Метод исключения неизвестных. Метод гаусса. Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений

Если мы умножим какое-либо уравнение системы (1") на постоянное число и прибавим его к другому уравнению системы, то получим новую систему, эквивалентную прежней. Новая система уравнений будет иметь свою матрицу , соответствующим образом преобразованную из матрицы (). Преобразование заключается в том, что некоторая строка матрицы видоизменяется прибавлением к ней другой строки, умноженной на соответствующее число.

Подобным образом, если умножить какое-либо из уравнений системы на число , оставив остальные уравнения прежними, то получим новую систему, очевидно, эквивалентную исходной. Новая система будет иметь свою матрицу , соответствующим образом преобразованную из матрицы (). На этот раз преобразование заключается в том, что строка, соответствующая указанному уравнению, умножается на .

Появляется также необходимость переставлять местами два уравнения системы (1"), получив, таким образом, формально новую, но эквивалентную исходной систему. В этом случае преобразование сводится к перестановке местами двух строк матрицы .

Указанные три преобразования называют элементарными преобразованиями матрицы.

Технически, вместо того чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что пишут только соответствующую ей матрицу . Всегда можно, применяя подходящим образом элементарные операции над системой уравнений или, что все равно, над матрицей , добиться либо решения заданной системы (1"), либо прийти к явно противоречивой системе. Так как последняя эквивалентна системе (1"), то это докажет противоречивость системы (1").

Ниже приводятся примеры применения этого метода.

Операция обозначает, что получается из посредством одной или нескольких элементарных преобразований.

Пример 7. Решить систему

Конечно, согласно теореме 1, мы могли бы просчитать все пять определителей четвертого порядка и найти . Здесь было бы много повторяющихся вычислений.

Составим матрицу :

где, как мы видим, последний столбец состоит из правых частей нашей системы. Умножая первую строку на (-1) и прибавляя ее к третьей и четвертой строкам, получим матрицу

В матрице элементы третьей строки, являющиеся коэффициентами при неизвестных, кроме одного, равны нулю. Переместим эту строку на место второй строки. Тогда элемент, не равный нулю, окажется на главной диагонали:

Вторую строку можно еще умножить на (-1), чтобы запись была проще:

Дальнейшие преобразования матриц очевидны:

Отсюда , , , . Чтобы не допустить ошибки, рекомендуется осуществить проверку, подставив полученные значения в исходные уравнения системы.

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.

Элементарные преобразования системы уравнений - это:

Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;

Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;

Прибавление к любому i -му уравнению любого j -то уравнения, умноженного на любое число.

Переменная x i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений - является разрешенной.

Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x i входит с коэффициентом 1;
Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x i , и равносильную исходной;
Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n - число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа - получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Вот и все! Система линейных уравнений решена! Это довольно простой алгоритм, и для его освоения вам не обязательно обращаться к репетитору высшей по математике. Рассмотрим пример:

Задача. Решить систему уравнений:

Описание шагов:

Вычитаем первое уравнение из второго и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
Умножаем второе уравнение на (−1), а третье уравнение делим на (−3) - получим два уравнения, в которых переменная x 2 входит с коэффициентом 1;
Прибавляем второе уравнение к первому, а из третьего - вычитаем. Получим разрешенную переменную x 2 ;
Наконец, вычитаем третье уравнение из первого - получаем разрешенную переменную x 3 ;
Получили разрешенную систему, записываем ответ.

Общее решение совместной системы линейных уравнений - это новая система, равносильная исходной, в которой все разрешенные переменные выражены через свободные.

Когда может понадобиться общее решение? Если приходится делать меньше шагов, чем k (k - это сколько всего уравнений). Однако причин, по которым процесс заканчивается на некотором шаге l < k , может быть две:

После l -го шага получилась система, которая не содержит уравнения с номером (l + 1). На самом деле это хорошо, т.к. разрешенная система все равно получена - даже на несколько шагов раньше.
После l -го шага получили уравнение, в котором все коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный коэффициент отличен от нуля. Это противоречивое уравнение, а, следовательно, система несовместна.

Важно понимать, что возникновение противоречивого уравнения по методу Гаусса - это достаточное основание несовместности. При этом заметим, что в результате l -го шага не может остаться тривиальных уравнений - все они вычеркиваются прямо в процессе.

Описание шагов:

Вычитаем первое уравнение, умноженное на 4, из второго. А также прибавляем первое уравнение к третьему - получим разрешенную переменную x 1 ;
Вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, из второго - получим противоречивое уравнение 0 = −5.

Итак, система несовместна, поскольку обнаружено противоречивое уравнение.

Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:

Описание шагов:

Вычитаем первое уравнение из второго (предварительно умножив на два) и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
Вычитаем второе уравнение из третьего. Поскольку все коэффициенты в этих уравнениях совпадают, третье уравнение превратится в тривиальное. Заодно умножим второе уравнение на (−1);
Вычитаем из первого уравнения второе - получим разрешенную переменную x 2 . Вся система уравнений теперь тоже разрешенная;
Поскольку переменные x 3 и x 4 - свободные, переносим их вправо, чтобы выразить разрешенные переменные. Это и есть ответ.

Итак, система совместная и неопределенная, поскольку есть две разрешенных переменных (x 1 и x 2) и две свободных (x 3 и x 4).

Пусть дана система , ∆≠0. (1)
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных.

Суть метода Гаусса состоит в преобразовании (1) к системе с треугольной матрицей , из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Рассмотрим одну из вычислительных схем. Эта схема называется схемой единственного деления. Итак, рассмотрим эту схему. Пусть a 11 ≠0 (ведущий элемент) разделим на a 11 первое уравнение. Получим
(2)
Пользуясь уравнением (2), легко исключить неизвестные x 1 из остальных уравнений системы (для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение (2) предварительно умноженное на соответствующий коэффициент при x 1), то есть на первом шаге получим
.
Иными словами, на 1 шаге каждый элемент последующих строк, начиная со второй, равен разности между исходным элементом и произведением его «проекции» на первый столбец и первую (преобразованную) строку.
Вслед за этим оставив первое уравнение в покое, над остальными уравнениями системы, полученной на первом шаге, совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений x 2 (шаг 2).
После n шагов вместо (1) получим равносильную систему
(3)
Таким образом, на первом этапе мы получим треугольную систему (3). Этот этап называется прямым ходом.
На втором этапе (обратный ход) мы находим последовательно из (3) значения x n , x n -1 , …, x 1 .
Обозначим полученное решение за x 0 . Тогда разность ε=b-A·x 0 называется невязкой .
Если ε=0, то найденное решение x 0 является верным.

Вычисления по методу Гаусса выполняются в два этапа:

Первый этап называется прямым ходом метода. На первом этапе исходную систему преобразуют к треугольному виду.
Второй этап называется обратным ходом. На втором этапе решают треугольную систему, эквивалентную исходной.

Коэффициенты а 11 , а 22 , …, называют ведущими элементами.
На каждом шаге предполагалось, что ведущий элемент отличен от нуля. Если это не так, то в качестве ведущего можно использовать любой другой элемент, как бы переставив уравнения системы.

Назначение метода Гаусса

Метод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Относится к прямым методам решения.

Виды метода Гаусса

Классический метод Гаусса;
Модификации метода Гаусса. Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Особенностью метода Гаусса с выбором главного элемента является такая перестановка уравнений, чтобы на k -ом шаге ведущим элементом оказывался наибольший по модулю элемент k -го столбца.
Метод Жордано-Гаусса;

Отличие метода Жордано-Гаусса от классического метода Гаусса состоит в применении правила прямоугольника , когда направление поиска решения происходит по главной диагонали (преобразование к единичной матрице). В методе Гаусса направление поиска решения происходит по столбцам (преобразование к системе с треугольной матрицей).
Проиллюстрируем отличие метода Жордано-Гаусса от метода Гаусса на примерах.

Пример решения методом Гаусса
Решим систему:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

Из 1-ой строки выражаем x 3:
Из 2-ой строки выражаем x 2:
Из 3-ой строки выражаем x 1:

Пример решения методом Жордано-Гаусса
Эту же СЛАУ решим методом Жордано-Гаусса.

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Разрешающий элемент равен (3).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

x 1	x 2	x 3	B

0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x 1	x 2	x 3	B


0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Ответ : x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Реализация метода Гаусса

Метод Гаусса реализован на многих языках программирования, в частности: Pascal, C++, php, Delphi , а также имеется реализация метода Гаусса в онлайн режиме .

Использование метода Гаусса

Применение метода Гаусса в теории игр

В теории игр при отыскании максиминной оптимальной стратегии игрока составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.

Применение метода Гаусса при решении дифференциальных уравнений

Для поиска частного решения дифференциального уравнения сначала находят производные соответствующей степени для записанного частного решения (y=f(A,B,C,D)), которые подставляют в исходное уравнение. Далее, чтобы найти переменные A,B,C,D составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.

Применение метода Жордано-Гаусса в линейном программировании

В линейном программировании, в частности в симплекс-методе для преобразования симплексной таблицы на каждой итерации используется правило прямоугольника, в котором используется метод Жордано-Гаусса.

(СЛАУ), состоящая из уравнений с неизвестными:

Предполагается, что существует единственное решение системы, то есть .

В данной статье будут рассмотрены причины погрешности, возникающей во время решения системы с помощью метода Гаусса, способы выявления и ликвидации(уменьшения) этой погрешности.

Описание метода

Процесс решения системы линейных уравнений

по методу Гаусса состоит из 2х этапов:

1. Предполагаем, что . Тогда первое уравнение системы делим на коэффициент , в результате получаем уравнение . Затем из каждого из оставшихся уравнений вычитается первое, умноженное на соответствующий коэффициент . В результате система преобразуются к виду: 2. В предположении, что , делим второе уравнение на коэффициент и исключаем неизвестное из всех последующих уравнений и т.д. 3. Получаем систему уравнений с треугольной матрицей:

Обратный ход Непосредственное определение неизвестных

1. Из го уравнения системы определяем 2. Из го - определяем и т.д.

Анализ метода

Данный метод относится к классу прямых методов решения системы уравнений, а это значит, что за конечное число шагов можно получить точное решение, при условии, что входные данные (матрица и правая часть уравнения - ) заданы точно и вычисление ведется без округлений. Для получения решения требуется умножений и делений, то есть порядка операций.

Условия, при которых метод выдает точное решение, на практике не выполнимы - неизбежны как ошибки входных данных, так и ошибки округления. Тогда встает вопрос: насколько точное решение можно получить, используя метод Гаусса, насколько метод корректен? Определим устойчивость решения относительно входных параметров. Наряду с исходной системой рассмотрим возмущенную систему:

Пусть введена некоторая норма . - называется числом обусловленности матрицы .

Возможны 3 случая:

Число обусловленности матрицы всегда . Если оно велико () , то говорят, что матрица плохо обусловлена. В этом случае малые возмущения правых частей системы , вызванные либо неточностью задания исходных данных, либо вызванные погрешностями вычисления, существенно влияют на решение системы. Грубо говоря, если погрешность правых частей , то погрешность решения будет .

Проиллюстрируем полученные результаты на следующем числовом примере: Дана система

Она имеет решение .

Теперь рассмотрим возмущенную систему:

Решением такой системы будет вектор .

При совсем малом возмущении правой части получили несоизмеримо большое возмущение решения. Объяснить такую "ненадежность" решения можно тем, что матрица почти вырожденная: прямые, соответствующие двум уравнениям, почти совпадают, что видно на графике:

Такой результат можно было предвидеть в силу плохой обусловленностью матрицы :

Вычисление является достаточно сложным, сравнимо с решением всей системы, поэтому для оценки пограшности применяются более грубые, но простые в реализации методы.

Способы оценки ошибок

1) Контрольная сумма: обычно применяется для предупреждения случайных погрешностей в процессе вычисления без помощи компьютеров.

Составляем контрольный столбец , состоящий из контрольных элементов системы:

При преобразовании уравнений над контрольными элементами производятся те же операции, что и над свободными членами уравнеий. В результате этого контрольный элемент каждого нового уравнения должен равняться сумме коэффициентов этого уравнения. Большое расхождение между ними указывает на погрешности в вычислениях или на неустойчивость алгоритма вычислений по отношению к вычислительной погрешности.

2) Относительная погрешность известного решения позволяет без существенных дополнительных затрат получить суждение о погрешности решения.

Задается некоторый ветор с компонентами, имеющими по возможности тот же порядок и знак, что и компоненты искомого решения . Вычисляется вектор , и на ряду с исходной системой уравнения решается система .

Пусть и - реально получаемые решения этих систем. Суждение о погрешности искомого решения можно получить, основываясь на гипотезе: относительные погрешности при решении методом исключения систем с одной и той же матрицей и различными правыми частями, которыми являются соответственно величины и , отличаются не в очень большое число раз.

3) Изменение масштабов - прием, применяющийся для получения представления о реальной величине погрешности, возникающей за счет округлений при вычислениях.

Наряду с исходной системой тем же методом решается система

, где и - числа

Если бы не было погрешности округления, то выполнялось бы равенство для решений исходной и масштабированной систем: . Поэтому при и , не являющихся степенями двойки, сравнение векторов и дает представление о величине вычислительной погрешности

Улучшение метода исключения Гаусса

Рассмотренные ниже модификации метода Гаусса позволяют уменьшить погрешность результата.

Выбор главного элемента

Основное увеличение ошибки в методе происходит во время прямого хода, когда ведущая -я строка умножается на коэффициенты .Если коэффициенты 1%20" alt=" >1 ">, то ошибки, полученные на предыдущих шагах накапливаются. Чтобы этого избежать, применяется модификация метода Гаусса с выбором главного элемента. На каждом шаге к обычной схеме добавляется выбор максимального элемента по столбцу следующим образом:

Пусть по ходу исключения неизвестных получена система уравнений:

, .

Найдем такое , что и поменяем местами -е и -е уровнения.

Такое преобразование во многих случаях существенно уменьшает чувствительность решения к погрешностям округления при вычислениях.

Итеративное улучшение результата

Если есть подозрение, что полученное решение сильно искажено, то можно улучшить результат следующим образом. Величина называется невязкой. Погрешность удовлетворяет системе уравнений

Решая эту систему, получаем приближение к и полагаем

Если точность данного приближения неудовлетворительна, то повторяем эту операцию.

Процесс можно продолжать до тех пор, пока все компоненты не станут достаточно малыми. При этом нельзя останавливать вычисления только потому, что все компоненты вектора невязки стали достаточно малыми: это может быть результатом плохой обусловленности матрицы коэффициентов.

Числовой пример

Рассмотрим для примера матрицу Вандермонда размером 7х7 и 2 различные правые части:

Данные системы были решены двумя способами. Тип данных - float. B итоге получили следующие результаты:

Обычный метод
1		2
1	2	1	2
0.999991	1	0.999996	1
1.00019	1	7.4774e-005	2,33e-008
0.998404	1	0.999375	1
1.00667	1	0.00263727	1,12e-006
0.985328	1	0.994149	1
1.01588	1	0.00637817	3,27e-006
0.993538	1	0.99739	1
0,045479	2,9826e-006	0,01818	8,8362e-006
0,006497	4,2608e-007	0,0045451	2,209e-006
0,040152	4,344e-005	0,083938	2,8654e-006

С выбором ведущего элемента по строке
1		2
1	2	1	2
1	1	1	1
1	1	-3.57628e-005	1,836e-007
1.00001	1	1.00031	1
0.999942	1	-0.00133276	7,16e-006
1.00005	1	1.00302	0,99998
1.00009	1	-0.0033505	1,8e-005
0.99991	1	1.00139	0,99999
0,000298	4,3835e-007	0,009439	5,0683e-005
4,2571e-005	6,2622e-008	0,0023542	1,2671e-005
0,010622	9,8016e-007	0,29402	1,4768e-006

В данной статье метод рассматривается как способ решения систем линейных уравнений (СЛАУ). Метод является аналитическим, то есть позволяет написать алгоритм решения в общем виде, а потом уже подставлять туда значения из конкретных примеров. В отличие от матричного метода или формул Крамера, при решении системы линейных уравнений методом Гаусса можно работать и с теми, что имеют решений бесконечно много. Или не имеют его вовсе.

Что значит решить методом Гаусса?

Для начала необходимо нашу систему уравнений записать в Выглядит это следующим образом. Берется система:

Коэффициенты записываются в виде таблицы, а справа отдельным столбиком - свободные члены. Столбец со свободными членами отделяется для удобства Матрица, включающая в себя этот столбец, называется расширенной.

Далее основную матрицу с коэффициентами нужно привести к верхней треугольной форме. Это основной момент решения системы методом Гаусса. Проще говоря, после определенных манипуляций матрица должна выглядеть так, чтобы в ее левой нижней части стояли одни нули:

Тогда, если записать новую матрицу опять как систему уравнений, можно заметить, что в последней строке уже содержится значение одного из корней, которое затем подставляется в уравнение выше, находится еще один корень, и так далее.

Это описание решения методом Гаусса в самых общих чертах. А что получится, если вдруг у системы нет решения? Или их бесконечно много? Чтобы ответить на эти и еще множество вопросов, необходимо рассмотреть отдельно все элементы, использующиеся при решении методом Гаусса.

Матрицы, их свойства

Никакого скрытого смысла в матрице нет. Это просто удобный способ записи данных для последующих операций с ними. Бояться их не надо даже школьникам.

Матрица всегда прямоугольная, потому что так удобнее. Даже в методе Гаусса, где все сводится к построению матрицы треугольного вида, в записи фигурирует прямоугольник, только с нулями на том месте, где нет чисел. Нули можно не записывать, но они подразумеваются.

Матрица имеет размер. Ее "ширина" - число строк (m), "длина" - число столбцов (n). Тогда размер матрицы A (для их обозначения обычно используются заглавные латинские буквы) будет обозначаться как A m×n . Если m=n, то эта матрица квадратная, и m=n - ее порядок. Соответственно, любой элемент матрицы A можно обозначить через номер его строки и столбца: a xy ; x - номер строки, изменяется , y - номер столбца, изменяется .

В - это не основной момент решения. В принципе, все операции можно выполнять непосредственно с самими уравнениями, однако запись получится куда более громоздкая, и в ней будет гораздо легче запутаться.

Определитель

Еще у матрицы есть определитель. Это очень важная характеристика. Выяснять его смысл сейчас не стоит, можно просто показать, как он вычисляется, а потом рассказать, какие свойства матрицы он определяет. Наиболее простой способ нахождения определителя - через диагонали. В матрице проводятся воображаемые диагонали; элементы, находящиеся на каждой из них, перемножаются, а затем полученные произведения складываются: диагонали с наклоном вправо - со знаком "плюс", с наклоном влево - со знаком "минус".

Крайне важно отметить, что вычислять определитель можно только у квадратной матрицы. Для прямоугольной матрицы можно сделать следующее: из количества строк и количества столбцов выбрать наименьшее (пусть это будет k), а затем в матрице произвольным образом отметить k столбцов и k строк. Элементы, находящиеся на пересечении выбранных столбцов и строк, составят новую квадратную матрицу. Если определитель такой матрицы будет числом, отличным от нуля, то назовется базисным минором первоначальной прямоугольной матрицы.

Перед тем как приступить к решению системы уравнений методом Гаусса, не мешает посчитать определитель. Если он окажется нулевым, то сразу можно говорить, что у матрицы количество решений либо бесконечно, либо их вообще нет. В таком печальном случае надо идти дальше и узнавать про ранг матрицы.

Классификация систем

Существует такое понятие, как ранг матрицы. Это максимальный порядок ее определителя, отличного от нуля (если вспомнить про базисный минор, можно сказать, что ранг матрицы - порядок базисного минора).

По тому, как обстоят дела с рангом, СЛАУ можно разделить на:

Совместные. У совместных систем ранг основной матрицы (состоящей только из коэффициентов) совпадает с рангом расширенной (со столбцом свободных членов). Такие системы имеют решение, но необязательно одно, поэтому дополнительно совместные системы делят на:
- определенные - имеющие единственное решение. В определенных системах равны ранг матрицы и количество неизвестных (или число столбцов, что есть одно и то же);
- неопределенные - с бесконечным количеством решений. Ранг матриц у таких систем меньше количества неизвестных.
Несовместные. У таких систем ранги основной и расширенной матриц не совпадают. Несовместные системы решения не имеют.

Метод Гаусса хорош тем, что позволяет в ходе решения получить либо однозначное доказательство несовместности системы (без вычисления определителей больших матриц), либо решение в общем виде для системы с бесконечным числом решений.

Элементарные преобразования

До того как приступить непосредственно к решению системы, можно сделать ее менее громоздкой и более удобной для вычислений. Это достигается за счет элементарных преобразований - таких, что их выполнение никак не меняет конечный ответ. Следует отметить, что некоторые из приведенных элементарных преобразований действительны только для матриц, исходниками которых послужили именно СЛАУ. Вот список этих преобразований:

Перестановка строк. Очевидно, что если в записи системы поменять порядок уравнений, то на решение это никак не повлияет. Следовательно, в матрице этой системы также можно менять местами строки, не забывая, конечно, про столбец свободных членов.
Умножение всех элементов строки на некоторый коэффициент. Очень полезно! С помощью него можно сократить большие числа в матрице или убрать нули. Множество решений, как обычно, не изменится, а выполнять дальнейшие операции станет удобнее. Главное, чтобы коэффициент не был равен нулю.
Удаление строк с пропорциональными коэффициентами. Это отчасти следует из предыдущего пункта. Если две или более строки в матрице имеют пропорциональные коэффициенты, то при умножении/делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получаются две (или, опять же, более) абсолютно одинаковые строки, и можно убрать лишние, оставив только одну.
Удаление нулевой строки. Если в ходе преобразований где-то получилась строка, в которой все элементы, включая свободный член, - ноль, то такую строку можно назвать нулевой и выкинуть из матрицы.
Прибавление к элементам одной строки элементов другой (по соответствующим столбцам), умноженных на некоторый коэффициент. Самое неочевидное и самое важное преобразование из всех. На нем стоит остановиться поподробнее.

Прибавление строки, умноженной на коэффициент

Для простоты понимания стоит разобрать этот процесс по шагам. Берутся две строки из матрицы:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Допустим, необходимо ко второй прибавить первую, умноженную на коэффициент "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Затем в матрице вторая строка заменяется на новую, а первая остается без изменений.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Необходимо заметить, что коэффициент умножения можно подобрать таким образом, чтобы в результате сложения двух строк один из элементов новой строки был равен нулю. Следовательно, можно получить уравнение в системе, где на одну неизвестную будет меньше. А если получить два таких уравнения, то операцию можно проделать еще раз и получить уравнение, которое будет содержать уже на две неизвестных меньше. А если каждый раз превращать в ноль один коэффициент у всех строк, что стоят ниже исходной, то можно, как по ступенькам, спуститься до самого низа матрицы и получить уравнение с одной неизвестной. Это и называется решить систему методом Гаусса.

В общем виде

Пусть существует система. Она имеет m уравнений и n корней-неизвестных. Записать ее можно следующим образом:

Из коэффициентов системы составляется основная матрица. В расширенную матрицу добавляется столбец свободных членов и для удобства отделяется чертой.

первая строка матрицы умножается на коэффициент k = (-a 21 /a 11);
первая измененная строка и вторая строка матрицы складываются;
вместо второй строки в матрицу вставляется результат сложения из предыдущего пункта;
теперь первый коэффициент в новой второй строке равен a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Теперь выполняется та же серия преобразований, только участвуют первая и третья строки. Соответственно, в каждом шаге алгоритма элемент a 21 заменяется на a 31 . Потом все повторяется для a 41 , ... a m1 . В итоге получается матрица, где в строках первый элемент равен нулю. Теперь нужно забыть о строке номер один и выполнить тот же алгоритм, начиная со второй строки:

коэффициент k = (-a 32 /a 22);
с "текущей" строкой складывается вторая измененная строка;
результат сложения подставляется в третью, четвертую и так далее строки, а первая и вторая остаются неизменными;
в строках матрицы уже два первых элемента равны нулю.

Алгоритм надо повторять, пока не появится коэффициент k = (-a m,m-1 /a mm). Это значит, что в последний раз алгоритм выполнялся только для нижнего уравнения. Теперь матрица похожа на треугольник, или имеет ступенчатую форму. В нижней строчке имеется равенство a mn × x n = b m . Коэффициент и свободный член известны, и корень выражается через них: x n = b m /a mn . Полученный корень подставляется в верхнюю строку, чтобы найти x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . И так далее по аналогии: в каждой следующей строке находится новый корень, и, добравшись до "верха" системы, можно отыскать множество решений . Оно будет единственным.

Когда нет решений

Если в одной из матричных строк все элементы, кроме свободного члена, равны нулю, то уравнение, соответствующее этой строке, выглядит как 0 = b. Оно не имеет решения. И поскольку такое уравнение заключено в систему, то и множество решений всей системы - пустое, то есть она является вырожденной.

Когда решений бесконечное количество

Может получиться так, что в приведенной треугольной матрице нет строк с одним элементом-коэффициентом уравнения, и одним - свободным членом. Есть только такие строки, которые при переписывании имели бы вид уравнения с двумя или более переменными. Значит, у системы имеется бесконечное число решений. В таком случае ответ можно дать в виде общего решения. Как это сделать?

Все переменные в матрице делятся на базисные и свободные. Базисные - это те, которые стоят "с краю" строк в ступенчатой матрице. Остальные - свободные. В общем решении базисные переменные записываются через свободные.

Для удобства матрица сначала переписывается обратно в систему уравнений. Потом в последнем из них, там, где точно осталась только одна базисная переменная, она остается с одной стороны, а все остальное переносится в другую. Так делается для каждого уравнения с одной базисной переменной. Потом в остальные уравнения, там, где это возможно, вместо базисной переменной подставляется полученное для нее выражение. Если в результате опять появилось выражение, содержащее только одну базисную переменную, она оттуда опять выражается, и так далее, пока каждая базисная переменная не будет записана в виде выражения со свободными переменными. Это и есть общее решение СЛАУ.

Можно также найти базисное решение системы - дать свободным переменным любые значения, а потом для этого конкретного случая посчитать значения базисных переменных. Частных решений можно привести бесконечно много.

Решение на конкретных примерах

Вот система уравнений.

Для удобства лучше сразу составить ее матрицу

Известно, что при решении методом Гаусса уравнение, соответствующее первой строке, в конце преобразований останется неизменным. Поэтому выгодней будет, если левый верхний элемент матрицы будет наименьшим - тогда первые элементы остальных строк после операций обратятся в ноль. Значит, в составленной матрице выгодно будет на место первой строки поставить вторую.

вторая строка: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третья строка: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Теперь, чтобы не запутаться, необходимо записать матрицу с промежуточными результатами преобразований.

Очевидно, что такую матрицу можно сделать более удобной для восприятия с помощью некоторых операций. Например, из второй строки можно убрать все "минусы", умножая каждый элемент на "-1".

Стоит также заметить, что в третьей строке все элементы кратны трем. Тогда можно сократить строку на это число, умножая каждый элемент на "-1/3" (минус - заодно, чтобы убрать отрицательные значения).

Выглядит гораздо приятнее. Теперь надо оставить в покое первую строку и поработать со второй и третьей. Задача - прибавить к третьей строке вторую, умноженную на такой коэффициент, чтобы элемент a 32 стал равен нулю.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (если в ходе некоторых преобразований в ответе получилось не целое число, рекомендуется для соблюдения точности вычислений оставить его "как есть", в виде обыкновенной дроби, а уже потом, когда получены ответы, решать, стоит ли округлять и переводить в другую форму записи)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Снова записывается матрица с новыми значениями.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Как видно, полученная матрица уже имеет ступенчатый вид. Поэтому дальнейшие преобразования системы по методу Гаусса не требуются. Что здесь можно сделать, так это убрать из третьей строки общий коэффициент "-1/7".

Теперь все красиво. Дело за малым - записать матрицу опять в виде системы уравнений и вычислить корни

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Тот алгоритм, по которому сейчас будут находиться корни, называется обратным ходом в методе Гаусса. В уравнении (3) содержится значение z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И первое уравнение позволяет найти x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Такую систему мы имеем право назвать совместной, да еще и определенной, то есть имеющей единственное решение. Ответ записывается в следующей форме:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Пример неопределенной системы

Вариант решения определенной системы методом Гаусса разобран, теперь необходимо рассмотреть случай, если система неопределенная, то есть для нее можно найти бесконечно много решений.

х 1 + х 2 + х 3 + х 4 + х 5 = 7 (1)

3х 1 + 2х 2 + х 3 + х 4 - 3х 5 = -2 (2)

х 2 + 2х 3 + 2х 4 + 6х 5 = 23 (3)

5х 1 + 4х 2 + 3х 3 + 3х 4 - х 5 = 12 (4)

Сам вид системы уже настораживает, потому что количество неизвестных n = 5, а ранг матрицы системы уже точно меньше этого числа, потому что количество строк m = 4, то есть наибольший порядок определителя-квадрата - 4. Значит, решений существует бесконечное множество, и надо искать его общий вид. Метод Гаусса для линейных уравнений позволяет это сделать.

Сначала, как обычно, составляется расширенная матрица.

Вторая строка: коэффициент k = (-a 21 /a 11) = -3. В третьей строке первый элемент - еще до преобразований, поэтому не надо ничего трогать, надо оставить как есть. Четвертая строка: k = (-а 4 1 /а 11) = -5

Умножив элементы первой строки на каждый их коэффициентов по очереди и сложив их с нужными строками, получаем матрицу следующего вида:

Как можно видеть, вторая, третья и четвертая строки состоят из элементов, пропорциональных друг другу. Вторая и четвертая вообще одинаковые, поэтому одну из них можно убрать сразу, а оставшуюся умножить на коэффициент "-1" и получить строку номер 3. И опять из двух одинаковых строк оставить одну.

Получилась такая матрица. Пока еще не записана система, нужно здесь определить базисные переменные - стоящие при коэффициентах a 11 = 1 и a 22 = 1, и свободные - все остальные.

Во втором уравнении есть только одна базисная переменная - x 2 . Значит, ее можно выразить оттуда, записав через переменные x 3 , x 4 , x 5 , являющиеся свободными.

Подставляем полученное выражение в первое уравнение.

Получилось уравнение, в котором единственная базисная переменная - x 1 . Проделаем с ней то же, что и с x 2 .

Все базисные переменные, которых две, выражены через три свободные, теперь можно записывать ответ в общем виде.

Также можно указать одно из частных решений системы. Для таких случаев в качестве значений для свободных переменных выбирают, как правило, нули. Тогда ответом будет:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример несовместной системы

Решение несовместных систем уравнений методом Гаусса - самое быстрое. Оно заканчивается сразу же, как только на одном из этапов получается уравнение, не имеющее решения. То есть этап с вычислением корней, достаточно долгий и муторный, отпадает. Рассматривается следующая система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Как обычно, составляется матрица:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

И приводится к ступенчатому виду:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

После первого же преобразования в третьей строке содержится уравнение вида

не имеющее решения. Следовательно, система несовместна, и ответом будет пустое множество.

Преимущества и недостатки метода

Если выбирать, каким методом решать СЛАУ на бумаге ручкой, то метод, который был рассмотрен в этой статье, выглядит наиболее привлекательно. В элементарных преобразованиях гораздо труднее запутаться, чем в том случается, если приходится искать вручную определитель или какую-нибудь хитрую обратную матрицу. Однако, если использовать программы для работы с данными такого типа, например, электронные таблицы, то оказывается, что в таких программах уже заложены алгоритмы вычисления основных параметров матриц - определитель, миноры, обратная и и так далее. А если быть уверенным в том, что машина посчитает эти значения сама и не ошибется, целесообразней использовать уже матричный метод или формул Крамера, потому что их применение начинается и заканчивается вычислением определителей и обратными матрицами.

Применение

Поскольку решение методом Гаусса представляет из себя алгоритм, а матрица - это, фактически, двумерный массив, его можно использовать при программировании. Но поскольку статья позиционирует себя, как руководство "для чайников", следует сказать, что самое простое, куда метод можно запихнуть - это электронные таблицы, например, Excel. Опять же, всякие СЛАУ, занесенные в таблицу в виде матрицы, Excel будет рассматривать как двумерный массив. А для операций с ними существует множество приятных команд: сложение (складывать можно только матрицы одинаковых размеров!), умножение на число, перемножение матриц (также с определенными ограничениями), нахождение обратной и транспонированной матриц и, самое главное, вычисление определителя. Если это трудоемкое занятие заменить одной командой, можно гораздо быстрее определять ранг матрицы и, следовательно, устанавливать ее совместность или несовместность.