Обобщенная функция. Обобщённая функция

Лекция 5

Обобщённые функции

Введение

Обобщённые функции впервые в науку были введены Дираком в его квантово-механических исследованиях, в которых систематически использовалась, так называемая, d - функция .

Обобщённая функция является обобщением классического понятия функции.

Постановка краевых задач характеризуется тем, что их решения предполагаются достаточно гладкими и удовлетворяют уравнению в каждой точке внутри области задания этого уравнения. Такие решения называются классическими, а постановка краевых задач – классической постановкой. Т.е., такая постановка предполагает, например, непрерывность правой части уравнения внутри области задания. Однако, в наиболее интересных задачах, эти правые части, характеризующие интенсивность внешних воздействий, имеют довольно сильные особенности. Поэтому, для таких задач классической постановки уже оказывается недостаточно. Чтобы поставить такие задачи, приходится отказываться (частично или полностью) от требования гладкости решения внутри области и вводить, так называемые, обобщённые решения . Но тогда встаёт вопрос, какие функции можно назвать решениями уравнений ? Чтобы сделать это, необходимо существенно обобщить понятие производной и, вообще, понятие функции, т.е. ввести, так называемые обобщённые функции.

Понятие обобщённых функций**

Давно в физике употребляются сингулярные функции, которые не могут быть корректно определены в рамках классической теории функций. Простейшей сингулярной функцией является дельта-функция d (x - x 0) , она по определению физиков равна нулю всюду, кроме одной точки x 0 , в этой точке равна ¥ и обладает интегралом равным 1 .

Эти условия не совместимы с точки зрения классического определения функции и интеграла.

В конкретных задачах такие функции нужны только на промежуточном этапе, в окончательном ответе они либо вовсе отсутствуют, либо фигурируют в произведении с какой-либо достаточно хорошей функцией . Поэтому нет необходимости отвечать на вопрос – что такое сингулярная функция ? – сама по себе. Нам достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения сингулярной функции и хорошей функции . Например, на вопрос, что такое d - функция, достаточно указать, что для любой достаточно хорошей функцией j (x) имеет равенство

Иными словами, мы связываем с каждой сингулярной функциейфункционал , который ставит в соответствие этой сингулярной и каждой, достаточно хорошей функциям, некоторое вполне определённое число . Например, для d - функции d (x-x 0) , числом, которое ставится в соответствие каждой, достаточно хорошей функции j(x), есть значение j(x 0).

Таким образом, мы отождествляем сингулярную функцию с тем функционалом , о котором конкретно идёт речь и не задумываться об определении сингулярной функции. При этом, должен быть точно указан тот класс достаточно хороших функций, на котором задан этот функционал .

В эту схему также укладываются и обыкновенные интегрируемые функции: для каждой функции f (x) мы можем ответить на вопрос: чему равен интеграл от произведения f (x) на хорошую функцию. Таким образом, представление об обобщённых функциях, как о функционалах, охватывает как сингулярные, так и обыкновенные функции.

Определим понятие функции, которые мы назвали «достаточно хорошими».

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние - математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции . Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя , (пространственную) плотность простого или двойного слоя , интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала ХХ века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру , который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщенной производной были сформулированы в 1935 году С. Л. Соболевым . К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц , привлекший разработанную к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций . Соболев и Шварц являются создателями теории распределений - обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике .

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Формально обобщённая функция f {\displaystyle f} определяется как линейный непрерывный функционал (f , φ) {\displaystyle \left(f,\varphi \right)} над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций ): f: φ ↦ (f , φ) {\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi)} .

  Условие линейности: (f , α 1 φ 1 + α 2 φ 2) = α 1 (f , φ 1) + α 2 (f , φ 2) {\displaystyle \left(f,\alpha _{1}\varphi _{1}+\alpha _{2}\varphi _{2}\right)=\alpha _{1}\left(f,\varphi _{1}\right)+\alpha _{2}\left(f,\varphi _{2}\right)} .

  Условие непрерывности: если φ ν → 0 {\displaystyle \varphi _{\nu }\rightarrow 0} , то (f , φ ν) → 0 {\displaystyle \left(f,\varphi _{\nu }\right)\rightarrow 0} .

  Важным примером основного пространства является пространство - совокупность финитных -функций на , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} -сходятся.

  Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

  (x δ) ρ = 0 ⋅ ρ = 0 , {\displaystyle (x\delta)\rho =0\cdot \rho =0,} (x ρ) δ = 1 ⋅ δ = δ . {\displaystyle (x\rho)\delta =1\cdot \delta =\delta .}

  Впрочем, возможно определить умножение любых обобщённых функций, если снять достаточно жёсткое требование, чтобы сужение этой операции на множество непрерывных функций совпадало с обычным произведением. В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций . Нынче в Западной Европе и Америке очень популярной (см., напр., список цитированных работ в ) является теория обобщённых функций Коломбо (одним из первоисточников которой является книга , для первоначального ознакомления с гораздо чаще используемой на практике т.н. "специальной" алгеброй Коломбо можно просмотреть параграф 8.5 из ). В рамках этой теории обобщённые функции являются классами эквивалентности некоторой фактор-алгебры. Преимуществом алгебры Коломбо является то, что она как ассоциативна, так и коммутативна. Умножение обобщённых функций Коломбо совпадает с обычным умножением при сужении на множество всех гладких (т.е., бесконечно непрерывно дифференцируемых) функций, несостыковка же с умножением непрерывных (но не гладких) функций разрешается при помощи введения понятия ассоциации (менее строгого, чем понятие эквивалентности). Также рассматриваемое умножение прекрасно согласуется со стандартными операциями классического анализа (напр., дифференцированием).

  Дифференцирование

  Пусть f ∈ D ′ (R n) {\displaystyle f\in D"(\mathbb {R} ^{n})} . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} определяется равенством

  (∂ f ∂ x i , φ) = − (f , ∂ φ ∂ x i) . {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right).}

  Так как операция φ ↦ ∂ φ ∂ x i {\displaystyle \varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}} линейна и непрерывна из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} в D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

  из есть слабый предел функций из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
• Любая обобщённая функция из D ′ (R n) {\displaystyle D"(\mathbb {R} ^{n})} бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
• Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
• Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения a f {\displaystyle af} , где a ∈ C ∞ (R n) {\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} .
• Всякая обобщённая функция f {\displaystyle f} из S ′ (R n) {\displaystyle S"(\mathbb {R} ^{n})} или E ′ (R n) {\displaystyle E"(\mathbb {R} ^{n})} есть некоторая частная производная от непрерывной функции в R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .
• Для любой обобщённой функции f {\displaystyle f} порядка N {\displaystyle N} с носителем в точке 0 существует единственное представление (f , φ) {\displaystyle (f,\;\varphi)} в виде линейной комбинации частных производных φ {\displaystyle \varphi } в нуле, с порядком меньшим либо равным N {\displaystyle N} .

Обобщенные функции были введены в связи с трудностями решения некоторых задач математической физики, квантовой механики, электромагнетизма и т. д., где помимо непрерывных функций, описывающих непрерывно распределенные величины (масса, источники тепла, механический импульс и др.), понадобилось использовать разрывные функции для сосредоточенных величин (точечная масса, точечный источник тепла, сосредоточенный импульс и др.).

Из разрывных функций важную роль сыграла единичная функция θ(x), определенная следующим образом (рис. 3.1):

Эта функция была введена в 1898 г. английским инженером Хевисайдом для решения операционными методами некоторых дифференциальных уравнений теории электрических цепей.



Рис. 3.1. Функция Хевисайда

В 1926 г. английский физик Дирак ввел в квантовой механике символ δ, названный им дельта-функцией, которая явилась первой систематически применяемой обобщенной функцией. С физической точки зрения δ-функция Дирака представляет собой плотность единичного заряда, помещенного в начале координат. Если этот заряд имеет величину m, то его плотность

Отсюда следует, что дельта-функция δ (x) обладает свойствами



(3.1)

Свойства этой функции хорошо интерпретируются при рассмотрении фундаментального соотношения

(3.2)

справедливого для любой функции f(x), непрерывной при x = 0.

Заметим, что, строго говоря, δ(x) не представляет собой функцию, так как не существует функций, удовлетворяющих соотношениям (3.1 и 3.2). Но если интерпретировать последнее соотношение как функционал, т.е. как процесс придания функции f(x) значения f(0) то оно становится весьма интересным.

Запись в виде интеграла используется просто как удобная форма описания свойств этого функционала (линейность сдвиг, замена переменных и т.д.).

Таким образом, функцию δ(x) можно рассматривать как обычную функцию, удовлетворяющую всем формальным правилам интегрирования при условии, что все заключения относительно этой функции базируются на выражении (3.2), а не на каком-либо из ее отдельных свойств.

Дельта функцию можно рассматривать как предел



получаемый в результате использования основного соотношения



Следствием данного предела является тождество



Действительно,

Получился, таким образом, некоторый формализм в применении δ-функции, с помощью которого достаточно просто были исследованы некоторые разрывные явления. В частности, было замечено, что между единичной функцией θ(x) и функцией δ(x) существует связь



которая, очевидно, не имеет смысла в рамках классического анализа, но справедлива в смысле теории обобщенных функций.

Рассмотрим некоторые свойства δ-функции.

Если f(t) не имеет разрывов в точке t, то



Гребенчатая функция

Ряд, состоящий из бесконечного числа δ-функций, сдвинутых относительно друг друга на равные расстояния



называется гребенчатой функцией. При a = 1 имеем:



Гребенчатая функция, как это видно из соотношения симметрична относительно преобразования Фурье:

.

Гребенчатая функция играет важную роль при описании процессов дискретизации сигналов. Процедуру дискретизации (взятие выборок) удобно рассматривать как умножение сигнала f(x) на заданную периодическую последовательность тактовых импульсов, задаваемую функцией Ша(x).

Обобщенные функции математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Обобщенные функции были введены впервые в конце 20-х гг. XX в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции и ее производных. Основы математической теории обобщенных функций были заложены С.Л. Соболевым в 1936 году при решении задачи Коши для гиперболических уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории обобщенных функций. Важную роль в формировании теории обобщенных функций сыграли работы Ж. Адамара, в которых в связи с изучением фундаментальных решений волновых уравнений рассмотрены сходящиеся интегралы, а также работы М. Рисса.

С другой стороны, к теории обобщенных функций вплотную подводит теория С. Бохнера преобразований Фурье функций степенного роста. Эти преобразования Фурье являются по существу обобщенными функциями и выступают у С. Бохнера как формальные производные непрерывных функций. Обобщенные функции необыкновенно быстро, буквально за два-три года, приобрели чрезвычайно широкую популярность. Достаточно указать хотя бы на тот факт, что количество математических работ, в которых встречается дельта-функция, возросло во много раз.

В дальнейшем теорию обобщенных функций интенсивно развивали многие математики, главным образом из-за потребностей математической физики. Теория обобщенных функций имеет многочисленные применения и все шире входит в обиход физика, математика и инженера.

Формально обобщенные функции определяются как линейные непрерывные функционалы над тем или иным линейным пространством основных функций. Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей сходимостью (или точнее топологией). При этом обычные локально суммируемые функции отождествляются с функционалами (регулярными обобщенными функциями) вида:

Произвольная обобщенная функция определяется как функционал, задаваемый равенством:

Следовательно, каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций, так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

Сходимость на (линейном) множестве обобщенных функций вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования обобщенных функций непрерывна, а сходящаяся последовательность обобщенных функций разрешает почленное дифференцирование бесконечное число раз.

Вводятся и другие операции над обобщенными функциями, например свертка, преобразование Фурье и Лапласа. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия обобщенных функций, расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование обобщенные функции существенно расширяет круг рассматриваемых задач и приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

Функция Дирака: , описывает плотность массы (заряда), сосредоточенной в точке, единичный импульс;

Функция Хевисайда: , при, при, ; производная от этой функции равна единичному импульсу;

Плотность диполя момента в точке, ориентированного вдоль оси;

Плотность простого слоя на поверхности с поверхностной плотностью;

Плотность двойного слоя на поверхности с поверхностной плотностью момента диполей, ориентированных вдоль направления нормали;

Свертка ньютонов, потенциал с плотностью, где - любая обобщенная функция (например, из первых пяти пунктов);

Общее решение уравнения колебаний струны задается формулой, где и любые обобщенные функции.

ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ - математическое обобщение понятия функции, вызванное потребностью удобного описания многих физических и математических явлений. Следующая ситуация поясняет причины, по которым использование О. ф. бывает полезным.

Пусть дана функция . Очевидно, что предел , и , , т. е. предельная функция при не существует.

С другой стороны, для фиксированной непрерывной функции существует и, более того, существует , равный .

Естественно считать, что существует и , только он принадлежит более широкому множеству, чем множество обычных функций. Вложение пространства обычных функций в это более широкое пространство можно осуществить следующим естественным способом (попутно определив само «более широкое пространство»).

Пусть - множество финитных функций класса . Каждая непрерывная функция определяет непрерывный линейный функционал в по формуле

(*)

(при этом разным соответствуют различные функционалы ). Формула (*) задает мономорфное отображение (Мономорфизм) пространства в пространство всех непрерывных линейных функционалов в (непрерывность понимается в смысле топологии пространства , обычно задаваемой той или иной нормой).

При этом, как было отмечено в рассмотренном примере, возможно такое явление: предела последовательности функций из не существует, а предел образов этих функций, т. е. линейных функционалов из , существует.

Рассмотренная конструкция оправдывает определение и название О. ф.: О, ф. есть непрерывный линейный функционал на пространстве финитных функций.

В множестве О. ф. рассматривают операции суммы О. ф. и умножения О. ф. на число, понимая под этим соответствующие операции над функционалами.

Рассматривают также дифференцирование О. ф., что определяется формулой Здесь - О. ф., - ее производная, значение на произвольной дифференцируемой функции равно . Это определение согласовано с определением дифференцирования обычных функций.

В частности, , где - линейный функционал такой, что - знаменитая обобщенная дельта-функция Дирака. Производная дельта-функция равна функционалу , определенному формулой

Производная функции (функция Хевисайда) совпадает с дельта-функцией.

Рассматривают также операции интегрирования О. ф., свертки О. ф., преобразования Лапласа О. ф. (см., Лапласа преобразование) и преобразования Фурье (см. Фурье преобразование).

О. ф. весьма удобны при описании распределения физических величин в пространстве. Если непрерывное распределение масс в пространстве задается (обычной) функцией-плотностью, то такие понятия, как «плотность распределения масс материальной точки», «электрический потенциал простого и двойного слоя», требуют введения О. ф.

В теории уравнений с частными производными следующее обстоятельство играет значительную роль. Пусть дано уравнение с нулевыми граничными и начальными условиями. (Здесь - линейный дифференциальный оператор, - искомая, а - заданная в области функция.) Если решить уравнение для «самой простой» функции , то нетрудно получить решение задачи в общем виде: пусть такова, что . Тогда



удовлетворяет уравнению .

О. ф. были впервые рассмотрены английским ученым П. Дираком в связи с задачами квантовой механики в 20-е годы XX в. Основы теории О. ф. были заложены советским математиком С. Л. Соболевым в 1936 г. В дальнейшем теорией О. ф. занимались многие математики мира (в основном в связи с задачами математической физики). В послевоенные годы французским математиком Л. Шварцем было дано систематическое изложение теории О. ф., получивших в зарубежной литературе название «распределения».

Теория О. ф. находит все более широкое применение в различных физических, математических и прикладных исследованиях.