Монотонность и экстремумы функции. Необходимое и достаточное условие монотонности. Наибольшее и наименьшее значение функции

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-1.jpg" alt="> МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ 1. Признаки монотонности функции. "> МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ 1. Признаки монотонности функции. 2. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. 3. Достаточные условия существования экстремума. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-2.jpg" alt=">Вопрос 1. Признаки монотонности функции О. 1. 1. Функция у = f(х)"> Вопрос 1. Признаки монотонности функции О. 1. 1. Функция у = f(х) называется возрастающей (неубывающей) на промежутке Х, если для х1, х2 Х из того, что х1 f(х2) (f(х1) ≥ f(х2)).

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-3.jpg" alt=">Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве Х называются монотонными на этом множестве,"> Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве Х называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными. О характере изменения функции на промежутке Х можно судить по знаку ее производной. Связь между знаком производной и направлением изменения функции выражается следующими теоремами, которые представляют собой необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции (признаки монотонности).

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-4.jpg" alt=">Т. 1. 1. (необходимые условия монотонности функции) Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а;"> Т. 1. 1. (необходимые условия монотонности функции) Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а; b) функция у = f(х) возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо, чтобы для х (а; b): f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0). Т. 1. 2. (достаточные условия монотонности функции) Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а; b) функция у = f(х) возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы для х (а; b): f′(x) > 0 (f′(x)

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-5.jpg" alt=">Пример 1. Для функции y = lnx с областью определения D(y) = (0;"> Пример 1. Для функции y = lnx с областью определения D(y) = (0; +) получим, что Следовательно, функция y = lnx является возрастающей на всей области определения.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-6.jpg" alt="> Вопрос 2. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума О. 2. 1. Точка х0 называется"> Вопрос 2. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума О. 2. 1. Точка х0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции у = f(х), если для всех х из некоторой -окрестности точки х0 выполняется неравенство f(х0) > f(х) (f(х0)

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-8.jpg" alt=">Замечание 1. Понятие экстремума носит локальный характер, т. е. неравенства (1) должны выполняться лишь"> Замечание 1. Понятие экстремума носит локальный характер, т. е. неравенства (1) должны выполняться лишь в некоторой окрестности точки х0. 2. Функция может иметь на одном промежутке несколько максимумов и минимумов.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-9.jpg" alt=">3. Не следует путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением"> 3. Не следует путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-10.jpg" alt=">Т. 2. 1. (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция у = f(х) имеет экстремум"> Т. 2. 1. (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция у = f(х) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна 0, т. е. f′(х0) = 0 Эта теорема есть непосредственное следствие теоремы Ферма. Следствие Непрерывная функция у = f(х) может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функции f′(x) равна нулю или не существует.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-11.jpg" alt=">Пример 2. ">

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-12.jpg" alt=">О. 2. 2. Точки из области определения функции у = f(х), в которых производная"> О. 2. 2. Точки из области определения функции у = f(х), в которых производная функции f′(x) равна нулю или не существует, называются критическими точками данной функции. Из теоремы 2. 1 следует, что любая точка экстремума функции является критической. Обратное утверждение неверно: не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-13.jpg" alt=">Пример 3. Для функции у = х3 имеем: у′ ="> Пример 3. Для функции у = х3 имеем: у′ = 3 х2 = 0 при х = 0, но экстремума в точке х = 0 функция не имеет.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-14.jpg" alt="> Вопрос 3. Достаточные условия существования экстремума Т. 3. 1. (первое достаточное"> Вопрос 3. Достаточные условия существования экстремума Т. 3. 1. (первое достаточное условие экстремума) Если непрерывная функция у = f(х) дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки х0 (за исключением, быть может, самой точки) и при переходе через нее слева направо производная f′(x) меняет знак с «+» на «–» , то х0 есть точка максимума, а если с «–» на «+» , то х0 - точка минимума.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-15.jpg" alt="> Первое правило исследования функции у = f(х) на экстремум 1. Найти область"> Первое правило исследования функции у = f(х) на экстремум 1. Найти область определения функции D(y). 2. Найти производную f′(x). 3. Найти критические точки функции, в которых f′(x) = 0 или не существует. 4. Установить знаки производной слева и справа от каждой критической точки и определить характер экстремумов. 5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-16.jpg" alt=">Пример 4. Найти экстремумы функции Решение 1. D(y) = R. "> Пример 4. Найти экстремумы функции Решение 1. D(y) = R. 2. 3.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-17.jpg" alt=">Точки х = 8, х = 0 D(y) являются критическими точками 4. ">

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-18.jpg" alt=">Т. 3. 2. (второе достаточное условие экстремума) Пусть функция у = f(х) имеет в"> Т. 3. 2. (второе достаточное условие экстремума) Пусть функция у = f(х) имеет в точке х0 и ее окрестности непрерывные первую и вторую производную, причем f′(x 0) = 0 и f″(x 0) 0. Тогда функция f(х) имеет в точке х0 минимум при f″(x 0) > 0 и максимум при f″(x 0)

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-19.jpg" alt="> Второе правило исследования функции у = f(х) на экстремум 1. Найти область"> Второе правило исследования функции у = f(х) на экстремум 1. Найти область определения функции D(y). 2. Найти производную f′(x). 3. Найти критические точки функции, в которых f′(x) = 0. 4. Найти вторую производную f″(x). 5. Вычислить значения производной f″(x) в каждой из найденных критических точек и определить характер экстремумов. 6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-20.jpg" alt=">Пример 5. Исследовать на экстремум функцию у = х3"> Пример 5. Исследовать на экстремум функцию у = х3 – 3 х2. Решение 1. D(y) = R. 2. у′ = 3 х2 – 6 х. 3. у′ = 0 3 х2 – 6 х = 0 или х = 2 - критические точки (обе принадлежат D(y)). 4. у″ = 6 х – 6. 5. у″(0) = – 6 0 х = 2 – точка минимума. 6.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-21.jpg" alt="> Вопрос 4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Пусть функция у ="> Вопрос 4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда по теореме Вейерштрасса на этом отрезке функция f(х) достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция f(х) может принять в точке х0 [а; b]. Возможны три случая: 1) х0 = а, 2) х0 = b, 3) х0 (а; b).

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-22.jpg" alt=">Если х0 (а; b), то точку х0 следует искать среди критических точек данной функции."> Если х0 (а; b), то точку х0 следует искать среди критических точек данной функции. Пусть {х1, х2, …, хn}- множество критических точек функции f(х) на отрезке [а; b]. 1. Наибольшее значение функции f(х) на отрезке [а; b] определяется как 2. Наименьшее значение функции f(х) на отрезке [а; b] определяется как

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-23.jpg" alt="> Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = f(х) на "> Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = f(х) на отрезке [а; b] 1. Найти критические точки функции f(х) на интервале (а; b). 2. Вычислить значения функции f(х) в найденных критических точках. 3. Вычислить значения функции f(х) на концах отрезка. 4. Среди всех полученных значений функции выбрать наименьшее и наибольшее значения.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-24.jpg" alt=">Замечание 1. Если функция f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку"> Замечание 1. Если функция f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. 2. Если функция f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом конце.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-25.jpg" alt=">Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 х4 + 4"> Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 х4 + 4 х3 + 1 на отрезке [‒ 2; 1]. Решение 1. у′ = 12 х3 + 12 х2 = 12 х2(х + 1). у′ = 0 12 х2(х + 1) = 0 х = 0 и х = – 1 – критические точки (обе принадлежат отрезку [‒ 2; 1]). 2. у(0) = 1; у(– 1) = 3 – 4 + 1 = 0. 3. а = ‒ 2, b = 1 у(‒ 2) = 48 ‒ 32 + 1 = 17; у(1) = 3 + 4 + 1 = 8. 4.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-26.jpg" alt=">Пример 7. Газовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода (О 2). Требуется"> Пример 7. Газовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода (О 2). Требуется найти концентрацию О 2, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью. Решение В условиях практической необратимости скорость реакции 2 NO + О 2 = 2 NO 2 выражается формулой υ = kx 2 y, где х – концентрация NO в любой момент времени, у – концентрация O 2, k – константа скорости реакции, не зависящая от концентрации реагирующих компонентов и зависящая только от температуры.

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-27.jpg" alt=">Концентрацию газов будем выражать в объемных процентах. В этом случае получим у ="> Концентрацию газов будем выражать в объемных процентах. В этом случае получим у = 100 – х, υ = kx 2(100 – х) ≡ υ(х). По условию задачи 0

Src="https://present5.com/presentation/3/53267288_81474026.pdf-img/53267288_81474026.pdf-28.jpg" alt=">Найдем значения функции υ(х) на концах отрезка и в критической точке х = 200/3:"> Найдем значения функции υ(х) на концах отрезка и в критической точке х = 200/3: υ(0) = υ(100) = 0, υ(200/3) > 0. Следовательно, скорость реакции υ(х) наибольшая, когда х ≈ 66, 67% и у ≈ 100 – 66, 67 ≈ 33, 33%.

№ 44.20. Определите промежутки монотонности функции

 критических точек нет

№ 44.21. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.22. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.23. Определите промежутки монотонности функции

 критических точек нет

Найдем стационарные точки, решив уравнение

 критических точек нет

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.24. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.25. Определите промежутки монотонности функции

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.48. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

 критических точек нет

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.49. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

 критических точек нет

Найдем стационарные точки, решив уравнение

 критических точек нет

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.50. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

 критических точек нет

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.51. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.52. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.53. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

 критических точек нет

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.54. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Найдем стационарные точки, решив уравнение

№ 44.61. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер

Найдем стационарные точки, решив уравнение

Общая схема исследования функции

• Найти область определения функции. Выяснить характер поведения функции в граничных точках области определения.
• Выяснить обладает ли функция особенностями: четность, нечетность, периодичность.
• Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
• Выяснить, имеет ли кривая вертикальные и наклонные асимптоты.
• Найти интервалы возрастания и убывания функции. Исследовать функцию на экстремум.
• Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции. Найти точки перегиба.
• Построить график.

Производная помогает также при исследовании функции на возрастание и убывание. Напомним вначале соответствующее определение.

Определение. Пусть функция определена на промежутке . Говорят, что она возрастает (убывает) на промежутке , если таких, что .

Теорема. Если функция дифференцируема на интервале и , то возрастает (убывает) на интервале .

Пусть производная функции непрерывна на промежутке . Для исследования ее на возрастание и убывание обычно придерживаются следующего плана:

1) Найти точки из , где . Эти точки называются стационарными.

2) Во всех промежутках, на которые разбивают стационарные точки, определить знак . Для этого достаточно определить знак в одной точке каждого промежутка (знак внутри каждого промежутка не меняется, поскольку в противном случае внутри этого промежутка по теореме Больцано-Коши должен быть нуль производной, что невозможно). Если внутри промежутка , то здесь согласно теореме возрастает. Если , то убывает.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Пример . Исследовать на возрастание и убывание функцию

Данная функция дифференцируема на всей числовой прямой.

1) . Найдем стационарные точки: . Корнями уравнения являются числа , .

2) Точки , разбивают числовую прямую на три интервала: , , .

На первом интервале возьмем .

Следовательно, на промежутке возрастает. На промежутке возьмем , . Поэтому убывает. На интервале возьмем , . Поэтому на интервале возрастает.

Определение. Пусть функция определена в . Точка называется точкой локального максимума (минимума), если cуществует такая, что

Если неравенства (1) строгие при , то точка называется точкой строгого локального максимума (минимума). Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке и является точкой экстремума, то

Доказательство теоремы не сложно получить из определения производной.

Замечание. Из теоремы следует, что точки экстремума функции нужно искать среди стационарных точек и точек, где производная не существует. Одно из достаточных условий экстремума непосредственно вытекает из следующей теоремы.

Замечание. Необходимое условие не является достаточным. Например, для функции имеем , но точка не является экстремумом, поскольку функция возрастает на всей числовой прямой.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция непрерывна в точке и дифференцируема в . Тогда:

а) если производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой локального максимума;

б) если производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой локального минимума функции .

Заметим, что из теоремы следует, что в предыдущем примере точка является точкой локального максимума, а точка является точкой локального минимума функции .

Часто при решении различных задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения функции на некотором множестве .

Рассмотрим как решается эта задача сначала для случая, когда это отрезок . Пусть функция непрерывна на отрезке и дифферецируема на интервале за исключением, быть может, конечного числа точек. Тогда, согласно теореме Вейерштрасса функция достигает на отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Из приведенных теорем вытекает следующий план отыскания наибольшего и наименьшего значений функции .

1) Найти производную и нули производной из .

2) Найти значения

а) в нулях производной из ;

б) на концах отрезка ;

в) в точках, где производная не существует.

3) Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Заметим, что находить промежутки возрастания и убывания здесь совсем не обязательно.

Замечание 2. Если является интервалом, полуинтервалом или бесконечным промежутком, то выше приведенным планом пользоваться нельзя. В этом случае для решения задачи о наибольшем и наименьшем значении нужно найти промежутки возрастания и убывания функции, пределы в граничных точках и с помощью не сложного анализа получить ответ.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

Найдем промежутки возрастания и убывания. Для этого найдем производную:

Точка разбивает промежуток на два интервала: и . Найдем в этих интервалах знак производной. Для этого вычислим

Таким образом, на полуинтервале функция убывает, а на промежутке возрастает. Поэтому Наибольшего значения не существует, так как . В этом случае пишут: .

Рас-смот-рим гра-фик функ-ции (Рис. 1).

Рис. 1. Гра-фик функ-ции

Функ-ция опи-сы-ва-ет некий ре-аль-ный про-цесс, на-при-мер поход на про-гул-ку, - это рас-сто-я-ние от дома, - фик-си-ро-ван-ный мо-мент вре-ме-ни. В этот мо-мент вре-ме-ни рас-сто-я-ние от дома было (Рис. 2).

Рис. 2. Зна-че-ние

По про-ше-ствии вре-ме-ни - при-ра-ще-ние ар-гу-мен-та. По-лу-чил-ся мо-мент вре-ме-ни . В этот мо-мент вре-ме-ни рас-сто-я-ние от дома рав-ня-лось (Рис. 3):

Рис. 3. При-ра-ще-ние ар-гу-мен-та , зна-че-ние

Имеем зна-ме-ни-тый тре-уголь-ник (Рис. 4). Здесь - при-ра-ще-ние ар-гу-мен-та, - при-ра-ще-ние функ-ции, а тан-генс это от-но-ше-ние , то есть за время прой-де-но рас-сто-я-ние . - это сред-няя ско-рость, но если , то и чис-ли-тель и зна-ме-на-тель стре-мят-ся к нулю. И если эта дробь стре-мит-ся к неко-то-ро-му числу, то это число и на-зы-ва-ет-ся про-из-вод-ной дан-ной функ-ции в дан-ной точке. Она обо-зна-ча-ет-ся так:

Это опре-де-ле-ние про-из-вод-ной (Рис. 4). Те-перь нужно по-нять, каков смысл про-из-вод-ной.

- это мгно-вен-ная ско-рость в дан-ной точке.

Если в этой точке про-ве-сти ка-са-тель-ную, ко-то-рая имеет угол на-кло-на , то про-из-вод-ная в этой точке есть тан-генс угла на-кло-на ка-са-тель-ной. .

Рис. 4. Опре-де-ле-ние про-из-вод-ной

Итак, нам надо ис-сле-до-вать функ-цию, рас-смот-рим ин-стру-мен-ты, име-ю-щи-е-ся у нас.

Из со-от-но-ше-ния имеем:

- это фи-зи-че-ский и гео-мет-ри-че-ский смысл про-из-вод-ной.

Определение «Монотонные функции»

Мо-но-тон-но воз-рас-та-ю-щая функ-ция - это функ-ция, у ко-то-рой боль-ше-му зна-че-нию ар-гу-мен-та со-от-вет-ству-ет боль-шее зна-че-ние функ-ции.

Мо-но-тон-но убы-ва-ю-щая функ-ция - это функ-ция, у ко-то-рой боль-ше-му зна-че-нию ар-гу-мен-та со-от-вет-ству-ет мень-шее зна-че-ние функ-ции.

Связь производной и промежутков монотонности функции

Если , то знак при-ра-ще-ния и знак про-из-вод-ной в точке сов-па-да-ет со зна-ком . То есть если про-из-вод-ная в этой точке боль-ше нуля, то и по-нят-но, что функ-ция в окрест-но-сти этой точки будет воз-рас-тать. А если про-из-вод-ная мень-ше нуля, зна-чит, и по-нят-но, что в окрест-но-сти этой точки функ-ция будет убы-вать.

Далее, про-из-вод-ная в точке есть тан-генс угла на-кло-на ка-са-тель-ной (Рис. 5). Ка-са-тель-ная опи-сы-ва-ет-ся ли-ней-ной функ-ци-ей. В окрест-но-сти точки кри-вая и ли-ней-ная функ-ция почти сов-па-да-ют. Если угол на-кло-на ост-рый, тан-генс будет по-ло-жи-тель-ным, уг-ло-вой ко-эф-фи-ци-ент - ве-ли-чи-на по-ло-жи-тель-ная, и ли-ней-ная функ-ция воз-рас-та-ет, а зна-чит, в окрест-но-сти этой точки и сама функ-ция воз-рас-та-ет:

И на-о-бо-рот, если ли-ней-ная функ-ция убы-ва-ет, угол тупой, тан-генс - ве-ли-чи-на от-ри-ца-тель-ная, зна-чит, ли-ней-ная функ-ция убы-ва-ет, а с ней убы-ва-ет функ-ция .

Рис. 5. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке

Так со-бы-тия раз-ви-ва-ют-ся в окрест-но-стях точки . Эти со-бы-тия под-чи-ня-ют-ся гео-мет-ри-че-ско-му смыс-лу про-из-вод-ной (ее фи-зи-че-ско-му смыс-лу, со-от-но-ше-нию ).

Исследование промежутков монотонности функции с помощью производной

Рас-смот-рим функ-цию и ее по-ве-де-ние на всей ОДЗ (Рис. 6). Пред-по-ло-жим, что это гра-фик ис-сле-ду-е-мой функ-ции.

Рис. 6. Гра-фик функ-ции

Есть точка . Ка-са-тель-ная на-кло-не-на под ост-рым углом (Рис. 7). Зна-чит, в точке функ-ция воз-рас-та-ет.

Рис. 7. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке

В точке ка-са-тель-ная па-рал-лель-на оси , зна-чит точка - точка экс-тре-му-ма. Об этом мы по-го-во-рим от-дель-но.

Рис. 8. - точка экс-тре-му-ма

В точке угол на-кло-на ка-са-тель-ной будет тупым, тан-генс будет ве-ли-чи-ной от-ри-ца-тель-ной, зна-чит, про-из-вод-ная от-ри-ца-тель-ная и функ-ция здесь убы-ва-ет (Рис. 9).

Рис. 9. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке

И, на-ко-нец, в точке про-из-вод-ная равно нулю и даль-ше функ-ция воз-рас-та-ет (Рис. 10).

Рис. 10. Угол на-кло-на ка-са-тель-ной в точке - точке экс-тре-му-ма

Вы-яс-ня-ет-ся, что функ-ция воз-рас-та-ет на ин-тер-ва-лах, где про-из-вод-ная боль-ше нуля:

Если же зна-че-ние про-из-вод-ной от-ри-ца-тель-ное, то функ-ция убы-ва-ет:

Вся ОДЗ со-сто-ит из от-дель-ных точек, зна-чит, надо вы-де-лить те ин-тер-ва-лы, на ко-то-рых про-из-вод-ная мень-ше нуля, на ко-то-рых про-из-вод-ная боль-ше нуля, и они опре-де-лят те участ-ки ОДЗ, на ко-то-рых функ-ция либо воз-рас-та-ет, либо убы-ва-ет. Этот же вывод мы по-лу-чим, рас-смат-ри-вая со-от-но-ше-ние . На тех об-ла-стях, на ко-то-рых про-из-вод-ная мень-ше нуля, функ-ция убы-ва-ет. Со-от-вет-ствен-но, на тех об-ла-стях ОДЗ, где про-из-вод-ная боль-ше нуля, функ-ция воз-рас-та-ет.

Те-перь мы го-то-вы на-пи-сать, где убы-ва-ет, а где воз-рас-та-ет (Рис. 11) дан-ная нам функ-ция:

Рис. 11. Про-ме-жут-ки воз-рас-та-ния функ-ции

Те-перь вы-яс-ним, где дан-ная функ-ция убы-ва-ет (Рис. 12):

Рис. 12. Про-ме-жут-ки убы-ва-ния функ-ции

Тон-кий мо-мент: вклю-чать ли зна-че-ния в точ-ках ?

Не вклю-ча-ем, по-то-му что в них про-из-вод-ная равна нулю, а мы рас-смат-ри-ва-ем тот слу-чай, когда про-из-вод-ная мень-ше нуля. Но функ-ция убы-ва-ет, когда при-над-ле-жит от-рез-ку .

При этом эти точки вклю-че-ны также в ин-тер-ва-лы, когда функ-ция воз-рас-та-ет.

При-хо-дим к важ-но-му вы-во-ду: ин-тер-ва-лы зна-ко-по-сто-ян-ства яв-ля-ют-ся ин-тер-ва-ла-ми мо-но-тон-но-сти .

Цель урока: на-учить-ся на-хо-дить про-ме-жут-ки воз-рас-та-ния и убы-ва-ния функ-ции с по-мо-щью про-из-вод-ной. Вы-яс-ня-ет-ся, что надо найти про-из-вод-ную, вы-де-лить ее ин-тер-ва-лы зна-ко-по-сто-ян-ства и тем самым мы узна-ем, где эта функ-ция мо-но-тон-но убы-ва-ет и где она мо-но-тон-но воз-рас-та-ет.

Вспом-ним, что такое точка мак-си-му-ма и точка ми-ни-му-ма функ-ции.

Рис. 13. Точки экс-тре-му-мов функ-ции

Рас-смот-рим ри-су-нок (Рис 13). Точка - точка мак-си-му-ма функ-ции (max), если су-ще-ству-ет окрест-ность точки , для ко-то-рой , то есть если зна-че-ние функ-ции в этой точке боль-ше, чем зна-че-ние функ-ции в любой точке ее окрест-но-сти.

Ана-ло-гич-ное опре-де-ле-ние для точки ми-ни-му-ма. Точка - точка ми-ни-му-ма функ-ции (min), если су-ще-ству-ет окрест-ность точки , для ко-то-рой , то есть если зна-че-ние функ-ции в этой точке мень-ше, чем зна-че-ние функ-ции в любой точке ее окрест-но-сти.

При по-ис-ке наи-боль-ше-го и наи-мень-ше-го зна-че-ния функ-ции на всей ОДЗ, то есть ее гло-баль-ных экс-тре-му-мов, сле-ду-ет по-ни-мать, что они могут не сов-па-дать с ее ло-каль-ны-ми экс-тре-му-ма-ми, точ-ка-ми, где про-из-вод-ная ме-ня-ет знак.

Пример локального и глобального экстремума

Рас-смот-рим функ-цию (Рис. 14).

Здесь точка - точка ло-каль-но-го мак-си-му-ма. Функ-ция здесь равна нулю.

Точка - точка гло-баль-но-го мак-си-му-ма, в них функ-ция рав-ня-ет-ся 24.

Рис. 14. Гра-фик функ-ции

На дан-ном уроке, когда го-во-рит-ся об экс-тре-му-мах, под-ра-зу-ме-ва-ют-ся ло-каль-ные экс-тре-му-мы.

Как узнать, где точка мак-си-му-ма, а где точка ми-ни-му-ма, под-ска-жет про-из-вод-ная. Вер-нем-ся к точке . На ри-сун-ке на-гляд-но по-ка-за-но, что до этой точки функ-ция воз-рас-та-ет, про-из-вод-ная , а после этой точки функ-ция убы-ва-ет, про-из-вод-ная . А зна-че-ние про-из-вод-ной в точке : . Мы по-лу-чи-ли до-ста-точ-ный при-знак мак-си-му-ма: про-из-вод-ная равна нулю и при этом знак про-из-вод-ной ме-ня-ет-ся с плюса на минус при пе-ре-хо-де ар-гу-мен-та через точку .

Рас-смот-рим точку . Про-из-вод-ная в этой точке . Но яв-ля-ет-ся ли дан-ная точка точ-кой экс-тре-му-ма? Про-из-вод-ная слева от этой точки от-ри-ца-тель-на, ка-са-тель-ная на-кло-не-на под тупым углом. Про-из-вод-ная спра-ва по-ло-жи-тель-ная, зна-чит, про-из-вод-ная ме-ня-ет знак с ми-ну-са на плюс при пе-ре-хо-де через точку , зна-чит, точка - точка ми-ни-му-ма.

Итак, мы рас-смот-ре-ли точку ми-ни-му-ма и точку мак-си-му-ма и до-ста-точ-ный при-знак точки ми-ни-му-ма и точки мак-си-му-ма.

Как узнать, яв-ля-ет-ся ли точка точ-кой ми-ни-му-ма или точ-кой мак-си-му-ма? Нужно взять про-из-вод-ную и при-рав-нять ее к нулю. Тогда мы най-дем точки , и т. д. Это внут-рен-ние точки об-ла-сти опре-де-ле-ния, в ко-то-рых про-из-вод-ная равна нулю.

Кри-ти-че-ская точка функ-ции - это внут-рен-няя точка об-ла-сти опре-де-ле-ния, в ко-то-рой про-из-вод-ная равна нулю или не су-ще-ству-ет. То есть точки и - кри-ти-че-ские точки.

Но так про-ис-хо-дит не все-гда.

Точка перегиба

Рас-смот-рим сле-ду-ю-щую функ-цию (Рис. 15):

Рис. 15. Ил-лю-стра-ция точки пе-ре-ги-ба

Про-из-вод-ная в точке равна нулю: , ка-са-тель-ная па-рал-лель-на оси . Яв-ля-ет-ся ли она точ-кой экс-тре-му-ма? Нет. По-че-му? По-то-му что до точки про-из-вод-ная по-ло-жи-тель-на, функ-ция воз-рас-та-ет (Рис. 16):

Рис. 16. Воз-рас-та-ние функ-ции до точки пе-ре-ги-ба

После этой точки про-из-вод-ная также по-ло-жи-тель-на (Рис. 17):

Рис. 17. Воз-рас-та-ние функ-ции после точки пе-ре-ги-ба

Функ-ция воз-рас-та-ет и слева, и спра-ва от точки, зна-чит, не яв-ля-ет-ся точ-кой экс-тре-му-ма.

Лемма Ферма

Если функ-ция имеет про-из-вод-ную и в точке имеет экс-тре-мум, то зна-че-ние про-из-вод-ной в этой точке равно 0.

Это необ-хо-ди-мый мощ-ный при-знак, из него мы вы-яс-ня-ем, какие точки нам нужны для ис-сле-до-ва-ния. Все осталь-ные от-ме-та-ем.

Еще раз под-черк-нем, что нам ил-лю-стри-ру-ет дан-ный ри-су-нок: ра-вен-ство нулю - это лишь необ-хо-ди-мый при-знак экс-тре-му-ма, но не до-ста-точ-ный.

Точка перегиба, локальный характер точек экстремума

Рас-смот-рим в ка-че-стве при-ме-ра функ-цию, гра-фик ко-то-рой изоб-ра-жен на ри-сун-ке (Рис. 18).

Рис. 18. Гра-фик функ-ции с несколь-ки-ми ло-каль-ны-ми экс-тре-му-ма-ми

- точ-ка-ми-ни-му-ма, - точ-ка-мак-си-му-ма, - та-к-же-точ-ка-ми-ни-му-ма.

Моното́нная фу́нкция - это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной . Монотонная функция - это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пусть дана функция Тогда

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Определение экстремума

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f "(x) > 0

(f " (x) < 0).

Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f "(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f " (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f " (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

7. Интервалы выпуклости, вогнутости функции .Точки перегиба.

График функции y =f(x) называется выпуклым на интервале (a; b) , если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y =f(x) называется вогнутым на интервале (a; b) , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c) . Примеры. Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема . Пусть y =f(x) дифференцируема на (a; b) . Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ""(x ) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ""(x ) > 0 – вогнутый. Доказательство . Предположим для определенности, что f ""(x ) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M 0 с абсциссой x 0  (a ; b ) и проведем через точку M 0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Точка перегиба функции

У этого термина существуют и другие значения, см. Точка перегиба .

Точка перегиба функции внутренняя точкаобласти определения , такая чтонепрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, иявляется одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

Неофициальное

В этом случае точка являетсяточкой перегиба графика функции, то есть график функции в точке«перегибается» черезкасательную к нему в этой точке: при касательная лежит под графиком, а при- над графиком(или наоборот)