Математическое моделирование. Основные этапы математического моделирования. Задания на построение модели

Развитие основных психических процессов - памяти, внимания, воображения, образного мышления, речи; перекодирование информации, т.е. преобразование из абстрактных символов в образы; формирование навыка самостоятельного моделирования; развитие мелкой моторики при частичном или полном графическом воспроизведении. Развитие у детей познавательного интереса к математике Значение моделирования в развитии дошкольников.

Использование моделирования в развитии математических представлений дошкольников дает ощутимые положительные результаты, а именно: -позволяет выявить скрытые связи между явлениями и сделать их доступными пониманию ребенка; -улучшает понимание ребенком структуры и взаимосвязи составных частей объекта или явления; - повышает наблюдательность ребенка, дает ему возможность заметить особенности окружающего мира;

Этапы работы с моделями Четырех ступенчатая последовательность применения метода моделирования. Первый этап предполагает знакомство со смыслом арифметических действий. Второй - обучение описанию этих действий на языке математических знаков и символов. Третий - обучение простейшим приемам арифметических вычислений Четвертый этап - обучение способам решения задач Этапы работы с моделями

Наглядная плоскостная модель "Домик, где знаки и числа живут" Цель применения: -закрепить умения детей составлять числа из двух меньших; складывать и вычитать числа; -дать детям представления о неизменности числа, величины при условии различий в суммировании; - учить или закреплять умение сравнивать числа (больше, меньше, равно).

Наглядная плоскостная модель "Солнечная система" Только для детей старшей и подготовительной группы. Цели применения: -дать (или закрепить) представления детей о геометрических телах и фигурах (сравнивая круг, шар с другими геометрическими телами и фигурами); -научить детей определять и отражать в речи основания группировки, классификации, связи и зависимости полученной группы (солнечная система); -научить (или закрепить) умение детей определять последовательность ряда предметов по размеру; -развивать понимание пространственных отношений, определять местонахождение одних объектов относительно других; -совершенствовать порядковый и количественный счет; -закрепить умение пользоваться условной меркой для измерения расстояний; - закрепить умение решать арифметические задачи.

Наглядная плоскостная модель "Счетный торт" Цель применения: -учить детей решать арифметические задачи и развивать познавательные способности ребенка; - учить выделять математические отношения между величинами, ориентироваться в них.

Математическое моделирование – процесс установления соответствия реальной системе S мат модели M и исследование этой модели, позволяющее получить хар-ки реальной системы. Применение мат модел-ния позволяет иссл-ть объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или невозможны.

Аналит-е моделирование - процессы функц-ия элем-в записываются в виде мат-х соотношений (алгебр-х, интегральных, диффер-х, логич-х и т.д.). Мат. модель может вообще не содержать в явном виде искомых величин. Ее необходимо преобразовать в систему соотношений относ-но искомых величин, допускающую получение нужного результата чисто анал-ми методами. Под этим понимается получения явных формул вида

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, либо получение урав-й известного вида, решение которых также известно. В некоторых случаях возможно качественное исследование модели, при котором в явном виде можно найти лишь некоторые свойства решения.

Численное мод-е использует методы вычис-й матем-ки и позволяет получить лишь приближенные решения. Решение задачи бывает менее полным, чем в анал-м мод-и. Принципиальный недостаток численного мод-я закл-ся в автом-й реализации выбранного численного метода. Моделирующий алгоритм в большей степени отражает именно численный метод, чем особенности модели. Поэтому при смене численного метода приходится заново перерабатывать алгоритм моделирования.

Имит-е мод-ие - воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса функц-я исследуемой системы с соблюдением логической и временной послед-ти реальных событий. Для имит- мод-я характерно воспроизведение событий , происходящих в системе (описываемых моделью) с сохр их логической структуры и временной последовательности . Оно позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее элементов в опред-е моменты времени. Имитационное моделирование аналогично экспериментальному исследованию процессов на реальном объекте, т.е. на натуре.

12.Получение случайных чисел с произвольным законом распределения методом обратных функций. М-д обр ф-ий наиболее общий и универсальный способ получения чисел, подчиненных заданному закону. Стандартный метод моделирования основан на том, что интегральная функция распределения
любой непрерывной случайной величины равномерно распределена в интервале (0;1), т.е. для любой случайной величины X с плотностью распределения f (x ) случайная величина равномерно распределена на интервале (0;1).

Тогда случайную величину X с произвольной плотностью распределения f (x ) можно рассчитать по следующему алгоритму:1. Необходимо сгенерировать случайную величину r (значение случайной величины R), равномерно распределенную в интервале (0;1). 2. Приравнять сгенерированное случайное число известной функции распределения F(X) и получить уравнение
. 3. Решая уравнение X=F -1 (r), находим искомое значение X

Графическое решение

.

Дополнительно к вопросу 11.

Рассмотрим пример, характеризующий различие рассмотренных видов моделирования.

Имеется система, состоящая из трех блоков.

Система функционирует нормально, если исправен хотя бы один из блоков 1 и 2, а также исправен блок 3. Известны функции распределения времени безотказной работы блоков f1(t),f2(t),f3(t). Требуется найти вероятность безотказной работы системы в момент времени t.

Эквивалентная логическая схема

означает, что отказ системы наступает при обрыве цепи. Это имеет место в следующих случаях:

отказали блоки 1 и 2, исправен блок 3;

отказал блок 3, исправен хотя бы один из блоков 1 и 2.

Вероятность безотказной работы системы P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

Эта формула и есть основа математической модели системы.

Аналитическое моделирование. Оно возможно лишь при условии, что все интегралы выражаются через элементарные функции. Допустим, что

Тогда
=
=
.

С учетом этого модель (1) принимает вид

Это и есть явное аналитическое выражение относительно искомой вероятности; оно справедливо лишь при сделанных допущениях.

Численное моделирование . Необходимость в нем может возникнуть, например, тогда, когда установлено, что интегралы не определяются (т.е. выражены не ч/з элементарные функции). Необходимость в нем может возникнуть, например, тогда, когда установлено, что распределения f1(t),f2(t),f3(t) подчиняются закону Гаусса (нормальному):
.Для вычислений по формуле P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = при каждом значении t они должны определяться численно, например, по методу трапеций, Симпсона, Гаусса или другими методами. Для каждого значения t вычисления проводятся заново.

метод прямоугольников, метод трапеций, метод параболы. При методе прямоуг возникает ошибка – неточность вычислений. Но можно разделить на 2 и более интервалов. Появляется множество интегралов, но здесь уже возникает ошибка округления.

метод Гаусса

метод Монте-Карло

Имитационное моделирование. Имитация есть воспроизведение событий, происходящих в системе, т.е. исправной работы либо отказа rаждого элемента. Если время работы системы t, а ti - время безотказной работы элемента с номером i, то: событие ti>t означает исправную работу элемента за время (0; t];

событие ti<=t означает отказ элемента к моменту t.

Заметим, что ti - случайная величина, распределенная по закону fi(t), который известен по условию.

Моделирование случайного события «исправная работа k –го элемента за время (0; t]» заключается:

1)в получении случайного числа ti, распределенного по закону fi(t);

2)в проверке истинности логического выражения ti>t. Если оно истинно, то i-й элемент исправен, если ложно – он отказал.

Алгоритм моделирования таков:

1.Положить n=0, k=0. Здесь n – счетчик числа реализаций (повторений) случайного процесса; k – счетчик числа «успехов».

2.Получить три случайных числа t1,t2,t3, распределенных соответственно по законам f1(t),f2(t),f3(t).

3.Проверить истинность логического выражения L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]

Если L=true, то положить k=k+1 и перейти к шагу 4, иначе перейти к шагу 4.

4.Положить n=n+1.

5.Если n<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

Еще раз подчеркнем: Значение N задают заранее по соображениям обеспечения заданной точности о достоверности статистической оценки искомой величины P(t).

Для эффективного решения различных задач обработки И необходима их математическая постановка, которая прежде всего включает в себя математическое описание, т. е. модель И как объекта исследования. К настоящему времени разработан целый ряд таких моделей , некоторые из них рассматриваются в этой главе.

1.1. Случайные поля

Наиболее распространенными в настоящее время являются информационные комплексы, включающие в себя пространственные системы датчиков и цифровую вычислительную технику. Поэтому мы будем в основном рассматривать МИ с дискретными пространственными и временными переменными. Не ограничивая общности, будем считать, что МИ заданы на многомерных прямоугольных сетках с единичным шагом. На рис. 1.1,а и 1.1,б изображены двумерная и трехмерная сетки. В общем случае И задано в узлах n-мерной сетки .

В зависимости от физической природы значения И могут быть скалярными (например, яркость монохроматического изображения), векторными (поле скоростей, цветные изображения, поле смещений) и более сложнозначными (например, матричными). Если обозначить через значение И в узле (пикселе) , то И есть совокупность этих значений на сетке: .

Если данные представляют собой временную последовательность И, то иногда удобно считать эту последовательность одним И, увеличив размерность сетки на единицу. Например, последовательность из плоских И (рис. 1.1,а) можно рассматривать как одно трехмерное И (рис. 2.1,б).

Если требуется временную переменную выделить особо, то будем ее записывать сверху: . Это И задано на прямом произведении сеток и I, где I – множество значений временного индекса. Сечение , т.е. совокупность отсчетов И при фиксированном значении временного индекса i, называется i-м кадром И . Каждый кадр задан на сетке . Например, на рис. 1.1,б изображено три двухмерных кадра.

Таким образом, МИ можно рассматривать как некоторую функцию, определенную на многомерной сетке. Значение элементов И невозможно точно предсказать заранее (иначе система наблюдения была бы не нужна), поэтому естественно рассматривать эти значения как случайные величины (СВ), применяя аппарат теории вероятностей и математической статистики. Итак, приходим к основной модели МИ – системе СВ, заданных на многомерной сетке. Такие системы называются дискретными случайными полями (СП) или случайными функциями нескольких переменных.

Для описания СП, как и любой другой системы СВ, можно задать сов-местную функцию распределения вероятностей (ФР) его элементов или совместную плотность распределения вероятностей (ПРВ) . Однако И обычно состоит из очень большого количества элементов (тысячи и миллионы), поэтому ФР (или ПРВ) при таком количестве переменных становится необозримой и требуются другие, менее громоздкие методы описания СП.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОПРИВОДА

Методические указания и лабораторный практикум для студентов дневного и заочного отделения

Специальность 140604 "Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов"

Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского государственного университета

УДК 621.31112: 621.313

Рецензент: кандидат технических наук доцент каф. АТ В. И. Семёновых

Составитель: преподаватель кафедры ЭПиАПУ Д.В. Ишутинов

Подписано в печать Усл. печ. л. 2,5

Бумага офсетная. Печать копир Aficio 1022

Заказ № 340 Тираж 52 Бесплатно.

Текст напечатан с оригинал-макета, предоставленного составителем

610000, г. Киров, ул. Московская, 36.

Оформление обложки, изготовление – ПРИП ВятГУ

Ó Вятский государственный университет, 2011

ВВЕДЕНИЕ

Аналогия – это частное сходство двух объектов, которое может быть существенным или менее существенным. Существенность сходства зависит от уровня абстрагирования и определяется целью исследования.

Аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, обладают наглядностью, а значит, упрощают рассуждения и помогают проводить эксперименты, уточняющие природу явлений. Такие аналогии называют моделями .

Модель – это объект-заменитель объекта оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Моделирование – это представление реального физического объекта его моделью для получения информации о важнейших свойствах и физических процессах, протекающих в нем, путем проведения экспериментов с его моделью.

В процессе моделирования модель выступает в роли самостоятельного объекта, позволяющие получить некоторые знания – результаты моделирования. Если они подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то модель считается адекватной объекту. На основании адекватных моделей могут исследоваться подобные объекты.

1. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

При разработке и проектировании современных электромеханических систем, представляющих собой сочетание электродвигателя, механической части электропривода и системы управления, возникает необходимость в решении сложных расчетных задач. Для этого во многих случаях прибегают к моделированию.

Виды моделирования можно классифицировать по различным критериям. С точки зрения типа модели и способа представления математического описания классификация представлена на рисунке 1.1.

Таким образом, моделирование может быть условно разделено на два основных вида: математическое и физическое.

Физическим моделированием называют проведение исследований на реальном объекте или его макете. При проведении экспериментов на реальном объекте различные характеристики исследуются на самом объекте или его части. Физическое моделирование может проводиться на объектах, работающих в нормальном режиме или в специальных режимах. Реальное моделирование является наиболее адекватным, но его возможности ограничены физическими, техническими и другими особенностями реальных объектов и систем.

Другим видом физического моделирования является моделирование на макете, которое применяется, в случае если эксперименты с реальным объектом затруднены, невозможны или опасны. Исследования с помощью макета проводятся на установках, которые обладают физическим подобием и сохраняют природу явлений в изучаемом объекте.

Физическое моделирование может протекать в реальном или произвольном масштабе времени. Наибольшую сложность и интерес представляет моделирование в реальном масштабе времени, позволяющее получить наиболее достоверные результаты исследований.

Математическое моделирование может проводиться при помощи аналитических методов исследования, а также с использованием аналоговых (АВМ) и цифровых (ЭВМ) вычислительных машин.

При использовании аналитических методов исследования можно получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик объекта. Аналитическое исследование позволяет получить наиболее общее представление о процессах функционирования системы, однако оно возможно для относительно простых систем, и связано с проведением трудоёмких расчётов. Даже в простейших случаях (для линейных систем) аналитическое моделирование не позволяет получить исчерпывающие результаты. При наличии в системе нелинейных элементов, переменных параметров и других усложняющих расчеты факторов возможности аналитических методов расчёта ещё более ограничены.

Современные вычислительные машины позволяют с достаточной точностью имитировать любые передаточные функции, нелинейные статические характеристики, произведения и частные. Вычислительные машины, а, следовательно, и модели бывают аналоговыми и цифровыми.

Под аналоговой моделью понимается такая, которая описывается уравнениями, связывающими непрерывные величины. Решение дифференциальных уравнений в АВМ носит непрерывный характер. Реальный физический объект заменяется при аналоговом моделировании подобным физическим объектом. В АВМ в качестве такого объекта выступает решающий операционный усилитель. Основным преимуществом моделирования на АВМ является высокая наглядность модели и возможность подключения к модели других технических средств. Также применение АВМ может ускорить исследование достаточно простых систем. С другой стороны возникают проблемы связанные с настройкой сложных моделей; появляются погрешности, обусловленные дрейфом параметров АВМ и кусочной линеаризацией нелинейностей. Максимальная величина выходного напряжения решающего операционного усилителя в АВМ ограничена значением в сто вольт. Поэтому для всех переменных модели вводятся масштабные коэффициенты, в результате чего могут накапливаться дополнительные ошибки.

Под цифровой моделью понимается модель, в которой решение уравнений и процессы, протекающие в ней, носят дискретный характер. Следовательно, все рассчитываемые величины определены в некоторые дискретные интервалы времени. Цифровая модель обладает меньшей физической наглядностью, однако лишена недостатков присущих аналоговой модели. Для проектирования цифровых моделей применяются современные средства вычислительной техники, а расчёт таких моделей основан на применении численных методов.

С помощью средств вычислительной техники математические модели могут исследоваться как прямым решением систем дифференциальных уравнений, так и на основе моделирования по структурным схемам.

В первом случае математическое моделирование заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений, описывающей поведение исследуемого объекта. Такая модель не отражает реальной структуры физического объекта. В данном случае для расчета модели не нужно знание специализированных САПР, однако затрудняется понимание структуры реального физического объекта.

Во втором случае строится структурная модель, в которой элементы соединены в соответствии со структурой исследуемой системы. При использовании структурного метода модель системы представляется в виде моделей типовых динамических звеньев ТАР и нелинейных блоков, имитирующих работу отдельных физических узлов исследуемой системы. Применение структурных моделей позволяет при моделировании сохранить структуру исследуемого объекта, и поэтому на модели легко воспроизводится изменение параметров и структуры реального физического объекта, например, включение корректирующих устройств, выбор глубины обратных связей, изменение момента инерции механической части и жесткости механических характеристик.

Методы математического моделирования

Для исследования характеристик технических систем и физических процессов, протекающих при функционировании любой системы, математическими методами должна быть проведена формализация процессов, т.е. построена математическая модель.

Математическое моделирование - это процесс установления соответствия реальному физическому объекту некоторого математического объекта (математического описания), называемого математической моделью , и исследование этой модели, позволяющее получить, с некоторым приближением, характеристики рассматриваемого реального объекта. Математическое моделирование может быть динамическим, имитационным и комбинированным.

При решении задач электропривода используются динамические модели объектов. Такие модели описываются системами дифференциальных уравнений и исследуются при помощи аналитических, численных или качественных методов.

Аналитическое исследование позволяет получить наиболее общее представление о процессах функционирования системы, однако оно возможно лишь для относительно простых или линейных систем.

Численные методы используются, если невозможно разрешить математическое описание системы в общем виде или система существенно не линейна. Численные методы наиболее эффективны при использовании ЭВМ.

В некоторых случаях для исследования системы достаточно качественных методов анализа математической модели. Такие методы применяются в теории автоматического регулирования и позволяют судить, например, об устойчивости системы при определённом управлении.

В общем виде некоторый динамический объект описывается системой дифференциальных уравнений n-го порядка вида:

, (2.1)

где x 1 , x 2 , … x n – переменные динамического объекта;

– скорость изменения (производные) переменных динамического объекта;

– значение переменных в начальный момент времени;

t – независимая переменная.

Математическое моделирование, основанное на решении обыкновенных дифференциальных уравнений, опирается на численные методы. Численные методы позволяют получить приближенные значения реального непрерывного процесса, которые отстоят друг от друга на некоторый интервал времени, называемый шагом интегрирования. Выбор шага интегрирования зависит от динамических свойств моделируемой системы. Для широкого спектра динамических систем численное решение тем точнее, чем меньше шаг интегрирования. Однако, следует иметь ввиду, что чрезмерное уменьшение шага интегрирования может приводить к существенному увеличению затрат машинного времени.

К наиболее часто применяемым методам численного интегрирования дифференциальных уравнений относятся метод Эйлера (метод конечных приращений) и метод Рунге – Кутта четвёртого порядка.

Метод Эйлера основан на разложении подынтегральной функции в окрестности исследуемой точки в ряд Тейлора:

, (2.2)

где h – малая окрестность исследуемой точки (шаг интегрирования);

e - погрешность разложения в ряд Тейлора.

Метод Эйлера учитывает только первую производную ряда Тейлора. Тогда уравнение (2.2) будет иметь вид:

где - правая часть дифференциального уравнения, вычисленная в точке .

Следовательно, для решения уравнения или системы дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера должна быть составлена следующей система уравнений с начальными условиями:

, (2.4)

где t i , t i +1

x j , i , x j , i+1 – значение j

f j – подынтегральная функция для j – ой переменной;

h – шаг интегрирования;

i = 0 .. m

j = 0 .. n

К достоинствам метода Эйлера можно отнести следующие:

· При достаточно малом шаге интегрирования можно получить высокую точность решения. Погрешность метода примерно равна квадрату шага интегрирования: e » h 2 ;

· Метод Эйлера имеет устойчивый алгоритм вычислений при решении широкого круга задач, связанных с исследованием электромеханических систем электропривода.

К недостаткам метода Эйлера можно отнести то, что уменьшение шага интегрирования необходимое для обеспечения требуемой точности существенно замедляет вычисления.

Метод Рунге – Кутта основан на разложении подынтегральной функции в окрестности исследуемой точки в ряд Тейлора. Вычисление коэффициентов ряда Тейлора (до четвёртого порядка) осуществляется с помощью специальных коэффициентов Рунге – Кутта. Такой подход позволяет получить более высокую точность решения.

Формулы для нахождения численного решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге – Кутта имеют следующий вид:

, (2.5)

где t i , t i +1 – значение независимой переменной (времени) на предыдущем и следующем шаге интегрирования;

x j , i , x j , i+1 – значение j – ой переменной динамического объекта на предыдущем и следующем шаге интегрирования;

f j – подынтегральная функция для j – ой переменной;

k l i, j – коэффициенты Рунге – Кутта (l = 1 .. 4 );

h – шаг интегрирования;

i = 0 .. m – число шагов интегрирования;

j = 0 .. n – количество переменных динамического объекта.

К достоинствам метода Рунге – Кутта можно отнести следующие. Высокая точность численного решения. При фиксированном шаге интегрирования погрешность решения примерно равна пятой степени шага интегрирования: e » h 5 .

Однако данный метод не всегда обеспечивает устойчивые решения. Устойчивость решения зависит как от величины шага интегрирования, так и от особенностей динамики исследуемой системы.

3. Динамические расчеты систем по структурным схемам

с использованием системы САПР System View

САПР System View позволяет на уровне структурных моделей производить расчеты динамических систем и получать результаты в виде таблиц, графиков переходных процессов и частотных характерис­тик, а также комплексных показателей качества регулирования.

Структурная схема набирается на рабочем поле основного окна пакета SV (рис. 3.1) с помощью блоков, которые для удобства работы объединены в четыре библиотеки. Блоки суммирования и умножения выполнены отдельно.

Рисунок 3.1 – Основное окно System View

Библиотеки элементов расположены в левой части рабочего окна SV и содержат в своём составе набор различных функциональных и динамических элементов. Графически элементы представляются в виде прямоугольника с вхо­дами и выходами. В верхнем левом углу записывается порядковый номер элемента в структурной схеме, в центре в виде рисунка - тип элемента.

Определить доминирующие признаки классификации объекта локализации и разработать математическую модель под задачи анализа изображений мимики.

Задачи

Поиск и анализ способов локализации лица, определение доминирующих признаков классификации, разработка математической модели оптимальной под задачи распознавания движения мимики.

Тема

Помимо определения оптимального цветового пространства для построения выделяющихся объектов на заданном классе изображения, которая проводилась на предыдущем этапе исследования, немаловажное значение также играет определение доминирующих признаков классификации и разработка математической модели изображений мимики.

Для решения данной задачи необходимо, прежде всего, задать системе особенности модификации задачи обнаружения лица видеокамерой, а затем уже проводить локализацию движения губ.

Что касается первой задачи, то следует выделить две их разновидности:
Локализация лица (Face localization);
Отслеживание перемещения лица (Face tracking) .
Так как перед нами стоит задача разработки алгоритма распознавания мимики, то логично предположить, что данную систему будет использовать один пользователь, который не слишком активно будет двигать головой. Следовательно, для реализации технологии распознавания движения губ необходимо взять за основу упрощенный вариант задачи обнаружения, где на изображении присутствует одно и только одно лицо.

А это значит, что поиск лица можно будет проводить сравнительно редко (порядка 10 кадров/сек. и даже менее). Вместе с тем, движения губ говорящего во время разговора являются достаточно активными, а, следовательно, оценка их контура должна проводиться с большей интенсивностью.

Задача поиска лица на изображении может быть решена существующими средствами. Сегодня имеются несколько методов обнаружения и локализации лица на изображении, которые можно разделить на 2 категории:
1. Эмпирическое распознавание;
2. Моделирование изображения лица. .

К первой категории относятся методы распознавания «сверху-вниз» на основе инвариантных свойств (invariant features) изображений лица, опираясь на предположение, что существуют некоторые признаки присутствия лиц на изображении инвариантные относительно условий съемки. Данные методы можно разделить на 2 подкатегории:
1.1. Обнаружение элементов и особенностей (features), которые характерны для изображения лица (края, яркость, цвет, характерная форма черт лица и др.) , .;
1.2. Анализ обнаруженных особенностей, вынесение решения о количестве и расположении лиц (эмпирический алгоритм, статистика взаимного расположения признаков, моделирование процессов визуальных образов, применение жестких и деформируемых шаблонов и т.д.) , .

Для корректной работы алгоритма необходимо создание базы данных особенностей лица с последующим тестированием. Для более точной реализации эмпирических методов могут быть использованы модели, которые позволяют учесть возможности трансформации лица, а, следовательно, имеют либо расширенный набор базовых данных для распознавания, либо механизм, позволяющий моделировать трансформацию на базовых элементах. Сложности с построением базы данных классификатора ориентированных на самый различный спектр пользователей с индивидуальными особенностями, чертами лица и так далее, способствует снижению точности распознавания данного метода.

Ко второй категории относятся методы математической статистики и машинного обучения. Методы этой категории опираются на инструментарий распознавания образов, рассматривая задачу обнаружения лица, как частный случай задачи распознавания. Изображению ставится некий вектор признаков, который используется для классификации изображений на два класса: лицо/не лицо. Самый распространенный способ получения вектора признаков это использование самого изображения: каждый пиксель становится компонентом вектора, превращая изображение n×m в вектор пространства R^(n×m), где n и m – целые положительные числа. . Недостатком такого представления является чрезвычайно высокая размерность пространства признаков. Достоинство этого метода стоит в исключении из всей процедуры построение классификатора участия человека, а также возможность тренировки самой системы под конкретного пользователя. Поэтому использование методов моделирования изображения для построения математической модели локализации лица является оптимальным для решения нашей задачи.

Что касается сегментирования профиля лица и отслеживания положение точек губ по последовательности кадров, то для решения данной задачи также следует использовать математические методы моделирования. Имеются несколько способов определения движения мимики, самыми известными из них являются использование математической модели на основе активных контурных моделей:

Локализация области мимики на основе математической модели активных контурных моделей

Активный контур (змейка) – это деформирующаяся модель, шаблон которой задан в форме параметрической кривой, инициализированный вручную набором контрольных точек, лежащих на открытой или замкнутой кривой на входном изображении.

Для адаптации активного контура к изображению мимики необходимо провести соответствующую бинариризацию исследуемого объекта, то есть его преобразование в разновидность цифровых растровых изображений, а затем уже следует проводить соответствующую оценку параметров активного контура и вычисление вектора признаков.

Активная контурная модель определяется как:
Множество точек N;
Внутренних областей энергии интереса (internal elastic energy term);
Внешних областей энергии интереса (external edge based energy term).

Для улучшения качества распознавания выделяются два цветовых класса – кожа и губы. Функция принадлежности цветовому классу имеет значение в диапазоне от 0 до 1.

Уравнение активной контурной модели (змейки) представляется выражающейся формулой v(s) как:

Где E – это энергия змейки (активной контурной модели). Первые два терма описывают энергию регулярности активной контурной модели (змейки). В нашей полярной координатной системе v(s) = , s от 0 до 1. Третье слагаемое – энергия, относящаяся ко внешней силе, полученной из изображения, четвертое – с силой давления.

Внешняя сила определяется, исходя из вышеописанных характеристик. Она способна сдвинуть контрольные точки к некоторому значению интенсивности. Она вычисляется как:

Множитель градиента (производная) вычисляется в точках змейки вдоль соответствующей радиальной линии. Сила увеличивается, если градиент отрицательный и уменьшается в обратном случае. Коэффициент перед градиентом – это весовой фактор, зависящий от топологии изображения. Сжимающая сила – это просто константа, используется ½ от минимального весового коэффициента. Наилучшая форма змейки получается при минимизации энергетического функционала после некоторого числа итераций.

Рассмотрим основные операции обработки изображения более подробно. Для простоты предположим, что мы уже каким-то образом выделили область рта диктора. В этом случае основные операции по обработке полученного изображения, которые нам необходимо выполнить, представлены на рис. 3.

Заключение

Для определения доминирующих признаков классификации изображения в ходе проведения исследовательской работы было выявлены особенности модификации задачи обнаружения лица видеокамерой. Среди всех методов локализации лица и обнаружения исследуемой области мимики наиболее подходящими под задачи создания универсальной системы распознавания для мобильных устройств являются методы моделирования изображения лица.
Разработка математической модели изображений движения мимики основана на системе активных контурных моделей бинаризации исследуемого объекта. Так как данная математическая модель позволяет после смены цветового пространства с RGB в цветовую модель YCbCr осуществлять эффективное преобразование интересуемого объекта, для последующего его анализа на основе активных контурных моделей и выявления четких границ мимики после соответствующих итераций изображения.

Список использованных источников

1. Вежневец В., Дягтерева А. Обнаружение и локализация лица на изображении. CGM Journal, 2003
2. Там же.
3. E. Hjelmas and B.K. Low, Face detection: A survey, Journal of Computer vision and image understanding, vol.83, pp. 236-274, 2001.
4. G. Yang and T.S. Huang, Human face detection in complex background, Pattern recognition, vol.27, no.1, pp.53-63, 1994
5. K. Sobottka and I. Pitas, A novel method for automatic face segmentation, facial feature extraction and tracking, Signal processing: Image communication, Vol. 12, №3, pp. 263-281, June, 1998
6. F. Smeraldi, O. Cormona, and J.Big.un., Saccadic search with Gabor features applied to eye detection and real-time head tracking, Image Vision Comput. 18, pp. 323-329, 200
7. Гомозов А.А., Крюков А.Ф. Анализ эмпирических и математических алгоритмов распознавания человеческого лица. Network-journal. Московский энергетический институт (Технический университет). №1 (18), 2011

Продолжение следует