На рисунке изображен лабиринт

Задача 1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

События «Достанется вопрос по теме Вписанные углы» и «Достанется вопрос по теме вписанная окружность» – . Значит, вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем равна сумме вероятностей этих событий: 0,35+0,2=0,55.

Ответ: 0,55.

Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Ситуация 1:

Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события 0,7) и (умножение) оно бракованное (вероятность события 0,01).

То есть должны произойти оба события. На языке теории вероятностей это означает каждого из событий:

Ситуация 2:

Стекло оказывается со второй фабрики (вероятность события 0,3) и оно бракованное (вероятность события 0,03):

Посколько при покупке стекла мы оказываемся в ситуации 1 или (сумма) в ситуации 2, то по получаем:

Ответ: 0,016.

Задача 3. В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Вероятность события А: «кофе закончится в первом автомате» P(A) равна 0,3.

Вероятность события В: «кофе закончится во втором автомате» P(B) равна 0,3.

Вероятность события АB: «кофе закончится в обоих автоматах» P(АB) равна 0,16.

Вероятность суммы двух совместных событий А+В, есть сумма их вероятностей без вероятности события АB:

Нас же интересует вероятность события, противоположного событию А+В. Действительно, всего возможны 4 события, три из них, помеченные желтым цветом, отвечают событию А+В:

Ответ: 0,56.

Задача 4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Оба автомата неисправны с вероятностью

Хотя бы один автомат исправен (исправен+неисправен, неисправен+исправен, исправен+исправен)– это событие, противоположное событию «оба автомата неисправны», поэтому его вероятность есть

Ответ: 0,9856.

Задача 5. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Биатлонист попадает в мишень первый раз и (умножение) второй, и третий:

Так как вероятность попадания в цель – , то вероятность противоположного события, промаха, –

Биатлонист промахнулся при четвертом выстреле и при пятом:

Тогда вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишень, а (и! ) последние два промахнулся такова:

Ответ: 0,01.

Задача 6. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна 0,92. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

Рассмотрим следующие события:

А – «пылесос прослужит больше года, но меньше 2» ,

В – «пылесос прослужит больше 2-х лет»,

С – «пылесос прослужит больше года».

Событие С есть сумма совместных событий А и В, то есть

Но , так как не может одновременно произойти и А, и В.

Ответ: 0,08.

Задача 7. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,07. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Вероятность перегорания всех трех лампочек в течении года

Тогда вероятность противоположного события – хотя бы одна лампа не перегорит – есть

Ответ: 0,999657.

Задача 8. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

I способ

Пусть вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы, – из I хозяйства – . Тогда вероятность того, что яйцo, купленное у агрофирмы, – из II хозяйства – .

1) из I хозяйства и I категории

2) из II хозяйства и I категории,

II способ

Пусть –количество яиц первого хозяйства, тогда количество яиц высшей категории в этом хозяйстве – .

Пусть –количество яиц второго хозяйства, тогда количество яиц высшей категории в этом хозяйстве – .

Так как по условию высшую категорию получает 60% яиц, а всего яиц, закупаемых агрофирмой , из которых высшей категории, то

То есть у первого хозяйства закупается в раза больше яиц.

Тогда вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства есть

Ответ: 0,6.

Задача 9. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

Джон хватает пристрелянный револьвер (вероятность этого ) и промахивается (вероятность ). Вероятность этого события

Джон хватает непристрелянный револьвер (вероятность этого ) и промахивается (вероятность ). Вероятость этого события

Джон может схватить пристрелянный револьвер и промахнуться или схватить непристрелянный револьвер и промахнуться, поэтому искомая вероятность есть:

Ответ: 0,46.

Задача 10. Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше 12 задач, равна 0,78. Вероятность того, что У. верно решит больше 11 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 12 задач.

Решение:

Пусть событие А: «учащийся верно решит 12 задач»,

событие В: «учащийся решит больше 12 задач»,

событие С: «учащийся решит больше 11 задач».

При этом вероятность события С есть сумма вероятностей событий А и В:

– это и есть искомая вероятность.

Ответ: 0,1.

Задача 11. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

(Мы отметили за «X» – «хорошая погода», «O» – «отличная погода»)

Событие D: XХXO произойдет с вероятностью

Событие F: ХХОО произойдет с вероятностью

Событие J: ХOОО произойдет с вероятностью

Событие H: ХОXО произойдет с вероятностью

Ответ: 0,392.

Задача 12. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение:

На своем пути паук встречает четыре развилки. И на каждой развилке паук может выбрать путь, ведущий к выходу D, с вероятностью 0,5 (ведь на каждой развилке возможны два независимых равновозможных события: «выбор верного пути» и «выбор неверного пути»). Паук дойдет до выхода D, если выберет «верный путь» на первой развилке и на второй, и на третьей, и на четвертой, то есть к выходу D паук придет с вероятностью, равной
Ответ: 0,0625.

Задача 13. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение:

Пусть – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом.

Тогда – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, не болен гепатитом.

Анализ дает положительный результат в случаях

пациент болен и (умножение) анализ положителен

или (сложение)

пациент не болен и анализ ложно положителен

Так как по условию задачи у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат, то

Округляем до тысячных: .

Ответ: 0,056.

Задача 14. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем - 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

Решение:

Переформулируем вопрос задачи:

Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 0,02?

При одном выстреле вероятность промаха – 0,6.

При двух выстрелах вероятность промаха – (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность промаха –

При четырех выстрелах вероятность промаха –

При пяти выстрелах вероятность промаха –

Замечаем, что .

Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98.

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха с 3 по 5 апреля. По горизонтали указано время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. В течение скольких часов температура 5 апреля была больше −3 градусов Цельсия?

Ответ: 15.

Данному условию удовлетворяет время с 9 до 24(полночь), что соответствует 15 часам.

Задание 3. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

На клетчатой бумаге изображён угол. Найдите его величину. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 45.

Как видим дуга, на которую опирается вписанный угол, составляет четвертую часть от окружности. С учетом того, что окружность составляет 360 градусов, то дуга равна 90 градусов. А так как величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, то получаем 45 градусов.

Задание 4. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

На рисунке изображен лабиринт. Жук вползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться или ползти назад жук не может, поэтому на каждом разветвлении жук выбирает один из путей, по которым он еще не полз. Считая, что выбор чисто случайный, определите, с какой вероятностью жук придет к одному из выходов. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,17.

С учетом того, что вероятность пойти в различных направлениях на перекрестках одинакова, мы получаем следующие значения (задача просто расписать дорожку к каждому из выходов, учитывая, что, например, если два пути, то вероятность пойти в одном направлении 0,5, если три, то 1/3 и тд. Обратный путь считать не надо):

Г: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}$$

В: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot0,5$$

Б: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}$$

А: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot0,5$$

$$\frac{1}{3}\cdot0,25(1+0,5+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot0,5)=$$ $$\frac{1}{12}(\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6})=$$ $$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\approx0,17$$

Задание 6. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Известно, что $$\angle ALC=130^{\circ}$$, а $$\angle ABC=103^{\circ}$$. Найдите $$\angle ACB$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 23.

$$\angle ALB=180^{\circ}-\angle ALC=50^{\circ}$$; $$\angle BAL=180^{\circ}-\angle ABL-\angle ALB=180^{\circ}-103^{\circ}-50^{\circ}=27^{\circ}$$; $$\angle BAC=2\cdot27=54$$; $$\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=23^{\circ}$$

Задание 7. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

На рисунке изображен график производной функции $$y=f"(x)$$, определенной на интервале (−3; 9). В какой точке отрезка [−2; 3] $$f(x)$$ принимает наибольшее значение?

Ответ: -2.

В данном задании необходимо помнит следующее: производная отрицательна, значит функция убывает. В нашем случае график произвольной находится под осью Ох на всем отрезке [-2;3] (то, что он "скачет" никак не убывание функции не влияет: она просто убывает где-то быстрее, где-то медленнее). Раз функция на всем отрезке убывает, то ее наибольшее значение будет в начале отрезка.

Задание 8. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Во сколько раз уменьшится объем октаэдра, если все его ребра уменьшить в два раза?

Ответ: 8.

Для решения данных заданий надо помнить, что периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия, площади - как квадрат коэффициента подобия, а объемы - как куб коэффициента подобия. То есть, если уменьшить ребро в два раза, объем изменится в 8 раз

Задание 9. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}$$ при $$a=0,1$$.

Ответ: 10.

$$\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}=$$ $$\frac{a^{\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{1}{12}}}{a\cdot a^{\frac{1}{3}}}=$$ $$a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-1-\frac{1}{3}}=$$ $$a^{-1}=\frac{1}{0,1}=10$$

Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий $$v=4$$ моля воздуха при давлении $$p_{1}=1,2$$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $$A=\alpha vT\log_{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}$$, где α=5,75- постоянная, T =300 К-температура воздуха, $$p_{1}$$ (атм)-начальное давление, а $$p_{2}$$ (атм)-конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления $$p_{2}$$ (в атм) можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 20 700 Дж?

Ответ: 9,6.

$$20700=5,75\cdot4\cdot300\log_{2}\frac{p_{2}}{1,2}\Leftrightarrow $$$$\log_{2}\frac{p_{2}}{1,2}=\frac{20700}{23\cdot300}=3\Leftrightarrow $$$$\frac{p_{2}}{1,2}=2^{3}=8\Leftrightarrow $$$$p_{2}=1,2\cdot8=9,6$$

Задание 11. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 16 ч после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Ответ: 286.

Пусть х - расстояние в один конец. Скорость по течению составляет 24+2=26, против течения 24-2=22. Стоянка длилась 4 часа, следовательно само плавание составило 16-4=12. Данное время получается суммирование времени по течени и против течения:

$$\frac{x}{26}+\frac{x}{22}=12\Leftrightarrow$$$$\frac{24x}{11\cdot13\cdot2}=12\Leftrightarrow $$$$x=\frac{11\cdot12\cdot13\cdot2}{24}=143$$

Тогда расстояние туда/обратно составило 143-143=286 км.

Задание 12. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Найдите точку минимума функции $$y=x\sin x+\cos x-\frac{3}{4}\sin x$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,75.

$$y"=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac{3}{4}\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac{3}{4})=0\Leftrightarrow $$$$x=0,75 ; x=\frac{\pi}{2}+\pi*n, n \in Z$$

отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной (сначала будет рассматривать каждый из множителей, входящих в производную, затем только знак самой производной, как произведение множителей):

Как видим по рисунку (F=0 - начало отрезка, на котором ищем) точка минимума x=0,75.

Задание 13. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

А) Решите уравнение $$\cos2(x+\frac{\pi}{3})+4\sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{5}{2}$$

Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\pi]$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}$$.

Пусть $$x+\frac{\pi}{3}=y$$;

$$\cos2y+4\sin y=\frac{5}{2}\Leftrightarrow $$$$1-2\sin^{2}y+4\sin y-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow $$$$-2\sin^{2}y+4\sin y-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow $$$$4\sin^{2}y-8\sin y+3=0$$;

$$\sin y=\frac{8+4}{8}=\frac{3}{2}$$ - решений нет;

$$\sin y=\frac{8-4}{8}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}y=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\y=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

Построим единичную окружность, отметим корни в общем виде и промежутке и найдем частные случаи корней:

Очевидно, что корни, попадающие в данные отрезки это $$-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}$$

Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со стороной АВ=4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды. Плоскость $$\alpha$$, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает ребро SA в точке М, причем SM:MA=1:2

А) Докажите, что $$SA\perp\alpha$$

Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha$$

Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$.

a) 1) $$AS=\sqrt{16+32}=4\sqrt{3}$$; $$AM=\frac{4\sqrt{3}\cdot2}{3}$$; $$MS=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$; $$MC=\frac{4\cdot4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$$; $$4^{2}=(\frac{4\sqrt{6}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{16\cdot6+16\cdot3}{9}=16$$

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

б) 1) $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{MS}{SA}\cdot\frac{AO}{OC}=1$$; $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}=1$$; $$\frac{CE}{EM}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac{3}{4}\cdot CM=\frac{3}{4}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$$

2) $$\cos ACM=\frac{CM}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; $$OE=\sqrt{OC^{2}+CE^{2}-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM}=$$ $$\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}-2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}=$$ $$\sqrt{8+6-\frac{4\cdot6}{3}}=\sqrt{6}$$

3) $$SO=\sqrt{OC^{2}+SC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+4^{2}}=\sqrt{24}$$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - средняя линия $$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$;

4) $$S_{CKMN}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot NK=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot2\sqrt{2}=\frac{4\cdot\sqrt{12}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Задание 15. Тренировочный вариант ЕГЭ № 229 Ларина.

Решите неравенство $$\log_{x-2}\frac{1}{5}\geq\log_{\frac{x-3}{x-5}}\frac{1}{5}$$

Ответ: $$x\in}