Наибольший общий делитель взаимно простые числа. Задачи на тему Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Минутки логических задачУстная работа

Разделы: Математика , Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 6

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Данная работа предназначена для сопровождения объяснения новой темы. Практические и домашние задания учитель подбирает на свое усмотрение.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.

Ход объяснения

Слайд 1. Наибольший общий делитель.

Устная работа.

1. Вычислите:

а) 0,7 * 10 : 2 - 0,3 : 0,4 _________ ?

б) 5 : 10 * 0,2 + 2 : 0,7 _______ ?

Ответы: а) 8; б) 3.

2. Опровергните утверждение: Число “2” является общим делителем всех чисел”.

Очевидно, что нечетные числа не делятся на 2.

3. Как называются числа, кратные 2?

4. Назовите число, которое является делителем любого числа.

Письменно.

1. Разложите число 2376 на простые множители.

2. Найдите все общие делители чисел 18 и 60.

Делители числа 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Делители числа 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.

Назовите наибольший общий делитель чисел 18 и 60.

Попробуйте сформулировать, какое число называют наибольшим общим делителем двух натуральных чисел

Правило. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа , называют наибольшим общим делителем.

Пишут: НОД (18; 60) = 6.

Скажите, пожалуйста, удобен ли рассмотренный способ нахождения НОД?

Числа могут быть слишком большие и для них трудно перечислить все делители.

Давайте попытаемся найти другой способ нахождения НОД.

Разложим числа 18 и 60 на простые множители:

18 =

Приведите примеры делителей числа 18.

Числа: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Приведите примеры делителей числа 60.

Числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.

Приведите примеры общих делителей чисел 18 и 60.

Числа: 1; 2; 3; 6.

Как можно найти наибольший общий делитель 18 и 60?

Алгоритм.

1. Разложить данные числа на простые множители.

Готовые работы

ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ

Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге

МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге

ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ

После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.

Общие делители

Пример 1

Найти общие делители чисел $15$ и $–25$.

Решение .

Делители числа $15: 1, 3, 5, 15$ и им противоположные.

Делители числа $–25: 1, 5, 25$ и им противоположные.

Ответ : у чисел $15$ и $–25$ общими делителями будут числа $1, 5$ и им противоположные.

Согласно свойствам делимости числа $−1$ и $1$ – делители любого целого числа, значит, $−1$ и $1$ всегда будут общими делителями для любых целых чисел.

Любой набор целых чисел всегда будет иметь как минимум $2$ общих делителя: $1$ и $−1$.

Отметим, что если целое число $a$ – общий делитель некоторых целых чисел, то –а также будет общим делителем для этих чисел.

Чаще всего на практике ограничиваются только положительными делителями, но при этом не стоит забывать, что каждое противоположное положительному делителю целое число также будет делителем данного числа.

Определение наибольшего общего делителя (НОД)

Согласно свойствам делимости у каждого целого числа есть хотя бы один делитель, отличный от нуля, и количество таких делителей конечно. В таком случае общих делителей заданных чисел также конечное число. Из всех общих делителей заданных чисел можно выделить наибольшее число.

В случае равенства всех данных чисел нулю нельзя определить наибольший из общих делителей, т.к. нуль делится на любое целое число, которых бесконечное множество.

Обозначается наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ в математике $НОД(a, b)$.

Пример 2

Найти НОД целых чисел 412$ и $–30$..

Решение .

Найдем делители каждого из чисел:

$12$: числа $1, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные.

$–30$: числа $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ и им противоположные.

Общими делителями чисел $12$ и $–30$ будут $1, 3, 6$ и им противоположные.

$НОД (12, –30)=6$.

Определить НОД трех и более целых чисел можно аналогично определению НОД двух чисел.

НОД трех и более целых чисел является наибольшее целое число, которое делит одновременно все числа.

Обозначают наибольший делитель $n$ чисел $НОД(a_1, a_2, …, a_n)= b$.

Пример 3

Найти НОД трех целых чисел $–12, 32, 56$.

Решение .

Найдем все делители каждого из чисел:

$–12$: числа $1, 2, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные;

$32$: числа $1, 2, 4, 8, 16, 32$ и им противоположные;

$56$: числа $1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56$ и им противоположные.

Общими делителями чисел $–12, 32, 56$ будут $1, 2, 4$ и им противоположные.

Найдем наибольшее из этих чисел, сравнив только положительные из них: $1

$НОД(–12, 32, 56)=4$.

В некоторых случаях НОД целых чисел может быть одно из этих чисел.

Взаимно простые числа

Определение 3

Целые числа $a$ и $b$ – взаимно простые , если $НОД(a, b)=1$.

Пример 4

Показать, что числа $7$ и $13$ – взаимно простые.

Запомните!

Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например:

• число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
• число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.

Запомните!

Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число «a » без остатка.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .

Общий делитель двух данных чисел «a » и «b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа «a » и «b ».

Запомните!

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел «a » и «b » — это наибольшее число, на которое оба числа «a » и «b » делятся без остатка.

Кратко наибольший общий делитель чисел «a » и «b » записывают так :

НОД (a; b) .

Пример: НОД (12; 36) = 12 .

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Д (7) = {1, 7}

Д (9) = {1, 9}

НОД (7; 9) = 1

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами .

Запомните!

Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .

Как найти наибольший общий делитель

Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

1. разложить делители чисел на простые множители;

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .

1. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.
   28 = 2 · 2 · 7

   64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

2. Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
   НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

   Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?

Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа 48.

Получим: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Затем выпишем все делители числа 36.

Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Видим, что наибольшим из этих чисел является 12. Его называют наибольший общим делителем чисел 48 и 36.

Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подарке будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12=4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36:12=3).

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки