Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Чему равна сумма противоположных событий? Алгоритм вычисления математического ожидания

Урок передачи-усвоения новых знаний, умений и навыков.

Тема: Дисперсия. Её свойства.

Цели урока:

Познавательная: 1) передача учащимся определенной системы математических знаний, умений, навыков; 2) выработка у учащихся умения
решать основные типы задач теории вероятности и применять теорию в конкретных различных ситуациях; 3) формирование представлений об идеях и методах высшей математики; 4) формирование у учащихся на материале учебного предмета высшей математики способов учебно-познавательной деятельности.
Развивающая: 1) развитие мышления; 2) развитие памяти; 3) развитие элементов творческой деятельности, как качеств мышления; 4) развитие речи, заключающееся в овладении математической терминологией, а также приемами построения определений, понятий и оперирование ними.
Воспитывающая: 1) воспитать у учеников любовь к выбранной профессии и данному предмету.

Задача: заключается в определении свойств дисперсии случайной величины и в выводе формулы для ее расчета.

Ход урока.

Организационный момент.
Повторение старого и изучение нового материала.
Закрепление нового материала.
Домашнее задание.

1. Проверка присутствующих учеников на уроке.

2. Математика – королева всех наук!
Без нее не летят корабли,
Без нее не поделишь ни акра земли,
Даже хлеба не купишь, рубля не сочтешь,
Что по не узнаешь, а узнав не поймешь!

Учитель : “Итак, математическое ожидание не полностью характеризует случайную величину”

Ученик 1: “О как же так выходит я совсем пустяк”.

Ученик 2: “Да, ты право, правду говоришь”.

Ученик 1: “Но кто заменит вдруг меня, ведь моя формула, то всем нужна”.

Ученик 2: “Да, ты сначала про себя все вспомни”.

Ученик 1: “Без проблем, вот эти формулы, они известны всем. И если множество значений бесконечно, то ожидание находится как ряд, точнее его сумма:

А, если величина вдруг непрерывна, то рассмотреть имеем право мы предельный случай, и вот в итоге что получим:

Ученик 2: “Но это все смешно ведь ожидание не существует. Нет его!”.

Ученик 1: “Нет, ожидание существует, когда является абсолютно сходящимся и интеграл и сумма”.

Ученик 2: “И все же я твержу одно, нам ожидание не нужно”.

Ученик 1: “Ах как же так? Да это просто ”.

Учитель: “Стоп, стоп, закончим спор. Возьмите ручку и тетрадь, и в путь мы будем с вами спор решать. Но прежде чем начать, давайте вспомним лишь одно, чему отклонение от математического ожидания равно”.

Ученик 3: “О, это могу вспомнить я”.

Учитель: “Пожалуйста, вот мел, доска”.

Ученик 4: “Разность X – М(Х) называется отклонением случайной величины X от ее математического ожидания М(Х). Отклонение является случайной величиной. Так как математическое ожидание случайной величины -величина постоянная и математическое ожидание постоянной равно этой

постоянной, то М(Х – М(Х)) = М(Х) – М(М(Х)) = М (X) – М(Х) = 0. т, е, М(Х – М(Х)) =0.”.

Учитель: “Да, все верно, но друзья за меру рассеяния отклонения случайной величины от ее математического это принять нельзя. И из этого последует, что рассматривают модули или квадраты отклонений. А вот теперь послушайте определение: X случайной величины – дисперсия или рассеяние – это математическое ожидание квадрата ее отклонения. Обозначается как D(X), а формула имеет вид: D(X) = М((Х – М(Х)) 2). (1) Теперь давайте, определим, какой же знак величине присвоим мы?”.

Ученик 5: “Из свойств и определения математического ожидания можем получить, лишь одно, что как величина дисперсия неотрицательна D(X) > 0” (2).

Учитель: “Учитывая равенство один получим формулу для нахождения дисперсии: D(X) = М(Х 2) – (М(Х)) 2 . Которую быть может кто – нибудь докажет”.

Ученик 6: “Давайте я попробую. D(X)=M((X – М(Х)) 2) = М(Х 2 - 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(ХМ(Х)+М((М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(Х)М(Х)+(М(Х)) 2 =М(Х 2) – (М(Х)) 2 ”. (3)

Учитель: “Рассмотрим свойства случайной величины:

1. Дисперсия С – как постоянной величины равна нулю: D(C) - 0 (С – const). (4)

2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX)=C 2 D(X). (5)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6)

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7)

Докажем эти свойства принимая во внимание свойства ожидания:

D(C) = М((С – М(С)) 2) = М((С – С 2)) = М(0) = 0. Первое свойство доказано оно означает, что постоянная величина не имеет рассеяния так как принимает одно и тоже значение.

А теперь докажем второе свойство: D(CX) – М((СХ – М(СХ)) 2) = М((СХ

СМ(Х)) 2) = М(С 2 (Х – М(Х)) 2) = С 2 М((Х – М(Х)) 2) = C 2 D(X).

Для доказательства третьего свойства используем формулу три:

D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2) = M(X 2)+2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y) – (M(Y)) 2 = M(X 2) - (M(X)) 2 +M(Y 2) – (M(Y)) 2 = D(X) – D(Y).

Третье свойство распространяется на любое число попарно-независимых случайных величин.

Доказательство четвертого свойства следует из формул (5) и (6).

D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D(– Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D(Y).

Если случайная величина является X является дискретной и задан ее закон распределения Р(Х=х k) = p k (k= 1,2,3,n).

Таким образом случайная величина (X - М(Х)) 2 имеет следующий закон распределения: (к=1,2,3,n), =l.

Исходя из определения математического ожидания, получаем формулу

Дисперсия непрерывной случайной величины X, все возможные значения корой принадлежат отрезку [а,Ь] , определяется формулой:

D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx (8)

где р(х) – плотность распределения этой величины. Дисперсию можно вычислять по формуле:

Для учеников, имеющих оценку “4” и “5” необходимо дома доказать формулу (9).

3. Закрепление нового материала в виде тестовой работы.

1) Тестовая работа по теме “Дисперсия и ее свойства”.

1. Продолжить определение: дисперсия – это.

2. Выберите правильную формулу для расчета дисперсии:

а) D(X)=D(X) 2 – (D(X)) 2 ;
б) D(X)=M(X – D(X 2));
в)D(X)=M((X-M(X)) 2);
г) D(X)=M(X) 2 – (M(X)) 2 ;

Дисперсия случайной величины является мерой разброса значений этой величины. Малая дисперсия означает, что значения сгруппированы близко друг к другу. Большая дисперсия свидетельствует о сильном разбросе значений. Понятие дисперсии случайной величины применяется в статистике. Например, если сравнить дисперсию значений двух величин (таких как результаты наблюдений за пациентами мужского и женского пола), можно проверить значимость некоторой переменной. Также дисперсия используется при построении статистических моделей, так как малая дисперсия может быть признаком того, что вы чрезмерно подгоняете значения.

Шаги

Вычисление дисперсии выборки

Запишите значения выборки. В большинстве случаев статистикам доступны только выборки определенных генеральных совокупностей. Например, как правило, статистики не анализируют расходы на содержание совокупности всех автомобилей в России – они анализируют случайную выборку из нескольких тысяч автомобилей. Такая выборка поможет определить средние расходы на автомобиль, но, скорее всего, полученное значение будет далеко от реального.
- Например, проанализируем количество булочек, проданных в кафе за 6 дней, взятых в случайном порядке. Выборка имеет следующий вид: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Это выборка, а не совокупность, потому что у нас нет данных о проданных булочках за каждый день работы кафе.
- Если вам дана совокупность, а не выборка значений, перейдите к следующему разделу.
Запишите формулу для вычисления дисперсии выборки. Дисперсия является мерой разброса значений некоторой величины. Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем ближе значения сгруппированы друг к другу. Работая с выборкой значений, используйте следующую формулу для вычисления дисперсии:
- s 2 {\displaystyle s^{2}} = ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ] / (n - 1)
- s 2 {\displaystyle s^{2}} – это дисперсия. Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
- x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке.
- x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть x̅, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
- x̅ – выборочное среднее (среднее значение выборки).
- n – количество значений в выборке.
Вычислите среднее значение выборки. Оно обозначается как x̅. Среднее значение выборки вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в выборке, а затем полученный результат разделите на количество значений в выборке.
- В нашем примере сложите значения в выборке: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
  Теперь результат разделите на количество значений в выборке (в нашем примере их 6): 84 ÷ 6 = 14.
  Выборочное среднее x̅ = 14.
- Выборочное среднее – это центральное значение, вокруг которого распределены значения в выборке. Если значения в выборке группируются вокруг выборочного среднего, то дисперсия мала; в противном случае дисперсия велика.
Вычтите выборочное среднее из каждого значения в выборке. Теперь вычислите разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅, где x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке. Каждый полученный результат свидетельствует о мере отклонения конкретного значения от выборочного среднего, то есть как далеко это значение находится от среднего значения выборки.
- В нашем примере:
  x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3
  x 2 {\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1
  x 3 {\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9
  x 4 {\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7
  x 5 {\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5
  x 6 {\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1
- Правильность полученных результатов легко проверить, так как их сумма должна равняться нулю. Это связано с определением среднего значения, так как отрицательные значения (расстояния от среднего значения до меньших значений) полностью компенсируются положительными значениями (расстояниями от среднего значения до больших значений).
Как отмечалось выше, сумма разностей x i {\displaystyle x_{i}} - x̅ должна быть равна нулю. Это означает, что средняя дисперсия всегда равна нулю, что не дает никакого представления о разбросе значений некоторой величины. Для решения этой проблемы возведите в квадрат каждую разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅. Это приведет к тому, что вы получите только положительные числа, которые при сложении никогда не дадут 0.
- В нашем примере:
  ( x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅) 2 = 3 2 = 9 {\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}
  (x 2 {\displaystyle (x_{2}} - x̅) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}
  9 2 = 81
  (-7) 2 = 49
  (-5) 2 = 25
  (-1) 2 = 1
- Вы нашли квадрат разности - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения в выборке.
Вычислите сумму квадратов разностей. То есть найдите ту часть формулы, которая записывается так: ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ]. Здесь знак Σ означает сумму квадратов разностей для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке. Вы уже нашли квадраты разностей (x i {\displaystyle (x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке; теперь просто сложите эти квадраты.
- В нашем примере: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .
Полученный результат разделите на n - 1, где n – количество значений в выборке. Некоторое время назад для вычисления дисперсии выборки статистики делили результат просто на n; в этом случае вы получите среднее значение квадрата дисперсии, которое идеально подходит для описания дисперсии данной выборки. Но помните, что любая выборка – это лишь небольшая часть генеральной совокупности значений. Если взять другую выборку и выполнить такие же вычисления, вы получите другой результат. Как выяснилось, деление на n - 1 (а не просто на n) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, в чем вы и заинтересованы. Деление на n – 1 стало общепринятым, поэтому оно включено в формулу для вычисления дисперсии выборки.
- В нашем примере выборка включает 6 значений, то есть n = 6.
  Дисперсия выборки = s 2 = 166 6 − 1 = {\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33,2
Отличие дисперсии от стандартного отклонения. Заметьте, что в формуле присутствует показатель степени, поэтому дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения анализируемой величины. Иногда такой величиной довольно сложно оперировать; в таких случаях пользуются стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из дисперсии. Именно поэтому дисперсия выборки обозначается как s 2 {\displaystyle s^{2}} , а стандартное отклонение выборки – как s {\displaystyle s} .
- В нашем примере стандартное отклонение выборки: s = √33,2 = 5,76.
Вычисление дисперсии совокупности
1. Проанализируйте некоторую совокупность значений. Совокупность включает в себя все значения рассматриваемой величины. Например, если вы изучаете возраст жителей Ленинградской области, то совокупность включает возраст всех жителей этой области. В случае работы с совокупностью рекомендуется создать таблицу и внести в нее значения совокупности. Рассмотрим следующий пример:
  - В некоторой комнате находятся 6 аквариумов. В каждом аквариуме обитает следующее количество рыб:
    x 1 = 5 {\displaystyle x_{1}=5}
    x 2 = 5 {\displaystyle x_{2}=5}
    x 3 = 8 {\displaystyle x_{3}=8}
    x 4 = 12 {\displaystyle x_{4}=12}
    x 5 = 15 {\displaystyle x_{5}=15}
    x 6 = 18 {\displaystyle x_{6}=18}
2. Запишите формулу для вычисления дисперсии генеральной совокупности. Так как в совокупность входят все значения некоторой величины, то приведенная ниже формула позволяет получить точное значение дисперсии совокупности. Для того чтобы отличить дисперсию совокупности от дисперсии выборки (значение которой является лишь оценочным), статистики используют различные переменные:
  - σ 2 {\displaystyle ^{2}} = (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
  - σ 2 {\displaystyle ^{2}} – дисперсия совокупности (читается как «сигма в квадрате»). Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
  - x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в совокупности.
  - Σ – знак суммы. То есть из каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть μ, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
  - μ – среднее значение совокупности.
  - n – количество значений в генеральной совокупности.
3. Вычислите среднее значение совокупности. При работе с генеральной совокупностью ее среднее значение обозначается как μ (мю). Среднее значение совокупности вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в генеральной совокупности, а затем полученный результат разделите на количество значений в генеральной совокупности.
  - Имейте в виду, что средние величины не всегда вычисляются как среднее арифметическое.
  - В нашем примере среднее значение совокупности: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 {\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = 10,5
4. Вычтите среднее значение совокупности из каждого значения в генеральной совокупности. Чем ближе значение разности к нулю, тем ближе конкретное значение к среднему значению совокупности. Найдите разность между каждым значением в совокупности и ее средним значением, и вы получите первое представление о распределении значений.
  - В нашем примере:
    x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
    x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
    x 3 {\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10,5 = -2,5
    x 4 {\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10,5 = 1,5
    x 5 {\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10,5 = 4,5
    x 6 {\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10,5 = 7,5
5. Возведите в квадрат каждый полученный результат. Значения разностей будут как положительными, так и отрицательными; если нанести эти значения на числовую прямую, то они будут лежать справа и слева от среднего значения совокупности. Это не годится для вычисления дисперсии, так как положительные и отрицательные числа компенсируют друг друга. Поэтому возведите в квадрат каждую разность, чтобы получить исключительно положительные числа.
  - В нашем примере:
    ( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения совокупности (от i = 1 до i = 6):
    (-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} = 30,25
    (-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} , где x n {\displaystyle x_{n}} – последнее значение в генеральной совокупности.
  - Для вычисления среднего значения полученных результатов нужно найти их сумму и разделить ее на n:(( x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ( x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ... + ( x n {\displaystyle x_{n}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
  - Теперь запишем приведенное объяснение с использованием переменных: (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n и получим формулу для вычисления дисперсии совокупности.

https://pandia.ru/text/78/381/images/image002_82.jpg" width="192 height=55" height="55"> 0 Значение полигона, построенного по данному выборочному распределению, в точке 1280 и моды равны

DX = 1.5. Используя свойства дисперсии , найдите D(2X+5).

MX = 1.5. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X+5).

MX = 5, MY = 2. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X - 3Y).

x – стандартная нормальная случайная величина. Случайная величина x 2 имеет распределение

X и Y – независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).

Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет герб?

Бросается 6 монет. Вероятность того, что герб выпадет более четырех раз равна:

Гистограмма" href="/text/category/gistogramma/" rel="bookmark">гистограмму . Она имеет вид

DIV_ADBLOCK234">

В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Выборочная средняя результатов измерений, выборочная и исправленная дисперсии ошибок прибора равны соответственно

В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки – 0.7. Стрелок наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

В среднем каждое сотое изделие, производимое предприятием, дефектное. Если взять два изделия, какова вероятность, что оба окажутся исправными?

В таблице статистического распределения, построенного по выборке, на одно число попала клякса Это число

Эта цифра

В таблице статистического распределения, построенного по выборке, одна цифра написана неразборчиво Эта цифра

В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных. Найти вероятность p того, что вынутый наугад шар окажется красным.

Вариационный ряд выборки: -7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5 имеет вид

–7, -5, 0, 1, 2, 2, 3, 4

Величина x имеет распределение N(a, s ). Вероятность p{| x -a|<2 s } равна

Величина x имеет распределение N(a, s ). Вероятность p{ x s }равна

Величина x имеет распределение N(a, s ). Вероятность p{ x s } равна

Вероятность выиграть в кости равна 1/6. Игрок делает 120 ставок. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число выигрышей не будет меньше 15?

Вероятность выиграть в рулетку равна 1/38. Игрок делает 190 ставок. С помощью какой таблицы можно найти вероятность того, что он выиграет не менее 5 раз?

распределения Пуассона

Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется не честно, мы решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный интервал для вероятности выигрыша. По какой формуле строится интервал и что дала проверке в нашем случае?

DIV_ADBLOCK236">
Вероятность появления события А в испытании равна 0.1. Чему равно среднеквадратическое отклонение числа появлений события А в одном испытании?

Вероятность суммы любых случайных событий A и B вычисляется по формуле:

р(A+B)=р(A)+р(B)-р(AB)

Вероятность того, что дом может сгореть в течение года, равна 0.01. Застраховано 500 домов. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что сгорит не более 5 домов?

распределением Пуассона

Вероятность того, что размеры детали, выпускаемой станком-автоматом, окажутся в пределах заданных допусков, равна 0.96. Каков процент брака q? Какое количество негодных деталей в среднем (назовем это число M) будет содержаться в каждой партии объемом 500 штук?

Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2, x2 = 5, x3 = 8. Известны вероятности: р(X = 2) = 0.4; р(X = 5) = 0.15. Найдите р(X = 8).

Вратарь парирует в среднем 30 % всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Какова вероятность того, что он возьмет ровно два из четырех мячей?

Всегда ли верна формула M(X+Y)=M(X)+M(Y)

да, всегда

Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2 – по 5 руб. и 1 – 10 руб. Найдите вероятности p0 (билет не выиграл), p1 (билет выиграл 1 руб.), p5 (билет выиграл 5 руб.) и p10 (билет выиграл 10 руб.) событий.

p0=0.89; p1=0.08; p5=0.02; p10=0.01

Дан вариационный ряд выборки объема n = 7: -5, -3, 0, 1, 1, 4, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны

Дан вариационный ряд выборки объема n = 8: -2, 0, 3, 4, 6, 9, 12, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны

Дан вариационный ряд выборки объема n = 9: -2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12. Выборочная медиана для этого ряда – d равна

Дана выборка объема n = 10..jpg" width="13 height=21" height="21"> для этой выборки равно

https://pandia.ru/text/78/381/images/image011_24.jpg" width="49" height="32 src=">

Дана выборка объема n = 5: -2, -1, 1, 3, 4..jpg" width="107" height="24 src=">

Дана выборка объема n = 5: 2, 3, 5, 7, 8..jpg" width="108" height="24 src=">

Дана выборка объема n = 5: -3, -2, 0, 2, 3..jpg" width="115" height="24 src=">

Дана выборка объема n = 5: -4, -2, 2, 6, 8..jpg" width="13" height="21 src="> = 2, S2 = 20,8

Дана выборка объема n = 5: -6, -4, 0, 4, 6..jpg" width="13" height="21 src="> = 0, S2 = 20,8

Дана выборка объема n = 7: 3, 5, -2, 1, 0, 4, 3. Вариационный ряд для этой выборки и размах вариационного ряда

–2, 0, 1, 3, 3, 4, 5; размах равен 7

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn..jpg" width="141" height="45 src=">

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Если каждый элемент выборки увеличить на 5 единиц, то

выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 не изменится

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то выборочное среднее

возрастет в 5 раз, а выборочная дисперсия S2 увеличится в 25 раз

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле

ak = https://pandia.ru/text/78/381/images/image017_13.jpg" width="83" height="47 src=">

Дана выборка объема n: х1, х2, х3, …, хn..jpg" width="140" height="45 src=">

Дана выборка: 0, 5, 2, 8, 2, 6, 1, 5. Вариационный ряд для этой выборки и его размах

0, 1, 2, 2, 5, 5, 6, 8; размах выборки 8

Дана конкретная выборка объема n = 10: 2, 2, 5, 5, 4, 3, 4, 2, 2, 5. Статистическое распределение этой выборки имеет вид

https://pandia.ru/text/78/381/images/image021_11.jpg" width="203" height="51"> С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам строится прямая регрессии . Эта прямая для прибыли в марте дает значение (Указание. Определить это значение без построения прямой регрессии)

Дано статистическое распределение выборки

https://pandia.ru/text/78/381/images/image023_9.jpg" width="200" height="71"> Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны

https://pandia.ru/text/78/381/images/image024_6.jpg" width="200" height="69"> График эмпирической функции распределения для этой выборки имеет вид

https://pandia.ru/text/78/381/images/image026_4.jpg" width="192" height="69 src="> Эмпирическая функция распределения для этого ряда имеет вид

https://pandia.ru/text/78/381/images/image028_4.jpg" width="144" height="78 src=">

Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m: https://pandia.ru/text/78/381/images/image030_6.jpg" width="87" height="47 src=">

Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m: https://pandia.ru/text/78/381/images/image032_3.jpg" width="13 height=23" height="23"> . Тогда статистический центральный момент k-го порядка находится по формуле:

https://pandia.ru/text/78/381/images/image034_2.jpg" width="185" height="71 src="> Выборочная средняя равна . Тогда выборочная дисперсия S2 находится по формуле

https://pandia.ru/text/78/381/images/image036_2.jpg" width="201" height="71 src="> Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле

https://pandia.ru/text/78/381/images/image038_2.jpg" width="193" height="71"> Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны

https://pandia.ru/text/78/381/images/image039_2.jpg" width="185" height="71"> Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны

https://pandia.ru/text/78/381/images/image040_2.jpg" width="245" height="28 src="> . При уровне значимости a =0,05 проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних m x= m y (конкурирующая гипотеза m x≠ m y). Опытное значение статистики Т, применяемой для проверки гипотезы Н0, равно 4,17. Гипотеза Мх = Му

проходит

Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема nх=42 и ny=20 с такими характеристиками: https://pandia.ru/text/78/381/images/image041_2.jpg" width="16" height="20 src="> и таблиц нормального распределения строится доверительный интервал. Если увеличить объем выборки в 100 раз, длина доверительного интервала примерно

уменьшится в 10 раз

Для выборки объема n=9 рассчитали выборочную дисперсию S2=3,86. Исправленная дисперсия равна

Для контроля качества продукции завода из каждой партии готовых изделий выбирают для проверки 1000 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 80 изделий. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно бракованных изделий (назовем это число M) будет в партии из 10000 единиц?

p = 0.92; M = 800

Для обработки наблюдений методом наименьших квадратов построена прямая. Ее график:

https://pandia.ru/text/78/381/images/image043_3.jpg" width="20" height="24">)

Для построения доверительного интервала для оценки вероятности надо пользоваться таблицами

нормального распределения

Для проверки гипотезы о равенстве 2-х генеральных средних надо пользоваться таблицами

распределения Стьюдента

Для проверки на всхожесть было посеяно 2000 семян, из которых 1700 проросло. Равной чему можно принять вероятность p прорастания отдельного семени в этой партии? Сколько семян в среднем (назовем это число M) взойдет из каждой тысячи посеянных?

Для сравнения 2-х генеральных средних совокупностей X и Y из них извлекли выборки объема n и m соответственно. Для проверки гипотезы о том, что m х= m y, надо вычислить статистику

https://pandia.ru/text/78/381/images/image045_3.jpg" width="12" height="20"> , выборочное среднеквадратическое s

Для того, чтобы вдвое сузить доверительный интервал, построенный для математического ожидания, во сколько раз надо увеличить число наблюдений

Для того, чтобы по выборке объема n= 10 построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого неизвестна, нужны таблицы

распределения Стьюдента.

Для того, чтобы построить 95%-ый доверительный интервал для математического ожидания m случайной величины, распределенной нормально с известной дисперсией s 2 по выборке объема n, вычисляется и используется формула

https://pandia.ru/text/78/381/images/image048_1.jpg" width="136 height=47" height="47">

Если вероятность события A есть р(A), то чему равна вероятность события, ему противоположного?

Если имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности P(A/Hi), то P(A) вычисляется по формуле

Полной вероятности

Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет высшего или первого сорта.

Завод в среднем дает 28% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта.

Задана таблица распределения случайной величины. Найти C..jpg" width="187" height="59 src=">

Значение кумуляты, построенной по таблице, в точке 170, и медианы равны https://pandia.ru/text/78/381/images/image052_1.jpg" width="204" height="50 src="> Оценка генеральной средней

Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты. Вероятость того, что попадут две карты одинаковой масти равна

https://pandia.ru/text/78/381/images/image054_1.jpg" width="43" height="41 src=">

Известно, что X~N(0,3), Y~N(0.5, 2), Х и Y независимы. S=X+2Y имеет распределение

Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад изделий окажутся неисправными оба?

Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из 200 взятых наугад изделий 2 окажутся неисправными?

Имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi, и заданы вероятности P(A/Hi). Известно, событие A произошло. Вероятность, что при этом была реализована Hi вычисляется по формуле

Количество поражений шахматиста в течение года имеет распределение Пуассона с параметром λ=6. Вероятность того, что шахматист в течение года проиграет не более двух партий равна

https://pandia.ru/text/78/381/images/image056_0.jpg" width="44" height="45 src=">

Куплено 1000 лотерейных билетов. На 80 из них упал выигрыш по 1 руб., на 20 – по 5 руб., на 10 – по 10 руб. Какая таблица описывает закон распределения выигрыша?

https://pandia.ru/text/78/381/images/image058_1.jpg" width="89 height=52" height="52"> , равны

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на отрезке , равны

Медиана выборки равна

Монету бросали 100 раз. 70 раз выпал орел, для проверки гипотезы о симметричности монеты строим доверительный интервал и проверяем, попали ли мы в него. По какой формуле строится доверительный интервал, и что даст проверка в нашем конкретном случае?

I 0,95 (p) = , монета не симметричная

На некоторой фабрике машина А производит 40% продукции, а машина B – 60%. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 1 из 250, произведенных машиной B, оказываются бракованными. Какова вероятность, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной?

На некотором заводе было замечено, что при определенных условиях в среднем 1.6% изготовленных изделий оказываются неудовлетворяющими стандарту и идут в брак. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно непригодных изделий (назовем это число M) будет в партии из 1000 изделий?

p = 0.984; M = 16

На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок L длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Наблюдения проводились над системой (х, у) 2-х величин. Результаты наблюдения записаны в таблицу Коэффициент корреляции равен

Наблюдения проводятся над системой (X: Y) двух случайных величин. Выборка состоит из пар чисел: (х1: y1), (х2: y2), …, (хn: yn)..jpg" width="11" height="24 src=">.jpg" width="11" height="27 src=">.jpg" width="200" height="49 src=">

Плотность распределения f(x) можно найти по функции распределения F(х) по формуле

https://pandia.ru/text/78/381/images/image069.jpg" width="161" height="83 src=">

По выборке объема 100 надо построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого известна. Для этого необходимо воспользоваться

таблицами нормального распределения

По выборке объема n из нормального распределения с известной дисперсией s 2 строится доверительный интервал для математического ожидания. Если объем выборки увеличить в 25 раз, длина доверительного интервала

уменьшится в 5 раз

По выборке объема n из нормального распределения с неизвестной дисперсией строится доверительный интервал для математического ожидания. Объем выборки увеличиваем в 16 раз..jpg" width="274" height="151"> Медиана равна

Медиана равна

По выборке построена гистограмма

нормальное

По выборке построена гистограмма По виду гистограммы можно предполагать, что генеральная совокупность, из которой произведена выборка, имеет распределение

равномерное

По выборке построена статистическая таблица распределения https://pandia.ru/text/78/381/images/image075.jpg" width="201" height="48 src=">

По выборке построена таблица статистического распределения выборки, имеющая вид.

https://pandia.ru/text/78/381/images/image077.jpg" width="187" height="75 src="> Построить графически моду, найти медиану

https://pandia.ru/text/78/381/images/image008_28.jpg" width="105" height="47 src="> , где DIV_ADBLOCK247">
Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. Вероятность того, что событие A наступит m раз

вычисляется по формуле Бернулли

Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. n велико. Вероятность того, что событие A наступит m раз, вычисляется по формуле или используются асимптотические приближения?

используются асимптотические приближения

Производится выборка объема n=100 из генеральной совокупности, имеющей распределение N (20,4)..jpg" width="184" height="73"> Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали,

Рулетка размечается с помощью меток – 00, 0, 1, ...36. Метки при игре не имеют преимуществ друг перед другом. Игрок делает 114 попыток. Какова вероятность ни разу не выиграть?

С первого станка на сборку поступает 40% деталей, остальные 60% со второго. Вероятность изготовления бракованной детали для первого и второго станка соответственно равна 0.01 и 0.04. Найдите вероятность того, что наудачу поступившая на сборку деталь окажется бракованной.

Самое маленькое значение в выборке 0, самое большое 8, медиана 2. По этой выборке построена гистограмма

DIV_ADBLOCK249">
События A и B называются несовместными, если:

События называются независимыми, если:

р(AB)=р(A)р(B)

Состоятельной, но смещенной точечной оценкой параметра является

эмпирическая дисперсия S2

Станок-автомат производит изделия трех сортов. Первого сорта – 80%, второго – 15%. Чему равна вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или второго, или третьего сорта?

Страхуется 1600 автомобилей; вероятность того, что автомобиль может попасть в аварию, равна 0.2. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число аварий не превысит 350?

интегральной формулой Муавра-Лапласа

Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три выстрела, он два раза попадет?

Студенту предлагают 6 вопросов и на каждый вопрос 4 ответа, из которых один верный, и просят дать верные ответы. Студент не подготовился и выбирает ответы на - угад. Какова вероятность того, что он правильно ответит ровно на половину вопросов? (С точностью до 3-х знаков после запятой)

Теннисист идет на игру. Если ему дорогу перебежит черная кошка, то вероятность победы 0,2; если не перебежит, то – 0,7. Вероятность, что кошка перебежит дорогу – 0,1; что не перебежит – 0,9. Вероятность победы:

0,1·0,2+0,9·0,7

Условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется:

р(B/A)=р(AB)/р(A)

Формула D(-X)=D(X)

Функцию распределения F(х) можно найти по плотности вероятности f(х) по формуле

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D (X ) = npq.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину X - число появлений события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

X = Х 1 + X 2 + …+ Х п,

где Х 1 - число наступлений события в первом испытании, Х 2 - во втором, ..., Х п - в п- м.

Величины Х 1 , Х 2 , ..., Х п взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1 (см. § 5):

D (X ) = D (X 1) + D (X 2)+ ...+D (Х п ). (*)

Вычислим дисперсию X 1 по формуле

D (X 1)=M ( )- [M (X 1)] 2 . (**)

Величина Х 1 -число появлений события А в первом испытании, поэтому (см. гл. VII, § 2, пример 2) М (Х 1)=р .

Найдем математическое ожидание величины , которая может принимать только два значения, а именно: 1 2 c вероятностью р и О 2 с вероятностью q:

M ( )= 1 2 *p+ 0 2 *q=p.

Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем

D (X 1)=p-p 2 =p (1-p )=pq

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq, окончательно получим

D (X ) = npq.

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п и р равна произведению npq.

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X -числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n =10, р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события

q = 1- 0, 6 = 0, 4.

Искомая дисперсия

D (X ) = npq = 10 0, 6 0, 4 = 2, 4.

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность s(X )совпадает сразмерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается влинейных метрах, то а (X )будет выражаться также влинейных метрах, a D (X )- в квадратных метрах.

Пример. Случайная величина X задана законом распределения

X
p 0, 1 0, 4 0, 5
Найти среднее квадратическое отклонение s(X ).

Решение. Найдем математическое ожидание X:

М (Х ) = 2* 0, 1 + 3* 0, 4+ 10* 0, 5 = 6, 4.

Найдем математическое ожидание X 2 :

М (Х 2) = 2 2 * 0, 1+ 3 2 * 0, 4+ 10 2 * 0, 5 = 54.

Найдем дисперсию:

D (X )= М (X 2) - [М (X )] 2 = 54 - 6, 4 2 = 13, 04.

Искомое среднее квадратическое отклонение

s(X)= =

Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Чему равна сумма противоположных событий? Алгоритм вычисления математического ожидания

Шаги

Вычисление дисперсии выборки

Вычисление дисперсии совокупности