Понятие диполя. Электрические диполи

Диполь есть система, состоящая из двух равных по модулю и противоположных по знаку зарядов. Вектор I, проведенный от отрицательного к положительному заряду, называется плечом диполя.

Электрический момент диполя

где – заряд диполя.

Электрический дипольный момент молекулы принято выражать в единицах атомного масштаба – дебай (D) = 3,33∙10 -30 Кл∙м.

Диполь называется точечным, если расстояние rот центра диполя до точки, в которой рассматривается действие диполя, много больше плеча диполя.

Напряженность поля точечного диполя:

а) на оси диполя

, или
;

б) на перпендикуляре к оси диполя

, или
;

в) в общем случае

, или
,

где
─ угол между радиусом-векторомrи электрическим дипольным моментомр (рис. 2.1).

Потенциал поля диполя

.

Потенциальная энергия диполя в электростатическом поле

Механический момент, действующий на диполь с электрическим дипольным моментом , помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью,

или
,

где
– угол между направлением векторови.

Сила F, действующая на диполь в неоднородном электростатическом поле, обладающем осевой (вдоль осих) симметрией,

,

где ─ величина, характеризующая степень неоднородности электростатического поля вдоль оси х;– угол между векторамии.

Примеры решения задач

Пример 1. Диполь с электрическим моментом

. Вектор электрического моментасоставляет угол
с направлением силовых линий поля. Определить работуA внешних сил, совершенную при повороте диполя на угол
.

Решение . Из исходного положения (рис. 2.2, а ) диполь можно повернуть на угол
, вращая его по часовой стрелкедо угла (рис. 2.2, б ), или против часовой стрелки до угла (рис. 2.2,в ).

В первом случае диполь будет поворачиваться под действием сил поля. Следовательно, работа внешних сил при этом отрицательна. Во втором случае поворот может быть произведен только под действием внешних сил и работа внешних сил при этом положительна.

Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислить двумя способами: 1) непосредственно интегрированием выражения элементарной работы; 2) с помощью соотношения между работой и изменением потенциальной энергии диполя в электрическом поле.

а б в

1-й способ . Элементарная работа при повороте диполя на угол
:

а полная работа при повороте на угол от до
:

.

Произведя интегрирование, получим

Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке

против часовой стрелки

2-й способ . Работа А внешних сил связана с изменением потенциальной энергии
соотношением

,

где
─ потенциальные энергии системы соответственно в начальном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой
,то

что совпадает с формулой (2.1), полученной первым способом.

Пример 2. Три точечных заряда ,
,
, образуют электрически нейтральную систему, причем
. Заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника. Определить максимальные значения напряженности
и потенциала
поля, создаваемого этой системой зарядов, на расстоянии
от центра треугольника, длина стороны которого
.

Решение. Нейтральную систему, состоящую из трех точечных зарядов, можно представить в виде диполя. Действительно, «центр тяжести» зарядов и
лежит на середине отрезка прямой, соединяющей эти заряды (рис. 2.3). В этой точке можно считать сосредоточенным заряд
. А так как система зарядов нейтральная (
), то

Так как расстояние между зарядами Q 3 и Q много меньше расстояния r (рис. 2.4), то систему этих двух зарядов можно считать диполем с электрическим моментом
,где
─ плечо диполя. Электрическиймомент диполя

.

Тот же результат можно получить другим способом. Систему из трех зарядов представим как два диполя с электрическими моментами (рис. 2.5), равными по модулю:
;
. Электрический момент системы зарядов найдем как векторную суммуи, и
.Как это следует из рис. 2.5, имеем
.Так как

,то

,

что совпадает с найденным ранее значением.

Напряженность и потенциалполя диполя выражаются формулами

;
,

где
─ угол между радиусом-вектороми электрическим дипольным моментом (рис. 2.1).

Напряженность и потенциал будут иметь максимальные значения при
= 0, следовательно,

;
.

Так как
,то

;
.

Вычисления дают следующие значения:

;
.

Задачи

201. Вычислить электрический момент р диполя, если его заряд
,
. (Ответ:50 нКл∙м).

202. Расстояние между зарядами
и
диполя равно 12 см. Найти напряженность Е и потенциалполя, созданного диполем в точке, удаленной на
как от первого, так и от второго заряда.(Ответ:
;
).

203. Диполь с электрическим моментом
образован двумя точечными зарядами
и
. Найти напряженностьE и потенциал электрического поля в точкеA (рис. 2.6), находящейся на расстоянии
от центра диполя. (Ответ:
;
).

204. Электрический момент диполя
поля, созданного в точкеA (рис. 2.6), находящейся на расстоянии
от центра диполя. (Ответ:
;
).

205. Определить напряженность E и потенциал
на расстоянии

с вектором электрического момента.(Ответ:
;
).

206. Диполь с электрическим моментом
равномерно вращается с частотой
относительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Точка С находится на расстоянии
от центра диполя и лежит в плоскости вращения диполя. Вывести закон изменения потенциала как функцию времени в точке С. Принять, что в начальный момент времени потенциал в точке С
. Построить график зависимости
. (Ответ:
;
;
).

207. Диполь с электрическим моментом

относительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Определить среднюю потенциальную энергию
заряда
, находящегося на расстоянии
и лежащего в плоскости вращения, завремя, равное полупериоду (от
до
). В начальный момент времени считать
. (Ответ:).

208. Два диполя с электрическими моментами
и
находятся на расстоянии
друг от друга. Найти силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на одной прямой. (Ответ:
).

209. Два диполя с электрическими моментами
и
находятся на расстоянии
друг от друга, так что оси диполей лежат на одной прямой. Вычислить взаимную потенциальную энергию диполей, соответствующую их устойчивому равновесию. (Ответ:
).

210. Диполь с электрическим моментом
прикреплен к упругой нити (рис. 2.7). Когда в пространстве, где находится диполь, было создано электрическое поле напряженностью
, перпендикулярно плечу диполя и нити, диполь повернулся на угол
. Определить момент силы М, который вызывает закручивание нити на 1 рад. (Ответ:
).

211. Диполь с электрическим моментом
прикреплен к упругой нити (рис. 2.7). Когда в пространстве, где находится диполь, было создано электрическое поленапряженностью
, перпендикулярно плечу диполя и нити, диполь повернулся на малый угол
. Определить момент силы М, который вызывает закручивание нити на 1 рад. (Ответ: ).

212. Диполь с электрическим моментом
находится в однородном электрическом поле напряженностью
. Вектор электрического момента составляет угол
с линиями поля. Какова потенциальная энергия П поля? Считать
, когда вектор электрического момента диполя перпендикулярен линиям поля. (Ответ: ).

213. Диполь с электрическим моментом
свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью

. (Ответ: ).

214. Диполь с электрическим моментом



. (Ответ: ).

215. Перпендикулярно плечу диполя с электрическим моментом
возбуждено однородное электрическое поле напряженностью
. Под действием сил поля диполь начинает поворачиваться относительно оси, проходящей через его центр. Найти угловую скорость
диполя в момент прохождения им положения равновесия. Момент инерции диполя относительно оси, перпендикулярной плечу ипроходящей через его центр. (Ответ:
;
).

216. Диполь с электрическим моментом
свободно установился в однородном электрическом поле напряженностью
. Диполь повернули на малый угол и предоставили самому себе. Определить частоту собственных колебаний диполя в электрическом поле. Момент инерции диполя относительно оси, проходящей через его центр
. (Ответ:
).

217. Диполь с электрическим моментом
находится в неоднородном электрическом поле. Степень неоднородности поля характеризуется величиной
, взятой в направлении оси диполя. Вычислить силуF, действующую на диполь в этом направлении. (Ответ: ).

218. Диполь с электрическим моментом
установился вдоль силовой линии в поле точечного заряда
на расстоянии
от него. Определить для этой точки величину
, характеризующую степень неоднородности поля в направлении силовой линии и силуF, действующую на диполь. (Ответ:
;
).

219. Диполь с электрическим моментом
установился вдоль силовой линии в поле, созданном бесконечной прямой нитью, заряженной бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью
на расстоянии
от нее. Определить в этой точке величину
, характеризующую степень неоднородности поля в направлении силовой линии и силуF, действующую на диполь.(Ответ:
;
).

220. Диполь с электрическим моментом
образован двумя точечными зарядами
и
. Найти напряженность Е и потенциалэлектрического поля в точке В (рис. 2.6), находящихся на расстоянии
от центра диполя. (Ответ:
;
).

221. Электрический момент диполя
. Определить напряженность Е и потенциалполя, созданного в точке В (рис. 3.6), находящейся на расстоянии
от центра диполя. (Ответ:
;
).

222. Определить напряженность Е и потенциал поля, создаваемого диполем с электрическим моментом
на расстоянии
от центра диполя, в направлении, составляющем угол
с вектором электрического момента. (Ответ:
;
).

223. Диполь с электрическим моментом
равномерно вращается с угловой скоростью
относительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Определить среднюю потенциальную энергию
заряда
, находящегося на расстоянии
и лежащего в плоскости вращения, в течение времени
.В начальный момент времени считать
. (Ответ:
).

224. Диполь с электрическим моментом
свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью
. Вычислить работу А, необходимую для того, чтобы повернуть диполь на угол
. (Ответ:
).

225. Диполь с электрическим моментом
свободно установился в однородном электрическом поле напряженностью
. Определить изменение потенциальной энергии
диполя при повороте его на угол
. (Ответ: ).

226. Молекула HF обладает электрическим моментом
. Межъядерное расстояние
. Найти заряд такого диполя и объяснить, почему найденное значениесущественно отличается от значения элементарного заряда
. (Ответ:
).

227. Точечный заряд
находится на расстоянии

. Определить потенциальную энергию П и силуF их взаимодействия в случае, когда точечный заряд находится на оси диполя. (Ответ:
;
).

228. Точечный заряд
находится на расстоянии
от точечного диполя с электрическим моментом
. Определить потенциальную энергию П и силуF их взаимодействия в случае, когда точечный заряд находится на перпендикуляре к оси диполя. (Ответ:
;
).

229. Два диполя (рис. 2.8) с электрическими моментами
находятся на расстоянии
друг от друга (
─ плечо диполя). Определить потенциальную энергию П взаимодействия диполей. (Ответ:
).

230. Два одинаково ориентированных диполя (рис. 2.9) с электрическими моментами
находятся на расстоянии
друг от друга (
─ плечо диполя). Определить потенциальную энергию П и силуF взаимодействия диполей. (Ответ:
;
).

Прежде чем перейти к разговору о диэлектриках остановимся кратко на поведении так называемых «диполей» в электрическом поле. Ведь именно электрические диполи, как мы увидим ниже, играют определяющую роль в анализе поведения электрического поля в диэлектрических средах.

(Опр .) Электрическим диполем называется система, состоящая из двух одинаковых по модулю и противоположных по знаку точечных зарядов q жёстко связанных друг с другом и находящихся на расстоянии l друг от друга.

Основной характеристикой диполя является его «дипольный момент»:

где вектор , проведённый от отрицательного заряда к положительному, называется «плечом» диполя (см. рис. 5.1).

+

Электрические системы, которые можно описать моделью диполя, довольно многообразны. На макроскопическом уровне это могут быть небольшие наэлектризованные диэлектрические тела, например, такие как используемые при «визуализации» структуры электрического поля – при построении картины силовых линий (см. п. 8.4). Продолговатое металлическое тело, к которому поднесли заряд – см. рис. 5.2. Нас же в дальнейшем в основном будут интересовать диполи микроскопических размеров. Это так называемые «элементарные диполи», модель которых часто применяется для описания электрического поведения отдельных атомов или молекул вещества. Действительно, хотя такие, например, молекулы как H 2 O, HCl и NH 3 , как и любые молекулы в целом электронейтральны, положительные и отрицательные заряды в них пространственно смещены друг относительно друга. Эти молекулы обладают значительным дипольным моментом. Впоследствии мы увидим, что и другие, т.н. «неполярные», молекулы способны приобретать дипольный момент при определённых условиях. Чтобы перейти впоследствии к обсуждению свойств электрического поля в диэлектрических средах сейчас наша задача понять, как ведёт себя электрический диполь во внешнем электрическом поле*).

· Однородное поле . Начнём со случая однородного поля. Поскольку напряжённость такого поля одинакова во всех точках пространства, действующие на точечные заряды диполя q и -q силы и равны по величине и противоположны по направлению – результирующая сила равна нулю. Однако отличен от нуля момент этих сил , если только диполь не располагается вдоль силовых линий поля (a ¹ 0, см. рис. 5.3)! Определим этот момент. Для начала запишем, чему равен момент сил относительно оси перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через отрицательный заряд диполя:

N = F (+) ·l· sina = qE·l· sina = pE· sina

Можно показать, что этот результат не зависит от положения оси, перпендикулярной плоскости рисунка. А можно и написать, чему равен вектор момента силы:

Итак, мы видим, что однородное электрическое поле оказывает на диполь ориентирующее действие, стремясь повернуть диполь по направлению поля.

· Неоднородное поле . В неоднородном поле помимо вращающего момента уже не равна нулю и сила, действующая на диполь. Чтобы найти эту силу будем для начала считать, что поле изменяется лишь в одном направлении. Направим по этому направлению координатную ось ОХ (см. рис. 5.4). Сложим векторы сил, действующих на каждый из точечных зарядов диполя:

Здесь Е (+) и Е (-) – напряжённость поля в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов диполя соответственно. Глядя на рисунок, легко заметить, что один заряд диполя смещён относительно другого вдоль оси ОХ на расстояние dx , равное l ·cosa . Поэтому результирующую силу, действующую на диполь можно записать также в виде:

Знак проекции силы определяется, таким образом, знаком производной модуля напряжённости по координате и его ориентацией относительно поля (углом a ):

(5.3)

Пусть угол a не превышает 90°. Забегая несколько вперёд, скажем, что это соответствует ориентации большинства элементарных диполей «поляризованной» диэлектрической среды, поскольку поле оказывает на диполи «ориентирующее воздействие» – мы будем говорить, что дипольные микрочастицы среды сориентированы «преимущественно по полю». Если поле убывает в направлении оси ОХ (случай рис. 5.4), то, как нетрудно сообразить, знак проекции F x отрицателен (ведь «приращение» DЕ в этом направлении отрицательно). Это значит, что отрицателен и знак проекции силы – т.е. сила направлена против оси ОХ . Наоборот, если поле вдоль оси ОХ нарастает, то знак проекции положителен. В обоих случаях диполи втягиваются в область поля с большей напряжённостью !

В общем случае поле может изменяться при смещении в произвольном направлении, а его приращение равно

А результат для действующей на диполь силы можно обобщить так:

(5.4а)

Хотя его вид существенно усложнился, общий вывод остаётся тем же: «ориентированные по полю» (т.е. угол a < 90°) диполи втягиваются в область поля с большей напряжённостью . Именно так ведёт себя жидкий парамагнитный диэлектрик, например, керосин – он втягивается в зазор между пластинами заряженного конденсатора.

· Энергия диполя

Какова энергия взаимодействия диполя с электрическим полем? Проще всего подсчитать эту энергию, используя наше знание энергии взаимодействия с полем точечных зарядов, из которых состоит диполь:

где j (+) и j (-) – потенциалы точек поля, где располагаются положительный и отрицательный точечные заряды диполя соответственно. Пусть, опять-таки, поле изменяется лишь в одном направлении – вдоль оси ОХ . Разность потенциалов в скобках, с учётом того, что мы имеем дело с «элементарным» диполем, может быть представлена так:

Учтём теперь связь между напряжённостью и потенциалом: Энергию диполя можно теперь записать в виде:

(5.5)

Хотя мы предполагали, что поле меняется лишь в одном направлении (ОХ ), полученный результат справедлив для любого электрического поля. В этом случае a – угол между векторами и , а выражении для потенциальной энергии удобно представить в виде скалярного произведения этих векторов: . Обратите внимание, что полученный нами ранее результат (5.3) для силы, действующей на элементарный диполь со стороны неоднородного электрического поля, легко может быть получен теперь, и с использованием известного из механики общего соотношения между силой и потенциальной энергией: . Для отдельной проекции силы:

.

ДИПОЛЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ, в простейшем случае система из двух равных по величине и противоположных по знаку точечных электрических зарядов, находящихся на некотором расстоянии l друг от друга. Основной характеристикой диполя электрического является дипольный момент р - вектор, направленный от отрицательного заряда -q к положительному +q и численно равный произведению ql. В случае произвольной системы точечных зарядов дипольный момент получается суммированием по всем зарядам произведений заряда на его радиус-вектор. Если система электронейтральна, т. е. её суммарный электрический заряд равен нулю, то дипольный момент не зависит от того, в какой точке пространства помещено начало отсчёта системы координат. В этом случае отличие дипольного момента от нуля указывает на то, что заряды в системе распределены несферически-симметрично: есть области пространства с преобладанием отрицательных зарядов и области пространства с преобладанием положительных зарядов. Когда система зарядов не электронейтральна, электрический дипольный момент зависит от выбора начала отсчёта системы координат и уже не служит показателем меры отклонения распределения зарядов от сферически-симметричного. В этом случае существует точка пространства, поместив в которую начало отсчёта системы координат, можно обратить в нуль электрический дипольный момент, это так называемый центр заряда.

Поле диполя электрического на расстояниях, больших по сравнению с линейными размерами занятой зарядами области, с ростом расстояния R убывает обратно пропорционально R 3 . В специально выбранных координатах компоненты напряжённости поля Е вдоль оси диполя электрического (Е р) и в перпендикулярном направлении (Е ⊥) (рис.) пропорциональны р и в гауссовой системе единиц равны:

где ϑ - угол между р и радиус-вектором R.

Во внешнем электрическом поле на диполь электрический действует вращательный момент сил, стремящийся повернуть вектор дипольного момента вдоль вектора внешнего поля. Если внешнее поле неоднородно, т. е. его напряжённость различна в разных точках системы зарядов, то на диполь действует ещё и сила, стремящаяся переместить его в область более сильного поля. Действие внешнего электрического поля на диполь также пропорционально р. Многие молекулы имеют отличный от нуля электрический дипольный момент. Именно в результате взаимодействия дипольных моментов молекул вещества и образуются молекулярные кристаллы.

Во многих случаях диполь электрический является хорошим приближением для описания любой электронейтральной в целом системы на расстояниях, значительно превышающих размеры системы. Например, полярные молекулы можно приближённо рассматривать как диполь электрический. Атомы, неполярные молекулы и ионы в электрическом поле приобретают дипольный момент, так как составляющие их частицы несколько смещаются под действием внешнего поля.

Диполь электрический с изменяющимся во времени дипольным моментом излучает электромагнитные волны (смотри Дипольное излучение).

Лит.: Тамм И. Е. Основы теории электричества. 10-е изд. М., 1989.

УДК 612.014.421 (075.8)

ББК 28.707.1 я 73

Утверждено Научно-методическим советом университета в качестве
учебно-методического пособия 29.11.2006 г., протокол № 3

Рецензенты: зав. каф. гистологии, цитологии и эмбриологии Белорусского государственного медицинского университета, проф. Б. А. Слука; ст. науч. сотр. Белорусского национального технического университета, доц. Г. И. Олефир

Лещенко, В. Г.

Л 54 Электрические поля биотканей и методы их регистрации: учеб.-метод. пособие / В. Г. Лещенко. – Минск: БГМУ. 2007. – 19 с.

ISBN 978–985–462–678–9.

Рассматриваются основные характеристики электрических полей, образующихся точечными зарядами и простейшей электронейтральной системой - диполем, а также методы описания и регистрации электрических полей, создаваемых органами и тканями человека. Достаточно подробно рассмотрено формирование электрокардиограммы и способы ее регистрации.

Предназначено для студентов всех факультетов.

УДК 612.014.421 (075.8)

ББК 28.707.1 я 73

ISBN 978–985–462–678–9 © Оформление. Белорусский государственный

медицинский университет, 2007

1. Электрическое поле и его основные характеристики

Все тела в природе состоят из атомов, которые, в свою очередь, состоят из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов. Именно электростатические силы притяжения удерживают атомы и молекулы в устойчивом состоянии. Электрические взаимодействия определяют физическое и химическое строение атомов и молекул, свойства твердых тел, газов, жидкостей и биологических структур. Знание законов взаимодействия электрических зарядов между собой и с внешними электрическими полями необходимо для понимания процессов формирования электрических полей органов и тканей, методов регистрации и механизмов воздействия внешних электрических полей на биологические объекты.

В природе известны два вида электрических зарядов, которые были условно названы положительными и отрицательными. В международной системе (СИ) единицей электрического заряда является 1 Кулон (Кл) - это заряд, который проходит за 1 секунду через поперечное сечение проводника при токе в 1 Ампер (А): 1 Кл = 1А·1 с. Наименьшим элементарным отрицательным зарядом обладает электрон, а таким же по величине, но положительным - протон. Величина элементарного заряда равна
е = 1,6·10 –19 Кл.

Одним из важнейших законов природы является закон сохранения электрического заряда : в замкнутой системе тел алгебраическая сумма электрических зарядов всегда остается постоянной при любых взаимодействиях этих тел между собой.

Опыт показывает, что заряды одного знака всегда отталкиваются, а разных - притягиваются. Сила взаимодействия между точечными зарядами q 1 и q 2 , расположенных на расстоянии r друг от друга, определяется законом Кулона :

где - постоянная электрического взаимодействия; а ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся заряды.

Способность электрических зарядов взаимодействовать на расстоянии объясняется тем, что каждый из них создает вокруг себя электрическое поле, которое оказывает силовое воздействие на любой внесенный в него другой заряд. Поэтому, чтобы определить наличие электрического поля в какой-либо точке среды, в нее помещают пробный заряд q 1 . Сила F действия поля на этот заряд будет пропорциональна величине внесенного заряда q 1 , где отношение не зависит от величины пробного заряда, а является силовой характеристикой электрического поля, которую называют напряженностью . Если напряженность поля известна, то сила, действующая на любой заряд q 1 , внесенный в это поле, равна

Как видно из (1.1), закон Кулона применим только для точечных зарядов и шаров, а формула (1.2) - для любых зарядов и полей. Из векторного равенства (1.2) следует, что сила, действующая на положительный заряд, имеет такое же направление, как и вектор напряженности поля, а сила, действующая на отрицательный заряд, - противоположное ему.

Электрические поля принято изображать силовыми линиями . Это направленные линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности поля в этой точке. Силовые линии электростатического поля всегда направлены от положительных зарядов к отрицательным, т. е. начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Электрическое поле называют однородным , если его напряженность одинакова по величине и направлению во всех точках пространства: Такие поля изображаются параллельными равноотстоящими друг от друга силовыми линиями.

Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q 0 , находят, пользуясь законом Кулона, по следующей формуле:

. (1.3)

Эта формула справедлива и для поля, создаваемого заряженным шаром радиуса R в окружающем его пространстве, т. е. при r ≥ R . Такое поле неоднородно, так как различно по величине и по направлению в разных точках пространства. На рисунке 1 стрелками показаны силовые линии электрических полей, создаваемых положительным и отрицательным точечными зарядами, а концентрическими окружностями - линии равного потенциала.

Рис. 1 . Силовые и эквипотенциальные линии электрических полей точечных зарядов

Если электрическое поле создается не одним зарядом, а несколькими, то для определения напряженности результирующего поля следует применить принцип суперпозиции полей : напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в этой точке среды каждым из зарядов :

Поскольку на заряд q , помещенный в электрическое поле, действует сила F = qE , то он может переместиться вдоль силовой линии на расстояние S и совершить работу А = FS = qES . Это означает, что любой заряд q , находящийся в электрическом поле, обладает потенциальной энергией
W пот = А , которая пропорциональна величине этого заряда q . Но отношение j уже не зависит от величины заряда, а является энергетической характеристикой поля , называемой его электрическим потенциалом φ . Единицей потенциала в СИ является 1 Вольт: . Совокупность всех точек поля, имеющих одинаковый электрический потенциал, образует эквипотенциальную поверхность , которая всегда перпендикулярна линиям напряженности поля.

Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом q 0 , определяется формулой:

В этом случае поверхностями равного потенциала являются сферы радиуса r , тогда как силовые линии, идущие из центра сферы по радиусам, перпендикулярны этим сферам (рис. 1).

Если электрическое поле создает не один заряд, а система зарядов, то потенциалэлектрического поля , создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в данной точке среды каждым из зарядов :

φ = φ 1 + φ 2 + φ 3 + … + φ n . (1.6)

Очевидно, что определение потенциала сложного поля значительно проще, чем вычисление его напряженности, требующей нахождения векторной суммы.

Если электрическое поле перемещает заряд q из одной точки поля в другую, то оно совершает работу А (Дж):

А = W пот1 – W пот2 = q (φ 1 – φ 2) = qU . (1.7)

Величина U = φ 1 – φ 2 называется разностью потенциалов или напряжением между двумя точками поля и тоже измеряется в вольтах.

Следует обратить внимание на очень важное свойство электрического поля: работа в электрическом поле не зависит от траектории перемещения заряда из т. 1 в т. 2, а определяется только разностью потенциалов между ними.

Из формулы (1.7) следует также, что при перемещении заряда по
эквипотенциальной поверхности работа не совершается, т. к. φ 1 = φ 2 и
А = U = 0.

В общем случае напряженность Е электрического поляравна градиенту потенциала с обратным знаком:

поэтому, зная распределение потенциала φ(r ) в пространстве,можно найти распределение напряженности поля Е (r ) и наоборот. Знак «– » указывает, что вектор напряженности направлен против градиента потенциала, т. е. в сторону наибыстрейшего уменьшения потенциала. Для однородного поля, силовые линии которого параллельны оси Ох , соотношение (1.8) принимает вид:

. (1.9)

Значения напряженности и потенциала электрического поля, создаваемого точечным или сферическим зарядом q 0 , определяются формулами (1.3) и (1.5).

Таким образом, электрически заряженная система тел всегда создает вокруг себя электрическое поле. Но оказывается, что электрически нейтральная система зарядов тоже может создавать вокруг себя электрическое поле. Простейшей такой системой является электрический диполь.

Электрический диполь и его поле

Электрический диполь представляет собой электрически нейтральную систему, состоящую из двух равных по величине, но противоположных по знаку точечных зарядов (+q ) и (–q ), расположенных на некотором расстоянии l друг от друга. Хотя такая система электрически нейтральна, она создает вокруг себя электрическое поле.

Рассчитаем потенциал этого поля в произвольной точке А, расположенной на расстояниях r 1 и r 2 от положительного и отрицательного зарядов диполя (рис. 2). Суммарный потенциал в т. А равен:

j А = j + + j – , (2.1)

где произведена замена r 1 · r 2 ≈ r 2 . Учитывая, что (r 2 – r 1) ≈ l cos δ, получим:

j А . (2.2)

Видно, что потенциал φ поля прямо пропорционален величине р = ql ,которая называется дипольным моментом и является важнейшей электрической характеристикой диполя. Дипольный момент - это вектор, направленный вдоль оси диполя от (–q ) к (+q ). Зная этот вектор, можно вычислить потенциал в любой точке поля, пользуясь формулой (2.2). Из (2.2) в частности следует, что в плоскости, проходящей через середину диполя перпендикулярно его оси (δ = 90 о), потенциал равен нулю, положителен со стороны положительного заряда и отрицателен со стороны отрицательного заряда. Примерное распределение эквипотенциальных поверхностей поля диполя приведено на рисунке 3.

Рис. 3. Линии равного потенциала электрического поля диполя

Таким образом, зная дипольный момент, можно вычислить потенциал поля диполя в любой точке пространства, пользуясь соотношением (2.2). Но на практике, в частности в электрографии, часто приходится решать обратную задачу: необходимо определить величину и направление электрического момента диполя, измеряя разность потенциалов (напряжение) между разными точками А и В создаваемого им поля.

Найдем связь дипольного момента и напряженияU АВ = φ А – φ В между двумя равноудаленными от центра диполя точками А и В (r A = r B = r ) (рис. 4).

Рис. 4. К определению связи между дипольным моментом и напряжениемU АВ

Расчет, который здесь не приводится, дает следующее выражение для вычисления напряжения между этими точками:

~ . (2.3)

Из (2.3) видно, что разность потенциалов между точками А и В прямо пропорциональна проекции вектора дипольного момента на линию АВ, соединяющую эти точки. Необходимо учитывать, что с удалением от диполя напряжение убывает как , т. е. обратно пропорционально квадрату расстояния от диполя. Поэтому, чтобы полностью определить величину и направление вектора , надо знать как минимум две его проекции на разные направления АВ и ВС, при этом точки регистрации потенциалов А, В и С должны быть равноудалены от центра диполя (r A = r B = r C), а отрезки АВ и ВС должны быть видны из центра диполя под одинаковыми углами β. В связи с этим наиболее удобным способом выбора точек регистрации потенциала являются вершины правильного многоугольника, в центре которого находится диполь . В простейшем случае это будут вершины равностороннего треугольника.

Отметим, что диполь - простейшая, но не единственная нейтральная система зарядов, создающая вокруг себя электрическое поле (рис. 5).

К простым электронейтральным системам относятся также квадруполь (2 положительных и 2 отрицательных равных по модулю заряда), октуполь (4 положительных и 4 отрицательных заряда) и др., которые называют одним словом мультиполи .

Рис. 5. Электрически нейтральные мультиполи:

а - диполь; в - квадруполь; с - октуполь

Потенциалы полей, создаваемых ими, быстро убывают с расстоянием. Так, если потенциал поля точечного заряда убывает с расстоянием как , то потенциал поля диполя - как , квадруполя - как , октуполя - как и т. д.

Электрическое поле создают не только указанные простейшие мультиполи, но и более сложные электрически нейтральные системы, в том числе биологические ткани и органы.

Из математической физики известно, что любое стационарное электрическое поле, сформированное электрически нейтральной системой зарядов, можно приближенно представить как сумму электрических полей, создаваемых диполем, квадруполем, октуполем и т. д. Наибольший вклад в это суммарное поле, как правило, вносит диполь , поэтому обычно ограничиваются рассмотрением только дипольной составляющей сложного поля, что во многих случаях оказывается полностью оправданным.

Электростатический диполь хорошо описывает электрическое поле в непроводящих средах, т. е. в диэлектриках, где нет свободных зарядов и поэтому нет и токов проводимости. Однако многие биоткани - кровь, лимфа, спинномозговая жидкость, мышцы, нервная ткань, и др. - являются хорошими проводниками , и в них под действием электрических полей возникают электрические токи.

В этих условиях электрическое поле, создаваемое биотканями, более правильно рассматривать не как поле электростатического диполя, а как поле, образованное токовым диполем . Такое представление в электрокардиографии впервые было развито еще Гельмгольцем, а затем подробно рассмотрено другими исследователями.

Токовый диполь представляет собой вектор, равный произведению полного тока на расстояние d между его истоком и стоком .

Электрическим диполем (диполем ) называют систему, состоящую из двух равных, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя).

Основной характеристикой диполя (рис.4) является его электрический , илидипольный момент – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и равный произведению заряда на плечо диполя:

Рис.4. Электрический диполь.

Единицей электрического момента диполя является кулон-метр .

Поместим диполь в однородное электрическое поле напряжённостью (рис.5). На каждый из зарядов диполя действуют силы
=qи

= -q; эти силы противоположно направлены и создают момент пары сил. Как видно из рисунка, он равен

M=qElsin = pEsin, (9)

Или в векторной форме

=
(10)

Рис.5. Диполь в однородном электрическом поле.

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует вращающий момент, зависящий от электрического момента, ориентации диполя в поле и напряжённости поля.

Рассмотрим теперь диполь в неоднородном электрическом поле. Простоты ради предположим, что диполь расположен вдоль силовой линии. На него действуют силы

+ = + и - = - ,

где + и - -напряжённости поля соответственно в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов (на рис.6 - > +). Значение равнодействующей этих сил

F= F_ - F+ = qE_ - qE+ = q (E_ - E+). (11)

Рис.6. Силы, действующие на диполь.

Введём отношение (E_ - E+)/l , характеризующее среднее изменение напряжённости, приходящееся на единицу длины диполя. Так как обычно плечо невелико, то приближенно можно считать

(Е_ - Е+)/l = dE/dx, (12)

где dE/dx – производная от напряженности электрического поля по направлению оси ОХ, являющаяся мерой неоднородности электрического поля вдоль соответствующего направления. Из (12) следует

Е_ - E+ = l dE/dx,

Тогда формулу (5) можно представить в виде

F = ql dE/dx = p dE/dx.

Итак, на диполь действует сила, зависящая от его электрического момента и степени неоднородности поля dE/dx.

Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует еще и вращающий момент. Так что свободный диполь практически всегда будет втягиваться в область больших значений напряженности поля.

1.4. Дипольный эквивалентный электрический генератор сердца.

В возбужденном миокарде всегда имеются много диполей (назовем их элементарными). Потенциал поля каждого диполя в неограниченной среде подчиняется уравнению:

, где (13)

G – сумма членов, которые пропорциональны l 3 /r 4 , l 4 /r 5 и т.д.

 - потенциал в точке регистрации, l – величина диполя,

I – сила тока,  - удельное сопротивление среды (рис.7).

Рис.7. Элементарный диполь.

При изучении потенциалов на значительном удалении от сердца, когда выполняется условие rl, первый член правой части уравнения (13) намного превосходит остальные. Поэтому в первом приближении вторым и последующими членами можно пренебречь. Это заведомо справедливо в случае точечных диполей, у которых l0. Первый член в правой части уравнения (13) именуют дипольным потенциалом (потенциалом точечного диполя).

Потенциал ( 0) электрического поля сердца складывается из дипольных потенциалов элементарных диполей. Поскольку в каждый момент кардиоцикла возбуждается сравнительно небольшой участок миокарда, расстояния от всех диполей до точки измерения потенциала примерно равны друг другу, и  0 приближенно описывается уравнением:

, (14)

в котором r – одинаковое для всех диполей расстояние до точки измерения потенциала, m – количество диполей. Сумму проекций в этом выражении можно рассматривать как проекцию вектора дипольного момента () одного токового диполя, у которого

. (15)

Этот диполь называют эквивалентным диполем сердца . Таким образом, потенциал внешнего электрического поля сердца можно представить в виде дипольного потенциала одного эквивалентного диполя:

, (16)

где  - угол между и направлением регистрации потенциала;D 0 – модуль вектора .

Модель, в которой электрическая активность миокарда заменяется действием одного точечного диполя и потенциалы внешнего поля описываются выражением (11) называют дипольным эквивалентным электрическим генератором сердца.