Период колебаний: опыты, формулы, задачи. Формула частоты колебаний пружинного маятника Что такое пружинный маятник в физике определение

), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

, где f(x) - это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания , пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c :

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Пружинный маятник" в других словарях:

У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник (значения). Колебания маятника: стрелками показаны векторы скорости (v) и ускорения (a) … Википедия

Маятник - устройство, которое, колеблясь, упорядочивает движение механизма часов. Пружинный маятник. Регулирующая деталь часов, состоящая из маятника и его пружины. До изобретения маятниковой пружины, часы приводились в движение одним маятником.… … Словарь часов

МАЯТНИК - (1) математический (или простой) (рис. 6) тело небольших размеров, свободно подвешенное к неподвижной точке на нерастяжимой нити (или стержне), масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела, совершающего гармонические (см.)… … Большая политехническая энциклопедия

Твёрдое тело, совершающее под действием прилож. сил колебания ок. неподвижной точки или оси. Математическим М. наз. материальная точка, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающая под действием силы… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Часы с пружинным маятником - пружинный маятник регулирующая часть часов, также используется в часах средних и маленьких размеров (переносные часы, настольные, и т.д.) … Словарь часов - маленькая спиральная пружина, прикрепленная концами к маятнику и его молоточку. Пружинный маятник регулирует часы, точность которых частично зависит от качества маятниковой пружины … Словарь часов

ГОСТ Р 52334-2005: Гравиразведка. Термины и определения - Терминология ГОСТ Р 52334 2005: Гравиразведка. Термины и определения оригинал документа: (гравиметрическая) съемка Гравиметрическая съемка, проводимая на суше. Определения термина из разных документов: (гравиметрическая) съемка 95… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Рассмотрим простейшую систему, в которой возможна реализация механических колебаний. Допустим, что на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$. Груз движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза.

Уравнение движения груза при таких колебаниях имеет вид:

\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(1\right),\]

где ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ и $B$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.

Частота и период колебаний пружинного маятника

Косинус (синус) - периодическая функция, смещение $x$ будет принимать одинаковые значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($\nu $):

Период связан с циклической частотой колебаний как:

Зная, что для пружинного маятника ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, период колебаний его определим как:

Из выражения (5) мы видим, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза, находящегося на пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Такое свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, при этом возникает зависимость колебаний от амплитуды. Отметим, что формула (5) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Единицей измерения периода являются единицы времени, в Международной системе единиц это секунды:

\[\left=с.\]

Примеры задач на период колебания пружинного маятника

Пример 1

Задание. К упругой пружине прикрепили небольшой груз, при этом пружина растянулась на $\Delta x$=0,09 м. Каким будет период колебаний данного пружинного маятника, если его вывести из равновесия?

Решение. Сделаем рисунок.

Рассмотрим состояние равновесия пружинного маятника. Груз прикрепили, после этого пружина растянулась на величину $\Delta x$, маятник находится в состоянии равновесия. На груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости. Запишем второй закон Ньютона для состояния равновесия груза:

Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:

Так как груз по условию задачи небольшой, пружина растянулась не сильно, следовательно выполняется закон Гука, величину силы упругости найдем как:

Используя выражения (1.2) и (1.3) найдем отношение $\frac{m}{k}$:

Период колебаний пружинного маятника при малых колебаниях можно найти, используя выражение:

Заменяя отношение массы груза к жесткости пружины на правую часть выражения (1.4), получим:

Вычислим период колебаний нашего маятника, если $g=9,8\ \frac{м}{с^2}$:

Ответ. $T$=0,6 с

Пример 2

Задание. Две пружины с жесткостями $k_1$ и $k_2$ соединены последовательно (рис.2), к концу второй пружины присоединен груз массы $m$, Каков период колебаний данного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука.

Решение. Период колебаний пружинного маятника равен:

Если две пружины соединены последовательно, то их результирующая жесткость ($k$) находится как:

\[\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\to k=\frac{k_1k_2}{k_1{+k}_2}\left(2.2\right).\]

Вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:

Ответ. $T=2\pi \sqrt{\frac{m(k_1{+k}_2)}{k_1k_2}}$

Исследование колебаний маятника проводится на установке, схема которой приведена на рис.5. Установка состоит из пружинного маятника, системы регистрации колебаний на основе пьезоэлектрического датчика, системы возбуждения вынужденных колебаний, а также системы обработки информации на персональном компьютере. Исследуемый пружинный маятник состоит из стальной пружины с коэффициентом жесткости k и тела маятника m , в центре которого вмонтирован постоянный магнит. Движение маятника происходит в жидкости и при небольших скоростях колебаний возникающая сила трения может быть с достаточной точностью аппроксимирована линейным законом, т.е.

Рис.5 Блок-схема экспериментальной установки

Для увеличения силы сопротивления при движении в жидкости, тело маятника изготовлено в виде шайбы с отверстиями. Для регистрации колебаний используется пьезоэлектрический датчик, к которому подвешена пружина маятника. Во время движения маятника сила упругости пропорциональна смещению х ,
Так как ЭДС, возникающая в пьезодатчике в свою очередь пропорциональна силе давления, то сигнал, получаемый с датчика будет пропорционален смещению тела маятника от положения равновесия.
Возбуждение колебаний осуществляется с помощью магнитного поля. Гармонический сигнал, создаваемый ПК усиливается и подается на катушку возбуждения, расположенную под телом маятника. В резултате этого катушки образуется переменное во времени и неоднородное в пространстве магнитное поле. Это поле действует на постоянный магнит, вмонтированный в тело маятника и создает внешнюю периодическую силу. При движении тела вынуждающую силу можно представить в виде суперпозиции гармонических функций , и колебания маятника будут являться суперпозицией колебаний с частотами mw. Однако заметное влияние на движение маятника будет оказывать лишь составляющая силы на частоте w , так как она наиболее близка к резонансной частоте. Поэтому амплитуды составляющих колебаний маятника на частотах mw будут малы. То есть в случае произвольного периодического воздействия колебания с большой степенью точности можно считать гармоническими на частоте w .
Система обработки информации состоит из аналого-цифрового преобразователя и персонального компьютера. Аналоговый сигнал с пьезоэлектрического датчика с помощью аналоге-цифрового преобразователя представляется в цифровом виде и подается на персональном компьютере.

Управление экспериментальной установкой с помощью ЭВМ
После включения компьютера и загрузки программы на экране мо- нитора появляется основное меню, общий вид которого показан на рис.5. Используя клавиши управления курсором , , , , можно выбрать один из пунктов меню. После нажатия кнопки ENTER компьютер приступает к выполнению выбранного режима работы. Простейшие подсказки по выбранному режиму работы содержатся в выделенной строке внизу экрана.
Рассмотрим возможные режимы работы программы:
Статика - этот пункт меню используется для обработки результатов первого упражнения (см. рис.5) После нажатия на кнопку ENTER компьютер запрашивает массу груза маятника. После следующего нажатия кнопки ENTER на экране появляется новая картинка с мигающим курсором. Последовательно записывают на экране массу груза в граммах и, после нажатия пробела, величину растяжения пружины. Нажав на ENTER переходят на новую строку и снова записывают массу груза и величину растяжения пружины. Допускается редактирование данных в пределах последней строки. Для этого нажав клавишу Backspase удаляют неправильное значение массы или растяжения пружины и записывают новое значение. Для изменения данных в других строках необходимо последовательно нажать Esc и ENTER , а затем повторить набор результатов.
После набора данных нажимают на функциональную клавишу F2 . На экране появляются расчитанные с помощью метода наименьших квадратов значения коэффициента жесткости пружины и частоты свободных колебаний маятника. После нажатия на ENTER на экране монитора появляется график зависимости упругой силы от величины расрастяжения пружины. Возврат в основное меню происходит после нажатия любой клавиши.
Эксперимент - этот пункт имеет несколько подпунктов (рис.6). Рассмотрим особенности работы каждого из них.
Частота - в этом режиме с помощью клавиш управления курсором осуществляется задание частоты вынуждающей силы. В том случае, если проводится эксперимент со свободными колебаниями, то необходимо установить значение частоты равное 0 .
Старт - в этом режиме после нажатия кнопки ENTER программа начинает снимать экспериментальную зависимость отклонения маятника от времени. В том случае, когда частота вынуждающей силы равна нулю, на экране появляется картина затухающих колебаний. В отдельном окошке записываются значения частоты колебаний и постоянной затухания. Если частота возбуждающей силы не равна нулю, то наряду с графиками зависимостей отклонения маятника и вынуждающей силы от времени на экране в отдельных окошках записываются значения частоты вынуждающей силы и ее амплитуды, а также измеренных частоты и амплитуды колебаний маятника. Нажав на клавишу Esc можно выйти в основное меню.
Сохранить - если результат эксперимента удовлетворителен, то его можно сохранить, нажав на соответствующую клавишу меню.
Нов. Серия - этот пункт меню используется в том случае, если возникла необходимость отказаться от данных текущего эксперимента. После нажатия клавиши ENTER в этом режиме из памяти машины стираются результаты всех предыдущих экспериментов, и можно начать новую серию измерений.
После проведения эксперимента переходят в режим Измерения . Этот пункт меню имеет несколько подпунктов (рис.7)
График АЧХ - этот пункт меню используется после окончания эксперимента по изучению вынужденных колебаний. На экране монитора строится амллитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний.
График ФЧХ - В этом режиме после окончания эксперимента по изучению вынужденных колебаний на экране монитора строится фазочастотная характеристика.
Таблица - этот пункт меню позволяет выдать на экран монитора значения амплитуды и фазы колебаний в зависимости от частоты вынуждающей силы. Эти данные переписываются в тетрадь для отчета по данной работе.
Пункт меню компьютера Выход - окончание работы программы (см. например, рис. 7)

Упражнение 1. Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом.

Измерения проводятся путем определения удлинения пружины под действием грузов с известными массами. Рекомендуется провести не менее 7-10 измерений удлинения пружины постепенно подвешивая грузы и изменяя тем самым нагрузку от 20 до 150 г. Используя пункт меню работы программы Статистика результаты этих измерений заносят в память компьютера и определяют коэффициент жесткости пружины используя метод наименьших квадратов. В ходе выполнения упражнения необходимо расчитать значение собственной частоты колебаний маятника

Тела под действием силы упругости, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия:

где k – жесткость пружины.

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине:

Запуск колебательного движения тела осуществляется с помощью кнопки Старт . Остановить процесс в любой момент времени позволяет кнопка Стоп .

Графически показано соотношение между потенциальной и кинетической энергиями при колебаниях в любой момент времени. Обратите внимание, что в отсутствие затухания полная энергия колебательной системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия принимает максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия.

Свойства пружинного маятника

Определение 1

Идеальный пружинный маятник представляет собой пружину, массой которой можно пренебречь, с закрепленным на ней телом с точечной массой. При этом один или оба конца пружины закреплены, а силой трения можно пренебречь.

Такую конструкцию можно рассматривать лишь как математическую модель. Примерами реальных пружинных маятников (навитых из упругой проволоки цилиндрических спиралей) могут служить всевозможные устройства, гасящие колебания: амортизаторы, подвески, рессоры и т.п. Пружинные маятники, хотя и несколько иной конструкции (в виде плоских спиралей) используются в механических часах.

Свойства пружин зависят от вещества, из которого они изготовлены (как правило, это особая пружинная сталь), диаметра проволоки, формы ее сечения, диаметра цилиндра пружины, его длины. Эти показатели в совокупности обуславливают ключевую характеристику пружины - ее жесткость.

Пружина запасает энергию при продольном растяжении или сжатии за счет упругих деформаций в кристаллической решетке своего вещества.

Замечание 1

При слишком сильном растяжении или сжатии материал пружины теряет упругие свойства. Такая деформация называется пластической или остаточной.

Формула для расчета частоты колебаний

Если пружину с закрепленной на ней грузом, подвергнуть продольной упругой деформации, а затем отпустить, она начнет совершать возвратно-поступательные гармонические колебания, в ходе которых перемещение закрепленного на ней груза описывается формулой:

$x = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \phi)$

Здесь $A$ - амплитуда колебаний, $\phi$ - начальная фаза, $\omega_0$ - собственная циклическая частота колебаний пружинного маятника, рассчитываемая как

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ > $0$,

• $k$ - жесткость пружины,
• $m$ - масса закрепленного на ней тела.

Циклическая частота отличается тем, что характеризует не количество полных циклов за единицу времени, а количество "пройденных" колеблющейся по гармоническому закону точкой радиан.

Период колебаний пружинного маятника вычисляется как