Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Разложение многочлена пятой степени на квадратичные множители с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа

Определение интерполяционного многочлена Лагранжа пятой степени.

Чтобы разложить приведенный многочлен пятой степени на множители необходимо выполнение равенства: f(x)=φ(x)·g(x). При этом степень многочленов φ(x) и g(x) должна быть не выше пятой.

Для определения целого многочлена не выше пятой степени с заданной таблицей значений существует формула интерполяционного многочлена Лагранжа (ИМЛ ):

φ(x) = F(x)· , где F(x)=(x-x 1)·(x-x 2)·(x-x 3)·(x-x 4)·(x-x 5)(x-x 6), Fʹ(x k) значения производной функции F(x) в точках x k .

Где необходимо задать на плоскости координаты шести точек.

Для определения множителей φ(x) и g(x) выберем произвольно шесть целых значений x= x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 ; x 6 и станем подставлять их в равенство f(x)= φ(x)·g(x). Получим:

f(x 1)= φ(x 1)·g(x 1) ; f(x 2)= φ(x 2)·g(x 2); f(x 3)= φ(x 3)·g(x 3);

f(x 4)= φ(x 4)·g(x 4) ; f(x 5)=φ(x 5)·g(x 5); f(x 6)= φ(x 6)· g(x 6).

Эти равенства показывают, что каждое значение φ(x k) искомого множителя φ(x) является делителем числа f(x k).

Для построения множителя φ(x) воспользуемся ИМЛ и в качестве f(x k) будем подставлять произвольные целые числа А k , а значения x k выберем в виде последовательных целых чисел близких к нулю, т.е.

x 1 = -3; x 2 = -2; x 3 = -1; x 4 =0; x 5 =1; x 6 =2.

В развернутом виде ИМЛ φ(x) выглядит так:

φ(x) = F(x) , где F(x)=(x+3)·(x+2)·(x+1)·x·(x-1)·(x-2). (2).

Для построения множителя φ(x) с помощью ИМЛ необходимо задать числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 .

Определение: числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 взятые из формулы ИМЛ записанные в ряд называются Лагранжевым рядом.

Разложение многочлена на линейные множителис помощью ИМЛ.

Теорема 1 (Обобщение схемы Горнера)

Многочлен φ(x) является линейным, если числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 образуют возрастающую последовательность целых чисел.

Доказательство: приведем многочлен (2) к наименьшему общему знаменателю, т.е. к 120· F(x), получившийся числитель запишем в виде многочлена пятой степени у которого коэффициенты содержат числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 . Для того что бы многочлен (2) был линейным необходимо приравнять к нулю коэффициенты при «х» пятой, четвертой, третьей и второй степени, а коэффициент при «х» первой степени приравнять к 120. В результате получим следующую систему из пяти уравнений с шестью переменными:

5·А 2 +80·А 3 -150·А 4 +80·А 4 -5·А 6 =0

4·А 1 +30·А 2 -120·А 3 +40·А 4 +60·А 5 -6·А 6 =120.

Если зафиксировать число А 6 то все остальные выразятся следующими формулами: А 1 =А 6 -5; А 2 =А 6 -4; А 3 =А 6 -3; А 4 =А 6 -2; А 5 =А 6 -1.

Мы получили возрастающую последовательность целых чисел.

Из теоремы вытекает что линейный множитель имеет следующий вид: φ(x)=x+А 4 (3).

Определение : последовательность чисел заданных данными соотношениями А 1 =А 6 -5; А 2 =А 6 -4; А 3 =А 6 -3; А 4 =А 6 -2; А 5 =А 6 -1; А 6 называют линейным Лагранжевым рядом.

Определение : линейный Лагранжевый ряд называется «кандидатом » если все его числа А k являются делителями соответствующих значений функции f(x k), где k=1;2;3;4;5;6.

Для всех кандидатов строим линейный множитель φ(x) по формуле (3) и проверяем его на делимость с f(x).

Из теоремы вытекает что линейный множитель имеет следующий вид φ(x)=x+А 4 ,

где А 4 является делителем свободного члена т.е. f(0). Аналогично определяется линейный множитель приведенного многочлена по схеме Горнера.

Пример: f(x)= x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8. По схеме Горнера найдем значение многочлена при х= -3; -2; -1; 0;1;2. Для этого составим таблицу 1:

Последний столбец таблицы 1 перепишем первой строкой таблицы 2. Выберем в этой строке число, имеющее наименьшее число делителей. В нашем примере это число -8. Запишем в столбик все его делители. Каждому делителю числа -8 запишем в строчку линейный Лагранжевый ряд. Из получившихся Лагранжевых рядов выберем «кандидатов». Построим с помощью «кандидатов» многочлен φ(x) по формуле (3) и проверим их на делимость с данным многочленом f(x)= x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8.

Таблица 2:

						«кандидат»

В приведенной выше таблице 2 закрашены серым цветом прямоугольники, в которых находятся числа, не являющиеся делителями соответствующих значений функции f(x). В данной таблице находится строка или Лагранжевый ряд все числа, которого являются делителями соответствующих значений функции f(x). Этот ряд является единственным кандидатом. В этом ряде А 4 = -8, подставляя в формулу φ(x)=x- А 4 , находим φ(x)=x- 8.

Проверка: x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8=(x-8)·(x 4 +2x 2 +1). Действительный кандидат выделим черным цветом.

Разложение многочленана квадратичные множители с помощью ИМЛ.

Теорема 2 . Множитель φ(x) является квадратичным если числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 связаны между собой следующими соотношениями:

А 1 =5·(А 5 +4)-4·А 6

А 2 =4·(А 5 +3)-3·А 6

А 3 =3·(А 5 +2)-2·А 6

А 4 =2·(А 5 +1)-1·А 6

Доказательство: Доказательство: приведем многочлен (1) к наименьшему общему знаменателю, т.е. к 120· F(x),получившийся числитель запишем в виде многочлена пятой степени у которого коэффициенты содержат числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 . Для того что бы многочлен (1) был квадратичным необходимо приравнять к нулю коэффициенты при «х» пятой, четвертой и третьей степени, а коэффициент при «х» второй степени приравнять к 120. В результате получим следующую систему из четырех уравнений с шестью переменными:

А 1 +5·А 2 -10·А 3 +10·А 4 -5·А 5 +А 6 =0

5·А 2 -20·А 3 +30·А 4 -20·А 5 +5·А 6 =0

5·А 1 -35·А 2 +70·А 3 -50·А 4 +5·А 5 +5·А 6 =0

5·А 2 +80·А 3 -150·А 4 +80·А 5 -5·А 6 =120.

Если зафиксировать два числа А 5 и А 6 то все остальные выразятся следующими формулами:

А 1 =5·(А 5 +4)-4·А 6 ; А 2 =4·(А 5 +3)-3·А 6 ;

А 3 =3·(А 5 +2)-2·А 6 ; А 4 =2·(А 5 +1)-1·А 6 .

Из теоремы вытекает, что квадратичный множитель выразится формулой φ(x)=x 2 +(А 6 - А 5 -3) ·x+ А 4 . (4)

Определение: Последовательность целых чисел заданных следующими

соотношениями А 1 =5·(А 5 +4)-4·А 6 ; А 2 =4·(А 5 +3)-3·А 6 ; А 3 =3·(А 5 +2)-2·А 6 ; А 4 =2·(А 5 +1)-1·А 6 называется квадратичным Лагранжевым рядом

Определение : квадратичный Лагранжевый ряд называется «кандидатом» если все его числа А k являются делителями соответствующих значений функции f(x k), k=1;2;3;4;5;6.

Для всех кандидатов строим квадратичный множитель φ(x) по формуле (4) и проверяем его на делимость с f(x).

Упрощенный вид квадратичных Лагранжевых рядов.

Формулы квадратичного Лагранжевого ряда можно упростить. Для этого буквой «d» обозначим разность А 5 - А 6 , тогда числа квадратичного Лагранжевого ряда будут выглядеть более простыми формулами и удобными для их построения:

Пример: А 5 =7; А 6 =10 составить квадратичный Лагранжевый ряд.

Найдем d=7-10=-3, тогда по формулам таблицы найдем числа данного ряда:

Ответ: 15; 10; 7; 6; 7; 10.

Рассмотрим пример разложения приведенного многочлена пятой степени на множители: f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20 .

По схеме Горнера найдем значения функции при х=-3; -2;-1; 0;1;2. Для этого составим таблицу:

1. Определим, имеет ли данный многочлен, линейные множители. Для этого в строчку таблицы №3 запишем получившиеся значения функции. Из них выберем число, имеющее наименьшее число делителей. В нашем примере это число «2». Запишем в столбик все его целые делители. Для каждого делителя числа «2» в строчку запишем линейные Лагранжевые ряды. Из них выберем кандидатов и проверим на делимость с данным многочленом f(x).

Таблица №3:

В данной таблице №3 серым цветом отмечены клетки, в которых находятся числа, не являющиеся делителями соответствующих значений функции f(x). Пустые клетки заполнять нет необходимости, так как построенный квадратичный Лагранжевый ряд с числом в серой клетке заведомо не является «кандидатом». Из данной №3 таблицы видно, что «кандидатов» нет. Это значит что данный многочлен f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20 на линейные множители не раскладывается.

Определим, имеет ли данный многочлен, квадратичные множители. Для этого в строчку таблицы №4 запишем получившиеся значения функции. Из них выберем два числа, имеющие наименьшее число делителей. В нашем примере это числа «2» и «-6» запишем их делители в столбики. Для каждой пары делителей чисел «2» и «-6» в строчку запишем квадратичные Лагранжевые ряды. Из них выберем кандидатов и проверим их на делимость с данным многочленом f(x).

Таблица №4:

В данной таблице №4 мы видим двух «кандидатов». С их помощью по формуле φ(x)=x 2 +(А 6 - А 5 -3) ·x+ А 4 найдем квадратные множители: φ 1 (x)=x 2 -3х+ 4; φ 2 (x)=x 2 +x-4.

Проверка показывает, что один из двух множителей является истинным это φ 1 (x)=x 2 -3х+ 4, а другой множитель оказался посторонним.

Ответ: x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20=(x 2 -3х+ 4)·(x 3 -2x 2 +3x-5).

В данной таблице №4 получили 32 квадратичных Лагранжевых ряда. Это число определяется количеством различных пар делителей, как положительных, так и отрицательных, двух значений функции, которые расположены двумя столбиками по соседству.

Уменьшение числа квадратичных Лагранжевых рядов.

Если значения функции число делителей, которых минимально, расположены не по соседству, то можно воспользоваться следующей теоремой:

Теорема 3 Пустьизвестны А 4 и А 6 тогда А 5 =(А 4 + А 6 ·1):2-1

Пустьизвестны А 3 и А 6 тогда А 5 =(А 3 + А 6 ·2):3-2

Пустьизвестны А 2 и А 6 тогда А 5 =(А 2 + А 6 ·3):4-3

Пустьизвестны А 1 и А 6 тогда А 5 =(А 1 + А 6 ·4):5-4.

Доказательство: докажем последнее равенство А 5 =(А 1 +А 6 ·4):5-4. По определению квадратичных Лагранжевых чисел, А 1 =5·(А 5 +4)-4·А 6 подставим это число в исходное равенство получим А 5 =(5·(А 5 +4)-4·А 6 +А 6 ·4):5-4=(5 ·А 5 +20):5-4=А 5 +4-4=А 5 что и требовалось доказать. Другие равенства доказываются аналогично.

Данная теорема позволяет уменьшить число квадратичных Лагранжевых рядов. Рассмотрим уже решенный нами примерf(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20

и решим его на случай когда мы рассматриваем квадратичные Лагранжевые ряды построенных с помощью делителей А 4 и А 6 .

Таблица №5:

				(А 4 + А 6 ·1):2-1

В данной таблице №5 мы получили 24 квадратичных Лагранжевых ряда. Так как в формуле сумму А 4 и А 6 необходимо делить на 2, поэтому делители А 4 и А 6 должны быть либо оба четными, либо оба нечетными. За счет этого уменьшилось число квадратичных Лагранжевых рядов. Если использовать данную теорему 3 для записи квадратичных Лагранжевых рядов, построенных с помощью А 1 и А 6 , то число рядов уменьшится до 12.

Таблица №6:

В таблице №6 число квадратичных Лагранжевых рядов уменьшилось до 12, так как А 5 находится по формуле (4A 1 +A 6):5-4 и А 5 как целое число должно быть меньше или равно -6. Во всех таблицах черная выделенная строка является «действительным кандидатом». Остальные кандидаты являются «мнимыми».

Для многочлена шестой степени можно доказать, что квадратичный множитель можно найти по формуле: φ(x)=x 2 +(А 7 - А 6 - 5) ·x+ А 4 , где числа А 1 ; А 2 ; А 3 ; А 4 ; А 5 ; А 6 ; А 7 образуют квадратичный Лагранжевый ряд.

Выводы:

Данный метод разложения, использующий ИМЛ является обобщением «схемы Горнера».

Данным методом можно определить квадратичные множители для многочленов выше пятой степени.

Данным методом можно исследовать свойства Лагранжевых чисел для определения кубических многочленов в разложении многочленов пятой и выше степени.

Литература:

1. А. Н. Чеботарев «Основы теории Галуа», ОМТИ ГТТИ, 1934г., 1ч.

2. «Числа и многочлены», составитель А.А. Егоров - М.: бюро Квантум, 2000/ приложение к журналу «Квант» №6, 2000г.

- многочленами . В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.

Навигация по странице.

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Определение.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и - это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Определение.

Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 состоит из четырех членов: 3·x 4 , −2·x·y , 3 и −y 3 . Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Определение.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.

Так x+y – это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b , где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x 2 +b·x+c , где a , b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1 , x·7,2−4 , а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые . Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3 , а также 5·x и 2·x . Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Определение.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1 и −3 , как и пара 5·x и 2·x , являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов .

Многочлен стандартного вида

Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.

Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x 2 −x·y+1 и записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z и x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x 2 и −x 2 , а во втором – одночлен x·y 3 ·x·z 2 , вид которого отличен от стандартного.

Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду .

К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.

Определение.

Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.

Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 не имеет свободного члена.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов , находящихся в его составе.

Определение.

Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x 3 −4 равна 3 , так как входящие в его состав одночлены 5·x 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3 , оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , то есть, 5 .

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Определение.

Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите степень многочлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 .

Решение.

Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 .

В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a 2 ·b 2 ·c 2 и y 2 ·z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6 , она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 , а значит, и степенью исходного многочлена. , 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Согласно определению, многочлен это алгебраическое выражение представляющее собой сумму одночленов.

Для примера: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлены, а выражение z/(x - x*y^2 + 4) не является многочленом потому, что оно не является суммой одночленов. Многочлен еще иногда называют полиномом, а одночлены которые входят в состав многочлена членами многочлена или мономами.

Комплексное понятие многочлена

Если многочлен состоит из двух слагаемых, то его называют двучлен, если из трех - трехчлен. Названия четырехчлен, пятичлен и другие не используются, а в таких случаях говорят просто, многочлен. Такие названия, в зависимости от количества слагаемых, ставят все на свои места.

И термин одночлен становится интуитивно понятным. С точки зрения математики, одночлен является частным случаем многочлена. Одночлен это многочлен, который состоит из одного слагаемого.

Так же как и у одночлена, у многочлена есть свой стандартный вид. Стандартным видом многочлена называется такая запись многочлена, при которой все входящие в него в качестве слагаемых одночлены, записаны в стандартном виде и приведены подобные члены.

Стандартный вид многочлена

Процедура приведения многочлена к стандартному виду состоит в том, чтобы привести каждый из одночленов к стандартному виду, а потом все подобные одночлены между собой сложить. Сложение подобных членов многочлена называют приведением подобных.
Например, приведем подобные слагаемые в многочлене 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Подобными здесь являются слагаемые 4*a*b^2*c^3 и 6*a*b^2*c^3. Суммой этих слагаемых будет одночлен 10*a*b^2*c^3. Следовательно, исходный многочлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можно переписать в виде 10*a*b^2*c^3 - a*b. Эта запись и будет стандартным видом многочлена.

Из того, что любой одночлен можно привести к стандартному виду, следует также и тот факт, что любой многочлен можно привести к стандартному виду.

Когда многочлен приведен к стандартному виду, можно говорить о таком понятии как степень многочлена. Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в данный многочлен.
Так, например, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - многочлен пятой степени, так как максимальная степень одночлена входящего в многочлен (5*x^3*y^2) пятая.

Которые требуют разложения многочлена на множители, определите общий множитель данного выражения. Для этого сначала вынесите за скобки те переменные, которые входят в всех членов выражения. Причем эти переменные должны иметь наименьший показатель. Затем вычислите наибольший общий делитель каждого из коэффициентов многочлена. Модуль полученного числа будет коэффициентом общего множителя.

Пример. Разложите на 5m³–10m²n²+5m². Вынесите за скобки m², т.к. переменная m в каждый член данного выражения и ее наименьший показатель равен двум. Вычислите коэффициент общего множителя. Он равен пяти. Таким образом, общий множитель данного выражения равен 5m². Отсюда: 5m³–10m²n²+5m²=5m²(m–2n²+1).

Если выражение не имеет общего множителя, попробуйте разложить его способом группировки. Для этого объедините в группы те члены, у которых имеются общие множители. Вынесите общий множитель каждой группы за скобки. Вынесите за скобки общий множитель у всех образовавшихся групп.

Пример. Разложите на множители многочлен a³–3a²+4a–12. Произведите группировку следующим образом: (a³–3a²)+(4a–12). Вынесите за скобку общий множитель a² в первой группе и общий множитель 4 во второй группе. Отсюда: a²(a–3)+4(a–3). Вынесите за скобки многочлен a–3, получите: (a–3)(a²+4). Следовательно, a³–3a²+4a–12=(a–3)(a²+4).

Некоторые многочлены раскладываются на множители при помощи формул сокращенного умножения. Для этого приведите многочлен к нужному виду способом группировки или при помощи вынесения за скобки общего множителя. Далее примените соответствующую формулу сокращенного умножения.

Пример. Разложите на множители многочлен 4x²–m²+2mn–n². Объедините в скобки последние три члена, при этом вынесите за скобки –1. Получите: 4x²–(m²–2mn+n²). Выражение в скобках можно представить в виде квадрата разности. Отсюда: (2x)²–(m–n)². Это есть разность квадратов, можно записать: (2x–m+n)(2x+m+n). Таким образом, 4x²–m²+2mn–n²=(2x–m+n)(2x+m+n).

Некоторые многочлены можно разложить на множители методом неопределенных коэффициентов. Так, каждый многочлен можно представить в виде (y–t)(my²+ny+k), где t, m, n, k – числовые коэффициенты. Следовательно, задача сводится к определению значений этих коэффициентов. Это делается, исходя из данного равенства: (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk.

Пример. Разложите на множители многочлен 2a³–a²–7a+2. Из второй части для многочлена третьей степени составьте равенства: m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; –tk=2. Запишите их в виде системы . Решите ее. Вы найдете значения t=2; n=3; k=–1. Подставьте вычисленные коэффициенты в первую часть формулы, получите: 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1).

Источники:

• Разложение многочленов на множители
• как разложить на множители на многочлен

Математическая наука изучает различные структуры, последовательности чисел, отношений между ними, составление уравнений и их решение. Это формальный язык, которым можно четко описать приближенные к идеальным свойства реальных объектов, изучаемых в других областях науки. Одной из таких структур является многочлен.

Инструкция

Многочлен или (от греч. «поли» - много и лат. «номен» - имя) – элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные коэффициенты, x – переменная.

Многочлены применяются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, отрицательных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Использование полиномиальных вычислений значительно упрощает выражение свойств разных объектов.

Основные определения :
Каждое слагаемое полинома называется или мономом.
Многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом или биномом.
Коэффициенты полинома – вещественные или комплексные числа.
Если коэффициент равен 1, то называют унитарным (приведенным).
Степени переменной в каждом одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью называется целое число, равное сумме всех степеней.
Одночлен, соответствующий нулевой степени, называется свободным членом.
Многочлен, все которого имеют одинаковую полную степень, называется однородным.

Некоторые часто используемые многочлены названы по фамилии ученого, который их определил, а также функции, которые они задают. Например, Бином Ньютона – это для разложения полинома на отдельные слагаемые для вычисления степеней. Это известные из школьной программы записи квадратов суммы и разности (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 и разность квадратов (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).

Если допустить в записи многочлена отрицательные степени, то получится многочлен или ряд Лорана; многочлен Чебышева используется в теории приближений; многочлен Эрмита – в теории вероятностей; Лагранжа – для численного интегрирования и интерполяции; Тейлора – при аппроксимации функции и т.д.

Обратите внимание

Бином Ньютона часто упоминают в книгах («Мастер и Маргарита») и фильмах («Сталкер»), когда герои решают математические задачи. Этот термин на слуху, поэтому считается самым известным многочленом.

Совет 3: Как 90 разложить на два взаимно простых множителя

Взаимно простыми множителями называются числа, не имеющие общих делителей, кроме единицы. Алгоритм достаточно прост, попробуйте рассмотреть его на примере: разложите на два взаимно простых множителя число 90.

Или, строго, - конечная формальная сумма вида

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle \sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} , где

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m {\displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m}} , где

С помощью многочлена выводятся понятия «алгебраическое уравнение » и «алгебраическая функция ».

Изучение и применение [ | ]

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля , отрицательных , а затем и комплексных чисел , а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе .

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии , объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.

Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре , теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.

Связанные определения [ | ]

• Многочлен вида c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} называется одночленом или мономом мультииндекса I = (i 1 , … , i n) {\displaystyle I=(i_{1},\dots ,\,i_{n})} .
• Одночлен, соответствующий мультииндексу I = (0 , … , 0) {\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)} называется свободным членом .
• Полной степенью (ненулевого) одночлена c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n {\displaystyle c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} называется целое число | I | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n {\displaystyle |I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}} .
• Множество мультииндексов I , для которых коэффициенты c I {\displaystyle c_{I}} ненулевые, называется носителем многочлена , а его выпуклая оболочка - многогранником Ньютона .
• Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением − ∞ {\displaystyle -\infty } .
• Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом ,
• Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом .
• Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R {\displaystyle R} (чаще всего поля , например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R {\displaystyle R} без делителей нуля) которое обозначается R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . {\displaystyle R.}
• Для многочлена p (x) {\displaystyle p(x)} одной переменной, решение уравнения p (x) = 0 {\displaystyle p(x)=0} называется его корнем .

Полиномиальные функции [ | ]

Пусть A {\displaystyle A} есть алгебра над кольцом R {\displaystyle R} . Произвольный многочлен p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] {\displaystyle p(x)\in R} определяет полиномиальную функцию

p R: A → A {\displaystyle p_{R}:A\to A} .

Чаще всего рассматривают случай A = R {\displaystyle A=R} .

В случае, если R {\displaystyle R} есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f p: R n → R {\displaystyle f_{p}:R^{n}\to R} полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p 1 (x) ≡ x {\displaystyle p_{1}(x)\equiv x} и p 2 (x) ≡ x 2 {\displaystyle p_{2}(x)\equiv x^{2}} из Z 2 [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x]} определяют тождественно равные функции Z 2 → Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{2}} .

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией .

Виды многочленов [ | ]

Свойства [ | ]

Делимость [ | ]

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел . Например, верна теорема: если произведение многочленов p q {\displaystyle pq} делится на неприводимый многочлен , то p или q делится на λ {\displaystyle \lambda } . Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x 4 − 2 {\displaystyle x^{4}-2} , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x {\displaystyle x} разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 {\displaystyle n>2} существуют многочлены от n {\displaystyle n} переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.