Относительность магнитных и электрических полей. Относительность электрических и магнитных полей

По существу, возможность путем соответствующего выбора ИСО обнаружить или только электрическое, или только магнитное, или и то и другое воздействие электромагнитного поля на заряды и токи было известно и в классической, до релятивистской электродинамике (т.е. до создания СТО).

Действительно, классическая формула для силы Лоренца распадается на два слагаемых: первое определяет электрическую часть этой силы, второе - магнитную часть. Поскольку магнит­ное действие испытывает только движущийся заряд, то пере­ходя в ИСО, в которой этот заряд будет неподвижным, при­боры не обнаружат магнитного * действия. Но никакого ис­чезновения (или возникновения) материи при этом не про­исходит: ни в одной ИСО нельзя одновременно устранить и электрическое и магнитное воздействие Дело в том, что существует единое электромагнитное поле, но исторически сложилось так, что его различные проявления (в зависимости от условий наблюдения, от выбора ИСО) получили самосто­ятельные названия: электрическое воздействие (при этом электромагнитное поле называется электрическим), магнит­ное воздействие (в этом случае электромагнитное поле на­зывается магнитным). Речь идет фактически о стационарных или статических полях. Именно в этом случае уравнения Максвелла распадаются на две группы уравнений, одни из которых описывают электрические проявления электромаг­нитного поля, другие - магнитные. В нестационарном же случае такое разделение уже сделать невозможно, и при вся­ком изменении во времени электрического (магнитного) по­ля возбуждаются вихри магнитного (электрического) поля. Подобный взаимосвязанный процесс может распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. И в любой ИСО можно будет обнаружить единое электромагнитное по­ле как единую материальную cpеду.

Все это, в принципе, было известно и до создания СТО (за исключением того, что электромагнитное поле считалось не одним из видов материи, а особым состоянием электро­магнитного эфира). Главное различие результатов СТО по сравнению с формулами до релятивистской физики состоит в различных аналитических выражениях для преобразований характеристик электромагнитного поля

В качестве иллюстрации относительности деления едино­го электромагнитного поля на электрическое и магнитное рассмотрим следующую задачу: по проводнику идет посто­янный ток, рассмотреть поле этого тока, исходя из двух ИСО «Проводник» и «Электрон», связав каждую из них с соответ­ствующим объектом

В ИСО «Проводник» кристаллическая решетка проводни­ка неподвижна, а с некоторой скоростью движутся электроны проводимости. Так как по проводнику течет постоянный ток, то сколько электронов «заходит» в проводник, столько же «выходит», это следует из определения постоянного тока. Поэтому, как до замыкания цепи, так и после в целом про­водник оказывается нейтральным. Математически это мож­но записать так: или, где -объ­емные плотности положительных зарядов кристаллической ре­шетки и электронов, создающих в данной ИСО электрический ток с плотностью причем, знак (-) учи­тывает знак заряда электронов, n - объемная плотность элек­тронов, u –скорость их направленного движения.

В ИСО «Электрон» электроны проводимости неподвижны, но движется кристаллическая решетка со скоростью (-u ) . В этой ИСО изменится объемная плотность и положительных и отрицательных зарядов согласно формулам * :

где, так как положительные ионы в ИСО «Провод­ник» неподвижны.

Соответственно,

Составим выражение

что больше нуля,- проводник в ИСО «Электрон» приобретает положительный заряд. И если в ИСО «Проводник» вокруг проводника с помощью приборов (т. е. объективно) можно обнаружить магнитное поле, то в ИСО «Электрон» приборы зафиксируют и электрическое поле (от заряженного проводника), и магнитное поле (от тока, свя­занного с движением ионов решетки в этой ИСО).

Отметим еще раз, что никакого творения материи не про­исходит, в обеих ИСО существует единое электромагнитное поле. Но путем выбора ИСО, т. е. условий наблюдения этого материального объекта, мы обнаруживаем у него разные проявления, разные свойства.

Так как при переходе от одной ИСО к другой изменяет­ся не только величина, но также и плотность тока, а с этими характеристиками зарядов и токов непосредственно связаны характеристики электромагнитного поля, его векто­ры и, что и указывает на относительный характер этих величин.

где v – скорость относительного движения двух ИСО.

Из приведенных формул следует, что если в одной ИСО есть только электрическое поле, то в другой ИСО обнаруживается не только электрическое, но и магнитное поле.

Мы еще раз убеждаемся, что деление единого электромагнитного поля на электрическое и магнитное относительно.

* Еще совсем недавно считали, что только магнитное поле является релятивистским объектом. Это конечно происходило как от незнания истории физики, так и принципа относительности А. Эйнштейна. Релятивистским объектом является единое электромагнитное поле, а как оно проявит себя в выбранной системе отсчета (электрическим или магнитным действием) не разрешает нам только магнитное поле считать релятивистским, а электрическое – нерелятивистским.

* Вывод используемых формул читатель найдет в книге автора «Специальная теория относительности»,изд.ПОИПКРО,1995г.,с.85.

В предыдущей главе мы выяснили, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться вместе как одно полное электромагнитное поле. Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относительный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе. Рассмотрим некоторые примеры.

Заряд движется в инерциальной К-системе отсчета с постоянной скоростью v . В этой системе отсчета мы будем наблюдать как электрическое, так и магнитное поля данного заряда, причем оба поля переменные во времени. Если же перейти в инерциальную К¢-систему, перемещающуюся вместе с зарядом, то в ней заряд покоится и мы будем наблюдать только электрическое поле.

Два одинаковых заряда движутся в К-системе отсчета навстречу друг другу с одинаковой скоростью v . В этой системе отсчета мы будем наблюдать и электрическое и магнитное поля, оба переменные. Найти такую К¢-систему, где наблюдалось бы только одно из полей, в данном случае нельзя.

В К-системе существует постоянное неоднородное магнитное поле (например, поле неподвижного постоянного магнита). Тогда в К¢-системе, движущейся относительно К-системы, мы будем наблюдать переменное магнитное и электрическое поля.

Таким образом, становится ясно, что соотношение между электрическим полем и магнитным полем оказывается разным в различных системах отсчета. При переходе от одной системы отсчета к другой поля и определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории относительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспроизводить здесь соответствующие выводы.

Поскольку векторы и , характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчета, возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля (инвариант обозначают inv; см. например, (43.1)).

Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой комбинации векторов и , это

Inv; E 2 - c 2 B 2 = inv, (43.1)

где с – скорость света в вакууме.

Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является следствием формул преобразования полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто находить решение и делать соответствующие выводы и предсказания. Приведем наиболее важные из них:

Из инвариантности скалярного произведения сразу следует, что в случае, когда в какой-либо системе отсчета ^ , т.е. = 0, то и во всех других инерциальных системах отсчета ^ ;

Из инвариантности E 2 - c 2 B 2 следует, что в случае, когда E = c B (т.е. когда E 2 - c 2 B 2 = 0), то и в любой другой инерциальной системе отсчета E¢ = c B¢;

Если в какой-либо системе отсчета угол между векторами и острый (или тупой), - это значит, что больше (либо меньше) нуля, - то угол между векторами и также будет острым (или тупым) во всякой другой системе отсчета;

Если в какой-либо системе отсчета E > c B (или E < c B) – это значит, что E 2 - c 2 B 2 > 0 (либо E 2 - c 2 B 2 < 0), то и в любой другой системе отсчета будет также E¢ > c B¢ (или E¢ < c B¢);

Если оба инварианта равны нулю, то во всех инерциальных системах отсчета ^ и E = c B, именно это и наблюдается в электромагнитной волне;

Если равен нулю только инвариант , то можно найти такую систему отсчета, в которой или E¢ = 0, или B¢ = 0; какое именно, определяется знаком другого инварианта. Справедливо и обратное утверждение: если в какой-либо системе отсчета E = 0 или B = 0, то во всякой другой системе отсчета ^ .

И последнее. Нужно помнить, что поля и , вообще говоря, зависят и от координат, и от времени. Поэтому каждый из инвариантов (43.1) относится к одной и той же пространственно-временной точке поля, координаты и время которой в разных системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца.

К электромагнитному полю применим только принцип относительности Эйнштейна, так как факт распространения электромагнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея.

Согласно принципу относительности Эйнштейна механические, оптические и электромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца: их вид не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя величины в них преобразуются по определенным правилам.

Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.

Основы теории электромагнитного поля Изучая электромагнитную индукцию, мы видели, что при рассмотрении этого явления в определенной инерциальной системе отсчета возможны две различные причины возникновения индукционного тока: либо появление вихревого электрического поля, либо действие силы Лоренца на движущиеся вместе с проводником электрические заряды со стороны магнитного поля. Однако при анализе возникновения ЭДС индукции за счет силы Лоренца в опыте с металлической рамкой, движущейся в магнитном поле (рис. 9.1), мы можем рассуждать и иначе. Перейдем в систему отсчета, связанную с движущейся рамкой. В ней заряды неподвижны и, следовательно, со стороны магнитного поля сила на них не действует. Как же объяснить возникновение ЭДС индукции в этой системе отсчета? Единственное, что остается предположить,-это наличие в этой системе электрического поля, направленного перпендикулярно магнитному вдоль стороны ab рамки, которого не было в исходной системе отсчета. Действительно, в любой инерциальной системе отсчета действующая на заряд сила определяется формулой (9.4), и, поскольку в системе отсчета, связанной с рамкой, v=0, сила Сможет быть обусловлена только электрическим полем Е", существующим в этой системе. Итак, мы приходим к выводу об относительном характере электрического и магнитного полей. Согласно принципу относительности, с которым подробнее познакомимся ниже (см. стр. 484), все инерциальные Рис. 10.1. К объяснению возникновения ЭДС индукции в разных системах отсчета системы отсчета равноправны. В обсуждаемом здесь опыте наблюдаемой величиной является ЭДС индукции в рамке, и она существует независимо от того, в какой инерциальной системе этот опыт рассматривается. Как мы видели, в одной системе отсчета, где электрическое поле отсутствует, существование ЭДС объясняется силой Лоренца (рис. 10.1а), в то время как в другой, где рамка неподвижна,-только наличием электрического поля (рис. 10.1 б). При малых скоростях (t>«;c), когда можно пренебречь изменением силы F при переходе от одной системы отсчета к другой, из формулы (9.^ следует, что напряженность электрического поля Е в системе, где рамка неподвижна, должна быть равна Е"= rx В. (10. Итак, движущийся магнит кроме магнитного созда° и электрическое поле. Обратим внимание на то, что относительный харак тер электрического и магнитного полей мы могли заметить и раньше. В самом деле, неподвижный заряд создает только электрическое поле. Однако заряд, неподвижный в какой-либо одной системе отсчета, oi носительно других систем отсчета движется. Такой движущийся заряд подобен электрическому току и по тому создает магнитное поле. Таким образом, если в какой-либо системе отсчета есть только электрическое поле, то в любой другой системе будет еще и магнитное. Получим формулу для индукции магнитного поля в этом случае, аналогичную формуле (10.1). Рассмотрим систему отсчета, движущуюся со скоростью у относительно заряда q. В этой системе отсчета заряд движется со скоростью - v. Воспользуемся законом Био - Савара Лапласа (8.2) для нахождения индукции магнитного поля В", создаваемого движущимся со скоростью - i зарядом q. Ток / выражается через концентрацию п элементарных зарядов q0, скорость их движения площадь сечения проводника S следующим образом: I-q0nSv. Подставляя это выражение в закон Био - Савара Лапласа (8.2) и учитывая, что векторы А/ и - параллельны, получаем 4п г Так как q0nSAI есть полный заряд q, находящийся в рассматриваемом объеме проводника SAI, то создава емое этим зарядом при движении магнитное поле естг Но в этой же точке заряд q создает электрическое поле Е, равное (10.3) Сравнивая (10.2) и (10.3), видим, что магнитное поле, создаваемое движущимся со скоростью - у зарядом, связано с электрическим полем Е, создаваемым этим же зарядом в той системе отсчета, где он неподвижен, соотношением В" = - еоИоух Е. Эта формула, полученная для точечного заряда, справедлива и для поля, создаваемого любым распределением зарядов. Таким образом, если в некоторой системе отсчета существует только электрическое поле Е, то в другой системе отсчета, движущейся со скоростью у относительно исходной, существует еще и магнитное поле В", которое вычисляется по формуле (10.4). Формулы (10.1) и (10.4) представляют собой частные случаи преобразования полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Они справедливы при малой относительной скорости систем отсчета (v

Законы преобразования и относительности

Электромагнитное поле отличается от любой системы частиц тем, что оно является физической системой с бесконечно большим числом степеней свободы. Это его свойство связано с определенным состоянием поля. Действительно, в области существования поля значения независимых компонент и составляют бесчисленное множество величин, так как любая область пространства содержит бесконечно большое число точек.

Электрическое и магнитное поля являются различными проявлениями единого электромагнитного поля, которое также подчиняется принципу суперпозиции. Деление электромагнитного поля на электрическое поле и магнитное поле имеет относительный характер, так как зависит от выбора системы отсчета.

Например, заряд движется в инерциальной системе отсчета S с постоянной скоростью v или при движении одинаковых зарядов навстречу друг другу с постоянной скоростью v. В данной системе отсчета наблюдаются как электрическое, так и магнитное поля этого заряда, но изменяющие во времени. При переходе в другую инерциальную систему отсчета S * , движущуюся вместе с зарядом, наблюдается только электрическое поле, так как заряд в ней покоится. Если в S - системе отсчета существует постоянное, неоднородное магнитное поле (например, подковообразный магнит), то в S * - системе, движущейся относительно S - системы, наблюдаются переменные электрическое и магнитное поля.

Соотношения между электрическим и магнитным полями неодинаковы в различных системах отсчета.

Эксперименты показывают, что заряд любой частицы - инвариантен, т. е. не зависит от скорости движения частицы и от выбора инерциальной системы отсчета. Теорема Гаусса

справедлива не только для покоящихся зарядов, но и для движущихся, т. е. она инвариантна относительно инерциальных систем отсчета.

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой электрическое и магнитное поля преобразуются. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: S и движущаяся относительно нее, со скоростью система S * . Если в некоторой пространственно - временной точке А системы S известны значения полей и, то какими будут значения этих полей * и * в той же самой пространственно-временной точке А системы S * ? Пространственно - временной точкой А называют такую точку, координаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями Лоренца, т. е.

Законы преобразования этих полей согласно специальной теории относительности выражаются следующими четрьмя формулами:

Символами || и ^ отмечены продольные и поперечные (по отношению к вектору) составляющие электрического и магнитного полей; с - скорость света в вакууме;

Из уравнений видно, что каждый из векторов * и * выражается как через, так и через, что свидетельствует о единой природе электрического и магнитного полей.

Например, модуль напряженности вектора Е свободно движущегося релятивистского заряда описывается формулой

где a - угол между радиус-вектором и вектором скорости.

1.Электромагнитное поле. Инвариантность заряда и теоремы Гаусса для электрического поля.

2.Законы преобразования полей векторов напряженности Е электрополяи магнитной индукции В. Преобразования Лоренца для векторов Е иВ . Релятивистская природа магнетизма.

3.Следствия из законов преобразования электромагнитного поля. Инвариантность электромагнитного поля.

Физика колебаний и волн

Тема 16 Гармонический осциллятор

1. Свободные колебания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний и его решение. Амплитуда, период, круговая частота, фаза колебаний. Скорость и ускорение при колебаниях.

2. Пружинный маятник, дайте определение. Напишите дифференциальное уравнение колебаний, пружинного маятника. Получите формулу для вычисления частоты малых колебаний пружинного маятника. Период колебаний.

3. Математический маятник, дайте определение. Напишите дифференциальное уравнение колебаний и получите формулу для вычисления периода малых колебаний маятника. Частота колебаний.

4. Физический маятник, дайте определение. Напишите дифференциальное уравнение колебаний и получите формулу для вычисления периода малых колебаний маятника. Частота колебаний. Приведенная длина физического маятника.

5. Смещение, скорость и ускорение при гармонических колебаниях.

6. Энергия гармонических колебаний. Средняя за период энергия гармонического осциллятора.

7. Идеальный колебательный контур. Дифференциальное уравнение свободных ЭМК и его решение для заряда, тока и напряжения. Частота свободных колебаний. Энергия колебаний: электрическая и магнитная составляющие, полная энергия.

Тема 17 Затухающие и вынужденные колебания

1. Напишите дифференциальное уравнение затухающих механических колебаний и его решение, поясните все величины. Напишите выражение для амплитуды при затухающих колебаниях, нарисуйте график. Логарифмический декремент и коэффициент затухания. Период затухающих колебаний.

2. Электромагнитные колебания (ЭМК). Реальный колебательный контур. Баланс напряжений на контуре. Дифференциальные уравнения затухающих ЭМК. Частота затухающих колебаний. Коэффициент затухания. Время релаксации. Решение для заряда, тока и падения напряжения на конденсаторе, на сопротивлении, на емкости и на катушке индуктивности.

3. Зависимость амплитуды ЭМК для заряда, тока и напряжений от времени. Логарифмический декремент затухания. Энергия затухающих ЭМК. Добротность контура и его вычисление для реального колебательного контура.

4. Вынужденные механические колебания. Напишите дифференциальное уравнение и его решение. Расчет амплитуды и начальной фазы. Нарисуйте график амплитуды колебаний в зависимости от частоты вынуждающей силы. Резонанс.

5. Вынужденные ЭМК. Уравнение вынужденных ЭМК для напряжений. Дифференциальное уравнение вынужденных ЭМК и его решение для заряда, напряжения и тока. Нахождение амплитуды заряда, тока и напряжения.

6. Явление резонанса при ЭМК. Условие явления резонанса для заряда, для тока и напряжения на сопротивлении, на катушке индуктивности и на емкости. Расчет резонансных амплитуд для заряда, тока и напряжений.

Тема 18 Волновые процессы

1. Волны, дайте определение. Продольные и поперечные волны, приведите примеры. Волновой фронт и волновая поверхность. Получите уравнение плоской монохроматической бегущей волны. Длина волны, фаза и частота колебаний, фазовая скорость, волновое число.

2.Энергия волны. Объемна плотность энергии волны. Вектор Умова. Интенсивность волны и ее расчет. Метод Гюйгенса. Законы преломления и отражения для упругих волн.

3.Интерференция упругих волн. Расчет интерференционной картины при наложении двух когерентных волн

4. Стоячие волны. Получите выражение для смещения, нарисуйте график. Укажите на графике узлы и пучности, дайте пояснения.