Сравним методику применения математики в практических исследованиях с методикой других естественных наук. Такие науки, как физика, химия, биология изучают непосредственно сам реальный объект (возможно в уменьшенных масштабах и в лабораторных условиях). Научные результаты, после необходимой проверки, также непосредственно можно применить на практике. Математика же изучает не сами объекты, а их модели. Описание объекта и формулировка проблемы переводятся с обычного языка на «язык математики» (формализуются), в результате чего получается математическая модель. Далее эта модель исследуется как математическая задача. Полученные научные результаты не сразу применяются на практике, так как они сформулированы на математическом языке. Поэтому осуществляется обратный процесс - содержательная интерпретация (на языке исходной проблемы) полученных математических результатов. Только после этого решается вопрос об их применении на практике.

Неотъемлемой частью методики прикладной математики является всесторонний анализ реальной проблемы, предшествующий ее математическому моделированию. В целом системный анализ проблемы, предполагает выполнение следующих этапов:

· гуманитарный (доматематический) анализ проблемы;

· математическое исследование проблемы;

· применение полученных результатов на практике.

Проведение такого системного анализа каждой конкретной проблемы должно осуществляться исследовательской группой, включающей экономистов (как постановщиков проблемы или заказчиков), математиков, юристов, социологов, психологов, экологов и т. д. Причем математики, как основные исследователи, должны участвовать не только в «решении» задачи, но и в ее постановке, а также во внедрении результатов на практике.

Для проведения математических исследований экономической задачи требуется выполнение следующих основных этапов:

1. изучение предметной области и определение цели исследования;

2. формулировка проблемы;

3. сбор данных (статистических, экспертных и прочих);

4. построение математической модели;

5. выбор (или разработка) вычислительного метода и построение алгоритма решения задачи;

6. программирование алгоритма и отладка программы;

7. проверка качества модели на контрольном примере;

8. внедрение результатов на практике.

Этапы 1 -3 относятся к доматематической части исследования. Предметная область должна быть досконально изучена самими экономистами для того, чтобы они, как заказчики, могли четко сформулировать проблему и определить цели перед исследователями. Исследователям должны быть предоставлены все необходимые документальные и статистические данные в исчерпывающем объеме. Математиками производится организация, хранения, анализ и обработка данных, предоставленных им в удобной (электронной) форме заказчиками.

Этапы 4 -7 относятся к математической части исследований. Результатом этого этапа является формулировка исходной проблемы в виде строгой математической задачи. Математическую модель редко можно «подобрать» из числа имеющихся, известных моделей (рис.1.1). Процесс подбора параметров модели таким образом, чтобы она соответствовала изучаемому объекту, называется идентификацией модели . Исходя из характера полученной модели (задачи) и цели исследования выбирают либо известный метод, либо приспосабливают (модифицируют) известный метод, либо разрабатывают новый. После этого составляют алгоритм (порядок решения задачи) и программу для ЭВМ. Полученные с помощью этой программы результаты анализируют: решают тестовые задачи, вводят необходимые изменения и исправления в алгоритм и программу.

Если для «чистой» математики традиционным является однократный выбор математической модели и однократная формулировка допущений в самом начале исследования, то в прикладных работах часто бывает полезно вернуться к модели и внести в нее исправления после того, как первый тур пробных расчетов уже произведен. Более того, часто оказывается плодотворным сопоставление моделей, когда одно и то же явление описывается не одной, а несколькими моделями. Если выводы оказываются (приблизительно) одними и теми же при разных моделях, разных методах исследования - это является свидетельством правильности расчетов, адекватности модели самому объекту, объективности выдаваемых рекомендаций.

Заключительный этап 8 проводится совместными усилиями заказчиков и разработчиков модели.

Результаты математических (как и всяких научных) исследований являются только рекомендацией к использованию на практике. Окончательное решение этого вопроса - применять модель или нет - зависит от заказчика, т. е. от лица ответственного за исход и за последствия, к которым приведет применение рекомендуемых результатов.

Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:

1. определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок (что дано и что требуется найти?);

2. выявление важнейших факторов проблемы;

3. выявление управляемых и неуправляемых параметров;

4. математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе они называются экзогенными переменными . Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними . В экономической литературе они называются эндогенными переменными .

В § 2 под важнейшими понимаются факторы, которые играют существенную роль в самой задаче и которые, так или иначе, влияют на конечный результат. В § 3 управляемыми называются те параметры задачи, которым можно придавать произвольные числовые значения исходя из условий задачи; неуправляемыми считаются те параметры, значение которых зафиксировано и не подлежит изменению.

С точки зрения назначения, можно выделить описательные модели и модели принятия решения . Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.

Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационные модели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными - игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров (что отсутствует в описательных моделях).

Примеры составления математических моделей

Пример 1.1. Пусть некоторый экономический регион производит несколько видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта Обозначим известные величины: - спрос населения на -й продукт ; - количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы -го продукта по данной технологии . Обозначим неизвестные величины: - объем выпуска -го продукта . Совокупность называется вектором спроса, числа - технологическими коэффициентами, а совокупность - вектором выпуска. По условию задачи вектор распределяется на две части: на конечное потребление (вектор ) и на воспроизводство (вектор ). Вычислим ту часть вектора которая идет на воспроизводство. В силу обозначений для производства количества -го товара идет количества -го товара. Тогда сумма показывает ту величину -го товара, которая нужна для всего выпуска . Следовательно, должно выполняться равенство:

Обобщая это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

Решая полученную систему линейных уравнений относительно находим требуемый вектор выпуска.

Для того чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная матрица А (размером ) называется технологической матрицей. Очевидно, модель можно записать в виде: или

Получили классическую модель «Затраты-выпуск», автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 1.2. Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом в количестве 10 единиц, сортом - 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин () и мазут (). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I : 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М ;

II :2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М ;

III :2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М.

Цена бензина - 10 долл. за единицу, мазута - 1 долл. за единицу. Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что «выгодность» технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что «выбор (принятие) решения» завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Обозначим неизвестные величины: - количество использования -го технологического процесса . Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны .

Тогда одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора , для которого выручка завода равна долл. Здесь 32 долл. - это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. 3ед.Б + 1 долл. 2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А : ,

для сорта В : ,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 - это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I , II , III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В .

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор , чтобы

максимизировать

при выполнении условий:

,

,

.

Сокращенная форма этой записи имеет вид:

при ограничениях

, (1.4.2)

,

Получили так называемую задачу линейного программирования. Модель (1.4.2.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример 1.3. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины . Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг. Обозначим известные параметры задачи: - число разновидностей ценных бумаг; - фактическая прибыль (случайное число) от -го вида ценной бумаги - ожидаемая прибыль от -го вида ценной бумаги. Обозначим неизвестные величины: - средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида . В силу обозначений вся инвестированная сумма определяется как . Для упрощения модели введем новые величины

Таким образом, - это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида . Очевидно, что . Из условия задачи видно, что цель инвестора - достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией

прибыли для ценных бумаг вида и вида . Здесь М - обозначение математического ожидания. Математическая модель исходной задачи имеет вид:

(1.4.3)

Получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг. Модель (1.4.3.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример 1.4. На базе торговой организации имеется типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завести в магазин. Если товар типа будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль , если же он не будет пользоваться спросом - убыток .

Математические методы

Формализация и моделирование процессов сбора, движения и преобразования информации связаны с использованием математических методов, реализующих необходимые вычислительные и логические операции, в том числе и в автоматизированных информационных системах. Поэтому правовая информатика тесно связана с математикой и использует методы различных математических наук.

В последнее время при изучении информационных процессов в области права используется теория вероятностей, математическая статистика, математическая логика, исследование операций и многие другие математические науки и дисциплины. Математические методы, специфически преломляясь в теории права, обогащают и усиливают метод правовой науки, но, естественно, не заменяют его.

Сегодня можно говорить, что усилия специалистов, применяющих точные методы математики в правовой области, сосредоточены в двух направлениях: первое - это математическая обработка результатов правовых исследований; второе - исследование структуры права математическими методами. Эти направления составляют основу для создания и применения в правовой области различных автоматизированных систем обработки социально-правовой информации.

Первое направление разрабатывалось еще в 1775 г. Пьером Симоном Лапласом, предложившим использовать методы теории вероятностей для оценки свидетельских показаний, для анализа выборов и решений собраний и для определения вероятностей ошибок в судебных приговорах.

Его последователи Симеон Пуассон и Огюст Курно соответственно в 1837 г. и в 1877 г. опубликовали трактат «Исследование вероятности по материалам уголовных и гражданских судебных решений на основе общих правил исчисления вероятностей» и монографию «Основы теории шансов и вероятностей», в которой глава 15 была названа: «Теория вероятностей судебных решений. Применение ее к статистике гражданских дел». В США эстафету правометрических исследований принял профессор из Мичигана Дж. Шуберт, который в 1959 г. опубликовал работу «Количественный анализ судейского поведения». В 1961 г. Стюарт Нагель опубликовал ряд работ, среди которых «Ожидание вердикта» содержит количественный показатель возможности выиграть или проиграть иски, вытекающие из причинения вреда, в зависимости от наличия в деле целого ряда переменных, которые обрабатываются методом статистических обобщений.

В настоящее время в рамках этого направления успешно применяются различные математические методы для решения следующих задач: количественное описание правовых явлений; обеспечение учета и отчетности в правовой деятельности путем численной обработки различных статистических показателей.

Второе направление основано на идее сведения рассуждений к вычислениям и имеет глубокие исторические корни, восходящие к Р. Декарту. Он подразумевал возможность создания искусственного языка науки, дал его развернутую характеристику и тех громадных выгод, которые связаны с применением последнего. Декарт предполагал наличие некоторого природного порядка в наших мыслях, который сравнивал с порядком в мире чисел. При всем бесконечном множестве чисел каждое из них имеет единственное знаковое представление, следовательно, каждому из них можно дать собственное имя, что позволит действия с ними записывать особым компактным языком. Поскольку для чисел такой универсальный язык разработан, то, по мнению Декарта, со временем будет сконструирован еще более универсальный язык, охватывающий не только числа, но и любые объекты, которые могут стать предметом исследования. Такой язык позволит обозначать любые идеи путем выделения простых представлений и фиксации элементов, из которых состоит каждая мысль. Тем самым будет исключена любая возможность заблуждения. Такой язык противопоставит словам, имеющим неконкретное значение, четко определенные искусственные элементы. Вместо «давайте поспорим» ученые будут говорить «давайте вычислим».

Развитию идеи универсального языка науки большое внимание уделено в работах Г. Лейбница, который заложил фундамент математической логики. По Лейбницу, идеал общего метода, благодаря которому возможно будет систематизировать вечные истины, доказывать их, даже открывать новые, состоит в следующем:

1) необходимо разложить все понятия на простейшие, подобно тому, как в математике составные числа разлагаются на произведение простых множителей. Число простейших понятий в таком языке не может быть велико;

2) обозначив каждое из понятий особым символом, мы получим «алфавит человеческой мысли»;

3) всевозможные комбинации простых понятий дадут нам совокупность сложных. И хотя число первых невелико, однако, как показывают формулы комбинаторики, число их комбинаций может быть почти неисчерпаемым;

4) необходимо ввести особые символы для основных соотношений между понятиями и установить правила употребления и комбинации этих символов.

Таким образом, предполагалось процесс мышления свести к особого рода механическим исчислениям, чем, по существу, и занимается современная символическая логика.

Современная логика создала множество систем, описывающих отдельные фрагменты содержательных рассуждений. Для моделирования структуры правовых норм специально разработана «нормативная логика», предметом исследования которой являются логическая структура и логические связи нормативных высказываний.

Так, оценивая принципы логического моделирования структуры правовых норм, правоотношений и нормативных умозаключений, В. Кнапп и А. Герлох указывают, что лежащая в их основе классификация правовых норм является упрощенной абстракцией действительных правовых норм, носящих сложный характер. Например, исследуя сравнимость и совместимость правовых понятий, эти авторы приходят к выводу, что несравнимость понятий «наследственное право» и «избирательное право» нельзя доказать логическим рассуждением в рамках любой из логических теорий, поскольку наличие общего признака «право» делает формально сравнимыми эти понятия. Для доказательства несравнимости этих понятий, по мнению авторов, нельзя обойтись без аппарата теории права.

Другой вид формализации правовых норм основан на использовании математической логики для моделирования логической структуры правовой нормы.

Математическая логика - современный вид формальной логики, т.е. науки, изучающей умозаключения с точки зрения их формального строения.

Любая мысль в форме понятий, суждений или умозаключений не существует вне языка. Выявить и исследовать логические структуры можно лишь путем анализа языковых выражений.

Под высказыванием принято понимать некоторое предположение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Над высказываниями определены следующие операции:

· конъюнкция (логическое «и»);

· дизъюнкция (логическое «или»);

· отрицание (логическое «не»);

· импликация («если.., то…»).

Так, А.О. Гаврилов предложил, используя логические операции, провести моделирование логической структуры правовой нормы. Цель моделирования - выявить логические (включая латентные) связи правовой нормы. Логическая структура правовой нормы может быть представлена в следующем виде:

((p → d ) → ˥ s ) → (˥ d → s )

где p - гипотеза нормы;

d - диспозиция;

s - санкция.

Приведенная формализация языка права позволяет промоделировать и проанализировать некоторые правовые нормы с помощью такого нового класса автоматизированных систем правовой информации, как экспертные системы.

Однако необходимо отметить, что применение языка математики для формализации права существенно ограничено. Это определяется во многом тем, что, как признает А.Г. Ольшанецкий, «среди юристов не сложилось еще единого мнения о логической природе, логической специфике юридических понятий, их конструктивной роли в развитии науки правоведения, в образовании нормативно-правового детерминанта, его логического движения в регулятивном механизме общественных систем. Мнения ученых в этом отношении неоднозначны, имеют спорный, порой противоречивый характер. В частности, высказывается мнение, что определенной логической спецификой обладают лишь некоторые понятия уголовного права. В понятиях других отраслей права специфически юридического либо незначительно, либо его вообще нет... Им присущи лишь особенности внелогического характера. В структуре... их содержания, в характере признаков, образующих его, нет каких-либо особенностей, которые давали бы возможность выделить эти понятия в особый класс научных понятий».

По мнению О.А. Гаврилова, существует пять основных причин, по которым математика не может стать универсальным инструментом исследований в области права:

1. С ростом сложности и целостности социально-правового объекта значительно уменьшается возможность его расчленения на формализуемые элементы.

2. Основные категории общественных наук - это сложные, многогранные и многоплановые понятия, связанные множеством неформализуемых связей, таких как базис, надстройка, производительные силы, производственные отношения, государство, право, экономика, политика, демократия.

3. Государство и право, как явления классового общества, представляют собой целостные социально-политические системы. Они характеризуются большим числом качественных признаков и связей, которые не являются ни количественными, ни вероятностными, ни функциональными (в математическом смысле слова) и поэтому не поддаются математической формализации.

4. Проводя сравнительный анализ математических методов и традиционных средств юридической науки, нельзя не видеть их взаимодополняющей противоположности.

5. Отличительная особенность исследований, выполненных на базе традиционных качественных методов, - их всесторонность и многообразность, гибкость охвата явлений. Отличительная черта математических исследований - это их высокая точность. Применяя традиционные приемы юридической науки, исследователь-юрист получает выигрыш в полноте картины, но зато теряет все точности. И наоборот, применяя количественные методы исследования, он выигрывает в точности научного описания, зато теряет в его гибкости и всесторонности.

Следует отметить, что не все юристы придерживаются такой точки зрения. Так, В.П. Павлов, исследуя возможность математизации правовых исследований, не соглашается с высказанной выше точкой зрения О.А. Гаврилова.

По его мнению, история любой науки свидетельствует о том, что на начальном уровне познания, на котором производится накопление научных фактов о наблюдаемых свойствах изучаемых явлений и эмпирических закономерностях (в виде тенденций развития интересующего нас явления в практической жизни), используют приемы наблюдения, эксперимента, измерения, описания, способы обобщения, сравнения анализа и синтеза, классификацию и систематизацию. Для реализации этих способов в правоведении широко используют традиционные общенаучные методы, такие как философский, метод сравнительного правоведения, метод комплексного исследования. Однако подлинно теоретический уровень достигается в том случае, когда выдвигаются научные гипотезы, формулируются законы и создаются теории. Этому уровню соответствуют различные методы объяснения конкретных явлений, среди которых можно выделить гипотетические, структурные, функциональные, метод абстрагирования, включающий в себя идеализацию и обобщение некоторых понятий, и метод обоснования гипотез и построения теорий. Этот уровень достижим только путем привлечения математики как наиболее универсального инструмента анализа материального мира. Диалектическая связь этих двух уровней заключается в том, что установление эмпирических фактов как первоначальный этап познания всегда осуществляется на базе определенных теоретических знаний предшествующего уровня, а сами эмпирические факты являются базой для повышения уровня теоретического знания в исследуемой области. Поэтому взаимодополняющая связь традиционных и математических методов заключается не в их противоположности, а как раз в том, что их универсальность позволяет обеспечить наглядность, точность и полноту исследуемого явления. Благодаря этому расширяется поле для осмысления при помощи традиционных средств тех областей исследуемого явления, которые были скрыты от наблюдателя фрагментарностью эмпирической картины явления.

Таким образом, основным препятствием на пути математического описания правовых норм является неоднозначность понятийного аппарата юридической науки, которая многократно возрастает при некритичном использовании математических средств для его анализа. Противоречие состоит в том, что без применения математического аппарата невозможно обеспечить полноту и точность правовых исследований, а применение математического аппарата невозможно в условиях существующей неоднозначности понятийного аппарата права.

Одним из показателей зрелости науки считается использование ею математических методов исследования. Такие методы применяются в криминалистике издавна. В сущности, уже упоминавшийся такой общий метод познания, как измерение, есть гносеологически обобщенное понятие любого математического метода. Однако когда мы говорим о "математизации" криминалистики, то имеем в виду современные математические методы исследования, состоящие из операций неизмеримо более сложных, нежели простое сравнение объекта с мерой.

С начала 60-х годов в криминалистической литературе получает широкое признание как принципиальная возможность использования математических методов в криминалистических научных исследованиях, так и необходимость их применения для решения задач криминалистической экспертизы, в том числе и задачи идентификации. Рассматривая эту проблему в разных аспектах, криминалисты неизменно подчеркивали, что применение математических методов исследования открывает новые возможности в развитии как криминалистической науки, так и практики доказывания, а сама постановка этой проблемы свидетельствует о достижении криминалистикой такого уровня развития, когда она, как и другие развитые науки, испытывает потребность в тех точных методах познания своего предмета, которые может предоставить ей современная математика.

Процесс "математизации" криминалистики в настоящее время протекает в трех направлениях. Первое из них - это общетеоретическое направление.

В общетеоретическом плане процесс "математизации" поставил перед криминалистами задачу принципиального обоснования возможностей применения математических методов исследования и определения тех областей науки, при разработке которых эти методы могут дать наиболее эффективные результаты. В литературе данное направление представлено работами В. А. Пошкявичуса, Н. С. Полевого, А. А. Эйсмана, Н. А. Селиванова, З. И. Кирсанова, Л. Г. Эджубова и других авторов. Основные выводы, которые можно сделать после ознакомления с их исследованиями, сводятся к следующему:

1. Процесс "математизации" криминалистики есть естественный процесс, обусловленный современным этапом развития этой науки и математических методов исследования, приобретающих в силу этого все более универсальный характер. Использование математико-кибернетических методов исследования в криминалистике принципиально допустимо; их применение в доказывании нельзя рассматривать как использование специальных знаний, если речь идет о количественных характеристиках и элементарных математических методах; в тех случаях, когда математические методы используются для описания, обоснования или анализа явлений, познание которых осуществляется с помощью специальных знаний, применение этих методов охватывается понятием применения в судопроизводстве специальных познаний.

2. Использование математико-кибернетических методов исследования возможно в целях:

А) совершенствования методики криминалистической экспертизы, что в итоге приведет к расширению ее возможностей;

Б) научного анализа процесса доказывания и разработки рекомендаций по применению теории вероятностей и математической статистики, математической логики, исследования операций и теории игр в следственной практике.

В исследованиях общетеоретического направления получили свое отражение и два других направления процесса "математизации" криминалистики: использование математических методов в криминалистической экспертизе и при анализе процесса доказывания в целом.

Второе направление рассматриваемого процесса - использование математических методов для разработки проблем теории криминалистической идентификации и ее практических приложений и проблем криминалистической экспертизы, а в итоге - и проблем судебной экспертизы в целом . Суть этого направления и пути использования результатов математизации охарактеризованы А. Р. Шляховым: "Роль математических методов в судебной экспертизе двояка: с одной стороны, они выступают в качестве составной части функционирования ЭВМ в виде программных комплексов решения задач и ИПС, с другой стороны, они могут использоваться самостоятельно, без ЭВМ и обеспечивать полное либо частичное решение задач судебной экспертизы. Математические методы давно и прочно вошли в методики производства экспертиз, например, трасологических, баллистических, почерковедческих, автотехнических и др. ... Математические методы полезны при обработке результатов измерений, аналитического сравнения и как критерий достаточности выявленной совокупности признаков для индивидуализации объекта, оценки полноты ее в целях отождествления".

Это направление развивается наиболее интенсивно как непосредственно отвечающее потребностям судебно-экспертной практики. Еще в 1969 г. А. Р. Шляхов отмечал, что математические методы заняли одно из главных мест в системе методов, общих для всех стадий экспертного исследования и различных видов криминалистических экспертиз. В 1977 г. методы прикладной математики и программно-математические методы применения ЭВМ по предложенной А. И. Винбергом и А. Р. Шляховым классификации методов экспертного исследования были отнесены к числу общих (общепознавательных) методов. С конца 60-х гг. идет интенсивный поиск точек приложения математико-кибернетических методов практически во всех видах судебных экспертиз, предпринимаются попытки инвентаризации применяемых методов.

В результате интенсивного изучения проблемы использования математических методов в научных и экспертных исследованиях был поставлен вопрос о пределах их применения. Г. Л. Грановский отметил две точки зрения: одни возлагают надежды в области совершенствования экспертизы только на применение методов точных наук, другие более осторожно подходят к этому вопросу и указывают на пределы возможностей использования современной математики. Именно их позиция представляется более близкой к правильному пониманию проблемы". По его мнению, существуют естественные ограничения, "которые природа объектов экспертизы налагает на возможности использования для их исследования математических методов... Применение количественных методов в любой экспертизе теоретически допустимо, но практически еще мало известно, какие признаки и в каких пределах поддаются математическому описанию и оценке, какие результаты можно ожидать от использования для их исследования математических методов". Современная экспертная практика идет по пути решения этой двуединой задачи: определение точек приложения математических методов, и затем уже их практическое использование.

В настоящее время математические методы наиболее активно применяются при решении задач судебно-почерковедческой экспертизы, САТЭ, а также КЭМВИ; при этом они не только используются при проведении судебно-экспертного исследования (в процессе получения информации об объекте судебной экспертизы), но и являются средством решения судебно- экспертной задачи на основе информации об объекте. При этом наибольшую доказательственную ценность составляет количественная информация, что подтверждают исследования, связанные с решением задачи установления ФКВ объектов волокнистой природы (В.А. Пучков, В. З. Поляков, 1986) на основе результатов аналитического исследования микрочастиц волокон (когда после проведения информационного поиска по массиву волокон, исследованных в экспертизах, задача принятия решения по результатам конкретного аналитического исследования сводится к теоретико-вероятностной задаче), с применением вероятностно-статистической модели (Л. А. Гегечкори, 1985) к решению задачи криминалистической идентификации по признакам состава и строения (модель может быть использована как на предварительной стадии, так и на стадиях сравнительного исследования и синтезирующей; ядром модели являются статистические критерии, использующиеся на стадии сравнительного исследования и в зависимости от которых организуется статистический анализ информационных фондов, необходимый при работе модели на других стадиях решения задачи), с разработкой математической модели задач дифференциации подлинных подписей и неподлинных, выполненных с подражанием после предварительной тренировки (С. А. Атаходжаев и др., 1984). Отметим также разработку математических моделей задачи о наезде ТС на пешехода в условиях ограниченной видимости и некоторые подходы к применению математических методов в задачах судебно-фоноскопической экспертизы.

Опыт использования математических методов в судебной экспертизе свидетельствует о том, что необходимо четко разграничивать применение математических методов для обработки информации, получаемой в процессе изучения объектов судебной экспертизы, и разработку математических моделей для решения судебно-экспертных задач на основе результатов исследования. Если первый аспект не является специфически криминалистическим (ибо исследование объекта судебной экспертизы ведется естественнонаучными методами), то второй имеет особую криминалистическую природу. Она предстает в снятом виде, когда мы располагаем уже математической моделью для решения типовой судебно-экспертной задачи, однако, если не отвлекаться от процесса разработки математической модели, криминалистическая природа ее обнаруживается со всей очевидностью. В самом деле, разработка математических моделей для типовых судебно-экспертных задач всегда инициируется потребностью решения конкретных, индивидуально определенных задач. Специалист-математик в тесном контакте с судебным экспертом выделяет наиболее существенные количественные закономерности, которые дают возможность разработать математическую модель не только для конкретной судебно-экспертной задачи, но и для целого типа задач. В этом и заключен глубокий смысл математизации их решения. Математические методы в судебной экспертизе являются не только (и не столько) методами изучения объектов, получения информации о них (каковы, например, физические и химические методы), но и методами решения судебно-экспертных задач на основе результатов исследования.

Третье направление математизации криминалистических научных исследований - применение математических методов для решения проблем криминалистической тактики и методики. В литературе оно представлено работами А. А. Эйсмана, И. М. Лузгина, Л. Г. Видонова, Н.А. Селиванова и др. Уже первые исследования в этой области показали ограниченность приложения математических методов к решению проблем тактики и методики.

А. А. Эйсман справедливо отметил, что "судебное доказывание не может быть описано с помощью средств традиционной логики, прежде всего, потому, что все акты доказывания, как простые, так и сложные, носят не только качественный характер (да/нет), но и количественный (более надежно, менее надежно). Именно эта оценочная, количественная сторона создает главные трудности для моделирования... Отсутствуют какие бы то ни было средства и возможности показать абсолютный уровень этой надежности, дать ей строгие количественные значения. Это вполне понятно, потому что мы не располагаем (и трудно с научной достоверностью предсказать, будем ли когда-нибудь располагать) методами количественной оценки улик. По-видимому, единственным средством получения таких количественных характеристик является статистическая обработка огромного числа событий и фактов, входящих в содержание доказательств. При этом речь идет о статистическом учете значения отдельных фактов (например, обнаружения поличного) в разных меняющихся условиях. Нетрудно представить почти беспредельный объем таких статистических исследований. В то же время, трудно судить и о практической эффективности результатов, если они будут получены." Именно поэтому А. А. Эйсман высказывал мнение, что в логике следствия из средств математической логики используются лишь некоторые формулы исчисления высказываний, которые "не образуют строгого исчисления, то есть законченного аппарата правил построения вывода, а играют вспомогательную роль". Это мнение поддерживал и И. М. Лузгин.

Н. А. Селиванов ограничил применение математических методов в области криминалистической тактики лишь измерением различных объектов и решением некоторых задач в процессе отдельных следственных действий, преимущественно при осмотре места происшествия: для определения неизвестного расстояния по двум известным, наклона линии полета брызг крови, размеров автомобильных шин по их следам, скорости движения автомобиля по тормозному пути и некоторых других. У И. М. Лузгина мы встречаем упоминание о логико-математическом моделировании, объектами которого, с его точки зрения, могут быть признаки спорных ситуаций, факты, образующие состав преступления, и связанные с ним обстоятельства, отношения между предметами и явлениями, признаки следов. Однако, кроме упоминания, никаких данных, подтверждающих реальную возможность такого моделирования, он не приводит.

Пионерами изучения возможности применения в криминалистической методике вероятностно-статистических методов можно считать З. И. Кирсанова и Н. А. Родионова. Первый определил основные направления применения статистических методов: для изучения способов совершения преступления, видов документов, подделываемых преступниками, предметов, используемых в качестве тайников, в целом для обобщения и изучения следственной практики и т. п.. Второй назвал те статистические методы, которые, по его мнению, могут быть применены при расследовании преступлений. Примером успешного применения вероятностно-статистических методов для определения зависимостей между элементами криминалистической характеристики умышленных убийств служат работы Л. Г. Видонова.

Предпринимаются попытки оценки при помощи вероятностно-статистических методов эффективности отдельных тактических приемов или их сочетаний в рамках специальных комплексов, эффективности тактических комбинаций (операций) по отдельным категориям преступлений.

Расширение сферы применения в криминалистике математических методов логически повлекло за собой исследование возможностей их использования для решения практических задач на базе компьютерных технологий. "Говоря о применении математических методов, хотелось бы подчеркнуть, что не следует противопоставлять их ЭВМ, - справедливо замечал уже в 1984 году в этой связи А. Р. Шляхов. - Математические и технико- криминалистические методы могут дополнять друг друга, взаимодействовать, а в ряде случаев функционировать параллельно. По своей сути и форме они не тождественны. Верно, что почти все достижимое математикой может решать и

ЭВМ (иногда даже лучше математиков), но без математиков ЭВМ бессильна". Такой областью правоохранительной практической деятельности, где применение ЭВМ оказалось наиболее перспективным, является судебная экспертиза.

Помимо экспертной практики, в криминалистике определились следующие направления использования кибернетических методов:

Извлечение информации о различных объектах, процессах и автоматизация ее первичной обработки;

Применение автоматических устройств и ЭВМ для срочной обработки информации и для получения производных параметров по фиксированной первичной информации;

Автоматизация процесса кодирования и сканирования информации;

Компьютерное распознавание образов;

Исследование математических моделей процесса доказывания.

Суть и определение математических методов исследования экономики

Определение 1

Экономико-математическое моделирование - это концентрированное выражение наиболее существенных взаимосвязей и закономерностей поведения управляемой системы в математической форме.

На сегодняшний день существует целый ряд видов и модификаций методов экономико-математического моделирования. В системе управления инновационным развитием промышленного предприятия применяется значительное их количество. Рассмотрим основные классификационные подходы к методам моделирования.

По отрасли и целью использования методы экономико-математического моделирования различают на:

1. теоретико-аналитические - анализируют общие свойства и закономерности;
2. прикладные - применяются при решении конкретных экономических задач анализа и управления.

Классификация методов моделирования

По типу подхода к социально-экономическим системам: дескриптивные модели - предназначены для описания и объяснения явлений, которые фактически наблюдаемых или для прогноза этих явлений; нормативные модели - показывает развитие экономической системы в разрезе влияния определенных критериев.

По способу отражения реальных объектов: функциональные модели - субъект моделирования пытается достичь сходства модели и оригинала только в понимании того, что они выполняют те же функции; структурные модели - субъект моделирования пытается воссоздать внутреннюю построение моделируемой, и за счет более точного отображения структуры получить более точное отображение функции.

По учету фактора времени: статические модели - все зависимости относятся к одному моменту времени; динамические модели - описывают экономические системы в развитии. По типу используемой в модели: аналитические модели - задаются на основе априорной информации, строятся с учетом существующих закономерностей, записанных в формально-теоретическом виде; модели, идентифицируются - построены на результатах наблюдений за объектами.

По ступеням использования типовых элементов: модели с фиксированной структурой - процесс моделирования сводится к подбору и настройке значений параметров типовых блоков; модели с переменной структурой - структура модели создается при моделировании и не является типичной.

По характеристике математических объектов, включенных в модели (особенности каждого вида обусловлены типом математического аппарата, используемого в модели): матричные модели; структурные модели; сетевые модели; модели линейного и нелинейного программирования; факторные модели; комбинированные; модели теории игр и т.д.

По способу представления или описания модели: модели, представленные в аналитической форме - модели подаются на языке математики; модели, представленные в виде алгоритма - реализуются численно или с помощью программного обеспечения; имитационные модели - численная реализация соотношений, составляющих модель, осуществляется без предварительных преобразований, в процессе имитации алгоритм расчетов воспроизводит логику функционирования объекта-оригинала.

По ожидаемым результатом: модели, в которых минимизируются затраты - ожидаемый конечный результат опирается на минимизацию затрат; модели, в которых минимизируется конечный результат - модели, в которых целью поставлено уменьшение показателей, характеризующих объект исследования (если эти показатели направлены до максимума) или увеличить значение показателей (если эти показатели направлены в минимизации).

Место математических методов исследования в управлении предприятием

При изучении методов экономико-математического моделирования в разрезе прогнозирования инновационного развития промышленных предприятий возникает необходимость их адаптации к реальным экономическим условиям современности, выдвигает рыночную среду и основы стратегического маркетингового управления. Так, формализованные методы прогнозирования целесообразно сочетать с аналитическими методами, которые могут качественно охватить всю проблематику рыночной среды.

Замечание 1

Экономико-математические модели оптимизации включают одну целевую функцию, формализует критерий оптимальности, по которому среди допустимых планов выбирается наилучший, а ограничения по переменных определяют множество допустимых планов.

Так, составным элементом текущего плана предприятия является план производства или производственная программа, включает систему плановых показателей производства по объему, ассортименту и качеству продукции. Ведь важным этапом разработки производственной программы является формирование оптимальной структуры портфеля продукции предполагает определение такого объема, номенклатуры и ассортимента продукции, которые бы обеспечили предприятию эффективное использование имеющихся ресурсов и получения удовлетворительного финансового результата.

Утверждение портфеля продукции и ресурсов на ее изготовление происходит благодаря применению экономико-математических методов, к которым предъявляются определенные требования. Прежде всего, они должны быть тождественными внешним условиям рынка, а также учитывать разнообразие путей достижения главной цели предприятия - максимизации прибыли.

Математическое исследование благодаря своей универсальности применяется в областях, весьма далеких от математики. Это объясняется тем, что любое положение, правило или закон, записанные на математическом языке, ста- новятся инструментом предсказания (прогнозирования), являющегося важнейшей задачей каждого научного исследования.

Основой традиционной (классической) математики является система аксиом, из которых методом дедукции получают результаты, представляемые в виде лемм, теорем и т.п. Получаемые на их основе аналитические решения в пределе являются точными. В рамках этих методов исследуются вопросы существования решений, их единственности, а также устойчивости и сходимости к абсолютно точным решениям при неограниченном возрастании их числа.

Разработка таких методов способствует развитию собственно математики (появлению новых ее разделов и направлений). Однако для решения многих прикладных задач они оказываются малоэффективными, так как для их использования необходимо вводить массу допущений, приводящих к тому, что математическая модель исследуемого процесса оказывается существенно отличающейся от реального физического процесса.

В связи с этим в математике возникло ответвление, называемое прикладной математикой. Ее основное отличие от традиционной состоит в том, что здесь находится не точное, а приближенное решение с точностью, достаточной для инженерных приложений, но без учета тех допущений, которые принимаются в рамках классической математики. Оценка точности полученных решений выполняется путем сравнения с точными решениями каких-либо тестовых задач либо с результатами экспериментальных исследований.

К методам прикладной математики относятся вариационные (Ритца, Треффтца, Канторовича и др.), ортогональные методы взвешенных невязок (Бубнова-Галеркина, Канторовича), коллокаций, моментов, наименьших квадратов и др.; вариационно-разностные методы (конечных элементов, граничных элементов; спектральный метод и др.)- Все они относятся к группе так называемых прямых методов - это такие приближенные аналитические методы решения задач математической физики, которые сводят решение дифференциальных и интегральных уравнений к решению систем алгебраических линейных уравнений. Коротко остановимся на хронологии развития этих методов и их физической сути.

В 1662 г. французский математик П. Ферма сформулировал закон преломления света на границе двух сред следующим образом: из всех возможных путей движения света от пункта А к пункту В реализуется тот, на котором время движения достигает минимума. Это была одна из первых формулировок вариационного принципа.

В 1696 г. И. Бернулли сформулировал задачу нахождения длины пути (траектории), по которому материальная точка, двигаясь от точки А под действием только силы тяжести, за наименьшее время достигает точки В. Нахождение такой кривой, называемой брахистохроной (кривой наискорейшего спуска), сводится к определению минимума функционала

при граничных условиях у (0) = 0; у{а) = у а, являющихся координатами точек начала и конца движения.

Здесь Т - время наискорейшего спуска; g - ускорение силы тяжести.

Введением функционала (а) было положено начало появлению вариационного исчисления. Подобные функционалы в общем виде записываются следующим образом:

при граничных условиях у(а) = А = const, y(b) = В = const.

Обычно в задачах математической физики находятся экстремумы некоторых функций у = у(х). Значение вариационного исчисления заключается в том, что здесь определяются экстремумы более сложных, чем функции, величин - экстремумы функционалов J =J от функций у(х). В связи с чем открылись возможности исследования новых физических объектов и развития новых математических направлений.

В 1774 г. Л. Эйлер показал, что если функция у(х) доставляет минимум линейному интегралу J = J [у (х), то она должна удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям, названным впоследствии уравнениями Эйлера. Открытие этого факта явилось важным достижением математического моделирования (построения математических моделей). Стало ясно, что одна и та же математическая модель может быть представлена в двух эквивалентных видах: в виде функционала или в виде дифференциального уравнения Эйлера (системы дифференциальных уравнений). В связи с этим замена дифференциального уравнения функционалом получила название обратной задачи вариационного исчисления. Таким образом, решение задачи на экстремум функционала можно рассматривать так же, как и решение соответствующего этому функционалу дифференциального уравнения Эйлера. Следовательно, математическая постановка одной и той же физической задачи может быть представлена либо в виде функционала с соответствующими граничными условиями (экстремум этого функционала доставляет решение физической задачи), либо в виде соответствующего этому функционалу дифференциального уравнения Эйлера с теми же граничными условиями (интегрирование этого уравнения доставляет решение поставленной задачи).

Широкому распространению вариационных методов в прикладных науках способствовало появление в 1908 г. публикации В. Ритца, связанной с методом минимизации функционалов, названным впоследствии методом Ритца. Этот метод считается классическим вариационным методом. Основная его идея заключается в том, что искомая функция у = у(х) у доставляющая функционалу (А) с граничными условиями у (а) = А, у(Ъ ) = В минимальное значение, разыскивается в виде ряда

где Cj (i = 0, гг) - неизвестные коэффициенты; (р/(д) (г = 0, п) - координатные функции (алгебраический или тригонометрический полипом).

Координатные функции находятся в таком виде, чтобы они точно удовлетворяли граничным условиям задачи.

Подставляя (с) в (А), после определения производных от функционалаJ по неизвестным С, (г = 0, гг) относительно последних получается система алгебраических линейных уравнений. После определения коэффициентов С, решение задачи в замкнутом виде находится из (с).

При использовании большого числа членов ряда (с) (п - 5 ? °о) в принципе можно получить решение требуемой точности. Однако, как показыва- ют расчеты конкретных задач, матрица коэффициентов С, (г = 0, п) представляет собой заполненную квадратную матрицу с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине. Такие матрицы близки к вырожденным и, как правило, являются плохо обусловленными. Это связано с тем, что они не удовлетворяют ни одному из условий, при которых матрицы могут быть хорошо обусловленными. Рассмотрим некоторые из этих условий.

• 1. Положительная определенность матрицы (члены, находящиеся на главной диагонали, должны быть положительными и максимальными).
• 2. Ленточный вид матрицы относительно главной диагонали при минимальной ширине ленты (коэффициенты матрицы, находящиеся вне ленты, равны нулю).
• 3. Симметричность матрицы относительно главной диагонали.

В связи с этим при увеличении приближений в методе Ритца число обусловленности матрицы, определяемое отношением ее максимального собственного числа к минимальному, устремляется к бесконечно большой величине. А точность получаемого при этом решения ввиду быстрого накопления ошибок округления при решении больших систем алгебраических линейных уравнений может не улучшаться, а ухудшаться.

Наряду с методом Ритца развивался родственный с ним метод Галерки- на. В 1913 г. И. Г. Бубнов установил, что алгебраические линейные уравнения относительно неизвестных С, (/ = 0, п ) из (с) можно получать, не используя функционал вида (А). Математическая постановка задачи в данном случае включает дифференциальное уравнение с соответствующими граничными условиями. Решение, как и в методе Ритца, принимается в виде (с). Благодаря особой конструкции координатных функций ф,(х) решение (с) точно удовлетворяет граничным условиям задачи. Для определения неизвестных коэффициентов С, (г = 0, п) составляется невязка дифференциального уравнения и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям ф 7 Сг) (/ = i = 0, п). Определяя получающиеся при этом интегралы, относительно неизвестных коэффициентов С, (г = 0, гг) получаем систему алгебраических линейных уравнений, которая полностью совпадает с системой аналогичных уравнений метода Ритца. Таким образом, при решении одних и тех же задач с использованием одинаковых систем координатных функций методы Ритца и Бубнова - Галеркина приводят к одинаковым результатам.

Несмотря на идентичность получаемых результатов, важным преимуществом метода Бубнова-Галеркина по сравнению с методом Ритца является то, что он не требует построения вариационного аналога (функционала) дифференциального уравнения. Отметим, что подобный аналог не всегда может быть построен. В связи с этим методом Бубнова-Галеркина могут быть решены задачи, для которых классические вариационные методы неприменимы.

Еще одним методом, относящимся к группе вариационных, является метод Канторовича . Его отличительным признаком является то, что в качестве неизвестных коэффициентов в линейных комбинациях вида (с) принимаются не константы, а функции, зависящие от одной из независимых переменных задачи (например, времени). Здесь, как и в методе Бубнова-Галеркина, составляется невязка дифференциального уравнения и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям (ру(дг) (j = i = 0, п). После определения интегралов относительно неизвестных функций fj(x) будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Методы решения таких систем хорошо разработаны (имеются стандартные программы для ЭВМ).

Одним из направлений при решении краевых задач является совместное использование точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (вариационных, взвешенных невязок, коллокаций и др.) аналитических методов. Такой комплексный подход позволяет наилучшим образом использовать положительные стороны этих двух важнейших аппаратов прикладной математики, так как появляется возможность без проведения тонких и громоздких математических расчетов в простой форме получать выражения, эквивалентные главной части точного решения, состоящего из бесконечного функционального ряда. Для практических расчетов, как правило, используется именно эта час- тичная сумма нескольких слагаемых . При использовании таких методов для получения более точных результатов на начальном участке параболической координаты необходимо выполнять большое число приближений. Однако при большом п координатные функции с соседними индексами приводят к алгебраическим уравнениям, связанным почти линейной зависимостью. Матрица коэффициентов в этом случае, являясь заполненной квадратной матрицей, близка к вырожденной и оказывается, как правило, плохо обусловленной. И при п - 3 ? °° приближенное решение может не сходиться даже к слабо точному решению. Решение систем алгебраических линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами представляет существенные технические трудности вследствие быстрого накопления ошибок округления. Поэтому такие системы уравнений необходимо решать с большой точностью промежуточных вычислений .

Особое место среди приближенных аналитических методов, позволяющих получать аналитические решения на начальном участке временной (параболической) координаты занимают методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения. Согласно этим методам, весь процесс нагрева или охлаждения тел формально разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным распространением фронта температурного возмущения от поверхности тела к его центру, а вторая - изменением температуры но всему объему тела вплоть до наступления стационарного состояния. Такое разделение теплового процесса по времени на две стадии позволяет осуществлять поэтапное решение задач нестационарной теплопроводности и для каждой из стадий в отдельности, как правило, уже в первом приближении находить удовлетворительные по точности, достаточно простые и удобные в инженерных приложениях расчетные формулы. Данные методы обладают и существенным недостатком, заключающимся в необходимости априорного выбора координатной зависимости искомой температурной функции. Обычно принимаются квадратичная или кубическая параболы. Эта неоднозначность решения порождает проблему точности, так как, принимая заранее тот или иной профиль температурного поля, всякий раз будем получать различные конечные результаты.

Среди методов, в которых используется идея конечной скорости перемещения фронта температурного возмущения, наибольшее распространение получил интегральный метод теплового баланса . С его помощью уравнение в частных производных удается свести к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями, решение которого довольно часто можно получить в замкнутом аналитическом виде. Интегральный метод, например, можно использовать для приближенного решения задач, когда теплофизические свойства не являются постоянными, а определяются сложной функциональной зависимостью, и задач, в которых совместно с теплопроводностью приходится также учитывать и конвекцию. Интегральному методу также присущ отмеченный выше недостаток - априорный выбор температурного профиля, что порождает проблему однозначности решения и приводит к низкой его точности.

Многочисленные примеры применения интегрального метода к решению задач теплопроводности приведены в работе Т. Гудмена . В этой работе наряду с иллюстрацией больших возможностей показана и его ограниченность. Так, несмотря на то что многие задачи успешно решаются интегральным методом, существует целый класс задач, для которых этот метод практически не применим. Это, например, задачи с импульсным изменением входных функций. Причина обусловлена тем, что температурный профиль в виде квадратичной или кубической параболы не соответствует истинному профилю температур для таких задач. Поэтому если истинное распределение температуры в исследуемом теле принимает вид немонотонной функции, то получить удовлетворительное решение, согласующееся с физическим смыслом задачи, ни при каких условиях не удается.

Очевидный путь повышения точности интегрального метода - использование полиномиальных температурных функций более высокого порядка. В этом случае основные граничные условия и условия плавности на фронте температурного возмущения не являются достаточными для определения коэффициентов таких полиномов. В связи с этим возникает необходимость поиска недостающих граничных условий, которые совместно с заданными позволили бы определять коэффициенты оптимального температурного профиля более высокого порядка, учитывающего все физические особенности исследуемой задачи. Такие дополнительные граничные условия могут быть получены из основных граничных условий и исходного дифференциального уравнения их дифференцированием в граничных точках но пространственной координате и но времени .

При исследовании различных задач теплообмена предполагают, что теп- лофизические свойства не зависят от температуры, а в качестве граничных принимают линейные условия. Однако если температура тела изменяется в широких пределах, то ввиду зависимости теплофизических свойств от температуры уравнение теплопроводности становится нелинейным. Его решение значительно усложняется, и известные точные аналитические методы оказываются неэффективными. Интегральный метод теплового баланса позволяет преодолеть некоторые трудности, связанные с нелинейностью задачи. Например, с его помощью уравнение в частных производных с нелинейными граничными условиями приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями, решение которого часто может быть получено в замкнутой аналитической форме.

Известно, что точные аналитические решения в настоящее время получены лишь для задач в упрощенной математической постановке, когда не учитываются многие важные характеристики процессов (нелинейность, переменность свойств и граничных условий и пр.). Все это приводит к существенному отклонению математических моделей от реальных физических процессов, протекающих в конкретных энергетических установках. К тому же точные решения выражаются сложными бесконечными функциональными рядами, которые в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты являются медленно сходящимися. Такие решения малопригодны для инженерных приложений, и особенно в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточным этапом решения каких-либо других задач (задач термоуиругости, обратных задач, задач управления и др.). В связи с этим большой интерес представляют перечисленные выше методы прикладной математики, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений. Эти методы позволяют значительно расширить круг задач, для которых могут быть получены аналитические решения по сравнению с классическими методами.