Площадь параллелограмма по углу и сторонам. Периметр и площадь параллелограмма. Применение в векторной алгебре

Площадь параллелограмма. В очень многих задачах по геометрии связанных с вычислением площадей, в том числе и заданиях на ЕГЭ, используются формулы площади параллелограмма и треугольника. Их существует несколько, здесь мы их с вами рассмотрим.

Перечислять эти формулы было бы слишком просто, этого добра и так хватает в справочниках и на различных сайтах. Мне хотелось бы донести суть — чтобы вы их не зубрили, а понимали и легко могли вспомнить в любой момент. После изучения материала статьи вы поймёте, что формулы эти учить совсем не нужно. Объективно говоря, они так часто встречаются при решениях, что откладываются в памяти надолго.

1. Итак, давайте рассмотрим параллелограмм. Определение гласит:

Почему так? Всё просто! Чтобы показать наглядно в чём смысл формулы, выполним некоторые дополнительные построения, а именно построим высоты:

Площадь треугольника (2) равна площади треугольника (1) — второй признак равенства прямоугольных треугольников «по катету и гипотенузе». Теперь мысленно «отрежем» второй и перенесём его наложив на первый — получим прямоугольник, площадь которого будет равна площади исходного параллелограмма:

Площадь прямоугольника, как известно, равна произведению его соседних сторон. Как видно по эскизу, одна сторона полученного прямоугольника равна стороне параллелограмма, а другая его высоте параллелограмма. Поэтому и получаем формулу площади параллелограмма S = a∙h a

2. Продолжим, ещё одна формула его площади. Имеем:

Площадь параллелограмма формула

Обозначим стороны как a и b, угол между ними γ "гамма", высота h a. Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Точнее по планиметрии и тригонометрии, иногда требуется найти высоту параллелограмма, исходя из заданных значений сторон, углов, диагоналей и т.п.

Чтобы найти высоту параллелограмма, зная его площадь и длину основания, необходимо воспользоваться правилом площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, как известно, равняется произведению высоты на длину основания:

S - площадь параллелограмма,

а - длина основания параллелограмма,

h - длина опущенной на сторону а высоты, (или на ее продолжение).

Отсюда получаем, что высота параллелограмма будет площади, разделенной на длину основания:

Например,

дано: площадь параллелограмма равняется 50 кв.см., основание - 10 см.;

найти: высоту параллелограмма.

h=50/10=5 (см).

Так как высота параллелограмма, часть основания и прилежащая к основанию сторона образуют прямоугольный , то для высоты параллелограмма можно использовать некоторые соотношения сторон и углов прямоугольных .

Если известны прилежащая к высоте h (DE) сторона параллелограмма d (AD) и противоположный высоте угол A (BAD), то расчета высоты параллелограмма нужно умножить длину прилежащей стороны на синус противоположного угла:

например, если d=10 см, а угол А=30 градусов, то

H=10*sin(30º)=10*1/2=5 (см).

Если в задачи заданы длина прилежащей к высоте h (DE) параллелограмма d (AD) и длина отсекаемой высотой основания (АЕ), то высоту параллелограмма можно найти воспользовавшись теоремой Пифагора:

|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, откуда определяем:

h=|ED|=√(|AD|^2-|AE|^2),

т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей стороны и отсекаемой высотой части основания.

Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 3 см, то длина высоты будет:

h=√(5^2-3^2)=4 (см).

Если известны длина прилежащей к высоте диагональ (DВ) параллелограмма и длина отсекаемой высотой части основания (ВЕ), то высоту параллелограмма можно также найти воспользовавшись теоремой Пифагора:

|ВE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, откуда определяем:

h=|ED|=√(|ВD|^2-|ВE|^2),

т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей диагонали и отсекаемой высотой (и ) части основания.

Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 4 см, то длина высоты будет:

h=√(5^2-4^2)=3 (см).

Видео по теме

Источники:

что такое высота параллелограмма

Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, который соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не одинаковы, если хоть одна из сторон многоугольника имеет отличную от других величину. Поэтому в задачах из курса геометрии иногда требуется определить длину большей высоты, например, треугольника или параллелограмма.

Инструкция

Если кроме длины самой короткой из сторон треугольника (a) в условиях приведена (S) фигуры, большей из высот (Hₐ) будет достаточно проста. Удвойте площадь и разделите полученное значение на длину короткой - это и будет искомая высота: Hₐ = 2*S/a.

Не зная площади, но имея длины треугольника (a, b и c), тоже можно найти самую длинную из его высот, однако математических операций будет значительно больше. Начните с вычисления вспомогательной величины - полупериметра (р). Для этого сложите длины всех сторон и разделите результат

Параллелограмм представляет собой четырехугольную фигуру, у которой противолежащие стороны попарно параллельны и попарно равны. Равны у него также и противоположные углы, а точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, являясь при этом центром симметрии фигуры. Частными случаями параллелограмма являются такие геометрические фигуры как квадрат, прямоугольник и ромб. Площадь параллелограмма может быть найдена различными способами, в зависимости от того, какими исходными данными сопровождается постановка задачи.

Ключевой характеристикой параллелограмма, очень часто используемой при нахождении его площади, является высота. Высотой параллелограмма принято называть перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противоположной стороны к отрезку прямой, образующей данную сторону.

В самом простом случае площадь параллелограмма определяется как произведение его основания на высоту.
S = DC ∙ h

где S - площадь параллелограмма;
a - основание;
h - высота, проведенная к данному основанию.
Данную формулу очень легко понять и запомнить, если взглянуть на следующий рисунок.
Как видно из данного изображения, если слева от параллелограмма отрезать воображаемый треугольник и присоединить его справа, то в результате мы получим прямоугольник. А как известно, площадь прямоугольника находится перемножением его длины на высоту. Только в случае параллелограмма длина будет являться основанием, а высота прямоугольника - высотой параллелограмма, опущенной на данную сторону.
Площадь параллелограмма может быть также найдена в результате перемножения длин двух смежных оснований и синуса угла между ними:
S = AD∙AB∙sinα

где AD, AB - смежные основания, образующие точку пересечения и угол а между собой;
α - угол между основаниями AD и AB.
Также площадь параллелограмма можно найти разделив пополам произведение длин диагоналей параллелограмма на синус угла между ними.
S = ½∙AC∙BD∙sinβ

где AC, BD - диагонали параллелограмма;
β - угол между диагоналями.
Существует также формула для нахождения площади параллелограмма через радиус вписанной в него окружности. Она записывается следующий образом:

Как в евклидовой геометрии точка и прямая - главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.

Вконтакте

Определение параллелограмма

Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, - высотой (BE и BF), линии AC и BD - диагоналями.

Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник - это частные случаи параллелограмма.

Стороны и углы: особенности соотношения

Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

Стороны, которые являются противоположными, - попарно одинаковые.
Углы, расположенные противоположно друг другу - попарно равны.

Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

Характеристики диагоналей фигуры

Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

Доказательство: пусть т. Е - это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

Особенности смежных углов

У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства биссектрисы:

, опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.

Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности - AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

Вычисление площади фигуры

Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF - равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD - равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb , а сторону - b . Соответственно:

Другие способы нахождения площади

Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, - второй известный метод.

Sпр-ма - площадь;

a и b - его стороны

α - угол между отрезками a и b.

Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:

Применение в векторной алгебре

Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

Доказательство: из произвольно выбранного начала - т. о. - строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB - стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .

Формулы для вычисления параметров параллелограмма

Тождества приведены при следующих условиях:

a и b, α - стороны и угол между ними;
d 1 и d 2 , γ - диагонали и в точке их пересечения;
h a и h b - высоты, опущенные на стороны a и b;

Параметр	Формула
Нахождение сторон
по диагоналям и косинусу угла между ними
по диагоналям и стороне
через высоту и противоположную вершину
Нахождение длины диагоналей
по сторонам и величине вершины между ними