Магические и латинские квадраты. Латинские квадраты

Начала писать обзорную статью о методах построения магических квадратов. Штудирую материалы по этой теме во всех источниках. Вот в книге Чебракова нахожу "Метод латинских квадратов" (Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Терия чисел, алгебра, комбинаторный анализ. - С.-Петербург, 1995; стр.96-97).
Цитата из книги: "Первый латинский квадрат строят следующим образом: а) произвольно заполняют нижний горизонтальный ряд квадратной таблицы n*n целыми числами от 0 до n-1, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом k="; б) остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего циклической перестановкой - первое число переносится в конец строки. Второй латинский квадрат получается из первого путём его поворота на девяносто градусов".
Ну, как строится первый латинский квадрат, понятно. В книге дана иллюстрация построения. Вот первый латинский квадрат, изображённый на иллюстрации:

2 1 4 0 3
3 2 1 4 0
0 3 2 1 4
4 0 3 2 1
1 4 0 3 2

А как составляется второй латинский квадрат, убей не понимаю! Целый час поворачивала первый латинский квадрат, но так и не смогла получить тот квадрат, который изображён на картинке у автора книги. Вот какой второй латинский квадрат дан автором:

0 3 4 1 2
3 4 1 2 0
4 1 2 0 3
1 2 0 3 4
2 0 3 4 1

Пожалуйста, объясните мне, какой здесь поворот на 90 градусов? Вокруг чего? В какую сторону?
Вот какой магический квадрат построил автор из пары составленных им ортогональных латинских квадратов:

11 9 25 2 18
19 15 7 23 1
5 17 13 6 24
22 3 16 14 10
8 21 4 20 12

Тогда я составила второй латинский квадрат по-своему: отражение первого латинского квадрата относительно горизонтальной оси симметрии. И вот какой магический (к тому же и ассоциативный; ну, ассоциативность обеспечивается удачно составленным первым латинским квадратом - он является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом; мой второй латинский квадрат тоже является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом, в отличие от второго квадрата Чебракова) квадрат получен из моей пары ортогональных латинских квадратов:

12 10 21 4 18
20 11 9 23 2
1 19 13 7 25
24 3 17 15 6
8 22 5 16 14

Если мы будем строить магический квадрат седьмого порядка по Чебракову, то как составить второй латинский квадрат? Первый латинский квадрат может быть, например, такой:

3 2 5 0 1 4 6
6 3 2 5 0 1 4
4 6 3 2 5 0 1
1 4 6 3 2 5 0
0 1 4 6 3 2 5
5 0 1 4 6 3 2
2 5 0 1 4 6 3

Правильно Теперь скажите, куда и как надо повернуть на 90 градусов этот латинский квадрат, чтобы получить второй латинский квадрат по Чебракову
Продолжаю проверять свой способ. Составляю второй латинский квадрат отражением первого относительно горизонтальной оси симметрии. Cтрою из полученной пары ортогональных латинских квадратов магический квадрат:

Полное уравнивание

Для того чтобы избежать систематического смешения, возникающего при неоднородном переносе в схеме реверсивного уравнивания, можно использовать все возможные 296последовательности уровней, вместо двух. Такая схема с полным уравниванием для трехуровневого эксперимента выглядит следующим образом:

Так, если бы в исследовании Готтсданкера и Уэй было использовано только три уровня независимой переменной (например 50, 100 и 200 мс), различным испытуемым - или группам испытуемых - были бы предъявлены следующие шесть последовательностей: 50, 100, 200 мс; 50, 200 и 100 мс; 100, 50 и 200 мс; 100, 200 и 50 мс; 200, 50 и 100 мс; 200, 100 и 50 мс. Мы не иллюстрируем полное уравнивание для большего числа уровней независимой переменной (обычно встречающегося в многоуровневых экспериментах) по той причине, что таблица оказалась бы слишком громоздкой. Например, для всех пяти уровней в исследовании Готтсданкера и Уэй потребовалось 120 последовательностей. Так что если бы даже только один испытуемый проводился через одну последовательность, то число испытуемых оказалось бы равным 120. Число последовательностей, необходимых для полного уравнивания, вычисляется как n-факториал, где n - число уровней. Для шести уровней n-факториал находится следующей серией умножений:

6Х5Х4ХЗХ2Х1=720.

Поскольку кросс-индивидуальное уравнивание было введено для сокращения числа испытуемых по сравнению с их числом в межгрупповой схеме, полное позиционное уравнивание используется крайне редко. Нижеследующая схема позволяет сократить число испытуемых, избегая допущения об однородном переносе, необходимом для схемы реверсивного уравнивания.

Если мы не хотим использовать все возможные последовательности, то естественно прийти к идее о случайном выборе из всего их множества. Иногда это и делается. Однако в случайно выбранном наборе последовательностей мало вероятно, что каждый уровень окажется в каждой позиции равное число раз. Поэтому нежелательные последствия неоднородного переноса будут по-прежнему существовать.

Выходом будет случайный выбор среди «квадратов», в которых каждый уровень появляется один раз в каждой позиции. Каждый такой квадрат представляет собой полную экспериментальную схему. Он называется латинским квадратом. Приведем пример одного из 8640 таких квадратов для шести уровней независимой переменной:

Поскольку в латинском квадрате каждый уровень оказывается в каждой позиции последовательности, естественно, требуется столько групп испытуемых, сколько уровней независимой переменной. Если бы Готтсданкер и Уэй использовали (как это им и следовало сделать) латинский квадрат вместо реверсивного уравнивания, их испытуемые должны были разбиться на пять групп соответственно пяти уровням независимой переменной. Значит, в их опыте должны были бы принять участие пять или десять испытуемых вместо восьми, как это было на самом деле (ведь восемь на пять не делится).

Исследователи обычно вводят ограничение на латинский квадрат. Оно состоит в требовании, чтобы каждому уровню один раз непосредственно предшествовал каждый другой уровень. Такой квадрат называют сбалансированным квадратом . В приведенном выше латинском квадрате это условие не соблюдалось. Например, уровню Б только один раз предшествовали уровни А и Д, но три раза Е и ни разу В и Г. Метод получения сбалансированных квадратов приводится в работе Уагенаара (1969). Вот пример:

Если бы все эффекты переноса были связаны с непосредственно предшествующим уровнем, сбалансированный квадрат был бы очень эффективен. К сожалению, нет способа проверить, в действительности ли это так. Рассмотрим теперь систематические смешения (влияния последовательности), которые могут возникать даже при полном уравнивании.

Дизайн с включением рандомизированных блоков позволяет изолировать один искажающий фактор. Латинский квадрат дает возможность изолировать уже как минимум две переменные, угрожающие внутренней валидности исследования .

Латинский квадрат - это древняя математическая головоломка; его составление является частным случаем решения магических квадратов. В общем виде фигура представляет собой равностороннюю матрицу, заполненную латинскими буквами таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы буква алфавита встречается в точности один раз (рис. 9.8).

Рис. 9.8.

С помощью латинского квадрата можно блокировать не только строки, но и столбцы. В исследовании это может выглядеть следующим образом: допустим, у нас есть искомое условие (X) и две переменные (В и С), воздействие которых нужно поставить под контроль. Это можно сделать, задав как горизонтальные, так и вертикальные блоки. Решение выглядит так, как показано на рис. 9.9. Задача заключается в составлении общей таблицы независимых переменных таким образом, чтобы комбинации в строках и столбцах не повторялись. Для трех переменных будет уже девять комбинаций.

Разумеется, вместо трех уровней независимой переменной можно использовать три разных переменных: решение от этого не изменится. Для эксперимента с латинским квадратом формулируются три нулевые гипотезы:

• - равенство средних значений групп с разными уровнями условия (X);
• - равенство средних значений групп с разными уровнями фактора В (строки);
• - равенство средних значений групп с разными уровнями фактора С (столбцы).

Следует отметить некоторые недостатки латинского квадрата. Во-первых, теоретически исследователь может включить любое число уровней независимой переменной. Тем не менее на практике редко используются квадраты, включающие более десяти градаций условия . В то же время при уровне в 4 и меньше присутствует слишком мало степеней свободы, что увеличивает ошибку. Кроме того, если между условием, строками и столбцами существуют эффекты взаимодействия, результат окажется искаженным. Однако проверка модели на взаимодействие возможна только при достаточной величине стороны квадрата. Во-вторых, количество число уровней независимой переменной, строк и столбцов должно быть одинаковым, что не всегда бывает возможным. Наконец, провести рандомизацию для данного плана довольно-таки сложно.

Рис. 9.9.

Латинский квадрат - это базовая фигура для исследований с многомерным блокированием. На его основе можно построить и более сложные планы, например, греко-латинский квадрат и гипер-греко-латинский квадрат.

Несмотря на кажущуюся сложность, анализ эффекта воздействия результатов эксперимента с использованием латинского квадрата выполняется примерно по такому же алгоритму, как и анализ в исследовании с применением рандомизированных блоков.

Выше представлена небольшая часть разработанных в теории экспериментов планов. Используя их как основу и комбинируя друг с другом, можно создать практически неограниченное число самых разных исследований, которые, однако, потребуют более сложных процедур оценки эффекта воздействия и контроля фоновых факторов.

Может возникнуть вопрос: зачем уделять такое количество времени строгому эксперименту, если возможности его применения в социологии ограничены? С одной стороны, социальное взаимодействие во всех своих проявлениях действительно является сложно контролируемым феноменом, и во многих случаях социолог не может проводить рандомизацию, а также оказывать влияние на независимую переменную. С другой стороны, трудности экспериментирования связаны не только с характером объекта, но и со слабой заинтересованностью социологического сообщества. Эксперимент является довольно сложным методом, использование которого сопряжено с кропотливой работой по контролю, изоляции искомых переменных, а также с применением сложных процедур измерения эффекта тестирования. Учитывая общий дескриптивный характер современной социологии и зачастую относительно невысокий уровень рефлексии касательно валидности каузальных аргументов, экспериментальные исследования составляют не слишком большую долю в общей совокупности выпускаемых работ.

Данный факт не означает, что ниша эксперимента в общественных науках всегда будет ограниченной. Оглядываясь вокруг, мы можем заметить, что в других областях социального знания теория экспериментирования развивается куда более быстрыми темпами. Не секрет, что социальная психология уже долгое время работает как экспериментальная наука и не мыслит себя вне данного метода. Вместе с тем, можно наблюдать такое динамично развивающееся направление, как экспериментальная экономика. Словарная статья Вернона Смита «Экспериментальные методы в экономике» начинается словами: «Исторически предмет и метод экономики предполагал неэкспериментальный характер науки (подобно астрономии и метеорологии)» . Раскрывая современное состояние науки, автор показывает, что начиная с 1980-х годов экономика все более становится экспериментальной наукой.

Присмотримся к сравнительной политологии. Сто лет назад в послании к Американской ассоциации политической науки ее тогдашний руководитель Лоуренс Новелл заявлял: «Мы ограничены отсутствием возможности экспериментирования... Политические исследования являются обсервационной, а не экспериментальной наукой». Вышедшая в 2007 г. книга “The Oxford Handbook of Experimental Political Science” указывает, что ситуация меняется стремительным образом по мере того, как исследователи политики уделяют все большее влияние каузальным аргументам и эмпирическому изучению своего предмета . Достаточно перечислить многочисленные работы по таким темам, как мобилизация, голосование, парламентаризм, бюрократия, международные отношения, переговоры, внешняя политика, создание коалиций, политическая культура, «экспорт демократии», электоральные системы, право. Практически все эти области, казалось бы, оставляют ученому возможность лишь пассивного наблюдения и регистрации фактов, но рандомизированные эксперименты здесь проводятся и весьма успешно.

Не отрицая объективных трудностей использования строгого эксперимента в социологии, можно предположить, что повышение интереса к сравнительным исследованиям будет способствовать и росту числа экспериментов. Кроме того, развитие перспективных областей микросоциологии (например, изучения повседневности) также может способствовать развитию теории и практики полевого экспериментирования.

Наиболее очевидным полем внедрения экспериментальных исследований представляется область виртуальных технологий.

Социологический эксперимент обычно проводится в лаборатории или «реальных» условиях, при этом изучаются небольшие группы. Однако социология не интересуется индивидом, а в качестве объяснительных конструкций оперирует аргументами макроуровня, подтверждение которых требует множества наблюдений. Сети дают такую возможность. Например, группа молодых ученых из Колумбийского университета изучала влияние социальных факторов на функционирование музыкального рынка . Для этого они создали веб-сайт, на который выложили аудиозаписи 48 неизвестных инди-музыкантов для свободного скачивания. Все посетители страницы случайным образом назначались в группы, которые отличались способом представления информации на сайте (случайный порядок песен против ранжированного по количеству скачиваний и т. д.). Выяснилось, что выбор пользователей, испытывавших социальное влияние, оказывался куда менее предсказуемым, чем тех, кто не видел рейтингов, рекомендаций, количества «лайков» ит.д., причем эта зависимость обратна пропорциональна уровню социального влияния.

В книге «Основания социальной теории» Дж. Коулман писал, что даже если ученый строит каузальные аргументы на макроуровне (например, как модели социального взаимодействия влияют на силу норм), надлежащее объяснение требует определения микрооснований этих процессов . Как подчеркивал Коулман, переход от микро- к макроуровню является основным препятствием на пути интеллектуального развития социологической теории, поскольку требует изучения динамических процессов формирования и развития социальных процессов, которые сложно получить с помощью традиционных социологических методик (опросов и наблюдений). Однако использование экспериментального метода (в частности, в интернет-исследованиях) позволяет не только увидеть результат, но и воспроизвести схему переходов «макро-микро», «микро-микро» и «макро-микро». Фактически в распоряжении исследователя имеется мощный инструмент, который, с одной стороны, позволяет работать с большими массивами данных, а с другой - фиксировать взаимодействие индивидов per se.

Еще одна причина, по которой эксперимент достоин внимания, более прагматична. Как уже неоднократно отмечалось, в тех случаях, когда экспериментальный дизайн невозможен (а это применительно, например, ко всей исторической социологии), социальный ученый пытается создать нечто похожее на экспериментальную ситуацию. Вместе с тем сложный характер причинно-следственных отношений и необходимость контроля факторов требуют использования методов, симулирующих эксперимент. В таком случае эксперимент представляется идеально-типическим исследованием, по канонам которого ученый работает и к строгости которого стремится приблизиться. Собственно, количественная и качественная стратегия, по мысли Ч. Рагина, являются разными вариантами ответа на вопрос о том, возможно ли в социальном исследовании воспроизведение логики эксперимента .

Представленные выше планы являются своеобразными шаблонами, по лекалам которых социологи работают и с объектами, в отношении которых эксперимент принципиально невозможен. В сущности, такое каузальное исследование будет моделироваться и анализироваться с использованием похожих, но, разумеется, более сложных методик и техник. Поэтому в процессе изучения гл. 10, посвященной квазиэксперименталь- ному дизайну, рекомендуется соотносить описываемые планы с тем, что уже известно, искать различия и возможные угрозы внутренней и внешней валидности. Это облегчит понимание «механики» сравнительного квазиэкспериментального исследования.

• У. Кохран и Г. Кокс приводят примеры латинских квадратов вплоть до 12x12.

Пробельного материала для заполнения крупных промежутков в строках.

Большой Энциклопедический словарь . 2000 .

Синонимы :

Смотреть что такое "КВАДРАТ" в других словарях:

- (лат. quadratum, от quadrare сделать четырехугольным). 1) прямоугольный, равносторонний четырехугольник. 2) такое число, которое, будучи умножено само на себя, дает данное число. 3) единица для измерения плоскостей; напр.: квадратн. фут, дюйм и… … Словарь иностранных слов русского языка

В квадрате. Жарг. мол. Пренебр. О крайне тупом, безнадёжно глупом человеке. /i> Квадрат глупый, несообразительный чаловек. Никитина 1996, 82. Квадрат твою гипотенузу! Жарг. шк. Бран. Выражение досады, раздражения, негодования. ВМН 2003, 62.… … Большой словарь русских поговорок

КВАДРАТ, в биологии квадратная рама, используемая для разметки участка поверхности с целью изучения растений, находящихся на нем. Квадратом называют также и сам этот участок почвы. Как правило, такой квадрат равен 0,5 или 1 м2. Пользуясь этим… … Научно-технический энциклопедический словарь

КВАДРАТ, квадрата, муж. (лат. quadratus четырехугольный). 1. Равносторонний прямоугольник (мат.). 2. Форма такого прямоугольника у какого нибудь предмета (книжн.). Ярко освещенный квадрат окна. 3. Четырехугольный гартовый брусок мера для… … Толковый словарь Ушакова

Муж. равносторонний и прямоугольный четыреугольник; народ называет его круглым четыреугольником или клеткою. Разбить площадь на квадраты, на участки этого вида. | Квадрат числа, произведение его от умножения самого на себя. Узор квадратцами или… … Толковый словарь Даля

Параллелограмм, клетка, материал, прямоугольник, степень, квадратик Словарь русских синонимов. квадрат сущ., кол во синонимов: 9 гиперкуб (12) … Словарь синонимов

квадрат - КВАДРАТ, а, м. Тюрьма; камера. квадрат топтать находиться в тюрьме, камере. Из уг … Словарь русского арго

квадрат - (Quad) 1. Одна из основных единиц типометрической системы Дидо, равная 4 цицеро, или 48 пунктам. 1 квадрат равен 18,048 мм. 2. Пробельный материал, используемый при изготовлении наборных печатных форм способа высокой печати. Квадраты различают по … Шрифтовая терминология

«Квадрат» - «Квадрат», клуб любителей джазовой музыки (джаз клуб). Создан в 1964 при ДК имени Ленсовета (с 1965 размещался в ДК имени С. М. Кирова, с 1986 — во Дворце молодёжи). Объединяет музыкантов и любителей классического джаза. «Квадрат» продолжил… … Энциклопедический справочник «Санкт-Петербург»

- (от латинского quadratus четырехугольный), 1) равносторонний прямоугольник. 2) Вторая степень a2 числа a (название связано с тем, что именно так выражается площадь квадрата со стороной a) … Современная энциклопедия

Книги

• Квадрат , Вилли Карлссон. Книгу видного деятеля Коммунистической партии Дании можно назвать подлинной летописью рабочего движения в стране в бурную эпоху с начала кризиса 30-X годов до оккупации Дании нацистами.…
• Квадрат неба. Сборник антиутопий , Маргарита Пальшина. Квадрат неба человек видит из окна… тюремной камеры, откуда нет выхода, чтобы увидеть его беспредельность. Камеры необязательно буквальной, в тюрьму превращаетсялюбой мир или общество,…