, то есть выполняем над ними заданные арифметические действия: первый складываем с пятым, второй с третьим, остальные переписываем без изменений, так как у них нет подобных.

Пример 2 - вычислить значение многочлена из примера 1 при заданных значениях переменных:

Комментарий: при вычислении следует вспомнить, что единица в любой натуральной степени это единица, при затруднении вычислений степеней двойки можно воспользоваться таблицей степеней.

Пример 3 - вместо звездочки поставить такой одночлен, чтобы результат не содержал переменной :

Комментарий: независимо от поставленной задачи, первое действие всегда одинаково - привести многочлен к стандартному виду. В нашем примере это действие сводится к приведению подобных членов. После этого следует еще раз внимательно прочитать условие и подумать, каким образом мы можем избавиться от одночлена . очевидно, что для этого нужно к нему прибавить такой же одночлен, но с противоположным знаком - . далее заменяем звездочку этим одночленом и убеждаемся в правильности нашего решения.

Мы сказали, что имеют место как многочлены стандартного вида, так и не стандартного. Там же мы отметили, что можно любой многочлен привести к стандартному виду . В этой статье мы для начала выясним, какой смысл несет в себе эта фраза. Дальше перечислим шаги, позволяющие преобразовать любой многочлен в стандартный вид. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров. Решения будем описывать очень подробно, чтобы разобраться со всеми нюансами, возникающими при приведении многочленов к стандартному виду.

Навигация по странице.

Что значит привести многочлен к стандартному виду?

Сначала нужно четко понимать, что понимают под приведением многочлена к стандартному виду. Разберемся с этим.

Многочлены, как и любые другие выражения, можно подвергать тождественным преобразованиям . В результате выполнения таких преобразований, получаются выражения, тождественно равные исходному выражению. Так выполнение определенных преобразований с многочленами не стандартного вида позволяют перейти к тождественно равным им многочленам, но записанным уже в стандартном виде. Такой переход и называют приведением многочлена к стандартному виду.

Итак, привести многочлен к стандартному виду – это значит заменить исходный многочлен тождественно равным ему многочленом стандартного вида, полученным из исходного путем проведения тождественных преобразований.

Как привести многочлен к стандартному виду?

Давайте поразмыслим, какие преобразования нам помогут привести многочлен к стандартному виду. Будем отталкиваться от определения многочлена стандартного вида.

По определению каждый член многочлена стандартного вида является одночленом стандартного вида , и многочлен стандартного вида не содержит подобных членов. В свою очередь многочлены, записанные в виде, отличном от стандартного, могут состоять из одночленов в не стандартном виде и могут содержать подобные члены. Отсюда логически вытекает следующее правило, объясняющее как привести многочлен к стандартному виду :

• сначала нужно привести к стандартному виду одночлены, из которых состоит исходный многочлен,
• после чего выполнить приведение подобных членов.

В итоге будет получен многочлен стандартного вида, так как все его члены будут записаны в стандартном виде, и он не будет содержать подобных членов.

Примеры, решения

Рассмотрим примеры приведения многочленов к стандартному виду. При решении будем выполнять шаги, продиктованные правилом из предыдущего пункта.

Здесь заметим, что иногда все члены многочлена сразу записаны в стандартном виде, в этом случае достаточно лишь привести подобные члены. Иногда после приведения членов многочлена к стандартному виду не оказывается подобных членов, следовательно, этап приведения подобных членов в этом случае опускается. В общем случае приходится делать и то и другое.

Пример.

Представьте многочлены в стандартном виде: 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 , 0,8+2·a 3 ·0,6−b·a·b 4 ·b 5 и .

Решение.

Все члены многочлена 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 записаны в стандартном виде, подобных членов он не имеет, следовательно, этот многочлен уже представлен в стандартном виде.

Переходим к следующему многочлену 0,8+2·a 3 ·0,6−b·a·b 4 ·b 5 . Его вид не является стандартным, о чем свидетельствуют члены 2·a 3 ·0,6 и −b·a·b 4 ·b 5 не стандартного вида. Представим его в стандартном виде.

На первом этапе приведения исходного многочлена к стандартному виду нам нужно представить в стандартном виде все его члены. Поэтому, приводим к стандартному виду одночлен 2·a 3 ·0,6 , имеем 2·a 3 ·0,6=1,2·a 3 , после чего – одночлен −b·a·b 4 ·b 5 , имеем −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10 . Таким образом, . В полученном многочлене все члены записаны в стандартном виде, более того очевидно, что в нем нет подобных членов. Следовательно, на этом завершено приведение исходного многочлена к стандартному виду.

Осталось представить в стандартном виде последний из заданных многочленов . После приведения всех его членов к стандартному виду он запишется как . В нем есть подобные члены, поэтому нужно провести приведение подобных членов :

Так исходный многочлен принял стандартный вид −x·y+1 .

Ответ:

5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 – уже в стандартном виде, 0,8+2·a 3 ·0,6−b·a·b 4 ·b 5 =0,8+1,2·a 3 −a·b 10 , .

Зачастую приведение многочлена к стандартному виду является лишь промежуточным этапом при ответе на поставленный вопрос задачи. Например, нахождение степени многочлена предполагает его предварительное представление в стандартном виде.

Пример.

Приведите многочлен к стандартному виду, укажите его степень и расположите члены по убывающим степеням переменной.

Решение.

Сначала приводим все члены многочлена к стандартному виду: .

Теперь приводим подобные члены:

Так мы привели исходный многочлен к стандартному виду, это нам позволяет определить степень многочлена , которая равна наибольшей степени входящих в него одночленов. Очевидно, она равна 5.

Осталось расположить члены многочлена по убывающим степеням переменных. Для этого нужно лишь переставить местами члены в полученном многочлене стандартного вида, учитывая требование. Наибольшую степень имеет член z 5 , степени членов , −0,5·z 2 и 11 равны соответственно 3 , 2 и 0 . Поэтому многочлен с расположенными по убывающим степеням переменной членами будет иметь вид .

Ответ:

Степень многочлена равна 5 , а после расположения его членов по убывающим степеням переменной он принимает вид .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

В изучении темы о многочленах отдельно стоит упомянуть о том, что многочлены встречаются как стандартного, так и не стандартного вида. При этом многочлен нестандартного вида можно привести к стандартному виду. Собственно, этот вопрос и будем разбирать в данной статье. Закрепим разъяснения примерами с подробным пошаговым описанием.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Смысл приведения многочлена к стандартному виду

Немного углубимся в само понятие, действие – «приведение многочлена к стандартному виду».

Многочлены, подобно любым другим выражениям, возможно тождественно преобразовывать. Как итог, мы получаем в таком случае выражения, которые тождественно равны исходному выражению.

Определение 1

Привести многочлен к стандартному виду – означает замену исходного многочлена на равный ему многочлен стандартного вида, полученный из исходного многочлена при помощи тождественных преобразований.

Способ приведения многочлена к стандартному виду

Порассуждаем на тему того, какие именно тождественные преобразования приведут многочлен к стандартному виду.

Определение 2

Согласно определению, каждый многочлен стандартного вида состоит из одночленов стандартного вида и не имеет в своем составе подобных членов. Многочлен же нестандартного вида может включать в себя одночлены нестандартного вида и подобные члены. Из сказанного закономерно выводится правило, говорящее о том, как привести многочлен к стандартному виду:

• в первую очередь к стандартному виду приводятся одночлены, составляющие заданный многочлен;
• затем производится приведение подобных членов.

Примеры и решения

Разберем подробно примеры, в которых приведем многочлен к стандартному виду. Следовать будем правилу, выведенному выше.

Отметим, что иногда члены многочлена в исходном состоянии уже имеют стандартный вид, и остается только привести подобные члены. Случается, что после первого шага действий не оказывается подобных членов, тогда второй шаг пропускаем. В общих случаях необходимо совершать оба действия из правила выше.

Пример 1

Заданы многочлены:

5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 ,

0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 ,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Необходимо привести их к стандартному виду.

Решение

рассмотрим сначала многочлен 5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 : его члены имеют стандартный вид, подобные члены отсутствуют, значит многочлен задан в стандартном виде, и никаких дополнительных действий не требуется.

Теперь разберем многочлен 0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 . В его состав входят нестандартные одночлены: 2 · a 3 · 0 , 6 и − b · a · b 4 · b 5 , т.е. имеем необходимость привести многочлен к стандартному виду, для чего первым действием преобразуем одночлены в стандартный вид:

2 · a 3 · 0 , 6 = 1 , 2 · a 3 ;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , таким образом получаем следующий многочлен:

0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0 , 8 + 1 , 2 · a 3 − a · b 10 .

В полученном многочлене все члены – стандартные, подобных членов не имеется, значит наши действия по приведению многочлена к стандартному виду завершены.

Рассмотрим третий заданный многочлен: 2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8

Приведем его члены к стандартному виду и получим:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Мы видим, что в составе многочлена имеются подобные члены, произведем приведение подобных членов:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = = 2 3 7 · x 2 - 1 6 7 · x 2 - 4 7 · x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 0 - x · y + 1 = x · y + 1

Таким образом, заданный многочлен 2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 принял стандартный вид − x · y + 1 .

Ответ:

5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 - многочлен задан стандартным;

0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0 , 8 + 1 , 2 · a 3 − a · b 10 ;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

Во многих задачах действие приведения многочлена к стандартному виду – промежуточное при поиске ответа на заданный вопрос. Рассмотрим и такой пример.

Пример 2

Задан многочлен 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 . 5 · z 2 + z 3 . Необходимо привести его к с стандартному виду, указать его степень и расположить члены заданного многочлена по убывающим степеням переменной.

Решение

Приведем члены заданного многочлена к стандартному виду:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

Следующим шагом приведем подобные члены:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 · z 3 + z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2 = = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2

Мы получили многочлен стандартного вида, что дает нам возможность обозначить степень многочлена (равна наибольшей степени составляющих его одночленов). Очевидно, что искомая степень равна 5 .

Остается только расположить члены по убывающим степеням переменных. С этой целью мы просто переставим местами члены в полученном многочлене стандартного вида с учетом требования. Таким образом, получим:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

Ответ:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 , 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0 , 5 · z 2 , при этом степень многочлена – 5 ; в результате расположения членов многочлена по убывающим степеням переменных многочлен примет вид: z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Урок на тему: "Понятие и определение многочлена. Стандартный вид многочлена"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие по учебнику Ю.Н. Макарычева
Электронное учебное пособие по учебнику Ш.А. Алимова

Ребята, вы уже изучали одночлены в теме: Стандартный вид одночлена. Определения. Примеры. Давайте повторим основные определения.

Одночлен – выражение, состоящие из произведения чисел и переменных. Переменные могут быть возведены в натуральную степень. Одночлен не содержит ни каких других действий, кроме умножения.

Стандартный вид одночлена – такой вид, когда на первом месте стоит коэффициент (числовой множитель), а за ним степени различных переменных.

Подобные одночлены – это либо одинаковые одночлены, либо одночлены, которые отличаются друг от друга на коэффициент.

Понятие многочлена

Многочлен, как и одночлен, - это обобщенное название математических выражений определенного вида. Мы уже сталкивались с такими обобщениями ранее. Например, "сумма", "произведение", "возведение в степень". Когда мы слышим "разность чисел", нам и в голову не придет мысль об умножении или делении. Также и многочлен - это выражение строго определенного вида.

Определение многочлена

Многочлен - это сумма одночленов.

Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена . Если слагаемых два, то мы имеем дело с двучленом, еcли три, то с трехчленом. Если слагаемых больше говорят - многочлен.

Примеры многочленов.

1) 2аb + 4сd (двучлен);

2) 4аb + 3сd + 4x (трехчлен);

3) 4а 2 b 4 + 4с 8 d 9 + 2xу 3 ;

3с 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xу - 5xy 2 .

Посмотрим внимательно на последние выражение. По определению, многочлен это - сумма одночленов, но в последнем примере мы не только складываем, но и вычитаем одночлены.
Чтобы внести ясность рассмотрим небольшой пример.

Запишем выражение а + b - с (договоримся, что а ≥ 0, b ≥ 0 и с ≥0 ) и ответим на вопрос: это сумма или разность? Сложно сказать.
Действительно, если переписать выражение, как а + b + (-с) , мы получим сумму двух положительных и одного отрицательного слагаемых.
Если посмотреть на наш пример, то мы имеем дело именно с суммой одночленов с коэффициентами: 3, - 2, 7, -5. В математике есть термин "алгебраическая сумма". Таким образом, в определении многочлена имеется в виду "алгебраическая сумма".

А вот запись вида 3а: b + 7с многочленом не является потому, что 3а: b не является одночленом.
Не является многочленом и запись вида 3b + 2а * (с 2 + d), так как 2а * (с 2 + d) - не одночлен. Если раскрыть скобки, то полученное выражение будет являться многочленом.
3b + 2а * (с 2 + d) = 3b + 2ас 2 + 2аd.

Степенью многочлена является наивысшая степень его членов.
Многочлен а 3 b 2 +а 4 имеет пятую степень, так как степень одночлена а 3 b 2 равна 2 + 3= 5, а степень одночлена а 4 равна 4.

Стандартный вид многочлена

Многочлен, не имеющий подобных членов и записанный в порядке убывания степеней членов многочлена, является многочленом стандартного вида.

Многочлен приводят к стандартному виду, что бы убрать излишнюю громоздкость написания и упростить дальнейшие действия с ним.

Действительно, зачем к примеру писать длинное выражение 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2а 2 + а 2 + 4 + 4, когда его можно записать короче 9b 2 + 3а 2 + 8 .

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо:
1. привести все его члены к стандартному виду,
2. сложить подобные (одинаковые или с разным числовым коэффициентом) члены. Данная процедура часто называется приведением подобных .

Пример.
Привести многочлен аba + 2у 2 х 4 х + у 2 х 3 х 2 + 4 + 10а 2 b + 10 к стандартному виду.

Решение.

а 2 b + 2 х 5 у 2 + х 5 у 2 + 10а 2 b + 14= 11а 2 b + 3 х 5 у 2 + 14.

Определим степени одночленов, входящих в состав выражения, и расставим их в порядке убывания.
11а 2 b имеет третью степень, 3 х 5 у 2 имеет седьмую степень, 14 – нулевую степень.
Значит, на первое место мы поставим 3 х 5 у 2 (7 степень), на второе - 12а 2 b (3 степень) и на третье - 14 (нулевая степень).
В итоге получим многочлен стандартного вида 3х 5 у 2 + 11а 2 b + 14.

Примеры для самостоятельного решения

Привести к стандартному виду многочлены.

1) 4b 3 аa - 5х 2 у + 6ас - 2b 3 а 2 - 56 + ас + х 2 у + 50 * (2 а 2 b 3 - 4х 2 у + 7ас - 6);

2) 6а 5 b + 3х 2 у + 45 + х 2 у + аb - 40 * (6а 5 b + 4ху + аb + 5);

3) 4ах 2 + 5bс - 6а - 24bс + хаx 4 x (5ах 6 - 19bс - 6а);

4) 7аbс 2 + 5асbс + 7аb 2 - 6bаb + 2саbс (14аbс 2 + аb 2).

Понятие многочлена

Определение многочлена: многочлен - это сумма одночленов. Пример многочлена:

здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.

Слагаемые, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена.

Является ли разность одночленов многочленом? Да, является, ведь разность легко приводится к сумме, пример: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Одночлены тоже считают многочленами. Но в одночлене нет суммы, тогда почему его считают многочленом? А к нему можно прибавить ноль и получить его сумму с нулевым одночленом. Итак, одночлен - это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.

Число ноль - это нулевой многочлен.

Стандартный вид многочлена

Что такое многочлен стандартного вида? Многочлен есть сумма одночленов и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записаны в стандартном виде, кроме того среди них не должно быть подобных, тогда многочлен записан в стандартном виде.

Пример многочлена в стандартном виде:

здесь многочлен состоит из 2-х одночленов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.

Теперь пример многочлена, который не имеет стандартный вид:

здесь два одночлена: 2a и 4a являются подобными. Надо их сложить, тогда многочлен получит стандартный вид:

Ещё пример:

Этот многочлен приведен к стандартному виду? Нет, у него второй член не записан в стандартом виде. Записав его в стандартном виде, получаем многочлен стандартного вида:

Степень многочлена

Что такое степень многочлена?

Степень многочлена определение:

Степень многочлена - наибольшая степень, которую имеют одночлены, составляющие данный многочлен стандартного вида.

Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень многочлена 5h равна одному, ведь в этот многочлен входит всего один одночлен и степень его равна одному.

Другой пример. Какова степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 +1? Степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 + 1 равна девяти, ведь в этот многочлен входят два одночлена, наибольшую степень имеет первый одночлен 5a 2 h 3 s 4 , а его степень равна 9-ти.

Ещё пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.

Последний пример. Какова степень нулевого многочлена, т.е. нуля? Степень нулевого многочлена не определена.