Мы изучили треугольники! Геометрия (наука, изучающая геометрические фигуры) Стереометрия (наука изучающая свойства фигур в пространстве) Планиметрия. Какие основные понятия и аксиомы стереометрии

Элементы треугольника Так же в треугольнике рассматривают другие отрезки: Медианы (отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон.) Биссектрисы (отрезки, заключенные внутри треугольника, которые делят пополам его углы) Высоты (перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону)

Теоремы равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Используемая литература: Учебник «Геометрия» 7-9 класс / Л.С.Атанасян-издательство «Просвещение», 2007год Учебник «Геометрия» 7-9 класс / Л.С.Атанасян-издательство «Просвещение», 2007год Энциклопедия для детей.Т.11.Математика / Глав.ред. М.Д.Аксёнова-М.: Аванта+,1998год. Энциклопедия для детей.Т.11.Математика / Глав.ред. М.Д.Аксёнова-М.: Аванта+,1998год.

«Наука геометрия» - VI век до нашей эры. Геометрические фигуры вокруг нас. 4. Четыре страны имеют форму треугольников. Какие инструменты нам будут нужны на уроках? Изучает свойства фигур на плоскости. Что означает слово “геометрия”? Аукцион по продаже пятерок. Планиметрия. Картины Виктора Вазарели. Изучает свойства фигур в пространстве.

«Взаимное расположение прямых в пространстве» - a. ??? a ? b. Скрещивающиеся прямые. b. Ввести определение скрещивающихся прямых. ?. Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых. Расположение прямых в пространстве: Лежат в одной плоскости! Почему? Дано: АВ?, СD ? ? = С, С АВ.

«Сравнение отрезков» - Сравнение отрезков и углов. ©Максимовская М.А., 2009 год. Сравнение отрезков. A. B. Определение. C.

«Многообразия» - В нем вводится естественная метрика Сасаки. . 21. 19. Рис.8. 7. Рис.9. Гипотеза Пуанкаре состоит в следующем. Поток Риччи. Рис. 14. Рис. 5. 25. 22. Рис. 18. 26. 24. Геометрическая гипотеза Терстона. Трехмерные многообразия. Рис. 19. Рис. 10. 15. 9. Однородные трехмерные геометрии. Рис. 6. Двумерные многообразия.

«Учебник по геометрии» - Многогранники, описанные около сферы 34. Средняя линия треугольника 33. 3. Включение в содержание исторического материала. Подобие фигур. Параллелограммы 30. Индивидуальные творческие задания. Использование рисунков художников: С. Дали, А. Дюрера, О. Рутерсварда, М. Эшера и др. Пособия для подготовки к ЕГЭ.

«Формула отрезков» - Задача 3. Результат: x

ВВЕДЕНИЕ

1862-1943 ) в конце CIC века.

– – измерять.

Схема построения геометрии

Перечисляются основные неопределяемые понятия.

Формулируются свойства основных понятий - аксиомы.

Определяются другие геометрические понятия.

Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.

Определение : Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

I. Аксиомы принадлежности

I 1 . Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Обозначение :

А, В, С, D – точки;

а, b, с – прямые;

a , b , g – плоскости;

А Î а – точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А;

Е Ï а – точка Е не принадлежит прямой а;

С Î a – точка С принадлежит плоскости a , плоскость a проходит через точку С;

Е Ï a – точка Е не принадлежит плоскости a .

Вывод : Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости.

I 2 . Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Обозначение :

а Ì a – плоскость a проходит через прямую а;

b Ë a – плоскость a не проходит через прямую b.

I 4 . Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Обозначение : a = АВС

Вывод : Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.

I 5 . Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая.

Обозначение : М Î a , М Î b , a ¹ b , a ìüb = l.

II. Аксиомы расстояния

II 1 . Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В . Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

Обозначение : АВ ³ 0.

II 2 . Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А .

Обозначение : АВ = ВА.

II 3 . Для любых трех точек А , В , С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С .

Обозначение : АС £ АВ + ВС.

III. Аксиомы порядка

III 1 . Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В , принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В ; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О .

III 3 . Если точка С лежит между точками А и В , то точки А , В , С принадлежат одной прямой.

III 4 . Любая прямая р , лежащая в плоскости a р р .

IV. Аксиома подвижности плоскости

Если точки А , В , А 1 , В 1 лежат в плоскости a , причем АВ > 0 и АВ = А 1 В 1 , то существует два и только два перемещения этой плоскости, каждое из которых отображает точку А на точку А 1 а точку В на точку В 1 .

V. Аксиома параллельных

Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р .

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Следствие 1 : Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.

Дано : М, а, М Ï а

Доказать :

2. .

Доказательство :

1. Выберем на прямой а точки А и В (аксиома I 1 ): А Î а, В Î а.

): a = МАВ.

Так как точки А, В принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I 3 ): а Ì a .

Следовательно, существует плоскость a , проходящая через прямую а и не принадлежащую ей точку М: .

2. Плоскость a содержит прямую а и точку М, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I 4 ).

Следствие 2 : Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано : а, b, а ´ b

Доказать :

2. .

Доказательство :

1. Обозначим точку пересечения прямых а и b: .

Выберем на прямой а точку А, на прямой b точку В (аксиома I 1 ): А Î а, В Î b.

Через точки М, А, В проходит плоскость a (аксиома I 4 ): a = МАВ.

Так как точки А, М принадлежат плоскости a , то прямая а принадлежит плоскости a (аксиома I 3 ): АМ = а Ì a .

Так как точки В, М принадлежат плоскости a , то прямая b принадлежит плоскости a (аксиома I 3 ): ВМ = b Ì a .

Следовательно, существует плоскость a , проходящая через две пересекающиеся прямые а и b: .

2. Плоскость a содержит прямые а и b, то есть проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (аксиома I 4 ).

Определение : Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.

Следствие 3 : Через две параллельные прямые можно провести одну и только одну плоскость.

Дано : а, b,

Доказать :

2. .

Доказательство :

1. Существование плоскости a , проходящей через две параллельные прямые а и b, следует из определения параллельных прямых.

2. Предположим, что существует другая плоскость, содержащая прямые а и b. Выберем на прямой а точку А, на прямой b точки В и М (аксиома I 1 ): А Îа, В Îb, М Îb. Получили, что через точки А, В, М проходят две плоскости, что противоречит аксиоме I 4 . Следовательно, предположение не верно, плоскость а – единственная.

Упражнения :

c) ;

2. По рисунку назвать:

a) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, ЕС;

b) точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ;

c) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDС и АВС.

3. По рисунку назвать:

a) точки, лежащие в плоскостях DСС 1 и ВQС;

b) плоскости, в которых лежит прямая АА 1 ;

c) точки пересечения прямой МК с плоскостью АВD, прямых DК и ВР с плоскостью А 1 В 1 С 1 ;

d) прямые, по которым пересекаются плоскости АА 1 В 1 и АСD, РВ 1 С 1 и АВС;

e) точки пересечения прямых МК и DС, В 1 С 1 и ВР, С 1 М и DС.

3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Определение : Плоскости параллельны, если они не имеют общих точек или совпадают.

ТЕТРАЭДР. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

В теме «Геометрические тела, их поверхности и объёмы» мы будем изучать многогранники – геометрические тела, поверхности которых составлены из многоугольников. Для иллюстрации понятий, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве познакомимся с двумя многогранниками – тетраэдром и параллелепипедом.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС , получим треугольники DАВ , DВС , DСА .

Поверхность, составленная из четырёх треугольников АВС , DАВ , DВС , DСА , называется тетраэдром и обозначается DАВС .

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями , их стороны – рёбрами , а вершины – вершинами тетраэдра . Тетраэдр имеет четыре грани, шесть рёбер и четыре вершины.

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными . У тетраэдра DАВС противоположными являются рёбра АD и ВС , ВD и АС , СD и АВ . Часто одну из граней тетраэдра называют основанием , и три другие – боковыми гранями .

Рассмотрим два равных параллелограмма АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 , расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА 1 , ВВ 1 , СС 1 и DD 1 параллельны. Четырёхугольники АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 также являются параллелограммами, так как каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны.

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 и четырёх параллелограммов АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DА А 1 D 1 , называется параллелепипедом и обозначается АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 .

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями , их стороны – рёбрами , а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда . Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными , а не имеющие общих рёбер – противоположными . Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными . Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда . Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.

Диагоналями параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 являются отрезки АС 1 , ВD 1 , СА 1 , DВ 1 .

Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями , а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда . Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми рёбрами .

Если в качестве оснований параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 выбрать грани АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 , то боковыми гранями будут параллелограммы АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DА А 1 D 1 , а боковыми рёбрами отрезки АА 1 , ВВ 1 , СС 1 и DD 1 .

Упражнения :

1. В тетраэдре DАВС точки М, N, Q, Р – середины отрезков ВD, DС, АС, АВ. Найти периметр четырехугольника МNQР, если АD = 12 см, ВС = 14 см.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Определение : Углом между непараллельными прямыми т и п называется меньший из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми т" и п" , где т" || т , п" || п .

, , .

Замечание : Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Определение : Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен .

Обозначение :

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Задача : Дан куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 .

Найти: ; ; .

Решение:

По признаку параллельности двух прямых:

и , следовательно, . .

. , так как СDD 1 С 1 является квадратом.

По признаку скрещивающихся прямых:

, следовательно, · .

, следовательно, .

Вывод :

Из центра О круга радиуса 3 дм восстановлен перпендикуляр ОВ к его плоскости. К окружности проведена касательная в точке А и на этой касательной отложен от точки касания отрезок АС, равный 2 дм. Найти длину наклонной ВС, если длина перпендикуляра ОВ равна 6 дм.

5. Из вершины D прямоугольника АВСD, стороны которого АВ = 9 см и ВС = 8 см, восстановлен к плоскости прямоугольника перпендикуляр DF = 12 см. Найти расстояния от точки F до вершин прямоугольника.

8. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ЛИНЕЙНЫЙ УГОЛ ДВУГРАННОГО УГЛА

III 4 . Любая прямая р , лежащая в плоскости a , разбивает множество не принадлежащих ей точек этой плоскости на два непустых множества так, что любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р ; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р .

Множества, на которые прямая р разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости a , называются открытыми полуплоскостями с границей р .

Сторона ВС прямоугольника АВСD служит стороной треугольника ВСF, причём вершина F проектируется на DС. Назвать линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и ВСF (Рис. 1.).

Рис. 1. Рис. 2.

Дано изображение равнобедренной трапеции АВСD и треугольника АВМ. Отрезок МС перпендикулярен плоскости АВС. Построить линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и ВСМ так, чтобы одна из его сторон проходила через точку М (Рис. 2.).

3. На грани двугранного угла, равного 45°, дана точка, удалённая от ребра на 4 см. Найти расстояние от этой точки, до другой грани.

Многоугольник разбивается диагоналями, проведёнными из одной вершины, на конечное число треугольников, для каждого из которых теорема верна. Поэтому теорема будет верна и для суммы площадей всех треугольников, плоскости которых образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Замечание : Доказанная теорема справедлива для любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой.

Упражнения :

1. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – правильный треугольник со стороной а.

2. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см.

3. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см.

4. Вычислить площадь трапеции, плоскость которой наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция её – равнобедренная трапеция, большее основание которой 44 см, боковая сторона 17 см и диагональ 39 см.

5. Вычислить площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 8 см, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом .

6. Ромб со стороной 12 см и острым углом образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

7. Ромб со стороной 20 см и диагональю 32 см образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

8. Проекция навеса на горизонтальную плоскость есть прямоугольник со сторонами и . Найти площадь навеса, если боковые грани – равные прямоугольники, наклонённые к горизонтальной плоскости под углом , а средняя часть навеса – квадрат, параллельный плоскости проекции.

11. Упражнения по теме «Прямые и плоскости в пространстве»:

Стороны треугольника равны 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр, равный 60 см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.

2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные , а между собой – прямой угол. Найти расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.

3. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие точку М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы . Найти расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.

4. Через сторону квадрата проведена плоскость под углом к диагонали квадрата. Найти углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.

5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости a, проходящей через гипотенузу, под углом . Доказать, что угол между плоскостью a и плоскостью треугольника равен .

6. Двугранный угол между плоскостями треугольников АВС и DВС равен . Найти АD, если АВ = АС =5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = см.

Контрольные вопросы по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

1. Перечислить основные понятия стереометрии. Сформулировать аксиомы стереометрии.

2. Доказать следствия из аксиом.

3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве? Дать определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.

4. Доказать признак скрещивающихся прямых.

5. Каково взаимное расположение прямой и плоскости? Дать определения пересекающихся, параллельных прямой и плоскости.

6. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.

7. Каково взаимное расположение двух плоскостей?

8. Дать определение параллельных плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей. Сформулировать теоремы о параллельных плоскостях.

9. Дать определение угла между прямыми.

10. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

11. Дать определения основания перпендикуляра, основания наклонной, проекции наклонной на плоскость. Сформулировать свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки.

12. Дать определение угла между прямой и плоскостью.

13. Доказать теорему о трех перпендикулярах.

14. Дать определения двугранного угла, линейного угла двугранного угла.

15. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.

16. Дать определение расстояния между двумя различными точками.

17. Дать определение расстояния от точки до прямой.

18. Дать определение расстояния от точки до плоскости.

19. Дать определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

20. Дать определение расстояния между параллельными плоскостями.

21. Дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

22. Дать определение ортогональной проекции точки на плоскость.

23. Дать определение ортогональной проекции фигуры на плоскость.

24. Сформулировать свойства проекций на плоскость.

25. Сформулировать и доказать теорему о площади проекции плоского многоугольника.

ВВЕДЕНИЕ

Первое, дошедшее до нас, научное изложение геометрии содержится в труде «Начала», составленном древнегреческим ученым Евклидом, жившим в III веке до нашей эры в городе Александрии. Именно Евклидом была сделана первая попытка дать аксиоматическое изложение геометрии. Впервые научная система аксиом Евклида была сформулирована Д. Гильбертом (1862-1943 ) в конце CIC века.

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.

Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

Схема построения геометрии

Многие предметы вокруг нас имеют форму, похожую на геометрические фигуры. Альбомный лист имеет форму прямоугольника. Если поставить круглый стакан на лист бумаги и обвести его карандашом, получится линия, изображающая окружность. Кольцо, обруч напоминают своей формой окружность, а арена цирка, дно стакана или тарелка имеют форму круга. Апельсин, футбольный мяч, арбуз похожи на шар. Шестигранный карандаш, египетские пирамиды – это тоже геометрические фигуры.

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур: треугольника квадрата, круга, пирамиды сферы и др.

Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Принято считать, что геометрия зародилась в Древней Греции. Но греки переняли у египтян основы землемерия и превратили его в научную дисциплину путём установления общих закономерностей. Главным трудом по геометрии являются «Начала» древнегреческого учёного Евклида, составленные около 300 лет до н.э. Этот труд длительное время считался образцовым. Эвклидова геометрия изучает простейшие геометрические формы: точки, прямые, отрезки, многоугольники, шары, пирамиды и др. Именно этот раздел геометрии изучается в школе.

В 1877 году немецкий математик Феликс Клейн в своей «Эрлангерской программе» предложил классификацию различных разделов геометрии, которая используется и в наши дни: евклидова геометрия, проективная, аффинная, начертательная, многомерная, риманова, неевклидова геометрии, геометрия многообразий, топология.

Евклидова геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются геометрические фигуры на плоскости.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Проективная геометрия изучает свойства фигур, которые сохраняются при их проецировании (замене на подобные фигуры другого размера).

Аффинная геометрия исследует постоянные свойства фигур при различных изменениях плоскости и пространства.

Инженерная дисциплина – начертательная геометрия использует для изображения предмета несколько проекций, что позволяет делать трёхмерное изображение объекта.

Многомерная геометрия исследует альтернативное существование четвертого измерения.

Отдельно выделяют инструментальные подразделы: аналитическую геометрию, которая для описания геометрических фигур использует алгебраические методы и дифференциальную геометрию, которая изучает графики различных функций.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На занятиях в малой академии «Юниор» мне предложили узнать, что изучает геометрия и как часто в повседневной жизни мы с ней встречаемся.

Я прочитал учебник по геометрии, энциклопедию, ознакомился с определениями геометрических фигур, присмотрелся к окружающим меня предметам и понял, что с геометрией мы встречаемся на каждом шагу, иногда даже не задумываясь об этом. Это наблюдение мне показалось очень интересным, и я стал более подробно исследовать эту тему.

Я поставил себе цель: выяснить, как часто человек встречается с геометрией в окружающем нас мире и какие геометрические фигуры встречаются чаще других.

Этапы исследования:

Первый этап исследования- геометрия в моей квартире.

Второй этап исследования- геометрия на моем пути из дома до лицея.

Третий этап исследования- геометрия в лицее.

Четвертый этап- геометрия в макро-микромире.

Что изучает геометрия?

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео»- по-гречески земля, а «метрио»- мерить).

Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями.

Геометрия возникла на основе практической деятельности человека и служила практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

Геометрические фигуры весьма разнообразны. Мы знаем, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол.

Мы знакомы с треугольником, прямоугольником, кругом и другими фигурами.

Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой по имени древнегреческого ученого Евклида, создавшего руководство по математике под названием «НАЧАЛО». В течении долгого времени геометрию изучали по этой книге.

Геометрию можно разделить на две части: планиметрию и стереометрию.

В планиметрии рассматриваются фигуры на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, треугольники, прямоугольники.

В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, таких как шар, цилиндр.

Геометрия у нас дома.

Все предметы в нашем доме напоминают различные геометрические фигуры. Рассмотрим и опишем некоторые из них.

Например, глобус – он напоминает шар. Научное определение шара следующее: Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

Глобус, как известно является макетом земного шара. И так же как земной шар глобус может вращаться вокруг своей оси.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Толстая книга похожа на параллелепипед. Потому, что как и у параллелепипеда все противолежащие грани и стороны у неё параллельны. Банка консервов на кухне имеет форму цилиндра. И действительно – у неё имеется два круга, лежащие в параллельных плоскостях и стенка, которую можно представить как множество отрезков, соединяющих соответствующие точки на этих кругах. Шкафы, полки и тумбочки это то же параллелепипеды. Двери имеют форму прямоугольников. Стены, потолок, окна так же напоминают прямоугольники.

Некоторые предметы имеют форму более сложных фигур – например, угловая полукруглая тумбочка напоминает сектор круга. Если посмотреть на неё сверху – мы видим два отрезка, являющихся радиусами и дугу окружности, соединяющей концы этих радиусов.

Цветочный горшок на окне напоминает усечённый конус, потому, что его можно представить как круг, соединённый множеством отрезков с какой то точкой, не лежащей в данном круге, а усечённый он, потому что вершина конуса отсутствует, она как будто срезана плоскостью. Другой цветочный горшок имеет форму полусферы. Если сложить вместе два таких горшка -получится сфера (поверхность шара)

Если посмотреть на изгиб шторы на окне мы увидим, что он описывает кривую линию, которую называют синусоида.

В числе всего разнообразия предметов, имеющих сходство с какими либо геометрическими фигурами у нас дома преобладают отрезки и фигуры прямоугольной формы.

Геометрия на моём пути от дома до лицея.

На улице мы видим предметы, изготовленные человеком и предметы природного происхождения. Например: жилой дом, построенный человеком. Это параллелепипед.

Фонарные столбы вдоль дороги напоминают отрезки прямой.

Крыша трансформаторной подстанции это треугольная призма. У неё есть две треугольные стороны, лежащие в параллельных плоскостях и боковые поверхности, которые и образуют призму.

А трамвайные рельсы можно представить как параллельные прямые. Троллейбусные провода тоже представляют собой параллельные прямые.

Объект природного происхождения - русло реки. Его можно представить как кривую линию.

Геометрия в лицее.

В лицее мы находим преобладание прямоугольных фигур, различных отрезков и плоскостей.

Башня лицея с винтовой лестницей внутри напоминает цилиндр. Вершина башни напоминает конус.

Форма самой винтовой лестницы это геликс, такая трёхмерная спираль, имеющая постоянный радиус.

Цилиндрами являются так же колонны на входе в лицей. Ступени в холле имеют форму трапеции. У них две стороны параллельны и являются основаниями трапеции а две другие это стороны трапеции.

Ступени на лестницах, дверные проёмы, стены коридоров и классов напоминают прямоугольники.

В лицее при всём многообразии предметов преобладают прямолинейные и прямоугольные формы.

Геометрия под микроскопом.

Так как предметы, которые нас окружают, могут быть очень малы, прибегнем к помощи микроскопа и рассмотрим кристаллы поваренной соли и сахара.

Крупинка соли при увеличении, оказалось, имеет форму куба. А крупинка сахара имеет форму прямоугольника, причём прямоугольники эти иногда оказываются срощенными в одну фигуру, неправильной формы.

Геометрия в космосе.

Поиск геометрических фигур в предметах, которые нас окружают, был бы не полным, если бы мы не обратились к космическим объектам и не определили, форму каких фигур они имеют. Рассмотрим форму планет, звёзд, галактик и траектории их движения в пространстве.

Имеют шарообразную форму. Доказано, что все планеты солнечной системы своей формой напоминают шар.

Являясь космическими объектами, звёзды, так же как и планеты имеют форму шара. Солнце напоминает огромный шар.

Галактики:

Учёные установили, что галактики очень часто имеют форму геометрической фигуры, которая называется спираль.

Орбиты планет:

Планеты движутся вокруг солнца по траекториям, имеющим форму эллипса. Известно, что смена времён года на Земле происходит именно потому, что орбита Земли – эллипс.

Вывод: в космическом пространстве находятся объекты только круглой или другой криволинейной формы и отсутствуют прямолинейные объекты.

Вокруг нас находится большое количество объектов, имеющих форму различных геометрических фигур. При этом фигуры, имеющие прямолинейные элементы, углы, отрезки и плоскости являются объектами искусственного происхождения и изготовлены человеком. Предметы природного происхождения имеют округлые формы, такие как шар, эллипс, дуга. Исключение составляют кристаллы, которые имеют прямоугольные формы.