Определение координаты точки касания шара с плоскостью. Касательная плоскость к сфере
Урок 10. Касательная плоскость к сфере.
Цель урока: рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, научить решать задачи по данной теме.
Ход урока
Актуализация опорных знаний.
Повторение сведений из планиметрии.
Определение касательной.
Свойство радиуса, проведенного к точке касательной.
Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то:
а) длины отрезков от данной точки до точек касания равны:
б) углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.
Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Взаимное расположение сферы и плоскости.
Объяснение новой темы. (Слайд 26 – 32)
Итак, сфера с плоскостью могут пересекаться по окружности, не пересекаться и иметь одну общую точку.
Рассмотрим последний случай подробнее.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания.
К
асательная
плоскость обладает свойством, аналогичным
свойству касательной к окружности.
Дано: сфера с центром О и радиусом R , α - касательная к сфере в точке А плоскость.
Доказать: OA а .
Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а , тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d R . Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а .
Докажем обратную теорему.
Дано: сфера с центром О и радиусом OA , а, OA а .
Доказать: а – касательная плоскость.
Доказательство: Т.к. OA а , то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.
Формирование умений и навыков учащихся.
Как далеко может обозревать землю человек, стоящий на равнине? (Не учитывая рефракции света).
Решение: CN 2 = h (h + 2 R ) (см. выше п. I урока)
Пусть рост человека (до глаз) 1,6 м , R земли 6400 км.
Позднее вернемся к этой задаче, чтобы узнать, какова площадь обозрения.
Работа по таблице 33.
АК ОК (почему?). По теореме Пифагора АК = = 15 . AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы (при наличии времени можно дать учащимся порассуждать над очевидным вопросом - почему?)
AM = АО-ОМ=9.
Итог урока.
Домашнее задание: п. 61, № 591, 592.
Сказка о возникновении шара
Однажды, оставшись один дома, красавец Полукруг долго принаряживался и жеманился перед небольшим в оловянных рамках зеркалом и не мог налюбоваться собою.
«Что людям вздумалось расславлять, будто я хорош?- говорил он. – Лгут люди, я совсем не хорош. Почему девушки провозгласили, что лучшего парня и не было еще никогда и не будет никогда на селе Хатанга?».
Полукруг знал и слышал все, что про него говорили, и был капризным, как красавец. Он мог целый день любоваться собой перед зеркалом, рассматривая себя со всех сторон. И вдруг случилось чудо, когда Полукруг повернулся перед зеркалом вокруг себя, он увидел в зеркале собственное отражение в форме Шара.
Из истории возникновения
Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, то есть шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» - мяч. При этом слово «шар» образовалось от перехода согласных сф в ш .
В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.
Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.
Определение
- Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
- Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Общие понятия
- Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.
- Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.
- Центр, радиус, диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара.
Касательная плоскость к сфере
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
Сечение шара плоскостью
- Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
- Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение).
Задача на тему шар (д/з)
На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки. (1.7 см, 2.15 см, 3.12 см, 4.20 см)
П. 64 – 67, изучить п, 576, 578
Проверка домашнего задания I ученик: вывод уравнения сферы II ученик: 581 III ученик: 586(б) IV ученик: Что называется сферой? 2. Что называют диаметром сферы? 3. Расскажите о взаимном расположении сферы и плоскости. 581, 586(б), 587
О Свойство касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, - касательная плоскость, А – точка касания Доказать: ОА. А Доказательство. Предположим противное: пусть ОА, следовательно, ОА – наклонная к плоскости, значит, расстояние от центра сферы до плоскости меньше ОА, т. е. меньше радиуса R: d
О Признак касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, ОА, А. Доказать: - касательная плоскость. А Доказательство. ОА, значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы: d = R, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. данная плоскость является касательной. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Касательной
плоскостью
к поверхности
в точке
называется плоскость, содержащая в себе
все касательные к кривым, проведенным
на поверхности через эту точку.Нормалью
называется прямая, перпендикулярная к
касательной плоскости и проходящая
через точку касания.
Покажем, что
направлен по нормали к поверхности
в точке
.
Рассмотрим кривую
,
лежащую на поверхности и проходящую
через точку
(рис. 15). Пусть она задана параметрическими
уравнениями
.
Если
– радиус-вектор точки
,
движущейся при изменениивдоль,
то,
а
– радиус-вектор точки
.
Так как лежит на поверхности, то. Продифференцируем это тождество по:
. (6.6)
По определению
,
а.
Поэтому (6.6) означает, что скалярное
произведение
во всех точках кривой.
Равенство нулю
скалярного произведения векторов –
необходимое и достаточное условие их
перпендикулярности. Значит, в точке
.
Но вектор
– вектор скорости – направлен по
касательной к траектории точки
,
то есть по касательной к кривой(рис. 15). Так каквыбрана произвольно, то
перпендикулярен всевозможным касательным,
проведенным к линиям, лежащим на
и проходящим через точку
.
А это по определению означает, что
перпендикулярен касательной плоскости,
то есть является ее нормалью.
Отсюда уравнение касательной плоскости к данной поверхности имеет вид (см. гл. 3):
Уравнение нормали (см. гл. 3):
. (6.8)
В частности, если
поверхность задана явным уравнением
,
получим:– уравнение касательной
плоскости, и
– уравнение нормали.
ПРИМЕР
.
Написать уравнения касательной плоскости
и нормали к сфере
в точке
.
Очевидно
Уравнение касательной плоскости (6.7):
Уравнения нормали (6.8):
.
Заметим, что эта прямая проходит через начало координат, то есть центр сферы.
ПРИМЕР
.
Написать уравнение касательной плоскости
к эллиптическому параболоиду
в точке
.
Эта поверхность
задана явным уравнением и
.
Поэтому уравнение касательной плоскости в данной точке имеет вид: или.
Экстремумы функции двух переменных
Пусть функция
определена во всех точках некоторой
области
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Точка
называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует её окрестность
,
всюду в пределах которой.
Из определения
следует, что если
– точка максимума, то
;
если
– точка минимума, то
ТЕОРЕМА
(необходимое условие экстремума
дифференцируемой функции двух
переменных). Пусть функция
имеет в точке
экстремум. Если в этой точке существуют
производные первого порядка, то
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
.
Зафиксируем значение
.
Тогда
– функция одной переменной.
Она имеет экстремум при
и по необходимому условию экстремума
дифференцируемой функции одной переменной
(см. гл. 5)
.
Аналогично,
зафиксировав значение
,
получим, что
.
Что и требовалось доказать.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Стационарной
точкой
функции
называется точка
,
в которой обе частные производные
первого порядка равны нулю:
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 . Сформулированное необходимое условие не является достаточным условием экстремума.
Пусть
.
Значит,
– стационарная точка этой функции.
Рассмотрим произвольную-
окрестность начала координат.
В пределах этой
окрестности
имеет, очевидно, разные знаки (рис. 16).
А это означает, что точка
точкой экстремума по определению не
является.
Таким образом, не всякая стационарная точка – точка экстремума .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 . Непрерывная функция может иметь экстремум, но не иметь стационарной точки.
Рассмотрим функцию
.
Её графиком является верхняя
половина конуса, и, очевидно,
– точка минимума (рис. 17).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Точки, в которых частные производные
первого порядка функции
равны нулю или не существуют, называются
еекритическими
точками.
ТЕОРЕМА
(достаточное
условие экстремума функции
).
Пусть функция
имеет частные производные второго
порядка в некоторой окрестностистационарной
точки
.
Пусть, кроме того,
.
Тогда, если
1)
,
то
– точка экстремума, именно: точка
максимума, если
,
или точка минимума, если
;
2)
,
то экстремума в точке
нет;
3)
,
то требуются дополнительные исследования
для выяснения характера точки
.
(Без доказательства).
ПРИМЕР
.
Исследовать на экстремум функцию
.
Найдем стационарные
точки:
.
Стационарных точек нет, значит, функция
не имеет экстремума.
ПРИМЕР . Исследовать на экстремум функцию .
Чтобы найти стационарные точки, надо решить систему уравнений:
То есть данная функция имеет четыре стационарные точки.
Проверим достаточное условие экстремума для каждой из них:
.
Так как
,
то в точках
экстремума нет.
и
,
значит,
– точка минимума и
;
и
,
значит,
– точка максимума и
.
Симметрия шара
Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Доказательство: Пусть - диаметральная плоскость и Х - произвольная точка шара. Построим точку Х", симметричную точке Х относительно плоскости. Плоскость перпендикулярна отрезку ХХ" и пересекается ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ" следует, что ОХ" =ОХ.
Так как ОХ?R, то и ОХ"?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть теперь Х"" - точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ"" = ОХ?R, т.е. точка Х"" принадлежит шару. Теорема доказана полностью.
Касательная плоскость к шару
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.
Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Доказательство: Пусть б - плоскость касательная к шару, и А - точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости б, отличную от А. Так как ОА - перпендикуляр, а ОХ - наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.